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Aplicación de Derivadas
Calcul
o
Integrantes:• Agrela, Kenedy• Dos Santos, Edgar• Escorcia, Stephany• Oropeza, Jiselis• Suarez, Maria
Aplicación de Derivadas
Derivadas Implícitas
Gottfried
Leibniz
CÁLCULO
INVENTOR
DEL
Gottfried Wilhelm nació en Leipzig, Alemania. Se graduó y fue profesor de la universidad de Altdor. Se desenvolvió con excelencia en varios campos: Matemática, Filosofía, Diplomacia, etc.
En 1684 se publicaron sus investigaciones de lo que seria el Calculo Diferencial e Integral. El, junto con Newton, son considerados como creadores del calculo. Invento una maquina de multiplicar.
Siendo embajador de Paris, conoció a científicos, como Huygens, quienes reforzaron su interés por la matemática.
En 1712, surgió una larga e infortunada discordia entre Newton y sus seguidores, por un lado, y Leibniz y sus seguidores, en otro lado, sobre quien de los matemáticos realmente invento el calculo. Se lanzaron acusaciones mutuas de plagio y deshonestidad. Los historiadores zanjaron la disputa dando merito a cada uno. Dicen que cada cual, Newton y Leibniz, lograron sus resultados independientemente.
Gottfried Leibniz
1646 - 1716
Ejemplos de Ejercicios De
Derivación Implícita
Ejemplo 1 Hallar si
Ejemplo 1 Hallar si
𝑑𝑑𝑥
(𝑥3 𝑦 )− 𝑑𝑑𝑥
( 𝑦7𝑥 )= 𝑑𝑑𝑥
(5 )→[𝑥3 dy𝑑𝑥 +𝑦 𝑑𝑑𝑥
(𝑥3 )]−[𝑦7 𝑑𝑥𝑑𝑥 +𝑥 𝑑𝑑𝑥
( 𝑦7 ) ]=0→𝑥3
𝑑𝑦𝑑𝑥
+3 𝑦 𝑥2− 𝑦7−7 𝑥 𝑦6𝑑𝑦𝑑𝑥
=0→𝑥3dy𝑑𝑥−7 𝑥 𝑦6
𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑦7−3 𝑦 𝑥2
→ (𝑥3−7 𝑥 𝑦6 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
=𝑦 7−3 𝑦 𝑥2→ 𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑦7−3 𝑦 𝑥2
𝑥3−7𝑥 𝑦6
Solución
Derivamos término a término
Ejemplo 2 Hallar si
Ejemplo 2 Hallar si
Solución
→𝑑𝑦𝑑𝑥
=62
𝑑𝑑𝑥
(6 𝑥−2 𝑦 )=0 6−2𝑑𝑦𝑑𝑥
=0
(Despejando )
(Efectuando las Derivadas)
→6=2𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
=3
Ejemplo 3 Hallar si
Ejemplo 3 Hallar si
Solución
𝑑𝑑𝑥
(𝑥2+𝑦2−7)=0
→2𝑥+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥−0=0(Efectuando las derivadas)
→2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
=−2𝑥 (Despejando )
→𝑑𝑦𝑑𝑥
=−2 𝑥2 𝑦
Ejemplo 4 Hallar si
Ejemplo 4 Hallar si
Solución𝑑𝑑𝑥
(𝑥2 𝑦−𝑥𝑦2+𝑦 2 )= 𝑑𝑑𝑥
(7 ) (Aplicando en ambos miembros)
→2𝑥𝑦+𝑥2 𝑑𝑦𝑑𝑥−(1 𝑦2+𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 )+2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥=0 (Efectuando los derivados indicados)
→2𝑥𝑦+𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑦2− 𝑥2 𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
=0
→𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥 2 𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
+2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
=−2𝑥𝑦+𝑦2(Agrupando terminos semejantes)
→𝑑𝑦𝑑𝑥
(𝑥2−𝑥2 𝑦+2 𝑦 )=−2 𝑥𝑦+𝑦 2(Factor común ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
= −2 𝑥𝑦+𝑦 2
(𝑥2−𝑥2 𝑦 +2 𝑦 )
Ejemplo 5 Hallar si
Ejemplo 5 Hallar si
Solución
𝑑𝑑𝑥
( 𝑥2 sin (𝑥+ 𝑦 )−5 𝑦 𝑒𝑥 )= 𝑑𝑑𝑥
(−3)
→2𝑥 sin(𝑥+ 𝑦 )+𝑥2cos (𝑥+ 𝑦 )+𝑥2cos (𝑥+𝑦 )(1+ dy𝑑𝑥 )−(5 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑥+5 𝑦 𝑒𝑥)=0(Aplicando en ambos miembros)
(Efectuando los derivados indicados)
→2𝑥 sin (𝑥+𝑦 )+𝑥2 cos (𝑥+𝑦 )+𝑥2 cos (𝑥+𝑦 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥−5
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒𝑥−5 𝑦 𝑒𝑥=0
→𝑥2 cos (𝑥+ 𝑦 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥−5
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒𝑥=−2𝑥 sin (𝑥+𝑦 )−𝑥2 cos (𝑥+𝑦 )+5 𝑦 𝑒𝑥(Agrupando términos semejantes)
→dydx
¿ (Factor Común)
→𝑑𝑦𝑑𝑥
=−2 𝑥 sin (𝑥+𝑦 )−𝑥2cos (𝑥+𝑦 )+5 𝑦 𝑒𝑥
𝑥2cos (𝑥+𝑦 )−5𝑒𝑥
Ejercicios PropuestosDe
Derivación Implícita
En los ejercicios del 1 al 10, derivar implicitamente. Donde “a”, “b” y “c” son constantes.
3 𝑥2−4 𝑦=11 2
3 4
5 6
7 8
9 10
3 𝑥 𝑦2−𝑥2 𝑦2=𝑥+1
tan 𝑦=𝑥𝑦 𝑥𝑦− 𝑥2=5
1𝑥
+𝑦2=2𝑥 𝑥2−2𝑎𝑥𝑦+𝑦2=0
cos (𝑥− 𝑦 )=𝑦 sin𝑥 cot (𝑥𝑦 )=𝑥𝑦
𝑦𝑥−𝑦
−𝑥3−1=0 𝑥+2√𝑥𝑦+𝑦=𝑏
Derivadas de Orden Superior
Definición
Al derivar una función “f” obtenemos la función derivada “f´” podemos volver a derivarla obteniendo otra nueva función “(f´)´”, cuyo dominio es el conjunto de todos los puntos “x” del dominio “f´” para los cuales “f´” es derivable en “x”; o sea todos los puntos “x” del dominio “f´” para los cuales existe el siguiente limite:
( 𝑓 ´ ) ´ (𝑥)=limh→ 0
𝑓 ´ (𝑥+h )− 𝑓 ´ (𝑥)h
La función “(f´)´” se llama segunda derivada de “f” y se denota por “f´´”. Si “f´´(a) existe, diremos que “f” es dos veces diferenciable en “a” y que “f´´(a)” es la segunda derivada de “f” en “a”.
Con las otras notaciones, la segunda derivada de se escribe así:
, , ,
En vista de que “f´´” es la segunda derivada de “f”, a “f´” la llamaremos primera derivada de “f”.
Derivada
sde
Orden
Superior
Ejemplos de Ejercicios de Derivación de
Orden Superior
Ejemplo 1 Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:
; ;
𝑐 .¿𝑢=1𝑡
Ejemplo 1 Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:
; ;
𝑐 .¿𝑢=1𝑡
Solución
𝑎 .¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=2 𝑥
→ 𝑓 ´ (𝑥 )=2→
𝑑2𝑦𝑑 𝑥2
=6 𝑥−14
𝑏 .¿𝑑𝑦𝑑𝑥
=3𝑥2−14 𝑥−2
𝑐 .¿𝑑𝑢𝑑𝑡
=−1
𝑡 2
→𝑑2𝑢𝑑𝑡 2
=− 𝑑𝑑𝑡
(−𝑡−2 )=− (−2 )𝑡−3= 2𝑡 3
Ejemplo 2 Hallar todas las derivadas de la función
Ejemplo 2 Hallar todas las derivadas de la función
Solución
𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2 𝑓 (2) (𝑥 )=6𝑥 𝑓 (3) (𝑥 )=6
𝑓 (4) (𝑥 )=0 𝑓 (𝑛) (𝑥 )=0 , para
Ejemplo 3 Hallar todas las derivadas de la función
Ejemplo 3 Hallar todas las derivadas de la función
Solución
𝑓 ´ (𝑥 )= (3 )´ (2𝑥−1 ) (3 ) (2 𝑥−1 ) ´(2𝑥−1 )2
¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −3 ∙2
(2𝑥−1 )2¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −6
(2𝑥−1 )2
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 ) ´ (2𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´
(2𝑥−1 )4
¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 )´ (2 𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´
(2 𝑥−1 )4
Ejemplo 3 Hallar todas las derivadas de la función
Solución
𝑓 ´ (𝑥 )= (3 )´ (2𝑥−1 ) (3 ) (2 𝑥−1 ) ´(2𝑥−1 )2
¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −3 ∙2
(2𝑥−1 )2¿ 𝑓 ´ (𝑥 )= −6
(2𝑥−1 )2
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 ) ´ (2𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´
(2𝑥−1 )4
¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(−6 )´ (2 𝑥−1 )− (−6 ) [ (2𝑥−1 )2 ] ´
(2 𝑥−1 )4
¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=− (−6)´. [2(2 x−1)2] (2 𝑥−1 )4
¿24 (2 x−1)
(2 𝑥−1 )4¿24
(2𝑥−1 )2
f´´(x) =
f´´(x) = = f´´(x)=
Ejercicios Propuestos de Derivación de
Orden Superior
En los ejercicios del 1 al 5, hallar las derivada de segundo orden
𝑦=𝑋 5−4 𝑥3−2 𝑥+21 2
3 4
5
𝑦=√𝑥
h (𝑥 )= 𝑥2+𝑥 𝑦=𝑥 sin 𝑥
𝑦=(𝑥2+1 )3
Teorema del Valor Medio
Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.
Numero crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.
Ejemplo: La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2. Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número x0 para el cual 2x0 + 2 = 0. Este punto es un mínimo global de ƒ. El correspondiente valor crítico es ƒ(−1) = 2. La gráfica de ƒ es una parábola cóncava hacia arriba, el punto crítico es la abscisa del vértice, donde la línea tangente es horizontal, y el valor crítico es la ordenada del vértice y puede ser representado por la intersección de esta línea tangente y el eje y.
Ejemplo 1 Compruebe la hipótesis del teorema del valor medio para la función es el.Hallar el valor de “c” que satisface la conclusión del teorema del valor medio.
𝑓 (𝑥 )=𝑥2+2 𝑥−1
Solución
𝑓 ´ (𝑐 )=𝑓 (𝑏 )− 𝑓 (𝑎)
𝑏−𝑎𝑓 ´ (𝑐 )=
𝑓 (1 )− 𝑓 (0)1−0
𝑓 (1 )=(1 )2+2 (1 )−1=1+2−1=2𝑓 (0 )=02+2 (0 )−1=0+0−1=1𝑓 ´ (𝑥 )=2𝑥+2
Así,
Ahora,
𝑓 ´ (𝑐 )=𝑓 (1 )− 𝑓 (0)1−0
2 𝑥+2=2−(−1)1
Luego,
2𝑐−1=0→2𝑐=1→𝑐=12
(2 𝑥+2 )× (1 )=32 𝑥+2=3→2𝑥+2−3=0
2 𝑥−1=0
∴𝑐=12
al
Ejemplo 3 Hallar todos los números “c” que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio, la función en𝑓 (𝑥 )=𝑥3+𝑥2−𝑥 [−2,1 ]
Solución
Espacio para el texto
Ejemplos
Ejemplo 1 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥4 ∙𝑒𝑥
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
Ejemplo 1 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥4 ∙𝑒𝑥
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.Solución
a.) Números Críticos
𝑓 ´ (𝑥 )=0
(Sacando Factor Común )
(Derivando)
𝑥=0
(Igualamos “a” con la derivada y despejamos “a” ; “x” )
4𝑒−𝑥−𝑥 ∙𝑒−𝑥=0𝑒−𝑥(4− 𝑥)=0
𝑥=4
Luego, los numero críticos son
Y
𝑥=0
𝑥=4
b.) Intervalos de Monotonía
0 4−1 1 5
𝑓 ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=¿− +¿ −
Decreciente Creciente Decreciente
−∞ +∞
La función “f” es decreciente en ( y creciente en
c.) Extremos Absolutos
Si observamos el cuadro anterior podemos observar que según el criterio de la función derivada es:
es un mínimo local es un máximo local
d.) Intervalo de la Concavidad
𝑓 (𝑥 )=𝑥3𝑒−𝑥 (4−𝑥 ) 𝑓 ´ (𝑥 )=𝑥3𝑒−𝑥 4−𝑥4 ∙𝑒−𝑥
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=12𝑥2𝑒−𝑥+4 𝑥3−𝑒−𝑥− ¿→12𝑥2𝑒−𝑥−4 𝑥3𝑒−𝑥−4 𝑥3𝑒−𝑥+𝑥4𝑒−𝑥
→𝑥2𝑒−𝑥 (12−4 𝑥−4 𝑥+𝑥2)→𝑥2𝑒−𝑥 (12−8 𝑥+𝑥2)
igualamos a “0” la segunda derivada
𝑥2𝑒−𝑥=0𝑥−6=0𝑥−2=0
𝑥2=0 𝑥=0𝑥=6𝑥=2
0 6−1 1 3
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿ +¿
Decreciente Creciente Decreciente
−∞ +∞
Los números críticos de segundo orden son: 0, 6, 2
2 7
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿
La función es cóncava hacia arriba en y cóncava hacia arriba. Y cóncava hacia abajo en
e.) Puntos de Inflexión
Así, sus puntos de inflexión son
Ejemplo 2 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
Ejemplo 2 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.Solución
a.) Números Críticos
𝑓 ´ (𝑥 )=−4 𝑥−8𝑓 ´ (𝑥 )=0 −4 𝑥−8=0
−4 𝑥=8 𝑥=8−4
→4−2
=−2
Luego, el punto critico es
b.) Intervalos de Monotonía
−2−3 0
𝑓 ´ (𝑥 )=¿ +¿ −
Creciente Decreciente
−∞ +∞𝑓 ´ (𝑥 )=¿
Luego, la función es creciente en y decreciente en
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada podemos ver que:
es un máximo local
d.) Intervalos de Concavidad
no tiene …
e.) Puntos de Inflexión
𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥2−8 𝑥+3
La función es una parábola cóncava hacia abajo en y, por ello, no posee puntos de inflexión
Ejemplo 3 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥3−3 𝑥+1
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
Ejemplo 3 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=𝑥3−3 𝑥+1
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.Solución
a.) Números Críticos
𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2−3𝑓 ´ (𝑥 )=00=3 𝑥2−33=3 𝑥233=𝑥2 𝑥2=1
𝑥=1 𝑥=−1
b.) Intervalos de Monotonía
−1 1−2 0 2
𝑓 ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ (𝑥 )=¿+¿ − +¿
Creciente Decreciente
−∞ +∞
Creciente
Luego, la función es creciente en los intervalos y decreciente en
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior, según el criterio de la función derivada, tenemos que:
es un máximo y es un mínimo
0−1 1
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− +¿
Decreciente
−∞
d.) Intervalos de Concavidad
𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥2−3𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 𝑥𝑓 ´ ´ (𝑥 )=00=6 𝑥 𝑥=0
El numero critico de segundo o orden es
+∞
Creciente
La función es cóncava hacia abajo en y cóncava hacia arriba en
e.) Puntos de Inflexión
Al observar el cuadro anterior, podemos apreciar que sus puntos de inflexión es
Ejemplo 4 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=(𝑥−6)√𝑥
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
Ejemplo 4 Dada la función , hallar: 𝑓 (𝑥 )=(𝑥−6)√𝑥
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.Solución
a.) Números Críticos
𝑓 ´ (𝑥 )=1√𝑥+(𝑥−6 ) 12√𝑥
𝑓 ´ (𝑥 )=2 (√𝑥 )2+(𝑥−6)
2√𝑥𝑓 ´ (𝑥 )=√𝑥+
(𝑥−6)2√𝑥
→ 𝑓 ´ (𝑥 )=2𝑥+𝑥−62√𝑥
𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥−62√𝑥
𝑓 ´ (𝑥 )=3 (𝑥−2)2√𝑥
𝑓 (𝑥 )=0 0=3(𝑥−2)2√𝑥 0=3 (𝑥−2)
→0=(𝑥−2) 𝑥=2
b.) Intervalos de Monotonía
21 3
𝑓 ´ (𝑥 )=¿ − +¿
CrecienteDecreciente
−∞ +∞𝑓 ´ (𝑥 )=¿
Luego, la función es creciente en y decreciente en
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada podemos ver que:
es un mínimo
d.) Intervalos de Concavidad
𝑓 ´ (𝑥 )=3 𝑥−62√𝑥
→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=(3 𝑥−6 ) ∙ (2√𝑥 )−(3𝑥−6) ∙(2√𝑥 )
2 (√𝑥 )2
→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 ∙ (2√𝑥 )− (3 𝑥−6 ) ∙2∙ 2
2√𝑥4 𝑥
→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6√𝑥− 3 𝑥−6
√𝑥4 𝑥
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 (√𝑥 )2−3 𝑥−6
4 𝑥
→ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=6 𝑥−3𝑥−64 𝑥
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 (𝑥−2)4 𝑥
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=3 𝑥−64 𝑥
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=0 0=3 (𝑥−2 )4 𝑥
0=3 (𝑥−2) 0=𝑥−2
𝑥=2
21 3
𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑓 ´ ´ (𝑥 )=¿− +¿
Decreciente
−∞
El numero critico de segundo o orden es 2
+∞
Creciente
Como el cuadro no satisface la segunda derivada, podemos decir que la función es cóncava hacia arriba en
e.) Puntos de Inflexión
Ejemplo 5 Dada la función , hallar: 𝑔 (𝑥 )=𝑥4 ∙2𝑥2+4
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
Ejemplo 5 Dada la función , hallar: 𝑔 (𝑥 )=𝑥4 ∙2𝑥2+4
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).
a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.Solución
a.) Números Críticos
𝑔 ´ (𝑥 )=4 𝑥3−4 𝑥
𝑔 ´ (𝑥 )=0 0=4 𝑥3−4 𝑥 4 𝑥 (𝑥2−1 )=0
→4 𝑥=0 𝑥=0 ˄ x2−1=0 x2=1
x2=1 x2=1
b.) Intervalos de Monotonía
−1 1−2 −1 /2
𝑔 ´ (𝑥 )=¿ g− +¿
Decreciente Creciente
−∞ +∞0 2
g − g +¿1/2
Decreciente Creciente
La función es creciente en y y decreciente en y
c.) Extremos Relativos
Observando el cuadro anterior por el criterio de la función derivada podemos ver que:
𝑔 (−1 )=3𝑔 (1 )=3
Mínimos Locales 𝑔 (0 )=4 Máximo local
d.) Intervalos de Concavidad
𝑔 ´ (𝑥 )=4 𝑥3−4 𝑥
𝑔 ´ ´ (𝑥 )=12 𝑥2−4
𝑔 ´ ´ (𝑥 )=0 0=12 𝑥2−4 0=4 (3 𝑥2−1)
412
=𝑥226=𝑥2
26=𝑥2
13=𝑥2
→𝑥=± √1√3
𝑥=1
√3𝑥=−
1
√3y
Números críticos de segundo orden
2−2 3
𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿ 𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿ −−∞ +∞
CrecienteCreciente Decreciente
𝑔 ´ ´ (𝑥 )=¿+¿+∞
La función es cóncava hacia arriba en y y cóncava hacia abajo en
e.) Puntos de Inflexión
Al observar el cuadro anterior, podemos apreciar que sus puntos de inflexión son
Ejercicios Propuestos
Dada las siguientes funciones, hallar:
b.) Intervalos de Monotonía (ascendientes y decrecientes).a.) Numero critico ;
c.) Los Extremos ; d.) Intervalo de Concavidade.) Puntos de
Inflexión.
𝑓 (𝑥 )=𝑥4+2𝑥3−3 𝑥2−4 𝑥+11 2
3 4
5
𝑓 (𝑥 )=𝑥 𝑒𝑥
h (𝑥 )= 𝑥𝑥−2
𝑓 (𝑥 )=9 𝑥𝑒−𝑥
h (𝑥 )=𝑥− ln𝑥