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7/25/2019 S8 Diapositiva La Derivada
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CLCULO I
LA DERIVADA DE UNA FUNCIN
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Los expertos en Balstica puedenidentificar el arma que dispar cierta bala
estudiando las marcas en el proyectil. Las
pruebas se realizan disparando en un
bulto de papel. Si la distancia S, en
centmetros, que la bala recorre en elpapel est dada por s(t)= 2 ! "# ! $%t
'ara % ( t ( %,# se)undos, encuentre la
*elocidad de la bala en un d+cimo dese)undo despu+s de que )olpea el papel.
CASO : BALISTICA
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Lmite y continuidad de una funcin.
Operaciones combinadas de nmerosreales. Simplicacin de expresiones
algebraicas.
Recordar
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LOGROS DE LA SESIN
Al nalizar la sesin de aprendizaje el estudiante resuel!e
ejercicios de deri!adas de funciones algebraicas empleandolas propiedades y reglas de deri!acin de una funcin
fundamentando la simplicidad y orden de los c"lculos.
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#. $oncepto %eom&trico de la 'eri!ada
(. 'enicin de la 'eri!ada
). *eglas deri!acin
Temario
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x
-"x&
+endiente de la rectatangente en el punto
,x- f,x
Interpretacin geomtrica
"x/&0x = /
-"x/&0-"x&
-"x/&
-"x/&
1/1/
/0 1
2,x 0. 2,x.m lim
0
+ =
TL
+ =S
2,x 0 2,xm
0
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Pendiente de la recta tangente ( )
3n el lmite cuando h 1 la recta secante 4seconfunde5 con la recta tangente enx1 y podemos decir6ue7
8ote 6ue7 ( ) ( )0 0
SL
f x h f xm
h
+ =
( ) ( )0 00 0
lim limT SL Lh h
f x h f xm mh
+ = =
TLm
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Derivada de una funcin
en un puntoDEFINICIN. La deri!ada de una funcin 4f 4enun punto 4a5 denotada con f9,a es7
Si este lmite existe
DEFINICIN A!terna"
h
afhaf
lmaf h
)()(
)(' 0
+
=
ax
afxflmaf
ax
=
)()()('
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Interpretacin geomtrica de la derivada
La deri!ada de una funcin 4f5 en un nmero 4a5 es la pendiente dela recta tangente a la gr"ca de la funcin en el punto ,a- f,a.
3emplo4 'e la gr"ca0alle f :,( e indi6uela ecuacin de larecta tangente enx=2.
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La #eri$a#a como %na &%ncin
DEFINICIN. Si en la denicin anteriorcambiamos el nmero 4a5 por la !ariable 4x5obtenemos7
En ete cao! f" e una nueva funcin ##amadaderivada de f.
E$emp#o7 3ncontrar la deri!ada de
5otacin
h
xfhxf
lmxf h
)()(
)(' 0
+=
2)( xxf =
xdf"x&f 6"x& 7 f"x&
dx= =
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S3 ;/
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REGLAS DE
DERI%ACIN 1nn nx(x)'fentonces,xf(x)Si ==
0(x)'f:entonces,f(x)Si
1(x)'f:entoncesx,f(x)Si
!"# :
==
==
$f%(x)(x)g'entonces$f(x),g(x)Si
n&mero)(caliercostantena$Sea
==
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E$emp#o& Sea la funcin7
La deri!ada de esta funcin es7
=
dxdf
=)x(f x *
1* ( )
=
dx
df 12x
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Derivada de una uma ' diferencia de funcione
Sea la funcin7
La deri*ada de la suma o diferencia es4
dx
dh
dx
dg
dx
df=
)()()( xhxgxf =
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E$emp#o
Sean las funciones7
+10 += x
dx
df
,+-)( 2 += xxxf
1,-10*)( 2-, ++= xxxxxf
-201-2* *- += xxxdxdf
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Deri$a#a #e %n pro#%cto #e &%ncione'
Si la funcin que *oy a deri*ar f(x)es el producto de las
funciones g(x) y h(x), existe una re)la para encontrar laderi*ada de esta funcin.
)x(h)x(g)x(f =
dx
dhxgxh
dx
dg
dx
df)()( +=
(g(x)./(x))' g'(x)./(x) (x)./'(x)g= +
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E(emp!o
.(x.,#x)x,.x,f )(A +=
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Deri$a#a #e %na &%ncin cociente
Si la funcin que *oy a deri*ar f(x) es un cociente de
funciones g(x) y h(x), existe una re)la para encontrar laderi*ada de esta funcin.
)x(h
)x(g)x(f =
[ ]2)(
)(
xh dx
dhgxh
dx
dg
dx
df
=
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E(emp!o2
#x 8f"x&x 8
+=+
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DERI%ADA DE LA F(NCINE)*ONENCIAL NAT(RAL
Si f,x B ex entonces f : ,x B ex
Si f,x B ax entonces f : ,x B axln,a
F(NCIN LOGARIT+O
#f,x. ln,x. f C,x.
x= =
a a
#f,x. log ,x. f C,x. log e
x
= =
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REGLAS DE DERI%ACIN *ARAF(NCIONES TRIGONO+ETRICAS
xcscx.cotan(x)'cscx(x)
xcsc(x)'cotanx(x)
secx.tanx(x)'secx(x)
xsec(x)/'tanx/(x)
cosx(x)g'senxg(x)
senx(x)'fcosxf(x)
2
2
==
==
==
==
==
==
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Podras ahora resolver el
caso 01?
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Los expertos en Balstica puedenidentificar el arma que dispar cierta bala
estudiando las marcas en el proyectil. Las
pruebas se realizan disparando en un
bulto de papel. Si la distancia S, en
centmetros, que la bala recorre en elpapel est dada por s(t)= 2 ! "# ! $%t
'ara % ( t ( %,# se)undos, encuentre la
*elocidad de la bala en un d+cimo dese)undo despu+s de que )olpea el papel.
CASO : BALISTICA
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EVALUACIN
'eri!ar las siguientes funciones)-)(2)(()( xxxxf =
2
-*
)( +
=
x
x
xf
( )( ) s n -cosf x x e x x= +
2
ln( )ln
xf xx x
=
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+ateria# e#a,orado para uo e-c#uivo de #a
eione de aprendia$e de# curo de C/#cu#o 0! emetre 1203 4 1. (niveridad *rivada de#Norte.