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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES
TEMA 3
Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Aplicaciones de los determinantes:
Cálculo del rango de una matriz
Cálculo de la inversa de una matriz
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DETERMINANTES DE ORDEN 2:
51·23·13121
·· 211222112221
1211
aaaaaaaa
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16491405243·1·30·1·24·7·55·1·14·3·20·7·3014371523
············
············
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
113223332112312213133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
DETERMINANTES DE ORDEN 3:
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1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1210111
111
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, el determinante es cero.
0000111
111
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
3. Si se permutan dos filas o columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo:
4111211
011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
4. Si en una matriz cuadrada , hay dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero.
0111111011
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número:
20211
555011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211
111011
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante vale cero
0111022011
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
7.
333231
232221
131211
333231
232221
131211
33323231
23222221
13121211
abaabaaba
aaaaaaaaa
abaaabaaabaa
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
8. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada, le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas paralelas, su determinante no varía
2133 ·5 ,4157
111011
41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1·211
111011
FFFF
![Page 13: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/13.jpg)
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
9.Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación linela de otras paralelas, su determinante vale cero
213 ·2 : 3 fila la ,0110112011
FFF
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PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
10.
BABA ··
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EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
2754321532
·1
:a elemento del Adjunto
2754321532
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
2112
12
12
33
A
A
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EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
108764512620
·1
:a elemento del Adjunto
108764512620
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
3333
33
33
33
A
A
![Page 17: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/18.jpg)
16311512620
·1
:a elemento del Adjunto
16311512620
: a de erariocomplementMenor 7564321153126420
3443
43
43
43
A
A
EJERCICIO 2 , PÁGINA 79
![Page 19: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/19.jpg)
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
ELEGIMOS CUALQUIER FILA O COLUMNA, GENERALMENTE LA QUE TIENE MÁS CEROS O NÚMEROS MÁS SENCILLOS Y DESPUÉS EL CÁLCULO ES COMO SE MUESTRA:
Fotos : Gabriel de Castro Manzano
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![Page 21: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/21.jpg)
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
EJEMPLO :
1165362917
·7)821362917
·1·(18211165917
0)821
1165362
·1·(4
82711161536029147
·7·1·0·4
82711161536029147
42322212
AAAA
“DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA”
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DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.
Cuantos más ceros tenga la línea elegida, más fácil será el cálculo
¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8!
![Page 23: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/23.jpg)
RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES
MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS
RANGO DE UNA MATRIZ : NÚMERO DE FILAS(COLUMNAS)LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Nº DE FILAS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
RANGO DE UNA MATRIZ
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654113012133215021031
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
55031
F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0213
150031
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0113
250131
0
013350231
04113150031
05113250131
06113350231
F3 depende linealmente de F1 y F2
F4 depende linealmente de F1 y F2
![Page 25: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/25.jpg)
654113012133215021031
A
Ran (A)=2
La matriz A tiene solo dos filas linealmente independientes por tanto:
![Page 26: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/26.jpg)
2201832773151012
D
EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo
31512
F1 y F2 son l.i
2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)
0327315
012
3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)
0827715112
F3 depende
linealmente de F1 y F2.
0201315
012 0
201715112
F4 no depende
linealmente de F1 y F2
![Page 27: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/27.jpg)
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran Si el rango es menor que el nº de incógnitas : Infinitas soluciones ; Sistema Compatible Indeterminado
Si el rango es igual que el nº de incógnitas : Solución única ; Sistema Compatible determinado
![Page 28: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/28.jpg)
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
111
azyxzayxzyax
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
![Page 29: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/29.jpg)
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
![Page 30: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/30.jpg)
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
21231111
1111
233 aaaaaaaaa
aa
21
021
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
2
aa
aa
AranASi
![Page 31: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/31.jpg)
1)()(
111111111111
y 111111111
'
'
AranAran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si a=1,
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, INFINITAS SOLUCIONES.
111
azyxzayxzyax
![Page 32: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/32.jpg)
Si a = -2,
02-1
12- ejemplopor que ya ,2)(
121111211112
y 211
121112
'
Aran
AA
3)(
09122114111121112
?)(¿
'
'
Aran
Aran
)()( 'AranAran
111
azyxzayxzyax
![Page 33: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/33.jpg)
)()( 'AranAran
SISTEMA INCOMPATIBLE , SIN SOLUCIÓN
Si a = -2,
![Page 34: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/34.jpg)
Sistema compatible determinado, solución única. Lo resolvemos por CRAMER
2y 1 aasi
3)()( ' AranAran
![Page 35: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/35.jpg)
DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
757143
157
zxmzyxzy
¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?
![Page 36: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/36.jpg)
TEOREMA DE ROUCHE
El sistema será compatible si y solo si
)()( 'AranAran
![Page 37: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/37.jpg)
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes
24549507
43570
mm
5024549
con empiezadiscusión la que Así .3)(0
mm
AranASi
![Page 38: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/38.jpg)
04370
,2)(
750715437570
y 507543570
'
Aran
AA
¡Empezamos la discusión!
Si m=5,
757143
157
zxmzyxzy
¿Ran(A’)?
![Page 39: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/39.jpg)
0707143770
¿Ran(A’)?
Ran(A’)=2
Si m =5, Ran(A)=2, Ran(A’)=2
Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones
750715437570
'A
![Page 40: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/40.jpg)
Si m ≠5, Ran(A)=3, Ran(A’)=3
Sistema compatible determinado, solución única
En este caso, si nos piden resolverlo, lo haríamos por Cramer dejándolo en función de m
![Page 41: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022033101/56816724550346895ddbb327/html5/thumbnails/41.jpg)
332313
322212
3121111
1
333231
232221
131211
1
) ( entonces
AAAAAAAAA
AA
AadjuntamatrizA
aaaaaaaaa
Atraspuesta
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ
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EJEMPLO:
:que así inversa, tiene0, A de tedeterminan como
11110111101011
; 111101011
AA
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10111
21111
11101
11101
11101
01111
11001
11101
11110
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
111101011
A
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121110111
121110111
A Entonces
11
-1
AA