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Cinemática de losmanipuladores
Robótica
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Introducción
• Cinemática: Estudio del movimiento sin considerar
las fuerzas que lo producenPropiedades geométricas y temporalesPosición, velocidad, aceleración, derivadas superiores de
la posición, etc.
• Cinemática de los manipuladores: Propiedades
geométricas y temporales del movimiento.
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Aspecto a resolver
• Problema:
A partir de los parámetrosgeométricos del manipulador.Especificar: Posición y orientación
del manipulador.
• Solución:
Definir sistemas de referenciaen el manipulador y objetos del entorno siguiendo laNotación de Denavit-Hartenberg (1955).
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Los términos enlace/articulación
• Articulación: Conexión de dos
cuerpos rígidos caracterizadospor el movimiento de un sólidosobre otro.Grado de libertad: Circular o prismático
• Enlace: Cuerpo rígido que une dos ejesarticulares adyacentes del manipulador. Posee muchos atributos: Peso, material, inercia,etc.
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Parámetros de un enlace
• Eje articular: Línea en el espacioalrededor de la cual el enlace i rota
referido al enlace i -1• Longitud del enlace (a i-1): Distanciaentre los ejes articulares i e i -1Número de líneas que definen la
longitud:Ejes paralelos:Ejes no paralelos: 1
Signo: positivo• Ángulo del enlace ( α i-1): Ángulomedido entre los ejes articulares i ei -1. Proyección sobre planoSigno: Regla de la mano derecha
∞perpendicular común
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Ejemplo de parámetros
1.- Se colocan losejes articulares
2.- Longitud del
enlace: 73.- Ángulo del
enlace: 450
Plano
Longituddel enlace
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Variables articulares• Desplazamiento del enlace (di):
Distancia medida a lo largo del ejede la articulación i desde el puntodonde a i-1 intersecta el eje hasta elpunto donde a i intersecta el eje. d i es variable si la articulación es
prismática
d i posee signo
• Ángulo de la articulación (θi):Ángulo entre las perpendiculares comunes a i-1 y a i medido sobre el eje del enlace i . θi es variable si la articulación es
de rotación θi posee signo definido por la regla de la mano
derecha
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Definición de Sistemas de Referencia:
Enlaces primero y último• Sistema de referencia {0}: Sistema
que se adjunta a la base del robot.
No se mueve.• El Sistema de referencia {1}
coincide con la base.
Enlace(i ) a 0 y a n α0 y αn d i θi
Prismática (d i ) 01 y n 0 0 Rotacional (0) θ
n
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Definición de Sistemas de Referencia:
Enlaces intermedios• Origen del sistema de referencia
{ i }: Se ubica en el punto creado
por la perpendicular de a i y el ejearticular i .• Eje Z: El eje del sistema de
referencia { i } se hará coincidir
con el eje articular i .• Eje X: El eje se hace coincidir
con la distancia a i desde laarticulación i hacia i +1.
• Eje Y: Se define a partir del eje ,tomando como referencia la reglade la mano derecha.
i X
)
i Z )
1−iY )
i Z )
i X )
i X )
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Procedimiento general para la
definición de sistemas de referencia1. Identificar los ejes articulares: De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes
consecutivos i e i-1.2. Identifique la perpendicular común: Identifique la línea que se
intersecta, perpendicularmente, al eje articular i . Defina el sistemade referencia sobre el punto de intersección.
3. Asigne el eje al eje articular i .4. Asigne el eje a la perpendicular común que definió el origen del
sistema de referencia i .
5. Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el ejesegún la ley de la mano derecha.
6. Haga coincidir los sistemas de referencia {0} y {1} cuando laprimera variable articular sea cero.
i Z )
i X )
iY
)
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Significado de los parámetros de
Denavit-HartenbergLos parámetros de DH tienen el siguiente
significado: El parámetro es la distancia entre y medida
a lo largo de .
El parámetro es el ángulo entre y referido a.
El parámetro es la distancia de a ´ medida a lo
largo de . El parámetro es el ángulo entre y referido a
.
Nota: es la única magnitud positiva, las demás tienensigno.
i ai Z
)
1−i Z )
i X )
i i Z
)
1−i Z
)
i X )
i d i X )
1−i X )
i Z )
i 1−i X )
i X )
i Z )
i a
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Transformación homogénea
de un enlaceEs el resultado de
Al definir t res sistemas de referenciaIntermedios {R} , {Q} y { P} , se tiene:
{R} difiere de i-1 en la rotación
{Q} difiere de {R} por la traslación
{P} difiere de {Q} por la rotación
{i} difiere de {P} por la traslación
1−iα
1−ia
i
id
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Transformación homogénea
de un enlace (II)Un punto definido en el sistema de
referencia {i } proyectado en elsistema de referencia {i -1}responde a
La transformación del sistema dereferencia {i } en {i -1} responde a
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Transformación homogénea
de un enlace (III)
Matriz DH
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Concatenar transformaciones
homogéneas de enlaces• Definir el sistema de referencia de los enlaces• Definir los parámetros DH de cada enlace• Calcular la matriz de transformación de cada enlace• Relacionar el sistema {N} sobre el sistema {0}
• Después de medir la posición, usando sensores, de losenlaces; se calcula la posición del efector final
Transformación resultante de todos los enlaces
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Ejemplo RRR (3R)
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Ejemplo RRR (II)
• Identificar laperpendicular
común entre losejes de lasarticulaciones
• Asignar el eje
en los ejesarticulares
i Z )
10 Z Z ) )
≡2 Z )
3 Z )
• Identificar el
eje de lasarticulaciones
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Ejemplo RRR (III)
• Asignar el eje
en la perpendicularcomún.
i X )
• Utilizando la regla de
la mano derecha,asignar el eje .iY
)
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Ejemplo RRR (IV)
i α i-1 a i-1 d i θi
1 0 0 0 θ1
2 0 L1 0θ2
3 0 L2 0 θ3
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Ejemplo RRR (V)i α i-1 a i-1 d i θi
1 0 0 0 θ1
2 0 L1 0 θ2
3 0 L2 0 θ3
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Ejemplo RRR (Final)
PT P30
30 =
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Ejemplo RPR
1.- Identificar el eje de las articulaciones
2.- Identificar la perpendicular común al eje de las articulaciones: Ninguna
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Ejemplo RPR (II)
• Asignar el ejeen los ejes articulares
i Z )
• Si los ejes se intersectan,
ubicar de forma que seanormal al plano que contengalos dos ejes, considereademás que la variablearticular {i} proyectada en {i-1}sea cero en el origen
i Z )
i X
)
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Ejemplo RPR (III)
iY )
• Completar el sistema dereferencia colocando
aplicando la regla de lamano derecha
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Ejemplo RPR (IV)
Parámetros DH
i α i-1 a i-1 d i θi
1 0 0 0 θ1
2 900 0 d 2 0
3 0 0 L2 θ3
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Ejemplo RPR (Final)
i α i-1 a i-1 d i θi
1 0 0 0 θ1
2 900 0 d 2 0
3 0 0 L2 θ3
PT P30
30 =
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Puma 560-6R
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 1• Posición del robot cuando todas lasvariables articulares son cero. Hacer
coincidir los sistemas de referencia {0}y {1}.• Asignar el eje en el primer eje
articular.
• Asignar el eje a la perpendicularcomún al eje . Si los ejes seintersectan, asignar a la normal delplano conteniendo los dos ejes.
• Completar el sistema de coordenadasasignando por la regla de la manoderecha
1 Z )
1 X )
1 Z )
1 X )
1Y )
2Y )
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 2• Asignar el eje en el segundo eje
articular.
• Asignar el eje a la perpendicularcomún a los ejes articulares 2 y 3.
• Completar el sistema de coordenadasasignando por la regla de la mano
derecha
2
3
2 Z )
2 X )
2Y )
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 3• Asignar el eje en el tercer eje
articular.
• Asignar el eje a la perpendicular
común a los ejes articulares 3 y 4 onormal al plano.
• Completar el sistema asignandopor la regla de la mano derecha
3
4
3 Z )
3 X )
3Y
)
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 4• Asignar el eje en el cuarto eje
articular.
• Asignar el eje a la perpendicular
común a los ejes articulares 4 y 5 onormal al plano.
• Completar el sistemaasignando por laregla de la mano derecha
4 Z )
4 X )
4Y )
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 5• Asignar el eje en el quinto eje
articular.
• Asignar el eje a la perpendicular
común a los ejes articulares 4 y 5 onormal al plano.
• Completar el sistemaasignando por laregla de la mano derecha
5Y )
5 X )
5 Z )
Asignación del sistema
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Asignación del sistema
de referencia 6 {N }• Asignar el eje en el sexto eje
articular.
• Seleccione libremente el eje
considerando que sean cero lamayor cantidad de parámetros DH.
• Completar el sistemaasignando por laregla de la mano derecha
6 Z )
6 X )
6Y )
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Parámetros DH
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Transformaciones de los enlaces
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Simulador PUMA 560Toolbox RobóticaPeter I. Corke
>> puma560>> plot(560,qz)>> drivebot(p560)
Sistemas de referencias con
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Sistemas de referencias con
nombres estándar
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Cinemática directa
• Cinemática directa: Se conocen las variables articulares de una cadena de
enlaces de un brazo articulado Cálculo sencillo (multiplicación matricial) Una única solución: PT P
N N 00 =
Ci á i i
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Cinemática inversa
• Cinemática inversa:Problema difícil de resolver: Obtener los valores de las
variables articulares para que el órgano terminal tengauna determinada posición y orientación
Se deben resolver un conjunto de ecuacionesalgebraicas no lineales simultáneas
Problemas fundamentales: Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación) Existen múltiples soluciones Es posible que no exista una solución Singularidades.
E i l bl
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Espacio alcanzable
EsféricoCilíndricoCartesiano
Scara
Espacio alcanzable:Volumen delespacio que el robotpuede alcanzar
con al menos unaorientación Antropomórfico
E i i d úl i l l i
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Existencia de múltiple soluciones
Deben atenderse las múltiples
soluciones:
Elección que minimice losmovimientos desde la posiciónactualConcepto de solución másCercana Mover los eslabones de menor
pesoConsiderar obstáculos (evitar
colisiones)
Obstáculo
Mét d d l ió
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Método de resolución
• Manipulador resoluble: Existe un algoritmo quepermite determinar todas las soluciones del
modelo inverso (variables articulares) asociadasa una determinada posición y orientación.
• Teóricamente es resoluble: todo sistema R y Pcon 6 grados de libertad.
• Métodos numéricos iterativos: lentitud.
• Se prefieren expresiones analíticas (solucionescerradas):Métodos algebraicos
Métodos geométricos
P é l i áti i ?
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¿Porqué la cinemática inversa?
• Métodos de programación:
Programación por guiado: Desplazamientodel efector final para que se alcancen lasconfiguraciones deseadas, registrándose los
valores (digitalización de posiciones).Programación textual: Programa de
ordenador donde existen órdenes paraespecificar los movimientos del robot,acceder a información de sensores, etc.
Ci áti di t i
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Cinemática directa vs inversa
• Cinemática directa Conocidos: Ángulos articulares y
geometría de los eslabones Determinar: Posición y orientación
del elemento terminal referido a la base
• Cinemática inversa Conocidos: Posición y orientación
del elemento terminal referido a la base Determinar: Ángulos articulares y
geometría de los eslabones para alcanzarla orientación y posición de la herramienta
T T f N
B
H
0
)(==
θ
)()( 011 T f T f
N B H
−− ==θ
{Herramienta}
{Base}
Número de sol ciones
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Número de soluciones
• Se desea: Posicionar el elementoterminal en un punto del plano
• Número de GDL del manipulador
= Número de GDL que requiere la tarea
Dos soluciones
• Número de GDL del manipulador
> Número de GDL que requiere la tarea Infinitas soluciones
Tipos de solución
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Tipos de solución
• Solución: Conjunto de variables articulares que permitenposicionar el elemento terminal en una determinada
posición y orientación
• No existen algoritmos generales de solución al
problema de cinemática inversa
• Tipos de solución: Soluciones cerradas:
Solución algebraica: Ecuaciones no lineales trigonométricas Solución geométrica: Conjunto de subproblemas geométricos en el
plano Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real
Ejemplo de solución geométrica (I)
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Ejemplo de solución geométrica (I)
• Se conoce:Geometría del manipuladorPunto objetivo: Posición (x e y ) y orientación del
elemento terminal en el espacio
• Problema:Determinar las variables
articulares ( )
θ
1θ 2θ 3θ
θ
x
y
Algunas identidades
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g
trigonométricas• Ley de los cosenos para un triángulo general
• Suma de ángulos:
• Identidades: )cos()cos( θ θ −=)cos()cos( θ θ +=− pi pi
Ejemplo de solución geométrica (II)
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Ejemplo de solución geométrica (II)
• La orientación del último eslabón es la suma delas variables articulares
θ
x
y
θ
321 θ θ θ θ ++=
Ejemplo de solución geométrica (III)
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Ejemplo de solución geométrica (III)
• Cálculo de :
• Aplicando la ley de los cosenos:
• Debido a que
• Resulta:
2θ
Ejemplo de solución geométrica (IV)
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Ejemplo de solución geométrica (IV)
• Se debe verificar la solución del algoritmo, elcual debe cumplir:
• Espacio alcanzable
• Intervalo de la solución
Espacioalcanzable
2θ
Ejemplo de solución geométrica (V)
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Ejemplo de solución geométrica (V)
• Si se definen dos ángulos se cumple
El ángulo se calcula:
Y aplicando ley de los cosenos
β θ −=1
22)( y x
y
sen+= β
β
Ejemplo de solución geométrica (VI)
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Ejemplo de solución geométrica (VI)
• Finalmente213 θ θ θ θ −−=
θ
x
y
θ
Control basado en cinemática
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inversa (I)Sección de código de la función invsurf.m:
for i = 1:length(r),for j = 1:length(theta),xx = r(i)*cos(theta(j)); Cinemática directayy = r(i)*sin(theta(j));c2 = (xx^2 + yy^2 - l1^2 - l2^2)/(2*l1*l2);c2 = min(max(c2, -1), 1);s2 = sqrt(1 - c2^2);th2(i, j) = atan2(s2, c2);
k1 = l1 + l2*c2;k2 = l2*s2;th1(i, j) = atan2(yy, xx) - atan2(k2, k1);
end
end
Condiciones iniciales:
l1 = 10;
l2 = 7;point = 21;
r = linspace(l1-l2, l1+l2, point);
theta = linspace(0, 2*pi, 2*point);
Control basado en cinemática
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inversa (II)Resultado de ejecutar la función invsurf.m:
Control basado en cinemática
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inversa (III)
Modelo del brazo articulado
de dos grados de libertad
x
y
1
2
x
1
y
2
x
Control basado en cinemática
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inversa (IV)
Modelo del brazo articuladode dos grados de libertad
x
y
1
2
Modelo inverso del brazo
articulado
xd
yd
Control basado en cinemática
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inversa (V)for i = 1:length(x),for j = 1:length(y),
xx = x(i);
yy = y(j);c2 = (xx^2 + yy^2 - l1^2 - l2^2)/(2*l1*l2);s2 = sqrt(1 - c2^2);th2(i, j) = atan2(s2, c2);k1 = l1 + l2*c2;k2 = l2*s2;th1(i, j) = atan2(yy, xx) - atan2(k2, k1);if abs(c2) < 1;
data1(data_n, :) = [xx yy th1(i, j)];
data2(data_n, :) = [xx yy th2(i, j)];data_n = data_n + 1;
endend
endinvkine1 = data1(1:data_n, :);invkine2 = data2(1:data_n, :);
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
n n n y x
y x
y x
1
1222
1111
;
.
.
;
;
θ
θ
θ
invkine1
invkine2
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
n n n y x
y x
y x
2
2222
2111
;
.
.
;
;
θ
θ
θ
Matrices inversas
Control basado en cinemática
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inversa (VI)Obtención del modelo inverso
Sistema borroso 1: fismat1• [fismat1, error1] = anfis(invkine1, 3, [50, 0, 0.2]);
• writefis(fismat1, 'invkine1.fis');% WRITEFIS (FISMAT,'filename')
Sistema borroso 2: fismat2• [fismat2, error2] = anfis(invkine2, 3, [50, 0, 0.2]);• writefis(fismat2, 'invkine2.fis');
),(1
1 y x f −=
),(
1
2 y x f
−
=
Control basado en cinemáticainversa (VI)
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inversa (VI)
En el programa invkine.m:fismat1 = readfis('invkine1');
fismat2 = readfis('invkine2');
Modelo del brazo articuladode dos grados de libertad
x1
2
theta1 = evalfis([x, y], fismat1);
y
xd
yd
theta2 = evalfis([x, y], fismat2);
Control basado en cinemáticainversa (VII)
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inversa (VII)Resultado de ejecutar invkine.m: