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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
CONTENIDOS
Señales senoidales. Interés y representación Concepto de régimen senoidal permanente Conexión con el dominio transformado Impedancias y admitancias complejas Potencia en régimen senoidal permanente Teorema de máxima transferencia de potencia
o Anexo 1: Números complejoso Anexo 2: Potencia promedio de señal senoidalo Anexo 3: Demostración teorema MTP
Sonia Porta - Rafael Cabeza
BIBLIOGRAFÍA
R. A. DeCARLO, P-M. LINLinear Circuit Analysis. Capítulos 10-11
S. FRANCOElectric Circuits Fundamentals. Capítulos 10-11
L. P. HUELSMAN Basic Circuit Theory. Capítulo 7
J. D. IRWINAnálisis Básico de Circuitos en Ingeniería. Capítulos 9-10-11
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OBJETIVOS
Reivindicar la importancia de las señales senoidales(no necesariamente cosenos) en la tecnología actual y establecer su descripción matemática
Estudiar el comportamiento de los sistemas LTI en estado estacionario bajo excitación senoidal
Conectar el régimen senoidal permanente con el análisis en el dominio transformado
Describir los componentes pasivos en RSP mediante sus impedancias/admitancias complejas
Introducir los conceptos de potencia activa, reactiva y aparente
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SEÑALES SENOIDALES
Campos de aplicacióno En la producción, transmisión y distribución de energía
eléctricao En el estudio de sistemas de comunicación de HF
Microondas Óptica Inalámbrica
o En el diseño de sistemas electrónicos de todo tipoo En definitiva en la descripción matemática de cualquier
fenómeno físico con naturaleza periódicateoría de la descomposición armónica(J.B. FOURIER, 1768-1830)
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SEÑALES SENOIDALES
Descripción:o valor instantáneo en
o amplitud o valor de pico (V, A) valor pico-pico valor eficaz
o frecuencia angular (rad/s) o pulsación frecuencia lineal (Hz) periodo (s)
o fase (radianes o grados), con 180º = radianes
)sin()cos()( tAtAtx oo
)( ottx ott
A
o
rmsAA 2/ )(2 AAA
π2/oof oo fT /1
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SEÑALES SENOIDALES
Fase y localización temporal
o los máximos equidistantes sobre o el máximo más próximo a se produce sobre
un valor de fase adelanto temporal un valor de fase retardo temporal
0t
)cos()( tAtx o
00
kkto ;π2)( ot /
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SEÑALES SENOIDALES
Casos especialeso
adelanto/retardo nuloo
retardo deo
adelanto/retardo deo
adelanto de 4/oT
4/oT
2/oT
tAtx o cos)(0
tAtx o cos)(º180
tAtx o sin)(º90
tAtx o sin)(º90
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SEÑALES SENOIDALES
Comparación o de igual frecuencia
o identificar señal de referenciaseñal de entradaseñal de salida
Parámetroso cociente de amplitudes o diferencia de fases
)cos()( xo tAtx )cos()( yo tBty
)(tx)(ty
AB /
xy
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SEÑALES SENOIDALES
Casos especiales de desfase
o x(t) e y(t) están en fase
o x(t) e y(t) están en cuadratura
o x(t) e y(t) están en contrafase
o y(t) adelantada respecto a x(t)
o y(t) retardada respecto a x(t)
º0
º90
º180
xy º0
xy
xy º0
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SEÑALES SENOIDALES
Medida de desfaseso medir el periodo To
o medir el retardo relativocomo tA o como tB
Resultado expresable
o en radianes:
o en grados:
o
A
o
Bxy T
tTt π2π2
o
A
o
Bxy T
tTt º360º360
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SEÑALES SENOIDALES
Convenios en el desfaseo medido en radianes: o medido en grados: Por ello,o cualquier resultado
se sustituye por Si entonces se devuelve
Si entonces se devuelve
ππ, º180,º180
kk );π2(
0π,2
π,0;
π0,;)π2(
0 ,π
π ,π2
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida en fase
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Señal de salida en contrafase
SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida adelantada
Señal de salida en cuadratura
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida retrasada
Señal de salida en cuadratura
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida retrasada
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida adelantada
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SEÑALES SENOIDALES
Señal de entrada
Señal de salida
Señal de salida en fase
Señal de salida adelantada
Señal de salida retrasada
Señal de salida en contrafase
Señal de salida en cuadratura
Señal de salida en cuadratura
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Estudio del funcionamiento de un circuitoo sometido a excitación senoidalo alcanzado el estado estacionario
Análisis transformado
estado cero entrada cero
LTItAtx ocos)( ?)(¿ ty
)()()(
)()()()()()(
sDsMsX
sDsNsZIsXsHsY
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
o Condición de excitación senoidal
o Condición de régimen permanente
)()(...)()()( 21
22 sDsNsNsN
sbsasY k
o
2222forzada)(o
o
oo sb
ssasY
22cos)()(o
os
sAtAtxsX
L
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
o Transformada inversa
Conclusión
en régimen senoidal permanentebajo excitación la respuesta es
)(cos)( xotAtx
)(cos)( yotBty
)(cos...sincos
)()( forzada1
forzada
tBtbta
sYty
ooo
o
L
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Ver anexo en tema I
RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Consecuencia 1
o Todas las ondas (de tensión y/o corriente) en el circuito serán senoidales de idéntica frecuencia
o A dicha frecuencia, la actuación entrada-salida del sistema se describe mediante
la relación de amplitudes =
la diferencia de fases =
AB
xy
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Consecuencia 2o Para una frecuencia dada, las ondas senoidales
pueden describirse mediante números complejos, llamados fasores, donde
el módulo representa la amplitud de la onda el argumento representa la fase de la onda
de acuerdo con la consecuencia 1, la frecuencia no se halla presente en el fasor
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xjxo eAtAtx X)(cos)(
yjyo eBtBty Y)(cos)(
RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Consecuencia 3o Si el circuito es lineal verifica el principio de
superposición, y el resultado es generalizable a cualquier combinación de ondas senoidales de distinta frecuencia (como las series de Fourier)
)(cos)( xkkk tAtx
)(cos)( ykkk tBty
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Consecuencia 4o La descripción global del sistema en régimen
senoidal permanente consiste en conocer
cómo modifica las amplitudes de diferentescomponentes frecuenciales (función ganancia)
cómo modifica las fases de diferentescomponentes frecuenciales (función desfase)
)(entradadeamplitudsalidadeamplitud f
)(entrada defase-salidadefase f
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Ejemplo: condensador en RSP
o Condición de excitación senoidal:
o Condición de régimen permanente:
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tAti oC cos)( º0jC eA I
)º90cos(sinsin
cos1)0()(1)(
0
00
tBtB
CA
dAC
vdiC
tv
oot
oo
t
oC
t
CC
º90jC eB V
RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
o Comparación entrada iC(t) – salida vC(t)
o relación de amplitudes =
o diferencia de fases =
excitación respuesta
amplitud
frecuencia
fase
A
º0x
CAB o
o o
º90y
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C
C
oCAB
IV
1
][][º90 CCxy ArgArg IV
RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
El condensador en RSP puede representarse por unaimpedancia compleja, cociente entre los fasores tensión VC y corriente IC sobre el componente, que reúne estos resultados:
Recordando la relación de Euler:
º90
1)RSP(
xyCo
CCZjArgC
C
CC
ZArgCA
BZeZZ
IV
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CjC
jeZZoo
CZjArgC
C
CC
1)RSP(
IV
jje j º90sinº90cosº90
RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Conclusión
La impedancia ZC(s de un condensador en el dominio transformado
se concreta, bajo régimen senoidal permanente, en una impedancia compleja ZC( bajo la sustitución de s por j, es decir, mediante la proyección sobre el eje imaginario del s -plano complejo
sCsIsVsZ
C
CC
1)()()(
jsCC
CC sZ
CjωZ )(1)(
IV
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTE
Condensador en RSP:
o Para señales de continua equivale a un circuito abierto
o Para señales de alta frecuenciaequivale a un cortocircuito
Inductor en RSP:
o Para señales de continua equivale a un cortocircuito
o Para señales de alta frecuenciaequivale a un circuito abierto
sCsZC
1)( Cj
ωZC 1)(
s =j
sLsZL )( LjωZL )(s =j
CZω C )(0
CZω C 0)(
LZω L 0)(0
LZω L )(
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RÉGIMEN SENOIDAL PERMANENTEGeneralización
Cualquier función de red F(s) calculada en el dominio transformado, se concreta bajo RSP en una función compleja F() mediante la sustitución s = j
Conexión entre dominios
dominio dominio dominiotiempo transformado frecuencia
jssFF )()(
ttytx ;)(),( ssXsYsF ;
)()()( ;)(F
s =j
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L
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IMPEDANCIAS COMPLEJAS
Representación polar:
o , medido en ohmios, representa el cociente de amplitudes entre las ondas de tensión y de corriente (módulo del cociente de fasores):
o representa la diferencia de fases entre las ondas de tensión y de corriente (argumento del cociente de fasores):
)()()( ZArgjeZZ
)( oZ
)( oZArg
)(cos)()(cos)(
vo
iotVtv
tIti
v
i
j
j
eVeI
VI
IV
IVZ o )(
IVArgZArg ivo )(
IMPEDANCIAS COMPLEJAS
Condensador
Bobina
Serie R-C
Paralelo R-C
Serie R-L
Paralelo R-L
Serie C-L
Paralelo C-L
Condensador
Bobina
Serie R-C
Paralelo R-C
Serie R-L
Paralelo R-L
Serie C-L
Paralelo C-L
)(sZ )(Z IVZ )( ivZArg )(
Cs1
Ls
CssRC1
sRCR
1
LsR
sLRsRL
CsLCs21
LCssL
21
Cj1
Lj
CjRCj
1
RCjR1
LjR
LjRRLj
CjLC
21
LCLj
21
C1
L
CRC
21
21 RC
R
22 LR
22 LR
RL
CLC
|1| 2
|1| 2LCL
º90
º90
º90tanarc RC
RCtanarc
RLtanarc
RLtanarcº90
º901 2 LCArg
LCArg 21º90
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IMPEDANCIAS COMPLEJAS
Representación cartesiana
o representa la componente resistiva,incapaz de producir desfase. Se mide en ohmios
o representa la componente reactiva, llamada reactancia, responsable del desfase entre las ondas de tensión y corriente sobre la impedancia. Se mide en ohmios
Evidentemente,
)()()()()( XjRZjImZReZ
)()( RZRe
)()( XZIm
)()(tanarc)(;)()()( 22
RXZArgXRZ
)])([sin()()(;)])([cos()()( ZArgZXZArgZR
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IMPEDANCIAS COMPLEJAS
Condensador
Bobina
Serie R-C
Paralelo R-C
Serie R-L
Paralelo R-L
Serie C-L
Paralelo C-L
Condensador
Bobina
Serie R-C
Paralelo R-C
Serie R-L
Paralelo R-L
Serie C-L
Paralelo C-L
)(sZ )(Z )()( RZRe )()( XZIm
Cs1
Ls
CssRC1
sRCR
1
LsR
sLRsRL
CsLCs21
LCssL
21
Cj1
Lj
CjRCj
1
RCjR1
LjR
LjRRLj
CjLC
21
LCLj
21
0
0
R
21 RCR
R
22
22
LRRL
0
0
C1
L
C1
2
2
)(1 RCCR
L
22
2
)( LRLR
CLC
12
LCL21
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ADMITANCIAS COMPLEJAS
Representación polar:
o
o
Representación cartesiana:
o conductancia (medida en siemens)
o susceptancia (medida en siemens)
)()()( YjImYReY
VI
VI
ZY
tensiónondaamplitudcorrienteondaamplitud
)(1)(
)()()(
1)(
YArgjeYZ
Y
VIArgZArgYArg vi )()(
)(YRe
)(YIm
)()(
)(1)(
sVsI
sZsY
s =jcomplejaadmitancia)(Y
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IMPEDANCIAS/ADMITANCIAS COMPLEJAS
Ejemplo
)()()(
)()()()()(432
4321
ZZZ
ZZZZZIN
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IMPEDANCIAS/ADMITANCIAS COMPLEJAS
Ejemplo rad/s 1 H; 1 F; 1 ; 1 oLCR
)1(21)(1 jZ o
52)(2 jZ o
24)(3 jZ o
jZ o 34)(4
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IMPEDANCIAS/ADMITANCIAS COMPLEJAS
Ejemplo
99,068,22,86)( 20,25º
jeZ j
oIN
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)º45cos(20)cos()( ttVtv vo º4520 je V
º75,24)º25,20º45(
)])([(
786,2
20)(
jj
oINZArgvj
oINij
ee
eZ
e
VII
)º75,24cos(7)cos()( ttIti io
ANÁLISIS EN RSP
El ejemplo anterior pone de manifiesto la validez en RSP de todos los conceptos y procedimientos analizados en el dominio transformado:o Conexiones en serie y paralelo de impedanciaso Divisores de tensión y de corrienteo Equivalentes Thèvenin y Nortono Método de transformación de fuenteso Análisis aplicando superposición
A nivel fasorial, si todos los generadores son de la misma frecuencia:
Como suma de ondas si las diversas fuentes son de distinta frecuencia:
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)cos()( kkk tYty
kYY
POTENCIA EN RSP
Potencia instantáneaSobre la impedancia Z() las ondas de tensión y corriente:
están relacionadas por:
;)(IV
IVZ o
IVArgZArg ivo )(
)cos()22cos(21
)cos()cos()(cos)(cos)()()(
vo
vovoiovo
tVI
ttVItItVtitvtp
)(cos)()(cos)(
vo
iotVtv
tIti
v
i
j
j
eVeI
VI
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POTENCIA EN RSP
Dondeo representa la
onda senoidal de potencia activa, con amplitud igual a , que verifica
o representa la onda senoidal de potencia reactiva, con amplitud y valor promedio nulo
)(2sinsin)(2cos1cos
sin)22sin(cos)22cos(cos
)cos()22cos(22
)()()(
vormsrmsvormsrms
vovormsrms
vo
tIVtIVttIV
tVItitvtp
)22cos(1cos)( vormsrmsR tIVtp
)22sin(sin)( vormsrmsX tIVtp sinrmsrmsIV
2,
2 porque 0)( ttpR
cosrmsrmsIV
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POTENCIA EN RSP
)(ti)(tv
)(tpX)(tp)(tpR
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP)(tv)(ti
)(tpR)(tpX
)(tp
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POTENCIA EN RSP
)(ti)(tv )(tpR
)(tpX)(tp
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POTENCIA EN RSP
Potencia promedio: sobre periodo = Tp =To/2
)(onda la deamplitud][21
coscos22
cos2
cos2
)2sin()22sin(2
cos2
)22sin(2
cos)22cos(2
)(1
0
00
tpRe
IVIVTTVI
TT
TVI
tt
TVI
dttTVIdttp
Tp
R
rmsrmspp
po
vvpo
p
pT
o
vo
p
pT
vop
pT
p
IV
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POTENCIA EN RSP
Potencia activa o Se designa P, se mide en watios (W) y se define igual al
valor promedio de potencia
o Representa la potencia útil que realmente se transfiere a la impedancia Z() y que es disipada por su componente resistiva Re [Z() ]= R() en forma de calor
o Es igual a la amplitud de la onda de potencia activa
o Es tan solo una fracción de la potencia aparente
)(cos)sin(cos)( 2ormsrmsrmso ZReIIVPj
IVZ
rmsrmsIV
cosrmsrmsIVpP ][21 IVRep
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POTENCIA EN RSP
Se define = Factor de Potencia, responsable de que la potencia promedio sea siempre inferior (como máximo igual) a la potencia aparente que se mide en voltio-amperios (VA)Recordando que:
o Siindicando que tensión y corriente están en fase cuando la impedancia solo tiene componente resistiva y
o Si indicando que tensión y corriente no están en fase cuando la impedancia contiene componente reactiva y
cos
)()(tanarc)()(
o
oo R
XZArgZArgo
)()(0)( ooo RZX 1cos0
)()()(0)( oooo jXRZX 1cos appPP
appPP
rmsrmsapp IVP
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POTENCIA EN RSP
o Si el circuito no contiene elementos reactivos o se cancelan las reactancias ( ), el comportamiento es resistivo:
donde los valores eficaces de las ondas de tensión y corriente están relacionados por
o En cualquier otro caso ( ), no toda la potencia transferida a la impedancia es disipada de inmediato: una parte es acumulada y, en su momento, devuelta por la componente reactiva de la impedancia
1cos
rmsrmsvo IVVIPtVItitvtp 2)(cos)()()( 2
1cos
)()( 1cos oorms
rms RZIV
IV
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Ver anexo 2
POTENCIA EN RSP
Potencia reactiva o Se designa Q, se mide en voltio-amperios reactivos (VAR) y
se define igual a la amplitud de la onda de potencia reactiva
o Representa la potencia que se almacena en la componente reactiva Im [Z()]=X() de la impedancia Z()
, reactancia con carácter inductivo
, reactancia con carácter capacitivo
o Es tan solo una fracción de la potencia aparente
sinrmsrmsIVQ
)(sin)sin(cos)( 2ormsrmsrmso ZImIIVQj
IVZ
rmsrmsIV
0)(0 oXQ 0)(0 oXQ
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POTENCIA EN RSPTipo de impedancia Factor de potenciaLámpara de incandescencia 1,0
Tubo fluorescente De 0,5 a 0,95
Motor de inducción monofásico hasta 1 CV De 0,55 a 0,75
Motor de inducción trifásico De 0,9 a 0,96
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MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Excitación: Divisor de tensión entre:
o la impedancia de carga, a la quese desea transferir máxima potencia
o la impedancia representando: La impedancia interna del generador La impedancia de salida de un circuito/dispositivo La impedancia de un equivalente Thèvenin (en su caso,
alternativamente, de un equivalente Norton)
)()()( oLoLoL jXRZ
)()()( ogogog jXRZ
)(cos)( gogg tVtv
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Según el teorema de máxima transferencia de potencia, para y dados, la potencia activa sobre la impedancia de carga es máxima cuando se verifica la relación
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
gg VZ ),( o
)()(
)()()()( *
ogoL
ogoLogoL XX
RRZZ
g
gogoL R
VpPZZ
8)()(
2
max*
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Ver anexo 3
MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Gráficamente
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MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Ejemplo
Fuente genérica Red de acoplo Carga
LRjC
jLZ 11)(in
ggg jXRZ )(
MTP 11
g
L
L RR
RC
ggLg XRRRL )(1
g
LgL R
RVV
2
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EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP Fuente de excitación:
Impedancia de salida:
Impedancia de carga:
Impedancia total:
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º37,6610305)()()( oLogoT ZZZ
0º10rad/s2)2cos(10)(
ioi ttv
V
Fuente excitación
º96,7521722
1)(H1;21 jLjRZLR LoLL
Carga
º43,635
1521
211
1)(
jjCRj
RZ
g
gog
F1;1 CRg
ANÁLISIS EN RSP
Divisor de tensión:
NOTA:
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º37,66305
100
º37,6610305
0º10)(
oT
iZ
VI
º80,12961
20º43,635
1º37,66305
100
gZIVg
º59,9305
1750º96,75217º37,66
305100
LZIVo
108,113051750
)º37,662cos(305
100)( tti
)º80,1292cos(61
20)( ttvg
)º59,92cos(3051750)( ttvo
EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP Sobre con ondas e
Sobre con ondas e
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)(tiº43,635
1)( ogZ )(tvg
W28,361
200)º43,63cos(305
1002
161
202
1
gP
VAR56,661
400)º43,63sin(305
1002
161
202
1
gQ
)(tiº96,75217)( oLZ )(tvo
W20,861
500)º96,75cos(305
1002
1305
17502
1
LP
VAR79,3261
2000)º96,75sin(305
1002
1305
17502
1
LQ
EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP Para P y Q sobre los componentes individuales es
preciso obtener los correspondientes divisores de corriente (sobre el paralelo) y tensión (sobre la serie)
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º80,3961
40
º80,12961
20
º37,66305
100
C
g
Z
Rg
C
gR
VI
VI
Ig
º63,23305
200
º37,6630550
º59,9305
1750
L
L
Z
R
IV
IVV
L
R
o
L
EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP
Sonia Porta - Rafael Cabeza
)( ogZ
)( oLZ
W28,3)º0cos(61
202
161
202
1P
VAR56,6)º90sin(61
402
161
202
1Q
W20,8)º0cos(305
1002
130550
21
P
VAR79,32)º90sin(305
1002
1305
2002
1Q
VAR0)º0sin(61
202
161
202
1Q
W0)º90cos(61
402
161
202
1P
VAR0)º0sin(305
1002
130550
21
Q
W0)º90cos(305
1002
1305
2002
1P
º0LR
º901 Co
º0gR
º90Lo
gP
LP
gQ
LQ
EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP Se puede comprobar mediante las ondas vi(t) e i (t), o
mediante los fasores e , que la fuente de tensión debe suministrar un total de:
de potencia reactiva
de potencia activa
La potencia dista del máximo valor posible, que sería el correspondiente a una situación de MTP:
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W48,1161
70061
50061
200 Lg PP
VAR23,2661
160061
200061
400 Lg QQ
W20,8LP
iV I
)()( *ogoL ZZ
H51
)(1;
51
)(1 2
2
2
CRRCR
CRL
CRR
R Lggo
g
go
gL
EJEMPLO DE ANÁLISIS EN RSP Con esta elección de MTP para la carga ZL(o) se
obtendrían los siguientes resultados:
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º052)()()( oLogoT ZZZ
)2cos(25)(º025º05
20º10
)( ttiZ oTi
VI
º43,6355º43,6355
:L
gZZ
IVIV
o
gtensiónDivisión
Z () P (W) Q (VAR)
62,5 W -125 VAR
62,5 W 125 VAR
)( ogZ
)( oLZ
)()( oLog XX
en fase con vi(t)
fases opuestas
1055
20,85,62
MTP
vi(t) no proporcionapotencia reactiva
ANEXO 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Representacioneso cartesiana o rectangular
donde
o polar
donde ;
jbaz azRea real;parte bzImb ;imaginariaparte
jeMz MzM módulo;
argumento;zArg
11 2 jj
n
n ne
11lim ππ
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ANEXO 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Conversiones
Relación de Euler
Re
Im
a
b
22 baM abtanarc
cos Ma
sin Mb
sincos je j
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ANEXO 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Manera de calcular el argumento
ANEXO 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Operacioneso igualdad:
o suma:o resta:o producto:
o cociente:
o potencia:
dbcajdcjba y yNMeNeM jj
dbjcajdcjba dbjcajdcjba bcadjdbacjdcjba
jj
je
NM
eNeM
jjj eMNeNeM )()(
jnnnj eMeM )(
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ANEXO 2: POTENCIA PROMEDIO
Cuando no hay desfase entre tensión y corriente ( ) y la potencia instantánea es:
La correspondiente potencia promedio es:
)(cos)()()( 2 tVItitvtp o
rmsrmsooo
oo
T
ooo
To
o
To
o
IVVITTTVI
ttTVI
dttTVIdttT
VIp
o
oo
22sin)22sin(21
2
)22sin(21
2
2)22cos(1)(cos
0
002
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iv0
ANEXO 3: DEMOSTRACIÓN TEOREMA MTP
o fuente de tensión:
o conexión en serie =suma de impedancias:
o amplitud de la onda de corriente i(t):
o amplitud onda de tensión v(t):
o factor de potencia:
o potencia activa:
)()()()()( oLogoLogoT XXjRRZ
)(cos)( gogg tVtv
)(cos
oLL
ZR
)()(
oToL
g ZZ
VV
)( oT
gZ
VI
22
)(21cos2
1
oT
Lg
ZRVVIpP
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ANEXO 3: DEMOSTRACIÓN TEOREMA MTP
Condiciones de valor máximo:
o
o
En definitiva: , y con ello
222
22
)()(21
)(21
gLgL
Lg
oT
Lg
XXRRRV
ZRVP
gLgLgL
gLLg
cteRLXX
XXRR
XXRVX
P
L
222
2
])()[(
)(2210
gLgL
gLLgLg
XXLRR
RR
RRRRRVR
P
gL
22
22
])[(
)(2)(210
)()( *ogoL ZZ
g
g
g
gg
gg
gg
gL
Lg
R
V
R
RV
RR
RV
RRRVpP
8421
)(21
)(21 2
22
22
22
max
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
En telecomunicación tiene interés estudiar el comportamiento de sistemas en régimen senoidalpermanente (RSP)
El RSP es la descripción de la relación entrada-salida en estado estacionario bajo excitación senoidal
En RSP todas las ondas de tensión y corriente tienen igual frecuencia, y la descripción del circuito se establece en términos de la relación entre amplitudes y la diferencia de fases de dos ondas dadas
Tal información se recoge en funciones de red complejas F() de variable real ( )0
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
informa acerca del cociente de amplitudes y acerca de la diferencia de fases
Cualquier función de red compleja se obtiene de la correspondiente función calculada en el dominio transformado bajo la sustitución
Cuando las señales senoidales que se comparan son ondas de tensión y de corriente sobre un componente o circuito se concreta en una impedancia o una admitancia
Impedancias y admitancias complejas pueden expresarse en forma polar o en forma cartesiana
)(F )(FArg
)(F )(Z)(Y
)(F)(sF
js
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
Las señales senoidales pueden representarse de forma compleja polar mediante fasores X = X e jo el módulo del fasor representa la amplitud de la ondao el argumento del fasor representa la correspondiente fase
Desde esta perspectiva, o el módulo de la impedancia |Z(o)| corresponde al módulo
del cociente entre los correspondientes fasores de tensión V y de corriente I
o el argumento de la impedancia Arg[Z(o)] corresponde al argumento del cociente entre fasores de tensión V y de corriente I
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
La presencia de componentes reactivos produce cierto desfase entre las ondas de tensión y corriente de las distintas ramas del circuito
Debido a este desfase , la potencia aparente (producto de valores eficaces , medida en VA) se descompone en:o una componente de potencia activa
medida en Wo una componente de potencia reactiva
medida en VAR
rmsrmsIV
cosrmsrmsIVP
sinrmsrmsIVQ
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CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS
En un circuito constituido por la conexión en serie de o un generador de tensión senoidalo una impedancia compleja interna o una impedancia compleja de carga
la condición de diseño que asegura que la potencia activa transmitida a la carga es máxima viene dada por:
Es decir:
)cos()( gogg tVtv )()()( ggg jXRZ
)()()( LLL jXRZ
)()( *ogoL ZZ
)()(
)()(
ogoL
ogoL
XX
RR
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