Download - Resolucion Examen Parcial de Funciones
FUNCIONES ANALITICAS
EXAMEN PARCIAL
PROBLEMA 1: Resuelva los siguientes ejercicios:
1) Sea π π₯, π¦ = π₯2 + π¦2.Demuestre que f no puede ser parte real o imaginaria de una
funciΓ³n analΓtica.
SoluciΓ³n:
Sabemos que para que una funciΓ³n sea analΓtica, debe cumplir dos cosas:
- Debe aceptar las ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Debe ser diferenciable
- Debe cumplir las ecuaciones de Laplace.
Sea G(x,y)=U(x,y)+V(x,y)
Donde F(x,y)=U(x,y) que es la parte real de la funciΓ³n.
βu
βx=
βv
βyβ 2π₯ =
βv
βy
βu
βy= β
βv
βxβ 2π¦ = β
βv
βx
Ahora aplicamos el teorema de Laplace:
β2u
βx+β2u
βy= 0
β2u
βx= 2
β2u
βy= 2
β2u
βy+β2u
βx= 4 β 0
Por lo tanto, la funciΓ³n βfβ no puede ser la parte real de una funciΓ³n analΓtica.
PROBLEMA 2: Sea la funciΓ³n π π§ =π§+2
3π§2β1 , halle la derivada de f(z) cuando π§ β β
SoluciΓ³n:
πΒ΄(π§) =(1)(3π§2 β 1) β (π§ + 2)(6π§)
(3π§2 β 1)2
πΒ΄(π§) =(3π§2 β 1 β 6π§2 β 12π§)
9π§4 β 6π§2 + 1
πΒ΄(π§) =β3π§2 β 12π§ β 1
9π§4 β 6π§2 + 1
πΒ΄(π§) =β(3π§2 + 12π§ + 1)
9π§4 β 6π§2 + 1
limπ§ββ
πΒ΄ π§ = limβ(3π§2 + 12π§ + 1)
9π§4 β 6π§2 + 1π§ββ
limβ(
3π§2
π§4 +12π§π§4 +
1π§4)
9π§4
π§4 β6π§2
π§4 +1π§4
π§ββ
limβ(
3
π§2+12
π§3+1
π§4)
9β6
π§2+1
π§4
π§ββ
=0
9= 0
0 0
PROBLEMA 3: Enuncie y demuestre:
a) El teorema de Cauchy de la integral en un contorno de una regiΓ³n conexa e indique dos
ejemplos.
SoluciΓ³n:
Sea π(π§) una funciΓ³n analΓtica en A, A simplemente conexa y suave a trazos, entonces:
π(π§)πΎ
ππ§ = 0
Se conoce que:
π(π§)πΎ
ππ§ = (π’ ππ₯ β π£ ππ¦)πΎ
+ π π’ ππ¦ + π£ ππ₯πΎ
, donde
π π§ = π’ π₯,π¦ + π π£ π₯,π¦
Como π(π§) es continua en A, entonces existe πβ²(π§), tal que z pertenece a A y π β² π§ es
continua en A, es decir que existen y son continuas en A, entonces podemos aplicar el
teorema de Green a las integrales (π’ ππ₯ β π£ ππ¦)πΎ
+ π π’ ππ¦ + π£ ππ₯πΎ
, es decir:
π’ ππ₯ β π£ ππ¦πΎ
= (πΏ
πΏπ₯(βπ£)
π΄
βπΏπ’
πΏπ¦)ππ₯ππ¦ = β (
πΏπ£
πΏπ₯π΄
+πΏπ’
πΏπ¦)ππ₯ππ¦β¦β¦β¦β¦β¦ (1)
π π’ ππ₯ β π£ ππ¦ = π (πΏπ’
πΏπ₯π΄
+πΏπ£
πΏπ¦)ππ₯ππ¦β¦β¦β¦β¦β¦ (2)
Sumando (1) y (2) se obtiene:
π(π§)πΎ
ππ§ = (π’ ππ₯ β π£ ππ¦)πΎ
+ π π’ ππ¦ + π£ ππ₯πΎ
= β (πΏπ£
πΏπ₯π΄
+πΏπ’
πΏπ¦)ππ₯ππ¦ + π (
πΏπ’
πΏπ₯π΄
+πΏπ£
πΏπ¦)ππ₯ππ¦β¦β¦β¦β¦ (3)
Como π(π§) es analΓtica en A, entonces se cumple las ecuaciones de Cauchy Riemann.
πΏπ’
πΏπ₯=
πΏπ£
πΏπ¦ π¦
πΏπ’
πΏπ¦= β
πΏπ£
πΏπ₯β¦β¦β¦β¦ (4)
Reemplazando (4) en (3) se obtiene:
π(π§)πΎ
ππ§ = 0 + 0π = 0
Ejemplo 1:
Hallar:
π ππ2π§
ππ§β1 β 1πΆ
ππ§
Siendo C la curva de la figura.
Primero:
π(π§) =π ππ2π§
ππ§β1 β 1ππ§
Luego:
π ππ(π§) β Es una funciΓ³n derivable.
π ππ2(π§) β Entonces al elevar al cuadrado tambiΓ©n es una funciΓ³n derivable.
π§ β 1 β Es una funciΓ³n derivable.
ππ§β1 β TambiΓ©n es una funciΓ³n derivable.
ππ§β1 β 1 β TambiΓ©n es derivable.
Entonces una funciΓ³n derivable entre otra derivable. π ππ 2π§
ππ§β1β1 TambiΓ©n es derivable.
Igualamos el denominador a 0:
ππ§β1 β 1 = 0
ππ§β1 = 1
ππ§β1 = π0
π§ β 1 = 0
π§ = 1
Entonces en π: Β’ β 1 β Β’ ππ πππππ£ππππ
En el grafico
Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario:
Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la
curva sea cerrada
β«S es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
π: π β Β’ ππ πππππ£ππππ
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0.
Ejemplo 2
Hallar:
π ππ2(π§2 + 9
π§ β 3π)
πΆ
ππ§
Siendo C la elipse de centro 0 y semiejes 1 y 2.
Primero:
π(π§) = π ππ2(π§2 + 9
π§ β 3π)
Luego:
π§ β Es una funciΓ³n derivable
π§2 β Entonces al elevar al cuadrado tambiΓ©n es una funciΓ³n derivable
π§2 + 1 β Entonces al elevar al cuadrado tambiΓ©n es una funciΓ³n derivable
π§ β Es una funciΓ³n derivable
π§ β 3π β TambiΓ©n es una funciΓ³n derivable
Entonces una funciΓ³n derivable entre otra derivable π§2+9
π§β3π β Es derivable
π ππ (π§2+9
π§β3π) β El seno tambiΓ©n es derivable
π ππ2(π§2+9
π§β3π) β Al elevar al cuadrado tambiΓ©n es derivable
Igualamos el denominador a 0
π§ β 3π = 0
π§ = 3π
Entonces en π: Β’ β 3π β Β’ ππ πππππ£ππππ
En el grafico
Para aplicar el teorema de Cauchy es necesario:
Un abierto simplemente conexo que contiene la curva y su derivada sea continua y que la
curva sea cerrada.
S es el abierto simplemente conexo, la curva es cerrada.
π: π β Β’ ππ πππππ£ππππ
Entonces por el teorema de Cauchy el resultado es 0.
b) El teorema de la formula de la integral de Cauchy e indique 2 ejemplos concretos de
aplicaciΓ³n de este teorema.
SoluciΓ³n:
La funciΓ³n πΉ π§
π§βπ§π, es analΓtica dentro y sobre la curva πΎ, excepto en el punto π§ = π§π
Del teorema de Cauchy se tiene
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
= πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦ (1)
Como π se puede elegir como un cΓrculo de radio ν con centro π§π ; luego una ecuaciΓ³n para π es:
π = π§ β π§π = ν π π§ β π§π = ν πππππ
Donde:
0 β€ π β€ 2π
Entonces:
ππ§ = νπ πππππ
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
= πΉ(π§π + ν πππ )νπ πππππ
ν πππ
2π
0
= πΉ(π§π + ν πππ )ππ
2π
0
β¦β¦β¦β¦β¦ (2)
Ahora reemplazamos (2) en (1) y se obtiene lo siguiente:
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
= πΉ(π§π + ν πππ )ππ
2π
0
Tomando lΓmites a ambos cuando π β 0
limπβ0
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
= limπβ0
πΉ(π§π + ν πππ )ππ
2π
0
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
= π πΉ(π§π)ππ§
2π
0
= 2ππ
Donde:
πΉ π§π =1
2ππ
πΉ π§ ππ§
π§ β π§ππΎ
Ejemplo 1
Calcular la integral:
ππ§2
ππ§
π§ β ππΎ
Donde πΎ = {π§ βπΆ
π§ = 4}
πΉ π§ = ππ§2 ππ ππππππ‘πππ ππ πΆ
πΉ π§π = πΉ π = ππ2
Entonces Reemplazando:
ππ§2
ππ§
π§ β ππΎ
= 2πππΉ π = 2πππ2π
Ejemplo 2
Calcular:
ππ§
π§2 + 8π§πΎ
Donde πΎ: π§ = 1
A la integral:
ππ§
π§2 + 8π§πΎ
Se puede expresar:
ππ§π§ + 8π§πΎ
Entonces:
π π§ =1
π§ + 8
Es analΓtica en el interior del cΓrculo:
πΎ: π§ = 1 π¦ π§π = 0
Luego la formula integral de Cauchy:
ππ§π§ + 8π§ β 0πΎ
= 2πππΉ 0 = 2ππ 1
0 + 8 =
ππ
4
PROBLEMA 4:
1) Pruebe que en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben
como βu
βΞΈ= βπ
βv
βr y
βv
βΞΈ= π
βu
βr
SoluciΓ³n:
Calcularemos las derivadas parciales de u y v con respecto a x e y usando la regla de la
cadena:
βu
βx=
βu
βr.βr
βx+βu
βΞΈ.βΞΈ
βxβ¦ (1)
βu
βy=
βu
βr.βr
βy+βu
βΞΈ.βΞΈ
βyβ¦ (2)
βv
βx=
βv
βr.βr
βx+
βv
βΞΈ.βΞΈ
βxβ¦ (3)
βu
βy=
βu
βr.βr
βy+βu
βΞΈ.βΞΈ
βyβ¦ (4)
Sabemos
π = π₯2 + π¦2 β
βr
βx=
π₯
π₯2 + π¦2=
π₯
π=
ππππ π
π= πππ π
βr
βy=
π¦
π₯2 + π¦2=
π¦
π=
ππ πππ
π= π πππ
π = ππππ‘ππ¦
π₯β
βΞΈ
βx=
βπ¦
π₯2 + π¦2= β
π¦
π2=
βππ πππ
π2=
βπ πππ
π
βΞΈ
βy=
π₯
π₯2 + π¦2=
π₯
π2=
ππππ π
π2=
πππ π
π
Reemplazando en (1), (2), (3), (4):
βu
βx= πππ π
βu
βrβ π πππ
βu
βΞΈ.1
r
βu
βy= π πππ
βu
βr+ π πππ
βu
βΞΈ.1
r
βv
βx= πππ π
βv
βrβ π πππ
βv
βΞΈ.1
r
βv
βy= π πππ
βv
βr+ πππ π
βv
βΞΈ.1
r
Aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
βu
βrβ
1
r.βv
βΞΈ πππ π β
1
r.βu
βΞΈ+βv
βr π πππ = 0β¦ (5)
1
r.βu
βΞΈ+βv
βr πππ π β
βu
βrβ
1
r.βv
βΞΈ π πππ = 0β¦ (6)
Multiplicando las ecuaciones anteriores por cosΖ y senΖ y luego sumando:
βu
βrβ
1
r.βv
βΞΈ (πππ π2 + π πππ2) = 0
βu
βrβ
1
r.βv
βΞΈ = 0
βu
βr=
1
r.βv
βΞΈ
Ahora, multiplicamos las ecuaciones (5) y (6) por βsenΖ y cosΖ respectivamente y las
sumamos:
1
r.βu
βΞΈ+βv
βr (πππ π2 + π πππ2) = 0
βu
βrβ
1
r.βv
βΞΈ = 0
βv
βr= β
1
r.βu
βΞΈ
2) Pruebe que en notaciΓ³n compleja las ecuaciones de Cauchy-Riemann se escriben como βf
βz = π
SoluciΓ³n:
De las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene: ππ’
ππ₯=
ππ£
ππ¦ π¦
ππ’
ππ¦= β
ππ£
ππ₯ , que serΓa igual a:
ππ’
ππ₯β
ππ£
ππ¦= 0 π¦
ππ’
ππ¦+
ππ£
ππ₯ = 0, esta ΓΊltima ecuaciΓ³n multiplicado por el nΓΊmero
imaginario π se tiene:
πππ’
ππ¦+ π
ππ£
ππ₯= 0
Sumando:
ππ’
ππ₯β
ππ£
ππ¦= 0
πππ’
ππ¦+ π
ππ£
ππ₯= 0
Se obtiene:
ππ’
ππ₯+ π
ππ£
ππ₯ + ( β
ππ£
ππ¦+ π
ππ’
ππ¦) = 0
π π’ + ππ£
ππ₯+ π
ππ’
ππ¦+ π
ππ£
ππ¦ = 0
π π’ + ππ£
ππ₯+ π
π π’ + ππ£
ππ¦= 0
π
ππ₯+ π
π
ππ¦ π’ + ππ£ = 0
De la igualdad π
ππ₯+ π
π
ππ¦
1
2=
π
ππ§ :
2π π’ + ππ£
ππ§ = 0
π π π§
ππ§ = 0
PROBLEMA 5:
a) Resolver la ecuaciΓ³n senz=2
SoluciΓ³n:
Empezamos utilizando la definiciΓ³n de la funciΓ³n seno:
2 = π πππ§ = 1
2π(πππ§ β πβππ§) =
π2ππ§ β 1
2πππ§ π
De aquΓ obtenemos: π2ππ§ β 1 = 4πππ§ π. Esta es una ecuaciΓ³n de segundo grado en πππ§
y sus soluciones son
πππ§ = 1
2(4π Β± β16 + 4) = π(2 Β± 3)
Entonces, las soluciones de la ecuaciΓ³n propuesta verifican:
π§ = 1
πππππ(2 Β± 3) = βπππππ(2 Β± 3) = βπ(ππππ + πππ(2 Β± 3))
= βπ(π(π
2 + 2ππ) + πππ(2 Β± 3))
=π
2+ 2ππ β ππππ(2 Β± 3)
Es decir, para cada n β Z tenemos dos soluciones:
π§1π = π
2+ 2ππ β ππππ 2 + 3
π§2π = π
2+ 2ππ β ππππ 2 β 3
b) Evaluar π§2
2βπ§ππ§ +
π§
π§2+9
β
π2
β
π1ππ§ donde c1 estΓ‘ dado por π§ β 1 = 2 y c2 estΓ‘ dado
por π§ β 2π = 4
SoluciΓ³n:
β π§2
2 β π§=
β
π1
π§2
1 β (π§ β 1)ππ§ =
π§2
π§ β 1 (1
π§ β 1 β 1)π1π1
=
π§3 β π§2
2 β π§π§ β 1π1
ππ§
π π§ =π§3 β π§2
2 β π§β π 1 = 0
β π§
π§2 + 9=
π§π§ + 3ππ§ β 3π
ππ§ +
π§π§ β 3π
π§ β (β3π)ππ§ = 2πππ 3π + 2πππ β3π
π22π21
β
π2
2ππ3π
6π+ 2ππ
β3π
β6π= 2ππ