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Unidad 1: Los números enteros ……………………… Pag. 3Unidad 2: Potencias y raíces ………………………… .Pag. 33Unidad 3: Fracciones y decimales ………………… ..Pag. 64Unidad 4: Expresiones algebraicas ………………… Pag. 91Unidad 5: Ecuaciones ………………………………… Pag. 130
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Los números enteros
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1.1 Repaso
• Tipos de números
El conjunto de los números naturales se escribe así:
El conjunto de los números enteros se escribe así:
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• Números enteros
Los números enteros son los naturales, sus negativos y el cero.
En la vida hay muchas situaciones que nos obligan a usar los números enteros, como por ejemplo las temperaturas por debajo de los cero grados (hoy hace una temperatura de –2 grados en Madrid) o el número de planta en un ascensor que baja del nivel de la calle (“Está usted en la planta –3, aparcamiento”).
Por eso, aquellos números que usas para contar desde pequeño (números naturales) pueden ser ahora negativos. El conjunto de los números naturales, sus negativos y el cero (el cero no tiene signo), forman los números enteros.
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• Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero a es su distancia al 0. Se escribe así:
Ejemplo: Calcula
a
3,3- +
Propiedad: Como la distancia al cero es cero, .0=0
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Ejercicio: Sabiendo que el valor absoluto de un número es su distancia al cero, ¿por qué ?00 =
Ejercicio: Los valores absolutos de –2, -1, 0, +4, +6 y 13 son:
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• Entero opuesto
Dos números enteros a y b son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Se escribe op(a).
Ejemplo: El -3 y el +3 son opuestos.
Observación: Como el cero no tiene signo, no podemos calcular su opuesto.
Ejercicio: Calcula los opuestos de –3, +4, -1 y 0.
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Ejemplo:
1.2 Suma y resta de enteros
• Suma de dos enteros
Para sumar dos números enteros, seguimos la siguiente fórmula.
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Observación: También puedes hacerlo como si fueran euros.
•Sumar algo positivo�Darte dinero.
•Sumar algo negativo�Entregarte un recibo o una deuda para que pagues.
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Ejercicio:
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• Suma de varios enteros
Primer método: Agrupando positivos y negativos. Luego se suman.
Ejemplo:
Segundo método: Trabajando de izquierda a derecha.
Ejemplo:
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• Resta de dos enteros
Ejemplo:
Para restar dos números enteros, seguimos la siguiente fórmula:
a-b=a+op(b)
•Sumar algo positivo�Darte dinero.
•Sumar algo negativo�Entregarte un recibo o una deuda para que pagues.
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Ejercicio:
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Ejercicio: Calcula las sumasa) (+2)+(+3) b) 2+3 c) (+4)+3 d) (-3)+(-2) e) (-1)+(-4) f) (+2)+(-4) g) 2+(-4) h) 3+(-3) i) (-4)+7
Ejercicio: Calcula las restasa) (+2)-(+3) b) 2-3 c) (+4)-3 d) (-3)-(-2) e) (-1)-(-4) f) (+2)-(-4)g) 2-(-4) h) 3-(-3) i) (-4)-7 j) –5-3 k) –1-(-4)
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Ejemplo:
1.3 Multiplicación y división exactade enteros
• Multiplicación
Para multiplicar dos números enteros, seguimos la siguiente fórmula.
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Observación: Si tenemos que multiplicar varios enteros, se puede hacer de izquierda a derecha.
Ejemplo:
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a) Conmutativa: Si a y b son números enteros, entonces
• Propiedades de la multiplicación
Ejemplo:
abba •=•
)2()3()3()2( −•+=+•−
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b) Asociativa: Si a, b y c son números enteros, entonces
Ejemplo:
( ) ( ) cbacba ••=••
Observación: La propiedad asociativa nos dice que para multiplicar varios números enteros, podemos trabajar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.
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c) Distributiva de la multiplicación respecto a la suma: Si a, b y cson números enteros, entonces
Ejemplo: (Sin la propiedad)
(Con la propiedad)
( ) cabacba •+•=+•
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d) Factor común: Si a, b y c son números enteros, entonces
Ejemplo: (Sin la propiedad)
(Con la propiedad)
( )c+b•a=c•a+b•a
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Ejemplo:
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e) Elemento neutro: Si a es un número entero, entonces
aa11a =•=•
f) Factor cero (“Propiedad de Bart Simpson”): Si a es un número entero, entonces
0a00a =•=•
¡Multiplícate por cero!
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• División exacta de enteros
Para dividir dos números enteros, seguimos la siguiente fórmula.
Observación: No se puede dividir entre cero.
∞==0a
;0a0
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Ejercicio: Calcula las multiplicacionesa) (+3)�(+3) b) 2�4 c) (+4)�3 d) (-5)�(-2) e) (-1)�(-4) f) (+2)�(-4) g) 2� (-4) h) 3�(-3) i) (-4)�7 j) 0�3
Ejercicio: Calcula las divisiones (si se puede)a) (+6) : (+3) b) 12 :3 c) (+4) :2 d) (-8) : (-2) e) (-5) : (-1) f) (+16) : (-4) g) 12: (-4) h) 3: (-3) i) (+6) : 0 j) 0 :3 k) 0 :2 l) (-8) : 0
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1.4 Operaciones combinadas con enteros
Método: Para resolver una operación combinada hay que seguir la prioridad mediante los siguientes pasos.
1º) Resuelve llaves, corchetes y paréntesis. Si hay varios, desde el interior hacia el exterior.
2º) Potencias y raíces.
3º) Multiplicación y división.
4º) Sumas y restas.
5º) En caso se igualdad de prioridad, trabajamos de izquierda a derecha.
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Ejemplo:
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Ejemplo:
Observación: Para cambiar un signo “menos” delante de un paréntesis por un “más”, se puede hacer cambiando todos los signos del interior.
Ejemplo:
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Ejercicio: Calcula a) (-2)+(+3)+5+(-6)+(-1)=b) (-3)-(-4)-(-5)+4= c) (-1)+3+(-2)-(-4)+7-(-2)+(-1)=d) -(-4)-(-3)+4-(-2)+3+(-6)-(-1)= e) -(-2)-(-2)+3-(-4)+6+(-4)=
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Ejercicio: Calcula a) (-1)�(-2)�4�3�5= b) (-2)�(-3)�(-2)�10= c) 2�2�(-3)�0= d) (-1)�(-1)�(-1)�(-1)�(-1)=
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Ejercicio: Calcula a) 6-6:(-2)-[-(-(-2)-2)-2]-4= b) c) d) ( ){ }2 3 3 ( 1) 2 1 − − − − + • − − + =
( ){ }3 2 2 ( 1) 1 2 − − − − + • − + − =
[ ]( 4) ( 2) 2 ( 1) 25 ( 5) 2 8− + − • • − − − − • − =
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Ejercicio: Calcula a) b) 8-8:(-2)-[-(-(-3)-2) -2]-2= [ ]36 : 16 : ( 7 3) 8 : ( 2 6)− − − + + − + =
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Potencias y raíces
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Ejemplo:
2.1 Repaso
• Concepto de potencia
aaaan •••= .....
El número a aparece n veces.
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Ejemplo: Encuentra los valores de a y p. (Hay varias soluciones)
pa=64
2
2
6
-8)(
8
-2)(3
6
4
2
=64
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• Base negativa
Propiedad:
Ejemplo:
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• Casos especiales
Propiedades:
Ejemplo:
10 =a aa =1
n
n
aa
1=−
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Ejercicio: Calcula a) (-2)2= b) (-2)3= c) –(-2)2= d) –(-2)3= e) –23=
Ejercicio: Escribe en forma de potencias de 2 o de 3.a) 9= b) 8= c) 1= d) 4= e) 27= f) 2= g) 3= h) 16=
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Ejercicio: Escribe en forma de potencias de (-2) o de (-3).9= b) -8= c) 1= d) 4= e) -27= f) -2= g) -3= h) 16=
Ejercicio: Escribe en forma de potencia de base a:a) b) c) d)2 3a a• = 3a a• = a a• = 2a a• =
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Ejercicio: Escribe en forma de exponente positivo.a) b) c) d)
Ejercicio: Escribe en forma de exponente negativo.a) b) c) (pista 2=21) d)
34− = 52− = =−3325− =
3
12
= =53
1 12
= [ ]( ) [ ]33 ______
1 1 18 22
= = =
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Ejemplo:
2.2 Operaciones de potencias conla misma base
Propiedad: nmnm aaa +=•
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Ejemplo:
Propiedad: nmnm aaa −=:
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Ejemplo:
Propiedad: ( ) nmnm aa •=
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Ejercicio: Escribe en forma de potencia de base 2(pista: no olvides que (-2)n=2n si n es par . En caso contrario, no )a) b)
c) d)
[ ]__4 8 2 2• • = [ ]__4 3( 2) 2 2 2− • • =
[ ]__24 ( 2) 16 2• − • =[ ]__62 2 ( 2) 32 2• • − • =
Ejercicio: Sustituye el cuadradito por el número que corresponda:a) b) [ ]___6 4( 2) : ( 2) ( 2)− − = − [ ] [ ] [ ] [ ]___ ___ ___81: 3 3 : 3 3 ____= = =
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2.3 Castillos de potencias
Alumno/a
¡SOCORRO!Sólo lo conquistarás si: 1) Cambias todos los números por la potencia indicada en la pista.2) Aplicas las propiedades de las potencias para simplificar el castillo.
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Ejemplo:
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Ejemplo:
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Ejercicio: Sustituye el cuadradito por el número que corresponda:a)
b)
c) d)
e)
f)
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]___ ___ ___ ___ ___ ___5(16 4) : 2 2 2 : 2 2 : 2 2 ___• = • = = =
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
___ ___ ___3 2__ 4 ___
4 4 4
: :___
a a a a a aa a
a a a−• = = = = =
( ) [ ]___43 22 = ( )[ ] [ ]____222aa =
[ ]( ) [ ] [ ]___2__2___424 2)2(22)42( ==•=•
( ) [ ]( ) [ ]___3___327 : bbbb ==
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Ejercicio: Sustituye el cuadradito por el número que corresponda:a)
b)
c) d)
e)
( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]___2___2___223___2
23______2232 2222222:222:162 ==•=•=•=•
( )[ ] [ ]( )[ ][ ]
[ ]( )[ ][ ]
[ ][ ][ ]
[ ][ ][ ]
[ ]
[ ][ ]___
___
___
___
2___
___
2___8
___
22___82
___
2__382238
22
2
2
2
2
22
2
22
2
2:22
8
2:22 ===•=•=•=•
( ) [ ] [ ]___999999999999 ___0888888 == ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]___22:216:2_________23 =−=−−=−
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]___33:381:3_________22 =−=−−=−
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Ejercicio: Sustituye el cuadradito por el número que corresponda:a) b)
c) d)
[ ]__
432
23
3)3()3(271
)93(=
−•
••−
−−
[ ]__
34
2
322
)(
1)(
aaa
aaa
=•−
••−
−−−
( )[ ] [ ]__
2
323
2)2(
161
822 =−•
••−
− ( )[ ][ ]__
4
3
13523
)(
1:
aa
aaaaa
=−
•••−
−
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2.4 Operaciones de potencias conel mismo exponente
Ejemplo:
Propiedad: mmm baba )( •=•
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Ejemplo:
Propiedad: m
mmm
ba
baba
== ):(:
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mmm
mmm
baba
baba
)(
)(
−≠−+≠+
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2.5 Cuadrados perfectos y raícescuadradas
Ejemplo: Vamos a ver todos los cuadrados perfectos desde el 1 hasta el 20
Los cuadrados perfectos son los que se obtienen elevando al cuadrado otros números enteros.
• Cuadrado perfecto
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Propiedad: Los cuadrados perfectos acaban en 0, 1, 4, 5, 6 y 9
Observación: Esta propiedad sirve para descartar a los números que no son cuadrados perfectos.
Ejemplo: ¿Qué dirías del 10287?
¿Y del 23456?
¿Qué opinas del 625?
![Page 56: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/56.jpg)
• Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta de un número entero a es otro número b cuyo cuadrado es igual al primero.
Ejemplo: ¿Cuál es la raíz cuadrada de 81?
abba =⇔= 2
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• Raíz cuadrada entera
La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor entero b cuyo cuadrado es menor que ese número, acercándose a él lo máximo posible.
Ejemplo:
Observación: Como es una raíz entera quitamos los decimales, por lo que se crea un resto.
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Ejemplo:
Encuentra el valor de los cuadrados en blanco:
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2.6 Equivalencia entre una raízy una potencia
Propiedad:
qPq P aa =
Ejemplo:
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2.7 Operaciones con raíces cuadradas
Propiedad:
Ejemplo:
=q q qa • b a • b
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Ejemplo:
Propiedad:
=q q qa : b a : b
Propiedad: ( ) •=m
q qp p ma a
Ejemplo:
![Page 62: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/62.jpg)
Ejemplo:
Propiedad:
![Page 63: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/63.jpg)
Ejercicio: Sustituye el cuadradito por el número que corresponda:a) b)
c) d)
[ ]__
4210
33 62
2)2()2(
2)22( =−•
••−
−− 543 222 •• −
[ ]__
74
3 52
xxx
xx =•
• − [ ]__
8
3
3024
1x
xx
xx =•
•−
−
−
![Page 64: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/64.jpg)
Fracciones y decimales
![Page 65: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/65.jpg)
•Total de cubitos: 26
•Fracción de las esquinas:
•Fracción de cubos con cara azul:
•Fracción de los “centros”:
3.1 Equivalencia de fracciones
• Repaso
826 9
266
26
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• Fracciones equivalentes
Ejemplo:
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un todo.
2 8 y
5 20
a c y
b d
![Page 67: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/67.jpg)
Ejemplo:
Método: Existen varios caminos para comprobar que dos fracciones son equivalentes.
2 8 y
5 20Gráficamente
8 : 4 2=
20 : 4 5
2 4 8=
5 4 20••
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• Común denominador, mcm y mcd
Ejemplo: Calcula el mcm(50,72)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y se multiplican todos los factores elevados al mayor exponente.
![Page 69: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/69.jpg)
Ejemplo: Calcula el mcd(48,60)
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números naturales es el mayor número que los divide sin dejar resto. Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y se multiplican todos los factores comunes elevados al menor exponente.
![Page 70: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/70.jpg)
Observación: Existen infinitos denominadores comunes para varias fracciones, pero el más pequeño es el que se obtiene haciendo el mcm.
Ejemplo: Transforma las fracciones en otras equivalentes con común denominador.
![Page 71: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/71.jpg)
• Fracción irreducible
Ejemplo:
Existen infinitas fracciones equivalentes a una dada. La más pequeña se llama fracción irreducible.
a a : mcd(a,b)Fracción irreducible de
b b : mcd(a,b)=
![Page 72: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/72.jpg)
Ejercicio: Comprueba si son equivalentes.a) b) c) d)4 12
12 36y
− − 6 94 6
y 5 66 8
y18 274 6
y
Ejercicio: Busca la fracción irreducible.a) b) c) 450
540− 2160
900
784140
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3.2 Comparación de fracciones
• Reducción a común denominador
Ejemplo:
![Page 74: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/74.jpg)
• Comparación de fracciones
Ejemplo: Propiedad: Si tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
2 5 10 1 5 1 2 10, , ,
3 3 3 3 3 3 3 3− − − −
⇒ < < <
Ejemplo: Propiedad: Si tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
3 3 3 3 3 3 3 3, , ,
2 4 10 7 10 7 4 2⇒ < < <
Propiedad: Si tienen distintos numerador y denominador, se pasan a común denominador y se comparan.
Ejemplo:
![Page 75: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/75.jpg)
3.3 Suma y resta de fracciones
• Uso del signo menos
ba
ba
ba
−=−=−
Poco usado
ba
ba
−−≠−
![Page 76: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/76.jpg)
Piensa un poco… Si yo sumo euros, ¿qué me salen? ¿Dólares o euros? Supongo que has pensado que esta pregunta es una tontería, y que la respuesta es euros.
Pues lo mismo pasa con las fracciones. Si sumo o resto tercios saldrán tercios y si sumo o resto onceavos saldrán onceavos. Por eso es obligatorio en la suma y la resta pasar antes a común denominador, porque es igual de absurdo sumar lápices con macarrones que sumar medios con tercios.
![Page 77: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/77.jpg)
• Con igual denominador
Ejemplo:
Método: Se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el denominador común.
• Con distinto denominador
Ejemplo:
Método: Se pasan a común denominador y se opera como en el apartado anterior.
![Page 78: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/78.jpg)
Ejercicio: Reduce a común denominador.a) b)
Ejercicio: Calcula.a) b) c)
4 3 5, ,
12 6 15− − 1 2 3 1
, , ,10 15 24 6
−
3 412 30− + = 3 3 5 3
7 14 42 28− − + − − =
1 3 2 22 ...( : 2 )
20 12 30 1pista
− + − + = =
![Page 79: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/79.jpg)
3.4 Multiplicación, inversa y división de fracciones
• MultiplicaciónEjemplo:
dbca
dc
ba
••=•
• Inversa de un fracción
ab
ba
ba
inversa1
=
=
− Ejemplo:
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• División
Ejemplo:
![Page 81: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/81.jpg)
Ejercicio: Calculaa) b) c) d)
e) f)
1 3 53
3 9 12− − − − + − − =
3 25 7
− • = 3 56 4
− • =2 4
4 5− −• =
2 8 3 2 33 2 4 6 2
− − • • + − =
3 1 1 1 16 2 4 3 9
− • + • − =
![Page 82: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/82.jpg)
Ejercicio: Calculaa) b) c) d)
e) f)
3 2:
5 7− =
3 5:
6 4− = 2 4
:4 5
− − =2 2 1 5
:3 3 6 2
− − − + − =
3 1 1 1 1:
6 2 4 3 9− • • − =
1 2 3: : 4
8 5 4− + =
![Page 83: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/83.jpg)
3.5 Potencias y raíces de fracciones
• PotenciasEjemplo:
n
nn
b
aba =
“Carne con carne”“Pan con pan”“Separador”
Observación: Las propiedades de las potencias que vimos para los enteros valen para las fracciones.
![Page 84: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/84.jpg)
• Raíces
Ejemplo:
Observación: Las propiedades de las raíces que vimos para los enteros valen para las fracciones.
n
nn
b
aba =
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Ejercicio: Calculaa) b) c) d)
e) f) g) h)
32
5− =
234
− =
523 =
51
2− =
22
3− =
( )32
3
−=
323
−− =3
23
− =
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3.6 Combinadas de fracciones
Método: Para resolver una operación combinada hay que seguir la prioridad mediante los siguientes pasos.
1º) Resuelve llaves, corchetes y paréntesis. Si hay varios, desde el interior hacia el exterior.
2º) Potencias y raíces.
3º) Multiplicación y división.
4º) Sumas y restas.
5º) En caso se igualdad de prioridad, trabajamos de izquierda a derecha.
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Ejemplo:
![Page 88: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/88.jpg)
Ejemplo:
![Page 89: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/89.jpg)
Ejercicio: Calculaa) b)
c) d)
( )221 2 4 1
2 3 9 2 5
− − − • − =
211 2
1 : 3 13 9
− − −
− − − + + =
1 1 4 3 1 1 53 3 3 8 12 4 9
− − − • − − + − •
3 5 3 1 1 518 36 40 24 60 120− −+ − + + +
![Page 90: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/90.jpg)
Ejercicio: Calculaa) b)
c)
1 1 2 12 2
9 30 5 3 − − − − − + + • +
3 1 2 4 ( 2)4 4 3 6 24
− − − + • − + =
1 3 3 2 2:
28 2 4 3 3− − − − − − − •
![Page 91: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/91.jpg)
Expresiones algebraicas
![Page 92: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/92.jpg)
4.1 Números y letras
• Letras para representar números
Ejemplo: hbA RECTANGULO •=
(E1 2 E2 3 E3)MediaMatemáticas Parte Entera 0,8 Cl Ac Ex
6+ • + • = • + + +
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Piensa un número. ¿Ya está? Súmale 2. Perfecto. Ahora divide todo por 3. ¿OK? Eleva esa división a 5. Si todavía te quedan ganas, réstale a todo el número que pensaste. FIN
Acabas de hacer una serie de operaciones absurdas, lo cual demuestra que eres capaz de hacer todo lo que te diga. ¡Gracias por confiar en mí aunque te mande tonterías!
Bueno, ahora en serio. Vamos a traducir mis órdenes anteriores en un lenguaje matemático llamado algebraico.
Ejemplo:
Piensa un número (Como nadie lo conoce salvo tú, lo puedo llamar x). ¿Ya está? Súmale 2 (Si a x le sumo dos me sale x+2). Perfecto. Ahora divide todo por 3 (¡He dicho todo! ). ¿OK? Eleva esa división a 5 (Pongo paréntesis para que la potencia afecte a todo) .
Si todavía te quedan ganas, réstale a todo el número que pensaste .
FIN
23
x +5
23
x + 5
23
xx
+ −
![Page 94: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/94.jpg)
• Del castellano al algebraico
Ejemplo:
•Piensa un número par.
•Multiplícalo por cinco.
•Súmale 2 unidades.
•Eleva todo al cuadrado.
•Calcula la mitad del total.
•Increméntala en una unidad.
![Page 95: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/95.jpg)
Ejercicio: Traduce al lenguaje algebraico:
a) Tres números naturales consecutivosb) El número par siguiente a 2nc) Tres pares consecutivosd) Dos números impares consecutivos e) El triple de un número imparf) El cuadrado de la suma de dos númerosg) La suma de los cubos de dos númerosh) La diferencia de un número y su cuadrado
![Page 96: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/96.jpg)
•Del algebraico al castellano
Ejemplo: 2x+1Un número impar
Un número par más una unidad
El número siguiente a un par
2x 2
2x
x2
− ( )22 yx2 − 22 ba +Ejercicio: Traduce al lenguaje castellano:
a) 2x b) c) d) e)
![Page 97: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/97.jpg)
•Expresión algebraica
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potencia. Algunas tienen significado, otras no…
Ejemplo:
El profesor explica la lección
Lápiz un del casa come aún la
4.2 Expresiones algebraicas
![Page 98: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/98.jpg)
En una expresión algebraica, se llama coeficiente a la parte numérica y parte literal a las letras con sus exponentes .
Observación: Cuidado al escribir la letra “y”.
Ejemplo:
![Page 99: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/99.jpg)
• Valor numérico
Ejemplo: Calcula el valor numérico para
a) b=3 m y h=4 m b) b=1,5 m y h=2 m c) b=2 m y c=2,5 m
Calcula el valor numérico de
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números determinados y hacer las operaciones indicadas:
![Page 100: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/100.jpg)
Ejercicio: Calcula el valor numérico de las expresiones para los valores quete indico:a) x2-3x para x= -3 b) para x=5
c) 3a-4b+2c para a=3, b= -1 y c=2 d) –x2 para x=-2 (¡Cuidado!)
2 53
x +
Ejercicio: Calcula el valor numérico de a+2b2-3c para los valores que teindico.a) a=1, b=1 y c=1 b) a= -1, b=0 y c=-2 c) a= -3, b=2, y c=1 d) a=0, b=-2 y c=-1
![Page 101: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/101.jpg)
4.3 Monomios y polinomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y la potencia de exponente entero no negativo.
Ejemplo: ¿Son monomios?
(Los monomios suelen estar disfrazados
tras una máscara, no te fíes de ellos…)
• Monomio
![Page 102: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/102.jpg)
• Grado de un monomio
Ejemplo:
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras.
Grado 3
Grado 0
Grado 4
Grado 3
Ejercicio: Calcula el grado de los monomios.
a) b) c) d)2 53
5a v− 3 33x yz abc
4xx
−
![Page 103: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/103.jpg)
• Polinomio
Ejemplo:
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de varios monomios. A cada monomio de un polinomio se le llama término.
Observación: A los polinomios de dos términos se les llama binomios y a los de tres trinomios. A los de más de tres, simplemente polinomios.
![Page 104: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/104.jpg)
• Grado de un polinomio
Ejemplo: Dime cómo se llaman y su grado
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
Polinomio de grado 3
Polinomio de grado 5
Trinomio de grado 2
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4.4 Operaciones con monomios
Dos monomios son semejantes si tienen las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
Ejemplo:
• Monomios semejantes
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Ejercicio: Dime si son semejantes los monomios entre sí.a) b) c) d)
e) f) g) h)
2 4 44x v , xv 3 3–2abc , 3bc a 2 3x, x , x 2 2az , 5z a −
as, sa 2 2 2 2b a, 5ab , 4ª b 2 2 2x , 3x , 2x − 3 2 2 2xy z , xyz y
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• Suma y resta de monomios
Ejemplo:
Método: Para suma o restar monomios semejantes, se suman o restan los coeficientes dejando la parte literal como estaba.
Observación: Para evitar despistes, se recomienda colocar la parte literal en orden alfabético.
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Ejercicio: Suma los monomios hasta donde puedas.a) b)
c) d)
e) f)
g)
2 22x 5x 10 x 2x 4x 7 + − + − + + = 2 28ab 2b 4ba 3b b ab 6b b − + − + + + − =
2 3 2 3 2 2 32x y z 3x y z x gh 6x zy 3hg+ − + − + = 3 32x 4x 5x x 5x 2x 7− + − + − − =
( )– 2x 3x 5x+ − = 2☺-3�+5�-2�+�+2�-☺=
( ) ( )– c 2c 5c 0,5c No tengas miedo a los decimales− + − =
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• Multiplicación de monomios
Ejemplo:
Método: Para multiplicar dos monomios se hace lo siguiente:•Se aplica la regla de los signos.•Se multiplican los coeficientes.•Se copian todas las letras.•Se suman los exponentes de las letras.
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Ejercicio: Multiplica.a) b) c)
d) e) f)
g) i) h)
23 5x x• = 2 3a a a• • = 2 33 5x y xy− • =
2 3 4 27 2 3a b a b z• • = 2 4 3 4 23 5s d s s d• • = 3 23 3 5x x x y• • • =
2 4 4 22 ( 3) 5a b c abc a c• − • = 2 22 1 53 4 2
x x x• • = 3 2 33 17 5
x y xy z− −• =
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• División de monomios
Ejemplo:
Método: Para dividir dos monomios se hace lo siguiente:•Se aplica la regla de los signos.•Se dividen los coeficientes.•Se copian todas las letras.•Se restan los exponentes de las letras.
![Page 112: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/112.jpg)
Ejercicio: Dividea) b) c)
d) e) f)
4 210 : 5x x = 5 3:a a = 2 4 33 : 5x y xy− =
2 3 27 : 3a b b = 4 4 4 28 : 5s d s d = 2 3 2 27 : 3a b b a =
![Page 113: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/113.jpg)
4.5 Operaciones con polinomios
Ejemplo:
• Suma y resta de polinomios
Método: Para sumar o restar polinomios:• Quitamos llaves, corchetes y paréntesis• Agrupamos los términos semejantes
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Ejemplo:
![Page 115: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/115.jpg)
Ejercicio: Opera y agrupaa)
b)
( ) ( )2 2 22 6 5 1 3 ( 4 2 1)x x xy x y x xy− − + − + − − + − =
( ) ( ){ }(3 2 ) 2 5 3 2 2 3 3 1 2a b a ab ab b a b ab a − − − − − + − + + − + − =
![Page 116: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/116.jpg)
• Multiplicación de polinomios
Ejemplo:
Método: Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva.
Ejemplo:
![Page 117: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/117.jpg)
Ejemplo:
![Page 118: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/118.jpg)
Ejercicio: Opera y agrupaa)
b)
c)
2 3 22 (3 2 3 4)x y x xy z y− • + − + =
2 3( 2 3 ) (3 2 5)b b a b ab− + • + − − =
( 2 )(2 3 )( 2)a b a a− + − − =
![Page 119: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/119.jpg)
• División de un polinomio entre un monomio
Ejemplo:
Método: Para dividir un polinomio entre un monomio aplicamos la propiedad distributiva de la división respecto a la suma.
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Ejercicio: Opera y agrupaa)
b)
c)
224223 x2:)xx8yx4x10x6( −+−+−
( )33 5 2 2 2 4 2 21( 3 6 ) : 2
4yx z x z xy xy z xyz xyz
−− + − + =
3 5 21( 2 ) : 2
4 7a
a a a a a− + − + − =
![Page 121: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/121.jpg)
4.6 Igualdades notables
mmm
mmm
baba
baba
)(
)(
−≠−+≠+
Ejemplo:
• Potencia de un monomio
![Page 122: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/122.jpg)
• Cuadrado de una suma
Vamos a calular el cuadrado de una suma para encontrar la fórmula:
ab2ba)ba( 222 ++=+Propiedad:
![Page 123: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/123.jpg)
Ejemplo:
Observación: El signo de la suma que hay entre a (1º término) y b (2º término), no pertenece a la b. Sirve para dos cosas:
•Separar los dos términos
•Indicar que es una sumaab2ba)ba( 222 ++=+
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Ejercicio: Opera y agrupaa) b)
c) d)
2 3 3 2 2(2 5 )x y x y+ =2
3 2 15
5a b b + =
2 2 2 2( 4 2 )a b a b− +2
3 2 2 312
4x y z y z + =
![Page 125: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/125.jpg)
• Cuadrado de una resta
Vamos a calular el cuadrado de una resta para encontrar la fórmula:
Propiedad:2 2 2( ) 2a b a b ab− = + −
![Page 126: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/126.jpg)
Ejemplo:
Observación: El signo de la resta que hay entre a (1º término) y b (2º término), no pertenece a la b. Sirve para dos cosas:
•Separar los dos términos
•Indicar que es una resta
2 2 2( ) 2a b a b ab− = + −
![Page 127: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/127.jpg)
Ejercicio: Opera y agrupaa) b)
c) d)
2 3 3 2 2( 2 3 )x y x y− − =
−2
23 b31
ba3
2 2 2 2( 3 5 )a b a b− −2
3 2 2 313
6x y z y z − =
![Page 128: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/128.jpg)
• Suma por diferencia
Vamos a calular una suma por diferencia para encontrar la fórmula:
Propiedad:22 ba)ba)(ba( −=−+
![Page 129: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/129.jpg)
Ejemplo:
Ejercicio: Opera y agrupaa) b)
3 31 14 4
3 3x b x b − • + =
( ) ( )3 32 3 2 3a b x a b x− − • − + =
![Page 130: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/130.jpg)
Ecuaciones
![Page 131: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/131.jpg)
5.1 Igualdades y ecuaciones
• Igualdades numéricas
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas del mismo valor unidas por el signo igual.
Ejemplo: ¿Son igualdades numéricas?
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• Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad con números y letras que expresa una condición que deben cumplir las letras. Estas letras se llaman incógnitas.
Ejemplo:
2 incógnitas2º gradoSistema de ecuaciones
3 incógnitas1º grado Sistema de ecuaciones
2 incógnitas1º grado Sistema de ecuaciones
1 incógnita2º gradoEcuación de
1 incógnita1º grado Ecuación de
=+=+
34y4x2
10yx
9
2 4 6
0
x y z
x y
z y
+ + = − = − − =
2 2 2
2 2
x y
xy
+ =
=
![Page 133: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/133.jpg)
Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las incógnitas para que se verifique la igualdad.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.
Despejar una incógnita es dejarla sola igualada a su valor.
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5.2 Resolución de una ecuación
• Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Ejemplo: Veamos que x=1 es solución de ambas ecuaciones.
2x
4)2x(2 2
=− 2x 2= Pues yo prefiero la 2ª, je, je..
![Page 135: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/135.jpg)
• Reglas de la suma y el producto
Ejemplo:
Método (Regla de la suma): Si a los dos miembros de una ecuación les sumamos o restamos un mismo número, o expresión algebraica, obtenemos otra ecuación equivalente.
![Page 136: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/136.jpg)
Ejemplo:
Método (Regla del producto): Si a los dos miembros de una ecuación losmultiplicamos o dividimos por un mismo número, o expresión algebraica, distintos de cero, obtenemos otra ecuación equivalente.
![Page 137: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/137.jpg)
• Pasos para resolver una ecuación
Ejemplo:
Método:1. Una vez que no queden productos
pendientes, quitamos denominadores2. Quitamos paréntesis3. Separamos números y letras4. Agrupamos5. Despejamos
Observación: Este método puede ser más lento, pero quizás más seguro porque evita algunos fallos de signos.
![Page 138: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/138.jpg)
Ejemplo:
![Page 139: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/139.jpg)
Ejercicio: Resuelvea) b) c)d) e) f)g) h) g)
2 8x = 3 6x− = 3 2 7x − =5 3 12x− − = 6 2 4 1x x− = + 3 5 9x x− = +
42
x= 3x = 3
2x =
![Page 140: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/140.jpg)
Ejercicio: Resuelvea) b) c)d) e) f)
( )3 3 5 7x x− − = (2 3 ) 2( 1) 5x x− − + − = 6 3( 4) 2 4 4x x x+ − − = −(4 2) 5 3 10x x x− − − + = − 6 (2 5) 10 2( 3)x x x x− − + = − − 1 ( 2) ( 4) 4(5 )x x x+ − − − = −
![Page 141: Refuerzo de la primera mitad del curso](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051522/588c5e751a28ab8e208b6488/html5/thumbnails/141.jpg)
Ejercicio: Resuelvea) b) c)
d) e) f)
2 (3 4) ( 3) 4 3x x x x− + − − − + − =2 4 3 6
42 12 6
x x x− −− = − 1 13
2 4x x
x− +− + =
3 81
2 3 5x x x
x x− −− + − = − + 5 2 2 1
22 4 2 2
x x xx
+ −− − = − +3 5 2 3
3 18 4 10
x x x+ − −− • − =