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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
PROPORCION
DIRECTA INVERSA COMPUESTA
PORCENTAJE
Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen
¿Qué son las razones y
proporciones?
Por ejemplo
La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar
Kg 1 2 3 4 7
euros 4 8 12 16 28
RAZÓN
Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas
Se puede escribir como
a : b
Se lee “a es a b”kb
aó
Antecedente
Consecuenteb
a
APLICACIONES
En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala.
Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa?
Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.
Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de
1000
13
Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.
APLICACIONES
La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados.
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de
habitantes por kilómetro cuadrado
¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!
APLICACIONES
3,91,30718
285255
PROPORCIONES
Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones
d
c
b
a
Se escribe
o a : b = c : d Se lee “a es a b como c es a d”
En toda proporción:
d
c
b
a
Extremos
Medios
OBSERVACIÓN
El producto de los medios es igual a los extremos.
d
c
b
a
Dada la proporción:
Se cumple:
cbda
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.
Kg 1 2 3 4 7
euros 4 8 12 16 28
47
28
4
16
3
12
2
8
1
4 4 es la constante de
proporcionalidad
Observación
Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.
Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye.
Ejemplo:
Más kg de pescado más euros
Menos kg de pescado menos euros
EJEMPLO
En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas?
20
123x
Se tiene:
Huevos Personas
3 12
x 20
Formando la proporción
También: calculando la K de proporcionalidad (o reduciendo a la unidad) tendremos 12 : 3 = 4 personas/huevo, luego 20 personas : 4 pers/huevo = 5 huevos
x 12203
huevosx 5
Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas
Resolviendo para x, se tiene que:
Actividad
Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?
Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Ejemplo: Número de pintores y tiempo en realizar un trabajo
Pintores 1 2 4 8 16
Días 48 24 12 6 3
1x48 = 2x24 = 4x12 = 8x6 = 16x3 = 48,, 48 es la K de proporcionalidad inversa
El número de obreros y el tiempo para realizar una obra
Observación
Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.
Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.
Ejemplo:
Más obreros menos tiempo
Menos obreros más tiempo
EJEMPLO
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
x
20
400
300
Se tiene:
Gallinas Días
300 20
400 x
Formando la proporción
x 40020300
díasx 15
Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos
Resolviendo para x, se tiene que:
Se invierte la segunda razón
20400
300 x
300x20 = K = 6000400 · X = 6000 X = 15
Actividad
Un depósito de agua se llena en 2 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?
Actividad: Tipo de Proporcionalidad
1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción...
2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es...
3. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es...
4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es...
5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...
6. El número de kilos de manzana y el precio a pagar es …
Introducción
Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.
Ejemplo
Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.
El 25% supondría que de cada 100 alumnos 25 son niñas.
CÁLCULO DE PORCENTAJE
Para trabajar con tantos por cientos, se procede de igual manera que en las proporciones directas
Ejemplo
Calcular el 32 % de 459.
La proporción que se debe formar es:
También como 32/100 = 0,32El 32% de 459 seríaO,32 x 459 = 146,88
100x = 32 · 459 = 14.688X= 14.688/100 = 146,88
Ejemplo ¿Qué porcentaje es 142 de 568?
Solución:
La proporción que se debe formar es:
Ejemplo De qué cantidad es 96 el 12%?
Solución:
La proporción que se debe formar es: