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7/23/2019 Regulador Optimo Cuadratico Lqr
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REGULADOR PTIMO CUADRTICO LQR
Ing. Alonso Chica Leal
El Control ptimo Cuadrtico es una estrategia de control que busca
minimizar un ndice de desempeo en un sistema de control. Recordando el
significado de un ndice de desempeo, se puede decir que ste es la
similitud entre el desempeo deseado y el desempeo real de un sistema o
proceso. Este tipo de ndice es directamente proporcional a las diferenciasexistentes entre ellos. De esta manera, si las diferencias son grandes entre
desempeo real y el desempeo deseado, entonces el ndice ser grande y si
por el contrario las diferencias son pequeas el ndice ser pequeo. Debido
a esto, se busca minimizar este ndice ya que al hacerlo se logra llevar el
desempeo real a un punto muy cercano del desempeo deseado.
ndice de desempeo para LQR:
[ ]
=
++=1
0
*** )()()()(2
1)()(
2
1 N
k
kRukukQxkxNSxNxJ
(6.1)
El trmino cuadrtico en LQR se debe al trabajo con matrices, ya que las
matrices pueden representar sistemas lineales de ordenn, haciendo lo
siguiente.
= =
=n
i
n
j
jiij
T xxaAxx0 0 (6.2)
Lo que dice la ecuacin (2), es que cualquier forma cuadrtica se puede
escribir siempre como AxxT
para matrices simtricas y Axx*
para matrices
hermticas o hermitianas.
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Si se observa con atencin el ndice de desempeo (6.1) se puede ver
que existen un S, Q y R que estn siendo multiplicados por trminos de
la forma Axx*
, entonces (6.1) es una forma cuadrtica de un sistema
matricial y por eso se habla de control ptimo cuadrtico.
Ahora considerando un sistema de control definido por
cxkHukGxkx =+= )0(_);()()( (6.3)
en este sistema se identifican los siguientes elementos:
)(kx es el vector de estado, )(ku es el vector de control, G es una matriz
nxn y H es una matriz nxr.
El problema del control ptimo cuadrtico esta en encontrar un valor de
secuencia de u(k) que minimice el ndice de desempeo (6.1).
Tambin se pueden definir las matrices Q, R y S as:
[ ]
=
++=1
0
*** )()()()(2
1)()(
2
1 N
k
kRukukQxkxNSxNxJ
(6.4)
Q es una matriz hermtica definida positiva o semidefinida positiva
(esto quiere decir que 0* >Axx para 0x , en el caso de ser definida
positiva y 0* Axx para 0x para el caso en que es semidefinida
positiva). Esta matriz va ligada a la importancia de los estados durante
la transicin.
R es una matriz definida positiva de r x r, y esta ligada a la importancia
de la entrada. S es una matriz definida positiva de n x n que va ligada
al estado final.
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Existen varios mtodos para minimizar el ndice de desempeo pero el
ms comn es empleando los multiplicadores de Lagrange.
El mtodo de los multiplicadores de Lagrange busca encontrar valores
extremos de funciones de varias variables que tienen algn grado de
restriccin. En trminos generales este procedimiento hace que los
valores extremos de una funcin f(x,y,z), cuyas variables estn sujetas a
una restriccin g(x,y,z)=0, se encuentran sobre la superficie g=0 en los
puntos donde:
gf = Para algn escalarllamado multiplicador de Lagrange.
Una forma muy comn de encontrar los reguladores cuadrticos para
tiempo discreto con horizonte finito es:
,1 kkk BuAxx +=+ co 0x conocido (6.5)
Siendo (6.5) muy parecida a (6.3) con la salvedad de que se le han dado
otros nombres a las matrices.
Por otro lado la funcin de costo tambin se puede encontrar de la
forma:
[ ]
=
++=1
02
1
2
1 N
k
k
T
kk
T
kN
T
NN RuuQxxPxxJ
(6.6)
La ecuacin (6.6) es similar a (6.1), la diferencia radica en que (6.6)
trabaja con matrices transpuestas pero no conjugadas.
Si a (6.6) se le aplica el mtodo de los multiplicadores de Lagrange se
obtiene la siguiente ecuacin:
[ ]
=++ +++++=
1
011 )(2
1
2
1 N
kkkk
T
kk
T
kk
T
kN
T
NN BuAxxRuuQxxPxxJ (6.7)
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Donde (k+1) es el conjunto de multiplicadores de Lagrange, se deriva
esta funcin con respecto a u(k), (k+1) y x(k) y luego por tratarse de un
mtodo para hallar mnimos se iguala a cero obteniendo:
0)1()(
)(=++=
BkRkuku
J TTN (6.8)
0)()()1(
)1(=+++=
+
kBukAxkxk
JN
(6.9)
0)1()()(
)(=++=
AkkQkxkx
J TTTN (6.10)
0)()(
)(==
NNPxNx
JN
(6.11)
Este problema se debe plantear como un sistema de ecuaciones de
diferencia con condiciones de frontera. Despejando )1( +kT de la
ecuacin (6.8) se obtiene
1)()1( =+ RBkuk (6.12)
el exponente negativo significa que es un denominador que se paso a
numerador
Ahora despejando )1( +kT de (6.10) se obtiene
1)()()1( =+ AQkxkk TT (6.13)
Despejandox(k+1)de (6.9)
)()()1( kBukAxkx +=+ (6.14)
Si se despejau(k)de la ecuacin (6.12) y esta se reemplaza en (6.14)
quedara
BkRBkAxkx )1()()1( 1 ++=+ (6.15)
Ahora reemplazando (6.12) en la ecuacin anterior se llega a
( )[ ]BAQkxkRBkAxkx T 11 )()()()1( +=+
Realizando los productos del parntesis
[ ]QkBxARBAkRBkAxkx )()()()1( 1111 ++=+
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Recordando que en matrices B*B es igual aTBB ese producto de B
queda
)()()()1( 1111 kQxARBBkARBBkAxkx TT ++=+
Factorizando x(k) y (k) finalmente se llega a
[ ] [ ] )()()1( 11 kARBBkxQABRBAkx TTTT +=+
Siendo la anterior una condicin de frontera y ahora si se despeja
)1( +k de (6.10)
)()()1( kAkQxAk TT +=+
Siendo la anterior la otra condicin de frontera.
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
0x conocido, )()( NPxN = y )()()( kxkPk = , la entrada ptima del
sistema esta dada por:
DespejandoRu(k)de la ecuacin (6.8) y reemplazando )(k tenemos que
TBkkRu )1()( +=
TBkxkPkRu )1()1()( ++= (6.16)
Reemplazando (6.14) en (6.15)
[ ] TBkBukAxkPkRu )()()1()( ++=
TT BkBukPBkAxkPkRu )()1()()1()( ++=
[ ]TT BBkPRkuBkAxkP )1()()()1( ++=+
T
T
BBkPR
BkAxkPku)1(
)()1()(++
+=si se hace
TBBkPRkS )1()1( ++=+ entonces queda
[ ]TBkAxkPkSku )()1()1()( 1 ++= (6.17)
Ahora se toma la ecuacin (6.9) y se reemplaza )()()( kxkPk =
QkxAkk T )()1()( ++=
QkxAkxkPkxkP T )()1()1()()( +++= (6.18)
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reemplazando nuevamente la ecuacin (6.14) en la anterior tenemos
que
[ ] )()()()1()()( kQxAkBukAxkPkxkP T +++= (6.19)
Ahora se reemplaza (6.16) en (6.17) y se tiene que
( )()()1()1()()1()()( 1 kQxABkAxkPkSBkAxkPkxkP TT +++++=
Si se hace x(k)=1 y se hacen las respectivas operaciones de la ecuacin
anterior quedara
QkPkSBBkPkPAAkP TT +++++= )1()1()1()1()( 1
Esta es una ecuacin de Riccati usando el mtodo de barrido (invertir
limites de integracin) se resuelve a partir de las condiciones de frontera
del estado final )()()()( NxNPNPxN == y se pueden calcular todos los
valores de P(k) hasta P(0), la entrada esta descrita como una
realimentacin de estado
)()()( kxkKku =
])([)()( 11 QkPABRkK TT = (6.20)
Evaluando el ndice de desempeo mnimo. Por ecuacin de frontera
SNP =)( entonces,
=
++=1
0
)]]()()()([2
1)()()(
2
1min[min
N
K
TTT kRukukQxkxNxNPNxJ (6.21)
Multiplicando )(kxT por la ecuacin (6.19)
)()()()1()1()()()( kQxkxkxAkxkPkxkxkP TTTT +++=
(6.22)
Remplazando )1()1()1( ++=+ kxkPk en la ecuacin (6.15), luego
factorizamos )1( +kx , despejamos )(kAx para finalmente tener como
resultado la siguiente ecuacin:
])1(1)[1()(])1(1)[1()( 11 TTTTT BkPBRkxkxABkPBRkxxAx +++=+++=
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De la ecuacin (6.22) despejamos )()( kQxkx T y a la vez remplazamos
)(kxA TT , encontrada anteriormente en la misma ecuacin (6.22):
TTTTT BkPBRkxkxkPkxkxkPkxkxkPkQxkx )1()1()1()1()1()1()1()()()()()( 1 +++++++=
(6.23)
Por otra parte tomando )(ku de la ecuacin (6.16) y hallando el
respectivo )(kuT , se desea tener la ecuacin )()( kRuku T , entonces,
)1()1()()1()1()( 11 ++=++= kxkBPRkukxkPBRku TTT
)1()1()1()1()()( 1 ++++= kxkBPkxkPBRkRuku TTT (6.24)
Sumando (6.23) con (6.24) y remplazando la suma en la ecuacin (6.21)
=
++++=1
0
min )]1()1()1()()()([2
1)()()(
2
1 N
K
TTT kxkxkPkxkxkPNxNPNxJ
Desarrollando la sumatoria quedara
)()()()1()1()1(....................
.)2()2()2()1()1()1()1()1()1()0()0()0([21)()()(
21
min
NxNxNPNxNxNP
xxPxxPxxPxxPNxNPNxJ
TT
TTTTT
+++=
Cancelando trminos tenemos que
)()()(2
1)0()0()0(
2
1)()()(
2
1min NxNPNxxxPNxNPNxJ
TTT +=
Cancelando el primer trmino con el ltimo, el ndice de desempeo
mnimo sera:
)0()0()0(2
1min
TxxPJ =
Para el caso de horizonte infinito en sistemas discretos se asume que
)(kP alcanza una condicin de estado estable, por lo tanto se parte de la
misma ecuacin deJminy se hace el mismo desarrollo pero teniendo en
cuenta el cambio del nuevo P.
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=
+++=1
0
min )]1()1()()([2
1)()(
2
1 N
K
TTT kxkPxkxkPxNPxNxJ
De la misma manera que para el caso anterior se hace el desarrollo
correspondiente
)()()1()1(....................
.)2()2()1()1()1()1()0()0([2
1)()(
2
1min
NxNPxNxNPx
xPxxPxxPxxPxNPxNxJ
TT
TTTTT
+
+++=
Cancelando trminos elJminpara caso este sera
)0()0(2
1min
TxPxJ =
Ejemplo de minimizacin de una funcin para horizonte infinito
Considerando el sistema de control definido por:
)(6321.0)(3679.0)1( kukxkx +=+ 1)0( =x
Determinar la ley de control que minimiza el siguiente ndice de
desempeo
=
++=9
0
222 )]()([2
1)]10([
2
1
k
kukxxJ
Solucin
En este ejemplo se puede observar que S= 1, Q = 1, R=1
Mediante la siguiente ecuacin AkPBBRkPAQkP TT 11 )]1(1)[1()( ++++= se
obtiene lo siguiente
)3679.0()]1(6321.0)1(6321.01)[1(3637.01)( 1++++= kPkPkP
Simplificando 1)]1(3996.01)[1(1354.01)( ++++= kPkPkP
Teniendo en cuenta la condicin de frontera SNP =)( , donde 1)10( =P
Se calcula )(kP desde k=9 hasta k=0
1)]10(3996.01)[10(1354.01)9( ++= PPP
0967.1)]1(3996.01)[1(1354.01)9( 1 =++= P
1032.1)]0967.1(3996.01)[0967.1(1354.01)8( 1 =++= P
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1036.1)]1032.1(3996.01)[1032.1(1354.01)7( 1 =++= P
1037.1)]1036.1(3996.01)[1036.1(1354.01)6( 1 =++= P
0,1,2,3,4,5,1037.1)( == parakkP
Observe queP(k)se aproxima al valor de estado estacionario, el cual
esta dado por 1))(3996.01)((1354.01)( ++= ssPssPssP
Factorizando queda
01)(4650.0)(3996.0 2 =+ ssPssP
Resolviendo la cuadrtica obtenemos 1037.1)( =ssP
La ganancia de realimentacin se puede calcular de la ecuacin (6.20)
1)(7181.1)(
]1)([)3679.0)(6321.0(1)( 1
==
kPkK
kPkK
Al sustituir los valores deP(k) se obtiene
0)11(7181.1)10( ==K
1662.0)10967.1(7181.1)9( ==K
1773.0)11032.1(7181.1)8( ==K
1781.0)11036.1(7181.1)7( ==K
1781.0)0(.......)5()6( ==== KKK
La ley de control ptimo esta dada por: )()()( kxkkkU =
Como: )()](6321.03679.0[)(6321.0)(3679.0)1( kxkKkukxkx =+=+ se obtiene
00424.0)0166.0))(1781.0(6321.03679.0()4(
0166.0)0652.0))(1781.0(6321.03679.0()3(
0652.0)2553.0))(1781.0(6321.03679.0()2(
2553.0)1)(1781.0(063213679.0()0()]0(6321.03679.0[)1(
======
== =
x
x
x
xKx
Para k=5,6.10 se aproxima a cero.
Ahora hallamos la secuencia de controlu(K)
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000756.0)00424.0(1781.0)4()4()4(
00296.0)0166.0(1781.0)3()3()3(
0116.0)0652.0(1781.0)2()2()2(
0455.0)2553.0(1781.0)1()1()1(
1781.0)1(1781.0)0()0()0(
===
======
======
xKu
xKu
xKu
xKu
xKu
10,.....6,5,0)( == paraKku
El valor mnimo del ndice de desempeo es:
5518.0)1)(1037.1)(1(2
1)0()0()0(
2
1min === xPxJ T
Ejemplo Diseo de Control ptimo
Ecuaciones de Estado y Optimizacin por el mtodo LQR
Descripcin del modelo.
La figura 9 presenta un sistema de pndulo invertido en el cual el
objetivo consiste en controlar la respuesta de la barra, descrita por el
ngulo(t)por medio de la fuerzaF(t)aplicada al carro.
Figura 9. Modelo del pndulo invertido
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Para este ejemplo se tomarn los siguientes valores para el modelo
fsico:
Masa del carro (Mcarro)=0.5Kg.
Masa de la barra (Mbarra)=0.2Kg.
Coeficiente de friccin del carro (b)=0.1N/m/s.
Longitud de la barra (2L)=0.3m.
Inercia de masa de la barra (Ibarra)=0.006Kg.m2.
Entrada (F): Fuerza aplicada al carro.
Salida 1 (x): Desplazamiento del carro.
Salida 2 (): rotacin de la barra.
Ecuaciones de movimiento.
Para determinar las ecuaciones de movimiento del sistema se elabora el
diagrama de cuerpo libre (DCL) para cada una de las partes en estudio
(i.e. carro y barra). La figura 10 muestra el DCL para cada una de estaspartes.
La segunda ley de Newton relaciona la accin de las fuerzas aplicadas a
un cuerpo con la aceleracin de sta. En trminos de una igualdad
vectorial esta ley se define como:
F m a=
(E.1)
M I = r(E.2)
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Figura 10. DCL de las partes que componen el sistema (derecha: carro, izquierda:
barra)
Donde
F
es la sumatoria de las fuerzas aplicadas al cuerpo,M
lasumatoria de momentos,mla masa del cuerpo,Iinercia de masa delcuerpo,ala aceleracin lineal yla aceleracin angular. Para el caso
del carro, puesto que nicamente se traslada y no rota, la ecuacin
(E.2) no aporta informacin importante al problema. Tomando fcomo
la fuerza de friccin que es ejercida sobre el carro, la relacin vectorial
obtenida a partir de la ecuacin (E.1) es:
x carro carroF F N f M a= =
(E.3)
Para el caso de la barra se obtienen al aplicar las ecuaciones (E.1) y
(E.2) las siguientes relaciones vectoriales:
x arra arraF N M a= = (E.4.1)
2
0 arra arra arra arraM M ! s"n# $%g # I M %! $ = = +
(E.4.2)
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El desplazamiento de la barra est relacionado con el movimiento del
carro y la rotacin de la misma como se muestra en la figura 3. Con
base en eso se pueden construir las ecuaciones siguientes:
arrax # & $ x# & $ ! s"n# # & $$=
(E.5.1)
arra'x # & $ 'x# & $ ' # & $
! cos# # & $$'& '& '&
=
(E.5.2)
22 2 2 2
2 2 2 2
arra' x # & $ ' x# & $ ' # & $ ' # & $
! cos# # & $$ ! s"n# # & $$'& '& '& '&
= +
(E.5.3)
Figura 11. Desplazamiento del centro de masa de la barra
Conociendo que la friccin del carro es proporcional a la velocidad del
mismo las ecuaciones (E.3), (E.4) y (E.5) permiten expresar lassiguientes igualdades:
2
2carro
' x 'xM F N
'&'&=
(E.6.1)
22 2
2 2arra
' x ' ' M ! cos# $ ! s"n# $ N
'&'& '&
+ =
(E.6.2)
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2
arra arra arra arraM ! s"n# $ g I M ! = +
(E.6.3)
Al reacomodar las ecuaciones precedentes se obtienen las ecuaciones de
movimiento:
( )22 2
2 2arra carro arra arra
' x 'x ' ' M M M ! cos# $ M ! s"n# $ F
'& '& '& '&
+ + +
(E.7.1)
( )
2 22
2 2arra arra arra arra
' ' xI M ! M ! g s"n# $ M ! cos# $
'& '&
+ =
(E.7.2)
Si se asumen ngulos pequeos para el movimiento de la barra, las
siguientes relaciones pueden ser asumidas:
1)cos( (E.8.1)
)(s"n (E.8.2)
( ) 12 '&
' (E.8.3)
Al Linealizar las ecuaciones (E.7.1 y E.7.2)
( )
2 2
2 2arra carro arra arra
' x 'x ' M M M ! M ! F
'&'& '&
+ + +
(E.9.1)
( )
2 22
2 2arra arra arra arra
' ' xI M ! M ! M ! g
'& '&
+ + = (E.9.2)
Luego de manipular las ecuaciones (E.9.1 y E.9.2) se obtiene:
( ) ( ) ( )2
22 2
2 arra arra arra arra arra
' x 'x I M ! M ! g I M ! F
'&'&
= + + + +
(E.10.1)
( )
2
2 arra arra arra carro arra
' 'xM ! M ! g M M M ! F
'&'&
= + + +
(E.10.2)
donde( )( )2arra arra carro carro arraI M M M M != + + .
(E.10.3)
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Modelo representado por ecuaciones de estado.
Para la representacin del sistema por medio de ecuaciones de estado
se definen las siguientes variables de estado:
1x # & $ x# & $=
(E.11.1)
2
'x# & $x # & $
'&=
(E.11.2)
3x # & $ # & $=
(E.11.3)
4
' # & $x # & $
'&
=
(E.11.4)
de donde se obtienen las ecuaciones de la forma:
'x# & $A x# & $ B F# & $
'&= +
r
(E.12)
( )
( )
22
0 1 0 0
0 0
0 0 0 1
0 0
arraarra arra
arra arra carroarra
M ! gI M !
A
M ! g M MM !
+ =
+
2
arra arra
arra
I M !
BM !
+ =
donde( )( )2arra arra carro carro arraI M M M M != + + .
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Para el anlisis del sistema, se toman como salidas el desplazamiento
del carro junto con el ngulo de la barra. La entrada al sistema est
descrita por la fuerza que sobre sta se ejerce.
La salida queda entonces representada por
1 1( # & $ x# & $ x # & $= =
2 3( # & $ # & $ x # & $= =
De esta manera, las matrices que definen la salida quedan definidas
por:
(# kT $ ) x# kT $ * u# kT $= +
donde
1 0 0 0
0 0 1 0)
=
0
0*
=
Requerimientos de diseo:
Para controlar el movimiento del pndulo se supondrn algunos
requerimientos. El requerimiento bsico es el de no exceder un error en
estado estacionario del 2% en ninguna de las salidas. El tiempo que
demore la posicin del carro en alcanzar el punto estable no debe
superar un segundo. Finalmente, el sobresalto permitido no debe
superar el 5% para el ngulo del pndulo.
SI simulamos la referencia de entrada con una funcin escaln,
entonces se debe cumplir que:
Tiempo de estabilizacin para x y
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tiempo (s)
Respuesta del sistema de pendulo invertido a entrada escalon
Carro (x)
Barra (teta)
Figura 12. Respuesta del pndulo ante la entrada escaln
Diseo de control por medio de LQR
El diagrama de bloques del sistema realimentado es el siguiente:
Figura 13. Diagrama de bloques del sistema con realimentacin de estado
Para estimar la realimentacin del sistema se emplear la tcnica del
Regulador Lineal Cuadrtico (LQR). Este mtodo permite encontrar la
matriz de realimentacin ptima basada en un balance entre el error en
el sistema y el esfuerzo requerido por el control. Para el empleo de este
mtodo se requiere definir tres parmetros: Matriz de ndice de
desempeo (R), matriz de costo-estado (Q) y factores de ponderacin (a0
y a1). Por simplicidad se emplearn los parmetros tales que:
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R=1
0
1
0 0 0
0 0 0 00 0 0
0 0 0 0
a
Qa
=
Asumiendo inicialmente los valores para el ndice de desempeo y la
ponderacin unitarios, se obtiene la siguiente matriz de realimentacin
K:
[ ]0 9384 1 5656 18 0351 3 3368K % % % %=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2x 10
10 Respuesta sin realimentacion
Carro (x)
Barra (teta)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Respuesta con realimentacion
Carro (x)
Barra (teta)
Figura 14. Pndulo con realimentacin y con realimentacin
Influencia de los parmetros de optimizacin
Al variar los parmetros del mtodo de optimizacin se pueden obtener
diferentes respuestas del sistema. La figura 7 presenta algunos de estos
resultados.
-
7/23/2019 Regulador Optimo Cuadratico Lqr
19/19
0 2 4 6-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1x=1 y=1 R=1
Carro (x)
Barra (teta)
0 2 4 6-10
-5
0
5x 10
-3x=5000 y=100 R=1
Carro (x)
Barra (teta)
0 2 4 6-3
-2
-1
0
1x=1 y=1 R=100
Carro (x)
Barra (teta)
0 2 4 6-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02x=5000 y=100 R=100
Carro (x)
Barra (teta)
Figura 15. Cambio de los parmetros de optimizacin
Resultado del diseo
De los resultados obtenidos y presentados en la figura 7, se puede
determinar que una realimentacin definida por el vector K tal que
[ ]36 7238 20 7851 63 9704 12 6117K % % % %=
Obtenido con los parmetros de diseo R=1 y
5000 0 0 0
0 0 0 0
0 0 100 0
0 0 0 0
Q
=
Se obtiene una respuesta que satisface los requerimientos de diseo
estipulados anteriormente:
Tiempo de estabilizacin para x y