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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
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Titulación:Grado enIngenieríaElectrónicayAutomática
Área:IngenieríadeSistemasyAutomáticaDepartamento deElectrónicaAutomáticaeInformáticaIndustrial
UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEMADRIDE.T.S.deIngenieríayDiseñoIndustrial
RobóticaTema 3. Introducción al Modelo Cinemático
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
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Objetivos
1. Conocer los distintos sistemas de localización espacial.
2. Familiarizarse con las operaciones matriciales necesarias para modelar cinemáticamente un robot.
3. Conocer la nomenclatura utilizada en robótica para la localizacióneespacial.
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
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Contenido
3.1 Introducción al modelo cinemático
3.2 Representación de la orientación
3.3 Matrices de Transformación Homogénea.
3.4 Composición de transformaciones.
3.5 Ejemplos y problemas
Bibliografía recomendada:Fundamentos de Robótica. (2ª Edición)Barrientos A, Peñin L. F., Balaguer C., Aracil R. Ed. McGraw‐Hill 1997. ISBN: 84‐267‐1313‐0
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Justificación
Manipulación de piezas
Localización del extremo y
de la pieza
Descripción matemática de la
localización
3.1 Introducción al modelo Cinemático
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3.1 Introducción al modelo Cinemático
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Justificación
3.1 Introducción al modelo Cinemático
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A B Toma una plancha de metal del palet.
B C, Ajusta el efector final.
C D, Pone la plancha en la prensa.
D E, Dobla la plancha.
E F, La sitúa en el contenedor.
F G, Coge la plancha por el lado contrario.
G H, La lleva a la prensa.
H I, Dobla la plancha.
I J, Sitúa la plancha en el palet.
3.1 Introducción al modelo Cinemático
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Operaciones típicas que requieren del modelo
3.1 Introducción al modelo Cinemático
Katib: curso Stanford
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Representación de la posición
Vector de posición
2D Cartesianas y polares
3D Cartesianas, cilíndrica y esfericas
3.1 Introducción al modelo Cinemático
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Ejes perpendiculares con origen definido
2DOY
OX3D
OXOYOZ
vector p(x,y)
Coordenadas cartesianas
vector p(x,y,z)
Coordenadas cartesianas
Representación de la posición (II)
Coordenadas Cartesianas
3.1 Introducción al modelo Cinemático
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Matrices de Rotación 2D
El punto p se puede describir en el sistema OXY o en el sistema OUV
v
u
y
x
p
p
p
pR
vyuy
vxux
jjij
jiiiR
3.2 Representación de la Orientación
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Particularidades de las matrices R
Matrices de orientación
R Matriz de rotación o Matriz de cosenos directores
R es ortonormal ‐> TRR 1
R es una matriz columna
IR 0
3.2 Representación de la Orientación
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Matrices de rotación 3D
El punto p se puede describir en el sistema OXYZ o en el sistema OUVW
Las propiedades de R vistas para 2D se conservan en 3D
3.2 Representación de la Orientación
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Matrices Básicas (I)
Matrices de rotación 3D
3.2 Representación de la Orientación
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
, ,, ,, zyx RRR Matrices BASICAS de rotación
Matrices Básicas (II)
Matrices de rotación 3D
3.2 Representación de la Orientación
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Las matrices de rotación pueden componerse para expresar la aplicación continua de varias rotaciones:
• Rotación α en OX
• Rotación Φ en OY
• Rotación θ en OZ
Composición de rotaciones
Matrices de rotación 3D
3.2 Representación de la Orientación
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Ángulos de Euler
Definición: Todo sistema OUVW móvil, puede definirse con respecto al sistema OXYZ inercial a través de tres ángulos Φ, θ, , denominados ángulos de Euler .
Es una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.
Ángulos de Euler ZXZ (313)
3.2 Representación de la Orientación
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Angulos de Euler ZXZ (313) (cont.)
1. Girar OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ OU’V’W’.
2. Girar OU’V’W’ un ángulo θ con respecto al eje OU’, convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.
3. Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo
con respecto al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en el OU’’’V’’’W’’’.
3.2 Representación de la Orientación
Ángulos de Euler
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Angulos de Euler XYZ ‐ Roll, Pitch, Yaw
Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica.
Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo denominándose entonces como ángulos de Cardan.
1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φcon respecto al eje OZ. Es el denominado Yaw o guiñada.
2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OV. Es el denominado Pitch o cabeceo.
3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OU. Es el denominado Roll o alabeo.
3.2 Representación de la Orientación
Ángulos de Euler
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Angulos de Euler XYZ ‐ Roll, Pitch, Yaw
Visto desde el punto de vista de la robótica:
Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo denominándose entonces como ángulos de Cardan.
1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OX. Es el denominado Roll.
2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OV. Es el denominado Pitch.
3. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OW. Es el denominado Yaw.
3.2 Representación de la Orientación
Ángulos de Euler
1. Girar el sistema OUVW un ángulo con respecto al eje OZ. Es el denominado Yaw.
2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. Es el denominado Pitch.
3. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OX. Es el denominado Roll.
R=Rot(x,roll)Rot(y,pitch)Rot(z,yaw)
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Otras representaciones
Par de rotación
Quaternios
zyx kkkk
v,/ 32103210 sQkqjqiqeqqqqqQ
2sin,2cos, kk RotQ
3.2 Representación de la Orientación
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Par de Rotación
Definición: La representación de la orientación de un sistema OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también puede realizarse mediante la definición de un vector y un ángulo:
zyx kkkk
tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo θsobre el eje k. El eje k ha de pasar por el origen O de ambos sistemas.
Al par (k, θ) se le denomina par de rotación y es único.
cos1sincos, pkpkppkRot
3.3 Cuaternios
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Concepto
El conjunto R, C, Q forman un campo.
Sea C el conjunto de números complejos tal que:
1
,/2
i
babiaC
Definición: Un campo F consiste de un conjunto con dos operaciones (suma y producto) en el que se demuestran las propiedades de cerradura, conmutatividad, neutro, asociatividad, inverso y distributividad.
Definición: Los cuaternios se definen como el conjunto de números de la forma:
1
,,,/222
IJKKJI
dcbadKcJbIaH
3.3 Cuaternios
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Concepto
i
i
i
i
0
0
0
0
01
10KJI
Si
Se define el cuaternio:
diacib
cibdiahHh /
Este conjunto de cuaternios cumple todas las propiedades de un campo excepto al conmutatividad.Por lo tanto recibe el nombre de anillo.
Propiedades:
h
hh
hhhh
dKcJbIah
dcbah
1
2222
2
3.3 Cuaternios
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
v,/ 32103210 sQkqjqiqeqqqqqQ
Concepto
En robótica, los cuaternios se utilizan para la localización espacial de un cuerpo sólido aunque con un ligero cambio de notación:
s: representa la parte escalar
v: representa la parte vectorial
Operaciones Algebraicas
o e i j k
e e i j k
i i -e k -j
j j -k -e i
k k J -i -e
Ley de composición interna
3.3 Cuaternios
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Operaciones Algebraicas
Productos de cuaternios NO es conmutativo
Suma de cuaternios
Producto escalar
Norma: 23
22
21
20 q q q qQ
Inverso:
3.3 Cuaternios
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De esta asociación arbitraria y gracias a las propiedades de los cuaternios, se obtiene una importante herramienta analítica para el tratamiento de giros y cambios de orientación.
2sin,2cos, kk RotQ
Utilización de los cuaternios
Giro θº sobre un eje k
Rotación del cuaternio Q a un vector r
*,0 QQ r
3.3 Cuaternios
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Composición de rotaciones
213 QQQ
El resultado de rotar según el cuaternio Q1, para posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3. Es importante tener en cuenta que el producto de cuaternios no es conmutativo.
1221 QQQQ
3.3 Cuaternios
Utilización de los cuaternios
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Rotación y traslación
prr ,0,0,0 * QQ UVWXYZ
El resultado de aplicar una traslación p al vector r seguida de una rotación Q al sistema OXYZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW, serán:
Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r’ de coordenadas:
*' ,0,0 QQ prr
3.3 Cuaternios
Utilización de los cuaternios
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Coordenadas Homogéneas
Localización: representación conjunta de la posición y la orientación
La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n‐dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)dimensional.
Coordenadas homogéneas Aumentan la dimensión en 1
wwwwzyx zyx pp
w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
De forma general, un punto p = ai+bj+ck, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:
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Definición
Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz dedimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadashomogéneas de un sistema de coordenadas a otro:
En robótica interesa conocer el valor de R3x3 y de p3x1, considerándose las componentes de f nulas y la de w=1.
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Matriz Homogénea
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
En robótica, la matriz T tiene la forma:
T representa la orientación y posición de un sistema O’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.
Dado un vector r= [ru, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [rx, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Matriz Homogénea
Matrices homogéneas en robótica
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1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.
2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.
3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ
Una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Matriz Homogénea
Significados posibles
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Matriz homogénea de Traslación
Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra trasladado un vector p con respecto al sistema OXYZ.
k p j p i p zyx p
La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogénea de traslación:
1000
100
010
001
z
y
x
p
p
p
T
Matriz Básica de Traslación
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
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Un vector cualquiera r, representado en el sistema O’UVW por ruvw, tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ:
111000
100
010
001
wz
vy
ux
w
v
u
z
y
x
rp
rp
rp
r
r
r
p
p
p
T
Y a su vez, un vector rxyz desplazado según T tendrá como componentes r’xyz:
111000
100
010
001
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
rp
rp
rp
r
r
r
p
p
p
T
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Matriz homogénea de Traslación
19/04/2017
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Matriz homogénea de Rotación
Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra rotado un ángulo con respecto al sistema OXYZ.
Matrices Básicas de Rotación
Rotación de α respecto a OX
Rotación de Φ respecto a OY
Rotación de θ respecto a OZ
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Dado un vector r= [ru, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [rx, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Aplicación
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Traslación + Rotación
La principal ventaja de las matrices homogéneas reside en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación.
Para ello se utiliza la matriz de rotación R3x3 y el vector de traslación p3x1
en una matriz de transformación homogénea al mismo tiempo.
Es por tanto la aplicación conjunta de lo visto en los dos apartados anteriores.
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Transformaciones compuestas
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
La rotación y traslación son operaciones no conmutativas
Se parte de un sistema OUVW coincidente con OXYZ al que se va a aplicar una traslación según un vector px,y,z y una rotación de 180° alrededor del eje OZ.
Si primero se rota y después se traslada se obtiene un sistema final O’U’V’W’. Si primero se traslada y después se rota se obtiene un sistema final O’’U’’V’’W’’
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Transformaciones compuestas
19/04/2017
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Rotación seguida de Traslación
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Transformaciones compuestas
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Traslación seguida de Rotación
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
Transformaciones compuestas
19/04/2017
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Significado geométrico
Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orientación y p es un vector que representa la posición.
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Robotica Industrial-H i t
44
-1
x y zT
x y zT
x y zT
0 0 0 1
T
n p
o p
a p
n n n
o o o
a a a
-1xyz uvwT r rxyz uvwr T r
Inversa de la matriz de transformación homogénea
3.3 Matrices de Transformación Homogénea
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
• Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos y traslaciones)
• Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un ángulo q sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación
T T z T y T x
( , ) ( , ) ( , )
C S 0 0
S C 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C 0 S 0
0 1 0 0
S 0 C 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 C S 0
0 S C 0
0 0 0 1
C C S C C S S S S C S C 0
S C C C S S S C S S S C 0
S C S C C 0
0 0 0 1
Composición de transformaciones
3.4 Composición de transformaciones
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
1. Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4
2. Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
3. Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
Criterios de composición de matrices homogéneas
3.4 Composición de transformaciones
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
PREMULTIPLICACIÓN
Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo ‐90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ
T T z T p T x
( ,90 ) ( ) ( ,-90 )
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 5
0 1 0 5
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 5
1 0 0 5
0 1 0 10
0 0 0 1
o o
Ejemplo
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
POSMULTIPLICACIÓN
Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslación de un vector pxyz(‐3,10,10); giro de ‐90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado
T T p T u T v
( ) ( ,-90 ) ( ,90 )
1 0 0 3
0 1 0 10
0 0 1 10
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 3
1 0 0 10
0 1 0 10
0 0 0 1
º º
Ejemplo
3.4 Composición de transformaciones
19/04/2017
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Gráficos de transformación
Es frecuente encontrar situaciones en las que la localización espacial de un objeto o de su sistema de referencia asociado, pueda realizarse a través de la composición de diversas transformaciones distintas.
3.4 Composición de transformaciones
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo cinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
M R E M OR E H O HT T T T T
Gráficos de transformación
3.4 Composición de transformaciones
19/04/2017
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: 3-Introducción al modelo CinemáticoFECHA: Marzo de 2017Profesores: Cecilia García & Miguel Hernando
Método Ventajas Inconvenientes
Matrices detransformaciónhomogénea
Posición y orientaciónde forma conjunta
Comodidad
Alto nivel de redundancia(12 compon. para 6 gdl)
Coste computacional
Angulos deEuler
Notación compacta Sólo orientaciónDificultad de manejo
para composición
Par derotación
Notación compacta Sólo orientaciónDificultad de manejo
para composición
Cuaternios Composición simple yeficiente de rotaciones ytraslaciones
Sólo orientación relativa
Comparativa entre métodos de localización
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Notaciones
Representación Significado
{A} Sistema de Coordenadas A
AP Vector P en coordenadas de A
Versores de los ejes X,Y,Z del sistema B
Versores de {B} expresado en coordenas de {A}
Sistema {B} en términos de {A}
Equivalente a la anterior (Barrientos).
BBB ZYX ˆ,ˆ,ˆ
BA
BA
BA ZYX ˆ,ˆ,ˆ
]ˆˆˆ[ BA
BA
BAA
B ZYXR
]ˆˆˆ[ BA
BA
BA
BA ZYXR