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Resortes y análisis mediante regresión lineal de datos
Objetivos• Establecer la ley de Hooke que caracteriza
un resorte mecánico.• Reconocer la necesidad de un análisis de
regresión para determinar parámetros físicos.
• Aplicar un análisis de regresión para estimar la constante de un resorte.
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ResorteLey de Hooke
Si l0 es la longitud del resorte cuando no está estirado, la fuerza que éste ejerce cuando el resorte se estira o se comprime una distancia x a partir de su longitud normal es:
F=-Kx donde K es la constante del resorte o
constante elástica.
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Determinación de la constante del resorte
Supongamos que queremos determinar la constante de un resorte que tiene una longitud inicial de 5.3 cm. Aplicamos consecutivamente fuerzas de 2, 4 y 6 N al resorte y encontramos que su longitud se incrementa a 7, 9.4 y 12.3 cm. respectivamente.
Sabemos que F=Kx = K(l-l0) = K l - K l0
¿Cuál es el valor de la constante del resorte?
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¿Qué es mejor?a) Calcular K a partir de un par de datos escogidos al azar.
Longitud l (cm) Fuerza F (m)5.3 0
7 29.4 4
12.3 6
Fuerza F (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 3 6 9 12 15
Longitud del resorte (cm)
Fu
erza
(N
)
b) Encontrar la recta que mejor aproxime todos los puntos.
a) Calcular K a partir de un par de datos escogidos al azar.
b) Encontrar la recta que mejor aproxime todos los puntos.
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?Longitud l (cm) Fuerza F (m)
5.3 07 2
9.4 412.3 6
Fuerza F (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 3 6 9 12 15
Longitud del resorte (cm)
Fu
erza
(N
)6.2-0.5=5.7
12-6=6
cm
N.
cml
N.F
6
75
6
50
N . cm l
cm
N .F 506950 N 5.2 - l
cm
N .F 950
N 5.47 - l cm
N .F 950 cm .l ;
cm
N .K 0 475950
Ajuste gráfico
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?Longitud l (cm) Fuerza F (m) F calc. Error Error 2̂
5.3 0 -0.1615 0.1615 0.0260827 2 1.4535 0.5465 0.298662
9.4 4 3.7335 0.2665 0.07102212.3 6 6.4885 -0.4885 0.238632
0.634399 Sumatoria
N 5.47 - l cm
N .F 950
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Sabemos que F=Kx = K(l-l0) = K l – K l0lo cual corresponde a una recta con pendiente K y sin cruce por cero: F = ml + b
• Se necesita encontrar las constantes m y b tales que minicen la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la recta aproximada y los valores dados:
Ajuste numérico
24
1
n
iii F̂F S
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Función a minimizar:Ajuste numérico
24
1
n
iii F̂F S
24
1
n
iii b l m F S
• Minimización:
00204
1
24
1
l b l m l F l b l m F m
S n
iiiii
n
iiii
l b - l m - l F l b - l m - l F m
S n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
iii 000
4
1
4
1
24
1
4
1
4
1
24
1
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Función a minimizar:Ajuste numérico
24
1
n
iii F̂F S
24
1
n
iii b l m F S
• Minimización:
001204
1
4
1
b l m F b l m F b
S n
iii
n
iii
n b - l m - F b - l m - F b
S n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii 000
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
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¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Ecuaciones normales:Ajuste numérico
• Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas (2 ecuaciones, 2 incógnitas: m, b)
n b - l m - F n
ii
n
ii 0
4
1
4
1
l b - l m - l F n
ii
n
ii
n
iii 0
4
1
4
1
24
1
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i Longitud l (cm) Fuerza F (m) l 2̂ (cm 2̂) F*l (Ncm)1 5.3 0 28.09 02 7 2 49 143 9.4 4 88.36 37.64 12.3 6 151.29 73.8
Sumatoria 34 12 316.74 125.4
¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico
n b - l m - F n
i
n
ii 0
4
1
4
1
l b - l m - l F n
i
n
i
n
ii 0
4
1
4
1
24
1
b - m - 043412
b - m . - . 034743164125
17024
84350
.- b
.m
cm . l
N/cm .K
90614
84350
0
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i Longitud l (cm) Fuerza F (m) l 2̂ (cm 2̂) F*l (Ncm) F calc. Error Error 2̂1 5.3 0 28.09 0 0.332255 -0.33225 0.1103932 7 2 49 14 1.766205 0.233795 0.054663 9.4 4 88.36 37.6 3.790605 0.209395 0.0438464 12.3 6 151.29 73.8 6.236755 -0.23675 0.056053
Sumatoria 34 12 316.74 125.4 0.264953
¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico
n b - l m - F n
i
n
ii 0
4
1
4
1
l b - l m - l F n
i
n
i
n
ii 0
4
1
4
1
24
1
b - m - 043412
b - m . - . 034743164125
17024
84350
.- b
.m
cm . l
N/cm .K
90614
84350
0
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Ajuste numérico de una curva que pasa por el origen F = Kx, donde x=l-l0 (l0 es conocido)
¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Función a minimizar:
24
1
n
iii F̂F S
24
1
n
iii x m F S
• Minimización:
00204
1
24
1
x m x F x x m F m
S n
iiii
n
iiii
x m - x F x m - x F m
S n
ii
n
iii
n
ii
n
iii 000
4
1
24
1
4
1
24
1
![Page 14: Resortes y análisis mediante regresión lineal de datos Objetivos Establecer la ley de Hooke que caracteriza un resorte mecánico. Reconocer la necesidad](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022082613/5665b4261a28abb57c8f8dac/html5/thumbnails/14.jpg)
Ajuste numérico de una curva que pasa por el origen F = Kx, donde x=l-l0 (l0 es conocido)
¿Cómo ajustar la recta a los datos?
• Minimización:
x m - x F n
ii
n
iii 0
4
1
24
1
x
x F m n
ii
n
iii
4
1
2
4
1
![Page 15: Resortes y análisis mediante regresión lineal de datos Objetivos Establecer la ley de Hooke que caracteriza un resorte mecánico. Reconocer la necesidad](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022082613/5665b4261a28abb57c8f8dac/html5/thumbnails/15.jpg)
i Longitud l (cm) Fuerza F (m) x (cm)= l - 5.3 x^2 (cm^2) F*x (Ncm) F calc. Error 2̂1 5.3 0 0 0 0 0 02 7 2 1.7 2.89 3.4 1.529252 0.2216043 9.4 4 4.1 16.81 16.4 3.688196 0.0972224 12.3 6 7 49 42 6.29692 0.088161
Sumatoria 34 12 68.7 61.8 0.406987
¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico de F=Kx
x
x F m n
ii
n
iii
4
1
2
4
1 . .
. m 899560
768
861
x . F 899560