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Repaso de teoría electromagnética Ecuaciones de Maxwell:
tBE∂∂
−=×∇ Faraday (inducción)
tDH∂∂=×∇ Ampérè (sin corriente 0=J )
0B∇⋅ = No existencia de mono-polos magnéticos 0D∇⋅ = Gauss (en ausencia de carga libre)
[ :mVE ] Campo eléctrico
[ :mAH ] Campo magnético (o excitación magnética)
[ ]:2mAsD Desplazamiento eléctrico
[ ]:2mVsB Inducción magnética
[ ]:2mAJ Densidad de corriente Ecuaciones constitutivas (Materiales) lineales
EJ σ= σ: conductividad; Ley de Ohm ED ε= εo: 8.8544x10-12 As/mV
ε: permitividad dieléctrica HB µ= µ: permeabilidad magnética
Relaciones generales:
MHB o += µ PED o += ε
:M Magnetización :P Polarización Flujo de energía Vector de Poynting: HES ×= En ausencia de corrientes, se cumple:
(Teorema de poynting) twS∂∂−=⋅∇ ( )J E+ ⋅ disipación
2 2E D H Bw ⋅ ⋅
= + : densidad volumétrica de Energía electromagnética
Integrando en un volumen,
Vencontenidaenergía
V
dvwdtddvS
V
∫∫ −=⋅∇
( )ˆ S
dS n ds Energíadt
⋅ = −∫
⋅ :n̂S
=
22 mWatt
smJ
en
s la cantidad de energía que atraviesa la unidad de área (en dirección ormal a la superficie) por unidad de tiempo
Los detectores promedian:
( ) ( ) [ ]2
0
ˆ ˆ1 mWattIntStdntST
T
=⋅=⋅∫ Intensidad o Irradiancia
Ejemplos:
tierralasobresolarI
≈ 1.4 KW/m2
= 1.4 x 103 W/m2 = 1.4 x 103 J/m2s
Láser de 1 mW; radio del spot r = 1 mm; superficie 262 1014.3 mr −×=π
226 / 3.0
1014.3 1 mKW
mmWI ≈×
≈⇒ −
Detectores de intensidad de luz Parámetros a tener en cuenta: Tiempo de respuesta: TDetector ~ 10-10 s _ 10-8 s (depende del detector y el circuito) Respuesta espectral: respuesta en longitudes de onda, hay diferentes detectores para
distintas regiones del espectro Eficiencia cuántica (ρ): se define como el cociente entre el Nº de pares electrón-hueco
generados en el detector, sobre el Nº de fotones incidentes (para detectores basados en semiconductores) Corriente de oscuridad: es la corriente que se genera a pesar de que no hay fotones
incidentes, esta es proporcional al tiempo de medida (∝t) Offset: es un valor constante en el tiempo, pero proporcional al número de medidas
realizadas Relación señal/ruido: mínima intensidad de señal necesaria para poder ser detectada, a
pesar de la presencia de ruido (SNR umbral)
Ecuación de ondas: Partimos de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones constitutivas. Hipótesis de trabajo:
- µ y ε independientes de E y H - Medios homogéneos (µ y ε independientes de tr , ) - No hay Fuentes 0=J , ρ = 0
tDH∂∂=×∇
( ) 2
2
2
2
tE
tDH
t ∂∂=
∂∂=×∇
∂∂ ε
( )2
2
H EHt t
µ µ µ∂ ∂∇× = ∇× =
∂ ∂ tε ∂∂
(1)
Por otro lado
tBE∂∂−=×∇
tBE∂∂×−∇=×∇×∇
tHE∂∂×∇−=×∇×∇ µ (2)
Sumando (1) y (2)
02
2=
∂∂+×∇×∇
tEE µε
( ) EEEE 22
0
−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇=
⇒ 02
22 =
∂∂−∇
tEE µε Ecuación de onda
En forma análoga se llega a 02
22 =
∂∂−∇
tHH µε ,
Si el material no es homogéneo,
(1)
2
2
tEE
tH
tH
tHE
∂∂−
×∇×∇=
∂∂×∇−
∂∂×−∇=
∂∂×−∇=×∇×∇
εµµ
µ
µµµ
Recordando ( )µµµ ln∇=∇
Por otro lado: ( ) ( )( ) EEEEE 22 ln ∇−⋅∇−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ ε (2)
De (1) y (2) obtenemos
( )( ) ( ) ( )EEtEE ×∇×∇−⋅∇−∇=
∂∂−∇ µεµε lnln2
22
La misma ecuación se cumple para H
c=µε1
velocidad de la luz (radiación) en el medio
012
2
22 =
∂∂−∇
tE
cE ; 01
2
2
22 =
∂∂−
tH
cH∇ (3)
Ondas monocromáticas ( ) ( ) ( ϕω += trEtrE o cos , )
) (4)
( ) ( ) ( ψω += trHtrH o cos , En general, se tendrá una superposición de ondas monocromáticas
( ) ( ) ( ) ωϕωω ω dtrEtrE o∫+∞
∞−
+= cos ,,
ω: frecuencia angular [Hz] Sustituyendo (4) en (3) se obtiene:
( )ϕωω +−=∂∂ t
ctE
ccos1
2
2
2
2
2
( ) ( ) 0,, 22 =+∇ ωω rEkrE oo Ecuación de Helmholtz
ck ω≡ : número de ondas Notación compleja:
Resulta conveniente escribir
( ) ( ) ( )ϕω +−= tio erEtrE , ( ) ( ) ( )ψω +−= ti
o erHtrH , Las magnitudes físicas reales se obtienen
( ) ( )[ ]trEtrEE real ,,21 *+= ( ) ( )[ ]trHtrHH real ,,
21 *+=
Ecuación de ondas escalar Cuando no es importante el carácter vectorial de los campos: ( ) ( ) 0 22 =+∇ rEk o (1)
donde puede interpretarse como una componente cartesiana de ( )rEo E .
La razón es que si ( zyx EEEE ,,= ) se demuestra que para el caso de las coordenadas
cartesianas se puede escribir como: 2∇ ( )zyx EEEE 2222 ,, ∇∇∇=∇
Soluciones de la ec. de ondas
Onda plana: ( )( )
fase
trki
o eEtrE
,ω±⋅
= (2)
k : vector de onda Para que la parte especial de (2) sea solución de (1) es necesario
rkirkirkirki ekkeekie ⋅⋅⋅⋅ ⋅−=∇⇒=∇ 2 , la dirección k es arbitraria
2kkk =⋅c
k ω=⇒
Las superficies de fase constante se llaman frentes de onda. En este caso son planos perpendicular a k
Analíticamente: ctetrk o =−⋅ ω ec. de un plano perpendicular a k , a t fijo
_ ctetrk o =−⋅ ω k
rdr
rdr +O
( ) ctetrdrk o =−+⋅ ω
0=⋅ rk rdk ⊥⇒ ( rd está en el plano)
¿A qué velocidad viajan los frentes de onda?
( ) ( ) 0 ==−⋅dtctedtrk
dtd ω k rd
( )dttr +
( )trω=⋅
dtrdk ˆ drkk kc
dtω⋅ = =
ˆ drk cdt
⇒ ⋅ =
c es la proyección de dtrd en la dirección de k
O sea, es la velocidad a la que hay que moverse en dirección de k , para ver fase constante.
µε1=⇒ c es la velocidad de fase de la onda
Ondas esféricas:
( ) ( )trkio eE
rtrE 1, ω±⋅=
Las superficies de fase constante, son ahora esferas y se elige signo positivo o negativo según se trate de una entrante o saliente respectivamente. El término 1/r , es físicamente de esperar:
2EHES ∝×=
La energía que atraviesa (por unidad de tiempo) una esfera de radio r será: por conservación de la energía. Por lo quer 4 2 ∀= cteSrπ S tendrá que ser
proporcional a 1/r2
rE 1∝⇒