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5 Las Funciones Trigonométricas
Sección 5.1 Angulos
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Introducción • Si comenzamos con un rayo fijo l1,
que tiene un extremo nombrado O, y rotamos el rayo en el plano sobre O in a plane, hasta llegar a la posición nombrado por l2 formamos un ángulo.
• Llamamos l1 el lado inicial, l2 el lado terminal, y al O el vértice de ∠AOB.
• Si no restringimos ni el tamaño ni la dirección de la rotación, encontraremos que muchos ángulos comparten el mismo lado inicial o el mismo lado terminal.
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• Dos ángulos cualesquiera que comparten lado el lado terminal o el lado inicial se conocen ángulos coterminales.
Introducción
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Posición Estándar • En un sistema de coordenadas
rectangulares , la posición estándar de un ángulo se obtiene colocando el vértice del ángulo en el origen y dejando que el lado inicial coincida con la parte positiva del eje de x.
• Si l1 se rota en la dirección en contra de la manecillas del reloj, hacia el lado terminal, entonces el ángulos se considera positivo.
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Posición Estándar (cont.) • Si l1 se rota a favor de la
maneciallas del reloj, entonces el ángulo que se construye en un ángulo negativo
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• Si el lado terminal de un ángulo que está en posición estándar se encuentra en un cierto cuadrante del plano cartesiano, decimos que el “ángulo está en ese cuadrante “
Ej. En la figura, 𝛼 está en el cuadrante III,
Posición Estándar
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Una medida del ángulo: Grados
• El ángulo, en posición estándar, que se obtiene luego de una rotación completa en contra de las maneciallas del reloj tiene una medida de 360 grados, que se escribe 360°.
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Una medida del ángulo: Grados
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Una medida del ángulo: Grados
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Ejemplo • Si θ = 60° esta en posición
estándar, hallar la medida de dos ángulos positivos y dos θ.
• Solución : o Para determinar dos ánglulos positivos
coterminales, sumanos 360° o 720°, a la medida de θ
o Para determinar dos ánglulos negativos coterminales, sumanos –360° o –720°, a la medida de θ para obtener
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Solución (cont.) 60° + 360° = 420° y 60° + 720° = 780°
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Solución (cont.) 60° + (–360°) = –300° y
60° + (–720°) = –660°
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Tipos de ángulos • Se describen algunos tipos de
ángulos:
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Minutos y Segundos • Si necesitamos utilizar una medida
más pequeña que el grado, podemos utilizar un décimo de un grado o un centécimo de un grado.
• Si dividimos un grados en … o 60 parts iguales, llamadas minutos ( y que se
denotan ′ ), y o Si cada minuto se divide en 60 partes iguales,
llamadas segundos (y que se denotadan ″ ).
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Otra medida: el radian Cuando estudiemos las
funciones trigonométricas, vamos a medir los ángulos en radianes para que los valores del dominio y del rango puedan ser medidos en escalas comparables.
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Un radián • El ángulo central
de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio.
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Medida en radianes(cont.)
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¿Cuántos radianes hay en un círculo?
• Hay 360 grados en un círculo. ¿Cuántos radianes hay? • Hay un poco más
de 6 radianes en un círculo
• De hecho, hay exactamente 2π radianes en un círculo.
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Grados vs. Radianes (cont.) • Un ángulo que mide 2π radianes
corresponde a una medida en grados de 360°, por lo tanto 360° = 2π radianes.
• Esto nos lleva a lo siguiente:
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Grados vs. Radianes (cont.) • Noten que cuando se utiliza la
medida de radian, por costumbre no se indican unidades.
• Esto es, que si un ángulo tiene una medida de 5 radianes, escribiremos θ = 5 en vez de θ = 5 radians.
• Esto NO debe causar confusión. Si θ se mide en grados escribiremos θ = 5°, y no θ = 5.
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• Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción
Grados vs. Radianes (cont.)
• Ejemplo 1: Convertir 120o a radianes Solución: Usando proporciones:
𝝅𝟏𝟏𝟏
=𝒙𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝝅𝟏𝟏𝟏
= 𝒙
𝒙 =𝟏𝝅𝟑
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• Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción
Grados vs. Radianes (cont.)
• Ejemplo 2: Convertir 6𝜋5 𝜋 a grados Solución: Usando proporciones: 𝟏𝟏𝟏𝝅
=𝒙𝟔𝝅𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏𝝅𝟓𝝅 = 𝒙 𝒙 = 𝟏𝟏𝟔𝒐
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• Podemos convertir entre medidas usando factores de conversión
Grados vs. Radianes (cont.)
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• Esta tabla muestra la medida en grados y radianes de ángulos especiales:
Grados vs. Radianes (cont.)
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Grados vs. Radianes (cont.) • Aquí se muestran dibujos de algunos
ángulos.
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Grados vs. Radianes (cont.)
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Ejemplo • Aproximar θ = 3 en términos de
grados, minutos, and segundos:
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Ejemplo • Expresar la medida 19°47′23″ como un
decimal, aproximado a 4 lugares decimales.
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Longitud de un arco circular • Un arco circular es un trozo
o una parte de la longitud de la circunferencia
• Si un arco de largo s, en un círculo de radio r, está suspendido sobre un ángulo central, θ, (medida en radianes) entonces
s= r θ (la longitud del arco es igual al radio del círculo por la medida del ángulo central
en radianes)
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Longitud de un arco circular • Calcule la longitud del arco
circular, s, si el círculo tiene radio igual a 12 cm y el ángulo suspendido mide 60o. s = r θ
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Area de un sector circular • Si θ es la medida en radianes de
un ángulo central de un círculo de radio r, entonces el área del sector circular está dado por:
𝐴 = 1
2𝑟2𝜃
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Ejemplo El ángulo central, θ, está suspendido sobre un arco de longitud igual a 10 cm en un círculo de radio igual a 4 cm.
a) Aproxime la medida de θ en grados.
b) Encuentre el área del sector circular determinado por θ.
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Solución Parte A.
![Page 34: Sección 5.1 Angulos - Precálculo II – Profa. Rodriguez · • Dos ángulos cualesquiera que comparten lado el lado terminal o el lado inicial se conocen ángulos coterminales](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022041220/5e0994e4f1774d44f960f8a3/html5/thumbnails/34.jpg)
Solución (cont.)
Parte A.
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Ejemplo (cont.)
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Relaciones entre ángulos • Si θ es la medida en radianes de
un ángulo central de un círculo de radio r, entonces: β es el ángulo complementario de θ
si β = 90 – θ. β es el ángulo suplementario de θ si β = 180 – θ.
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Ejemplo • Determinar el ángulo que es
complementario a θ si: a) θ = 25°43′37″ b) θ = 73.26°
• Solución:
a) Debemos hallar 90° – θ. Para restar las dos medidas expresamos 90° en una forma equivalente, 89°59′60″.
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Solución (cont.)
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Ejemplo Determinar el ángulo que es suplementario a β=2 . Solución: Si β = k radianes entonces
1. su ángulo complementario es el ángulo que mide 𝜋2− β
2. su ángulo suplementario es el ángulo que mide π − β
En este caso β = 2 es un ángulo del segundo cuadrante por que 𝜋
2≈ 1.57 < 2 y 𝜋 ≈ 3.14 > 2.
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Solución (cont.) Como β=2 es un ángulo del segundo cuadrante, el ángulo suplementario a β es
𝜋 − 2 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑒𝑓 𝜋 − 2 ≈ 1.14