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Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales
RESUMEN EDO’S
1.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE PRIMER ORDEN
1.1.- ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
)()( yhtgdt
dy cdttg
yh
dy )(
)(
1.1.1.-ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
(a) )( cbyaxfdx
dy
Hacemos cbyaxz
dx
dyba
dx
dz
Remplazando se obtiene:
)(zbfadx
dz *ecuación de variables separables
(b)
x
yf
dx
dy
Hacemos x
yz
2x
yxdx
dy
dx
dz
Remplazando se obtiene:
x
zzf
dx
dz
)(*ecuación de variables separables
1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y FACTOR INTEGRANTE
0),(),( dyyxNdxyxM
es exacta ssi:
x
N
y
M
(*)
Luego, existe una función f tal que:
),(),(
yxMx
yxf
),(),(
yxNy
yxf
Así: (a) )(),(),( ygdxyxMyxf
(b) )(),(),( yhdxyxNyxf
De no cumplirse la igualdad dada en (*), la ecuación no
es exacta y se busca el factor integrante
(a) Si )(1
xfx
N
y
M
N
entonces se tiene el
factor integrante:
dxxf
exhyxu)(
)(),(
(b) Si )(1
ygx
N
y
M
M
entonces se tiene el
factor integrante:
dyyf
eyhyxu)(
)(),(
1.3.- ECUACIONES LINEALES
Son de la forma:
)()( tbytadt
dy
cdttbeetydttadtta
)()()()(
*Fórmula de Leibniz
1.4.- ECUACIONES QUE SE REDUCEN AL CASO LINEAL
1.4.1.- ECUACIÓN DE BERNOULLI
nyxfyxpdx
dy)()( con 1n
Multiplicando la ecuación por ny
y luego haciendo el
cambio nyz 1
se obtiene:
)()1()()1( xfnzxpndx
dz *Ecuación Lineal
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1.4.2.- ECUACIÓN DE RICCATI
)()()( 2 xfyxqyxpdx
dy Se requiere de solución
particular )(1 xy . Así, hacemos el cambio de
coordenadas )(
1)()( 1
xzxyxy y obtenemos una
ecuación lineal.
1.5.- APLICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
1.5.1.- REACCIONES QUÍMICAS DE PRIMER ORDEN Y DESINTEGRACIÓN
Se tienen los siguientes parámetros y condiciones:
0x : Cantidad inicial en gramos
)(tx : Número de gramos presentes en el instante t
dt
dx: Ritmo de crecimiento de x
dt
dx : Ritmo de decrecimiento de x
k : Constante de proporcionalidad De esta forma, si k>0, la ecuación diferencial que describe el proceso químico es:
kxdt
dx
ktextx 0)(
Denominamos semivida al tiempo requerido para que
la sustancia reduzca su masa a la mitad, el cual está
dado por:
kT
)2ln(
1.5.2.- CRECIMIENTO DE BACTERIAS
)(tN : Cantidad de bacterias en el instante t
NtbNtamuertessnacimientodt
dN)()(
dttbta
eNtN))()((
)0()(
Con )(ta
y )(tb proporción de nacimientos y muertes
respectivamente
1.5.3.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
“La velocidad con que se enfría una sustancia en el aire es proporcional a la diferencia de la temperatura de la sustancia y el aire”
Se tiene :
)(tTs : Temperatura de la sustancia en el instante t mT :
Temperatura del medio(aire) constante
Luego, la ecuación diferencial que modela el fenómeno es:
kt
msms
ms
s
eTTTtT
TtTkdt
dT
)0()(
)(
1.5.3.- PROBLEMAS DE MEZCLAS
)(tx : Cantidad de soluto en el estanque en el tiempo t
eV : Velocidad de entrada del fluido al estanque
sV : Velocidad de salida del fluido del estanque
eC : Concentración de entrada del soluto al estanque
sC : Concentración de salida del soluto del estanque
oV : Volumen inicial de fluido en el estanque
0x : Cantidad inicial de soluto en el estanque
ssee CVCVtx )('
Donde: )(
)(
tv
txCs
tVVVtv seo )()(;
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Para los 2 tanques de la figura:
)(1 tx : Cantidad de soluto en el estanque 1 de
capacidad V1 en el tiempo t.
)(2 tx : Cantidad de soluto en el estanque 2 de
capacidad V2 en el tiempo t. Considerando: Entrada de fluido por la llave A a razón de b lts/min, entonces por la llave B y C sale solución a razón de b lts/min. Tenemos así el sistema de ecuaciones diferenciales:
2
2
1
1
2
1
1
1
)('
)('
xV
bx
V
btx
xV
btx
Resolviendo la primera ecuación se encuentra x1(t) para remplazar en la segunda ecuación.
2.- ECUACIONES DIFERENCI ALES DE SEGUNDO ORDEN
2.1.- ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
)()(')('')( 210 xyxayxayxa
FORMA NORMAL
)()(')('' 21 xgyxpyxpy
2.1.2.- ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA
0)(')('' 21 yxpyxpy
)()()( 2211 xycxycxyh
Donde: y1 e y2 soluciones particulares LI
Conociendo y1(x), la otra solución particular y2(x) la calculamos según:
dxxy
exyxy
dxxp
2
1
)(
12)(
)()(
1
* Fórmula de Abel
2.3.- ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
0''' 210 yayaya
Calculamos:
021
2
0 akaka * Ecuación Característica
(a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas
Luego xkxk
h ececxy 21
21)(
(b) 0 k1=k2 raíces reales iguales
Luego xkxk
h xececxy 11
21)(
(c) 0 k1, k2 raíces complejas con: ik
Luego )]()cos([)( 21 xsencxcexy x
h
2.4.- ECUACIÓN DE EULER
0''' 21
2
0 yayxayxa
Con: a0,a1,a2 constantes reales, a0≠0
Hacemos: tex tt e
dx
dte
dt
dx
Además :
dx
dte
dt
dy
dt
de
dt
dy
dx
d
dx
dt
dt
dy
dx
dy tt
''
dt
dy
dt
ydeee
dt
dye
dt
ydy tttt
2
22
2
2
''
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Remplazando se obtiene una ecuación de coeficientes constantes cuya ecuación
característica es:
0)( 201
2
0 akaaka
(a) 0 k1, k2 raíces reales y distintas
Luego 21
21)(kk
h xcxcxy
(b) 0 k1=k2 raíces reales iguales
Luego xxcxcxykk
h ln)( 11
21
(c) 0 0 k1, k2 raíces complejas con: ik
Luego
))]ln(())ln(cos([)( 21 xsencxcxxyh
2.5.- MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES
)()(')('' 21 xfyxpyxpy
Buscamos solución particular de la ecuación anterior del tipo:
)()()()()( 2211 xyxcxyxcxy p
Luego, c1(x) y c2(x) deben satisfacer el sistema:
)()(')(')(')('
0)()(')()('
2211
2211
xfxyxcxyxc
xyxcxyxc
Cuyas soluciones son:
dxxW
xyxfxc
)(
)()()( 2
1 dxxW
xyxfxc
)(
)()()( 1
2
Con: )(')('
)()()(
21
21
xyxy
xyxyxW
2.6.- MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Se aplica para encontrar una solución particular de ecuaciones del tipo:
)()()cos()(''' 210 xqsenxQxqxPeyayaya iiii
xri
donde a0 a1 a2 ri y qi ctes reales, Pi(x) y Qi(x) polinomios.
En la siguiente tabla se ilustra algunos ejemplos específicos de f(x) de la ecuación con su respectiva forma de solución particular.
Suponiendo que ninguna función en la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.
Regla de multiplicación: Si alguna yp contiene términos que duplican los términos en yh, entonces yp se debe multiplicar por xn, donde n es el entero positivo mínimo que elimina esa duplicación.