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Capítulo IV: Reconstrucción de imágenes
en sistemas PET mediante retroproyección
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4.1. Implementación práctica y dificultades
Hasta ahora se han obtenido soluciones analíticas en forma de
ecuaciones continuas para el caso de la reconstrucción de una imagen 2D a
partir de un conjunto de proyecciones con rayos paralelos. Pero esa solución no
es totalmente válida en la realidad por diversos motivos, entre los que podemos
citar los siguientes:
• El filtro |ω| no es absolutamente integrable y por tanto su
transformada inversa de Fourier F-1 no existe.
• El ancho de banda espacial de nuestro sistema será limitado debido a
la combinación de dos efectos: las características geométricas de la
naturaleza de la radiación, y la resolución limitada de los detectores.
• No podemos tomar infinitas muestras de un número infinito de
proyecciones, por lo que θ es discreto.
Además, existen otros aspectos prácticos que implican realizar
correcciones a los datos. En el presente capítulo, abordaremos todos estos
aspectos que surgen en la implementación real en lenguaje IDL del método 2D-
FBP.
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4.2. SSRB + FBP
La solución adoptada para la reconstrucción de imágenes en la consola
MMWKS ha sido el método 2D-FBP, utilizando rebinning axial previo para
mejorar la estadística de las proyecciones directas. El esquema del proceso que
sigue la consola se muestra en la figura 35.
Figura 35. Diagrama de bloques de la herramienta de reconstrucción implementada.
Hay que reseñar que un paso fundamental no explicado hasta el
momento y que aparece en la figura anterior es el de corrección de los
sinogramas, que se detalla en apartados posteriores.
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4.3. 3DRP
La herramienta desarrollada además incluye además la posibilidad de
emplear un método de reconstrucción 3D, concretamente el 3DRP. Se ha
insertado el código que implementa la algorítmica necesaria, y éste ha sido
integrado totalmente en la interfaz; pero el desarrollo de dicho código no forma
parte del trabajo realizado para el presente proyecto final de carrera.
Como ejemplo se muestra una comparativa (figura 36) de la misma
imagen de cerebro de rata obtenida con rPET y reconstruida por los dos
métodos disponibles. Es perceptible el mejor resultado obtenido con el método
3D, a costa de que el tiempo de procesado fue del orden de 10 veces mayor.
Figura 36. Reconstrucción de cerebro de rata en rPET. Vistas sagital, coronal y axial.
Arriba, mediante 3DRP. Abajo, empleando 2D-FBP.
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4.4. Aspectos prácticos en la implementación
4.4.1.- Distinción FBP – BPF – CBP
A pesar de que teóricamente el hecho de realizar las operaciones de
filtrado y retroproyección en un orden u otro, incluso en uno o en otro dominio,
no altera el resultado final, hay aspectos que surgen en la práctica que se
suelen pasar por alto y que originan importantes diferencias entre los métodos
FBP, BPF y CBP [28]. A continuación se presenta un análisis de estas 3 técnicas.
4.4.1.1. Método BPF: backproject-filter
La relación entre el laminograma (sinograma retroproyectado) y la
imagen original es:
2 2ˆ ( , ) ( , )
( ( , ))u vu v u v
u vω+
=∠
F B (30)
donde B(u,v) es la 2D FT del laminograma. El filtro con respuesta
impulsional 2 2u vρ = + se denomina filtro cono, debido a su aspecto.
El resumen del método según la teoría queda de la siguiente manera:
1. Elegir una función angular de ponderación no-nula w(θ).
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2. Realizar la retroproyección angularmente-ponderada del sinograma
( )pθ ρ para obtener el laminograma b(x,y) usando la ecuación:
3. Obtener la 2D FT del laminograma b(x,y) para obtener B(u,v).
4. Aplicar el filtro cono “modulado en ángulo” en el dominio Fourier usando
la ecuación (30).
5. El filtro cono anula la componente CONTINUA de ( , )f x y 8. Esta
componente se puede recuperar, entre otros métodos, usando la
propiedad de conservación del volumen de la transformada de Radon:
( , ) ( ) ,f x y dxdy p t dtθ θ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= ∀∫ ∫ ∫ (32)
8 En el punto 4.4.7, “El problema de la recuperación de la componente continua”, se
analiza con mayor profundidad este hecho y se proponen soluciones válidas.
0
( , ) ( ) ( cos sin )b x y p x y dπ
θω θ θ θ θ= +∫ (31)
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6. Para datos del sinograma con ruido, se puede calcular la integral para
todas las proyecciones y tomar la media para estimar la componente
CONTINUA:
0
1ˆ (0,0) ( )F p t dt dπ
θ θπ
⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ (33)
7. Hacer la 2D FT inversa de ˆ ( , )F u v para obtener finalmente ˆ ( , )f x y .
Este método se denomina BPF porque primero se retroproyecta el
sinograma, y luego se aplica el filtro cono para “deconvolucionar” el efecto
1/|ρ| de la retroproyección. En la práctica, además hay que considerar
una función de apodizado (ventana) para que ese filtro que metemos no
amplifique en exceso las altas frecuencias, y por tanto, ruido. Por esto en lugar
de (30) se considera:
2 2ˆ ( , ) ( , ) ( , )
( ( , ))u vF u v A u v B u v
u vω+
=∠
(34)
donde A(u,v) es un filtro pasobajo de apodizado. Si no existe ruido, la imagen
reconstruida satisface:
donde a(x,y) es la transformada inversa de Fourier 2D de A(u,v).
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Una dificultad práctica del método BPF es que el laminograma b(x,y)
tiene un tamaño (número de muestras o elementos) infinito, debido a las colas
de la respuesta 1/|r|. Por esto, en la práctica b(x,y) se trunca y eso
conlleva problemas en la deconvolución. Es más, si se usa la 2D FFT para
aplicar el filtro cono, se está realizando una convolución periódica que causa
efectos de plegado debido a la propia naturaleza paso-alto del filtro cono. Para
minimizar los efectos del truncado y de la convolución periódica, se debe
evaluar b(x,y) numéricamente sobre una rejilla de muestreo que sea
considerablemente mayor que el objeto ( , )f x y . Al aumentar de tamaño,
aumenta el coste computacional tanto de la operación de retroproyección como
las de 2D FFT necesarias para el filtro cono.
4.4.1.2. Método FBP: filter-backproject
Este método supera la limitación del anterior relativa al coste
computacional, y además tiene la ventaja de que sólo se necesitan
transformadas de Fourier 1D. Ahora el filtro que se aplica es el filtro rampa.
Hemos sustituido el esquema que seguimos en el método BPF:
por este otro:
Tomando ( ) 1ω θ = , el objeto filtrado ˆ ( , )f x y tiene el siguiente espectro:
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ˆ ( , ) ( , )F Fρ θ ρ ρ θ= (35)
Evidentemente, no podemos filtrar la imagen antes de tener sus
proyecciones: de cualquier forma, aplicando el teorema de cortes de Fourier,
tenemos que para cada proyección ˆ ( )Pθ ρ , la 1D FT es:
ˆ ˆ( ) ( , ) ( , ) ( )uu
P u F u F u P uθ θρρρ θ ρ θ
=== = = (36)
Esta relación (36) nos indica que podemos reemplazar el filtro cono del
método BPF por un conjunto de filtros 1D cuya respuesta en frecuencia es u
aplicado a cada proyección (.)pθ . Éste es el filtro rampa.
Por lo tanto, el esquema final que se sigue es el siguiente:
Este es el método FBP, y es el más utilizado. Los pasos que deben
seguirse son:
1. Para cada ángulo de proyección θ, calcular la 1D FT de la proyección (.)pθ para construir ( )P uθ .
2. Multiplicar ( )P uθ por el filtro rampa u .
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3. Para cada θ, calcular la 1D FT inversa de u ( )P uθ para obtener la
proyección filtrada ˆ ( )pθ ρ :
ˆ ( ) ( ) exp( 2 )p P u u j u duθ θρ π ρ∞
−∞
= ∫
En la práctica, este filtrado se realiza usando una FFT, que
conduce a una convolución periódica. Por el hecho de que el
kernel en el dominio del tiempo correspondiente a |u| no está
limitado en el espacio (infinitas muestras), la convolución periódica
introduce artefactos en la imagen en forma de “wrap-around”.
Además, muestrear el filtro rampa también puede introducir
artefactos. Una solución que se suele tomar añadir ceros (zero-
padding) en el sinograma en la dirección radial, aunque existen otros
métodos interesantes, analizados por Crawford en sus estudios sobre
los efectos de los artefactos producidos por aliasing [31].
4. El filtro rampa anula la componente continua de cada proyección. Esto se puede corregir de nuevo con (32). En la práctica, además se necesita un factor de escala para compensar el efecto de la discretización de las integrales.
5. Retroproyectar el sinograma filtrado { }ˆ ( )p rθ usando (31) para
obtener ˆ ( , )f x y :
0
ˆ ˆ( , ) ( cos sin )f x y p x y dπ
θ θ θ θ= +∫ (37)
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4.4.1.3. Método CBP: convolve-backproject
El filtro rampa amplifica el ruido de alta frecuencia, y por tanto en
la práctica se debe usar una función de apodizado que consiste en un filtro LP,
( )A u , que hace que se sustituya la ecuación (37) por:
ˆ ( ) ( ) ( ) exp( 2 )p P u A u u j u duθ θρ π ρ∞
−∞
= ∫ (38)
Alternativamente, esta operación de filtrado se puede realizar en el
dominio espacial, mediante una convolución radial:
ˆ ( ) ( ) ( )p p hθ θρ ρ ρ= ∗ (39)
donde el filtro (o kernel) ( )h ρ es la TF inversa de ( )A u u , es decir:
( ) ( ) exp( 2 )h A u u j u duρ π ρ∞
−∞
= ∫ (40)
A pesar de que el kernel de convolución habitualmente no está limitado
en el espacio, el objeto (y por tanto sus proyecciones) sí que son finitas en el
espacio, por lo tanto la convolución en el dominio del espacio es factible. Por
otro lado, la convolución en el dominio del espacio requiere un mayor coste
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computacional que una implementación en la frecuencia usando la FFT, por
lo que el uso del método FBP es “más atractivo” que el CBP en este sentido.
4.4.2.- Restauración del sinograma
Dado que el sinograma ( )pθ ρ tiene dos coordenadas (ρ y θ) se puede
interpretar como una imagen, a la cual se le pueden aplicar numerosos
métodos de tratamiento de imágenes para mejorarla. En concreto, operaciones
comunes son aplicarle diversos filtros (lineales y no lineales) para reducir ruido,
extrapolar datos perdidos y compensar el emborronamiento y atenuación [28].
Muchos de estos métodos se pueden denominar “estadísticos” porque
incorporan modelos de ruido.
Una operación lineal típica para un sistema con un emborronamiento
invariante espacialmente y una respuesta en frecuencia B(u) sería usar un filtro
de Wiener como función de apodizado A(u) en (38) de la siguiente manera:
*
2( )( )
( ) ( )p
B uA uB u S u
=+
(41)
Donde ( )pS u es un modelo para la densidad espectral de potencia de
( )pθ ρ bajo la (cuestionable) hipótesis de que ( )pθ ρ es un proceso aleatorio
WSS.
Los métodos no lineales (incluyendo los de reducción de ruido basados
en wavelets) son capaces de reducir más ruido que los lineales y con una
menor degradación de resolución espacial. En cualquier caso, cuando se
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combina un método no lineal de filtrado de sinograma con una reconstrucción
lineal FBP, las propiedades de resolución espacial resultante pueden ser muy
extrañas.
4.4.3.- Consideraciones sobre el muestreo
Se demuestra que para el caso de rayos paralelos proyectando la imagen
3D, si Δs es la separación entre 2 rayos consecutivos, para cumplir el criterio de
Nyquist y evitar así el aliasing, la máxima distancia entre los muestreadores de
la proyección debe ser de Δs/2, esto es, se requieren 2 cristales de centelleo
detectores (o puntos en los que se muestrea la señal) por cada rayo proyector
[29].
El número de proyecciones necesarias no es tan inmediato de obtener.
Como norma general, se suele aplicar una regla que dice que debe ser de al
menos π/2 veces el número de muestreadores de la proyección.
Por ejemplo, si el campo de visión es de 50 cm y la distancia entre rayos
es de 1 cm, se necesitarían al menos 100 muestreadores y 150 proyecciones.
4.4.4.- Efectos del ancho de banda finito
Durante la presentación teórica y demostración de los métodos de
reconstrucción analíticos, se suponía el caso ideal y no se consideraba un ancho
de banda limitado. En la práctica, sí hay que tenerlo en cuanta, ya que se
producirán unos efectos visibles en la imagen final reconstruida, y es imposible
trabajar en un sistema real (ordenador) donde se disponga del ancho de banda
infinito con el que evitaríamos estos problemas.
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En este apartado se realiza un análisis sobre los efectos que produce el
hecho de tener un ancho de banda limitado. En primer lugar, se estudia en la
reconstrucción de una imagen “punto”. Posteriormente se extiende la situación
al caso general de una imagen sin restricciones, y se finalizará aplicando los
resultados obtenidos a las dos operaciones básicas que se están realizando en
el método FBP implementado en la consola MMWKS: el filtrado y la
retroproyección.
4.4.4.1. Reconstrucción de un punto
Para estudiar lo que ocurre al reconstruir una imagen compuesta
únicamente por un punto, consideremos ( , ) ( ) ( )f x y f δ= =x x . Está claro que:
2 2( ) ( ) 1f d dδ= =∫ ∫x x x x (42)
y según la ecuación (5) podemos obtener las proyecciones:
( ) ' ( ') 1P dyθ ω δ∞
−∞
= =∫ x para todo θ (43)
Ahora, obtenemos la reconstrucción de ( )f x :
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[ ]2
20 0
1ˆ ( ) exp4
f d j dπ
θ ω ω ωπ
∞
= ⋅∫ ∫x x n (44)
Considerando el caso integrable en el que el ancho de banda de nuestra
reconstrucción es finito y limitado a ωs, se obtiene:
[ ]2
20 0
1ˆ ( ) exp4
s
f d j dω π
ωω ω θπ
= ⋅∫ ∫x x n (45)
Cualquier punto en el plano puede ser representado en coordenadas
polares mediante las fórmulas:
cosx r θ=
siny r θ=
Por lo que nuestra imagen reconstruida en el sistema polar viene dada por:
{ }2
20 0
1ˆ ( , ) exp cos cos sin sin4
s
f d j dω π
ρ θ ωω ωρ φ θ φ θ θπ
= + =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫
[ ]2
20 0
1 exp cos( )4
s
d i dω π
ωω ωρ θ φ θπ
= −∫ ∫
(46)
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O lo que es lo mismo, llamando ψ θ φ= − :
[ ]2
20
1ˆ ( , ) exp cos( )4
s
f d d jω π θ
θ
ρ θ ωω ψ ωρ ψπ
−
−
= =∫ ∫
2
20 0
1 exp cos( )4
s
d d jω π
ωω ψ ω ψπ
= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ ∫ x
20 0
1 exp cos( )2
s
d d jω π
ωω ψ ω ψπ
= ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∫ ∫ x
(47)
La solución de la integral en ψ es la función de Bessel de primera
especie y orden 0:
[ ]00
1( ) exp cosJ z jz dπ
θ θπ
= ∫ (48)
Y nos queda:
0 020 0
1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )2 2
sstf J d f J t tdt
ωωωω ω ω
π π== ⎯⎯⎯→ =∫ ∫
xxx x x
x (49)
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Esta última integral se resuelve también con la función de Bessel de
primera especie y orden υ. Tomando υ =1 y sω x , tenemos:
1ˆ ( ) ( )
2s
sf Jω ωπ
=x xx
(50)
Gráficamente, es un fenómeno parecido al “fenómeno de Gibbs”, y
depende de sω , como se muestra en la figura 37:
Figura 37. Efectos del ancho de banda finito en la reconstrucción de una imagen
“punto” en el origen de coordenadas (ver ecuación 27). Si la distancia se mide en mm,
sω tiene unidades de radianes * mm-1.
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4.4.4.2. Caso general
En el caso general, ( )f x será la distribución (cualquiera) de la propiedad
de nuestra imagen, radiación, de una u otra naturaleza en función del tipo de
imagen. Por ejemplo, para el TC, ( ) ( )f μ=x x , donde ( )μ x es la función de
distribución bidimensional de los coeficientes de absorción lineal. Así, cualquier
imagen viene descrita por:
2( ) ( ') ( ') 'f f dδ∞
−∞
= −∫x x x x x (51)
Según las ecuaciones estudiadas para el caso continuo, la imagen
reconstruida tendrá la forma:
[ ]2 2ˆ ( ) [ ( )] ( ') ( ') ' ( ') ( ') 'f h f h f d f h dδ δ∞ ∞
−∞ −∞
⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫x x x x x x x x x x (52)
Y del caso de la imagen puntual obtuvimos que:
[ ] 1( ') ( ' )2 '
ssh Jωδ ω
π− = −
−x x x x
x x (53)
Por lo tanto, la imagen reconstruida es directamente:
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1 2( ') ( ' )ˆ ( ) '2 '
ss f Jf d
ωωπ
−=
−∫x x x
x xx x
(54)
4.4.5.- La etapa de filtrado
Como ya se ha mencionado antes, el hecho de que nuestro sistema
tenga un ancho de banda limitado implica que habrá una cierta frecuencia ωs a
partir del cual no se puede trabajar. Si tenemos en cuenta este hecho en la
transformada inversa de Fourier:
[ ] ( )12 2
0
1 1 1( ') exp ' cos '2 4 2
s s
s
h x F d j x d xω ω
ω
ω ω ω ω ω ω ωπ π π
−
−
= ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫ ∫ (55)
donde 'x = ⋅x n (figura 17) y '( ')h x es la respuesta impulsional del filtro.
Integrando la ecuación (55) llegamos a:
( ) ( )2 2
cos ' 'sin ' 1( ')
2 's s sx x x
h xx
ω ω ωπ
+ −= (56)
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Ahora, suponemos que tomamos una muestra cada τ cm de cada
proyección paralela9. Para que no se produzca aliasing que traería consigo la
aparición de artefactos, el ancho de banda de nuestro sistema, ,será 2π/(2τ) =
π/ τ 4. Por tanto tenemos que ' nx τ= , con n=0,1,2,3...(N-1), y así, de la
ecuación (55):
[ ] ( ) ( )2 2 2
cos sin 12
n n nh n
nπ π π
π τ+ −
= (57)
donde [ ] 20
10 lim [ ]4n
h h nτ→
= = .
Por consiguiente, la expresión del filtro en el dominio del tiempo será:
[ ]2
2 2 2
1 , n 040, n
1 , n
para
h n para par
para imparn
πτ
π τ
⎧ =⎪⎪
= ⎨⎪ −⎪⎩
0, 1, 2, 3,...n = ± ± ± (58)
9 Para cumplir el teorema de Nyquist a la hora de muestrear y evitar así el aliasing, si W representa una
frecuencia mayor que la máxima componente frecuencial de cada proyección, las proyecciones se deben muestrear con
un periodo de muestro no mayor que T=1/2W. Este parámetro T es el que aparece en este documento como τ.
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En los puntos de muestreo nτ, los valores que toma la proyección
filtrada pueden obtenerse mediante la expresión (15), es decir:
[ ]0 ( ) [( ) ]m
Q n P m h n mθτ τ τ τ∞
=−∞
= −∑ (59)
En la práctica, cada proyección tendrá un número finito de muestras, por
lo que los extremos del sumatorio se pueden rescribir como:
[ ]1
00
( ) [( ) ]N
mQ n P m h n mθτ τ τ τ
−
=
= −∑ (60)
Esta última ecuación (60) implica que para determinar Qθ en los N
puntos de muestreo, la longitud de la secuencia respuesta impulsional h[n]
debe ser 2N-1, por ejemplo, n variando entre –(N-1) hasta (N-1).
La convolución discreta de la ecuación (60) se podría implementar
directamente, pero resulta más eficiente si se realiza en el dominio de la
frecuencia, mediante la FFT. Se debe tener presente que mediante algoritmos
rápidos de cálculos de DFT, como es la FFT, en la ecuación (59) estamos
haciendo una convolución no periódica o lineal, mientras que en la
ecuación (60) realizamos una convolución circular. De esta manera, si la
secuencia Qθ tiene una longitud de P puntos y la respuesta impulsional [ ]h n
tiene una longitud de H muestras, la longitud máxima de la secuencia Qθ será
(P + H – 1) puntos. Por tanto, Qθ y H tienen que ser aumentadas de tamaño
añadiendo ceros hasta alcanzar la longitud (P + H – 1) para evitar la aparición
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de interferencias inherentes a la convolución periódica en forma de artefactos
en la ecuación (60).
Como corolario, podemos concluir que si Pθ tiene N muestras, hay
extender mediante ceros las secuencias Pθ y H hasta alcanzar los (2N –1)
puntos. Más aún, si estamos usando algoritmos FFT con base 2 tenemos que
asegurarnos de que cada secuencia sea extendida hasta NF elementos, donde
NF es el menor entero que es potencia de 2 y mayor que (2N –1).
Con esto, la implementación de la ecuación (60) se puede expresar
como:
{ }0ˆˆ( ) ( ) ( )Q n IFFT FFT P n FFT h nθτ τ τ τ⎡ ⎤⎡ ⎤= × ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (61)
Por último, debido a que el filtro [ ]h n es un filtro rampa, y no interesa
que amplifique las altas frecuencias por el ruido, se multiplica por alguna
ventana, como se comentó anteriormente. Esta operación se realiza en el
proceso de filtrado, y, por ejemplo, sería multiplicar cada FFT por una ventana
Hanning:
[ ] 0.5 0.5cos[2 /(2 1)], 0 2 10, . . .h
n N para n Nn
e o cπ
ω− − ≤ ≤ −⎧
= ⎨⎩
(62a)
Otras ventanas clásicas son las del coseno, Shepp-Logan y Ram-Lak, que
han sido implementadas según las siguientes ecuaciones [35]:
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[ ] cos[ /(2 1)], 0 2 10, . . .c
n N para n Nn
e o cπ
ω− ≤ ≤ −⎧
= ⎨⎩
[ ]sin[ /(2 1)] , 0 2 1
/(2 1)0, . . .
S L
n N para n Nn Nn
e o c
ππω −
−⎧ ≤ ≤ −⎪ −= ⎨⎪⎩
[ ] 1, 0 2 10, . . .R L
para n Nn
e o cω −
≤ ≤ −⎧= ⎨
⎩
(62b)
(62c)
(62d)
Con esto, la ecuación (15) queda finalmente:
{ }0ˆˆ( ) ( ) ( ) hQ n IFFT FFT P n FFT h nθτ τ τ τ ω⎡ ⎤⎡ ⎤= × × ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (63)
Así pues, el filtro rampa teórico no será demasiado útil en la práctica,
siendo necesaria una implementación que utilice ventanas (figura 38):
Figura 38. Filtros habitualmente utilizados en FBP.
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4.4.6.- La etapa de retroproyección
La operación de retroproyección es un paso crítico en todos los métodos
de reconstrucción basados en el teorema de cortes de Fourier, por los
siguientes puntos:
• Debido a la propia forma discreta de nuestras muestras, los
puntos en las proyecciones, t, no coinciden con valores (x,y) tales
que t = xcosθ + ysenθ, por lo que es necesario elegir un esquema
adecuado de interpolación.
• Dado un número de muestras en la proyección Nρ , para decidir el
número de proyecciones necesarias para conseguir la misma
frecuencia de muestreo angular que radial, seguimos la siguiente
relación:
/ 2/ 2
R R N NN N θ ρ
θ ρ
π π⋅= ⇒ = ⋅ (64)
siendo necesario disponer de un número de proyecciones mínimo
dado por / 2N Nθ ρπ= ⋅ .
En la práctica, esta naturaleza discreta hace que la integral que define la
operación de retroproyección tenga que ser aproximada por una suma de
Riemann:
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0
( , ) ( ) ( cos sin )b x y w p x y dπ
θθ θ θ θ= +∫ (65)
Teniendo en cuanta que los rayos de las proyecciones son
equiespaciados (fijados por los detectores) se pueden expresar de la forma
1i
inθ
θ π⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1,...,i nθ= (66)
Entonces nos queda:
1
( , ) ( cos sin )i
n
i ii
b x y p x yn
θ
θθ
π θ θ=
≈ +∑ (67)
Hay 3 aproximaciones posibles [28], que pasaremos a detallar a
continuación junto con un análisis del efecto de la interpolación:
• Retroproyección basada en rotación • Retroproyección por trazado de rayos (RAY-DRIVEN
BACKPROJECTION)
• Retroproyección por píxel (PIXEL-DRIVEN BACKPROJECTION)
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En la práctica no sólo el ángulo de proyección θ es discreto, sino que
además sólo disponemos de muestras radiales discretas. Ignorando ruido y
emborronamiento, lo que realmente tenemos por sinograma es:
[ ]0, ( )
( )i R
i n ny n pθ θ θ ρ
ρ= = − Δ
= , 1,...,i nθ= , 0,..., 1n nρ= − (68)
donde habitualmente n0=nρ/2 o no=(nρ-1)/2. Para este tipo de sinogramas (que
son los reales), la imagen final reconstruida dependerá del método utilizado, ya
que, aunque en teoría todos conducirían al mismo reultado, se diferencian en
cómo se discretizan las ecuaciones.
Además, está claro que por la propia forma discreta de las muestras, las
proyecciones de un punto mediante un rayo no tienen porqué caer en puntos
que tengamos muestreados, por lo que será necesaria la interpolación, que, por
otro lado, bastará con que sea bilineal en muchos casos.
4.4.6.1. Retroproyección basada en rotación
Se puede rescribir la ecuación (67) como:
1( , ) ( , )
n
ii
b x y b x yθ
=
= ∑ (69)
donde la retroproyección de la i-ésima “vista” viene dada por:
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*( , ) ( cos sin )i i ii i ib x y p x y P p
θ θθ θ θ= + = (70)
Para el caso de sinogramas muestreados radialmente (sistema de
coordenadas en polares), la implementación de la retroproyección para i=1
( 0θ = ) es trivial: simplemente se trata de coger la primera fila del sinograma y
se construye una matriz. Para otros ángulos (otros valores de θ ), se siguen los
siguientes pasos:
1. Reproducir la i-ésima fila del sinograma para construir una imagen, como si se tratara del caso ( 0θ = ).
2. Rotar la imagen en el sentido contrario a las agujas del reloj según θ .
Este paso requiere interpolar, se puede usar la interpolación bilineal u otra más precisa.
3. Se suma para todo ángulo según la ecuación (69).
De esta forma, se tendría un “bucle exterior” (el más grande), en que se
va variando el ángulo iθ . Este método es fácil de implementar, pero es muy
lento debido al coste computacional de la operación de rotación.
4.4.6.2. Retroproyección por trazado de rayo (RAY-DRIVEN
BACKPROJECTION)
En este método se giran todos los rayos y para cada uno de ellos se
interpola [ ]iy n sobre los píxeles cuyos centros están cercanos al punto final del
rayo L(nΔR, ϕi). Cuando los puntos de muestreo en el espacio polar coinciden
con los puntos de muestreo en la imagen, este método y el anterior conducen
exactamente a la misma imagen discreta.
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4.4.6.3. Retroproyección por píxel (PIXEL-DRIVEN
BACKPROJECTION)
Para obtener la imagen reconstruida, necesitamos calcular b(x,y) sólo en
una rejilla o grid finito de píxeles {f(xj,yj) : j = 1,...,np}. En este método, se
evalúa la ecuación (67) para cada punto de la rejilla, rellenando de esta forma
la matriz imagen. Para su implementación, el bucle exterior hace variar el índice
del píxel (j), y un bucle interior va variando los ángulos iθ .
En cualquier caso, el argumento radial de la ecuación (67),
cos sinj jx yθ θ+ , difícilmente coincide con alguno de los puntos de muestreo
radial (n-no)ΔR . Por lo tanto, este método requiere una interpolación radial.
Normalmente, se usa una interpolación lineal, que se describe
matemáticamente de la siguiente manera:
[ ] 0( )( )i
Ri
n R
n np y nθρρ
⎛ ⎞− − Δ≈ Λ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
∑ (71)
donde la función triángulo unitario se define como:
1 , 1( )
0, . . .t t
te o c
⎧ − ≤⎪Λ = ⎨⎪⎩
(72)
A pesar de que esta fórmula es apropiada para análisis teóricos, su
implementación en la práctica no conduce a una interpolación lineal en
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condiciones. Considerando que la función triángulo tiene 2 instantes de
muestreo, para cualquier ρ dado, sólo habrá dos términos de la ecuación (71)
no nulos. Una expresión alternativa es:
[ ] [ ]0 0( ( ) ) ( ( ) 1 )( ) ( ) ( ) 1i
R Ri i
R R
n n n np y n y nθρ ρ ρ ρρ ρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − Δ − + − Δ≈ Λ + + Λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) 1 ( ) 1c c
i iR R
n ny n y n
ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(73)
donde se definen:
0
0
[ ] ( )[ ] /
R
R
r n n nn r r n
− Δ
Δ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (74)
También se suelen usar otras interpolaciones, como la FFT
sobremuestreada o funciones spline.
4.4.6.4. Efectos de la interpolación
Si el número total de proyecciones, Mproj, es lo suficientemente grande, y
las proyecciones están distribuidas uniformemente de 0 a 180º, la ecuación
(15) puede aproximarse por [28]:
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1 1
ˆ ( ) ( ) ( cos sin )proy proy
i i
M M
i i ii iproy proy
f Q Q x yM Mθ θ
π π θ θ= =
= ⋅ = +∑ ∑x x n (75)
Esta ecuación pone de manifiesto que cada proyección filtrada hace la
misma contribución a cada punto de la imagen, (x,y), mediante proyecciones
paralelas. En cualquier caso, al retroproyectar Qθι a un punto (x,y), se necesita
evaluarlo en x’=x cosθ + y sinθ , y puede ocurrir que en este punto no se
conozca el valor de Qθι, ya que hay por medio un proceso discreto de muestreo.
En esos casos, es posible averiguar el valor de Qθι que corresponde al punto
(x,y) de la imagen mediante interpolación. En la mayoría de las ocasiones, es
suficiente con una interpolación lineal.
Generalizando la ecuación (71), supongamos que usamos una
interpolación de la forma:
[ ] 0( )ˆ ( )i
Ri
n R
n np y n hθρρ
⎛ ⎞− − Δ≈ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
∑ (76)
para algún kernel de interpolación h(.). Supongamos además que ( )pθ ρ está
limitada en banda, con una frecuencia máxima menor que 1/2ΔR. Con esto, y
con el teorema de muestreo (ignorando el ruido), se tiene que:
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1( ) ( ),ˆ 2( )0, . . .
i
i R
P u H u uP u
e o c
θθ
⎧⎪ Δ= ⎨⎪⎩
≺ (77)
Por ejemplo, cuando h es una interpolación lineal como (71), se tiene
que H(u)=ΔR sinc2(ΔR u), que es estrictamente positivo para |u|<1/2ΔR.
Por lo tanto, mientras estemos aplicando el filtro rampa |w| en la versión
discreta de:
ˆ ( ) ( ) exp( 2 )p P u u j u duθ θρ π ρ∞
−∞
= ∫ (78)
también podemos aplicar el filtro inverso 1/H(u) para compensar los efectos de
la interpolación.
La etapa de retroproyección es, sin duda, el paso más costoso en tiempo
de ejecución del proceso de reconstrucción. Por esta razón, hay mucho trabajo
en la línea de conseguir esquemas de retroproyección rápidos como Fast
Hierarchical Backprojection (FHBP) [32].
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4.4.7.- El problema de la recuperación de la
componente continua
En un entorno discreto, la operación de filtrado se puede derivar a partir
del muestreo del filtro continuo ya sea en el dominio espacial o en el de la
frecuencia [25]. La reconstrucción resultante de estos dos métodos es
virtualmente idéntica. Si embargo, el método basado en el muestreo del filtro
en el espacio de Fourier da lugar a una deriva de la componente continua de la
imagen, más algunos artefactos de shading de baja frecuencia en las
reconstrucciones resultantes [31]. En la siguiente figura se muestra un perfil a
lo largo de un diámetro de un disco de radio 64 (en blanco) y el perfil
equivalente en la imagen reconstruida (en rojo).
Figura 39. Efectos del filtrado en el dominio de la frecuencia.
En el dominio de Fourier el filtrado se realiza por medio de una
multiplicación del conjunto de proyecciones con la función que define el filtro en
la frecuencia dada por la expresión (75). La ventaja principal de esta
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implementación es la reducción del tiempo de cálculo (se trata de una simple
multiplicación de dos matrices). El inconveniente es que se introducen los
artefactos mencionados anteriormente debidos al muestreo del filtro en
frecuencia: pérdida de componente continua (debido a que la primera muestra
del filtro rampa discreto es 0) y aliasing en el espacio. Para compensar estos
artefactos será necesario seguir alguna de las 3 estrategias que se proponen a
continuación.
4.4.7.1. A partir del sinograma
Esta estrategia se basa en el hecho de que el número de cuentas
recogidas en cualquier proyección debe coincidir con el total de cuentas de la
imagen (propiedad de conservación del volumen de la transformada de Radon
[28]):
( , ) ( ) ,f x y dxdy p t dtθ θ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= ∀∫ ∫ ∫ (79)
Para sinogramas con ruido (caso real), se puede calcular la integral para
todas las proyecciones y tomar la media para estimar la componente continua
(mejorando la relación señal a ruido):
0
1'(0,0) ( )F p t dt dπ
θ θπ
∞
−∞
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫ (80)
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Con este método se trata de compensar la deriva global, por lo que
habrá que repartir la diferencia de cuentas en las proyecciones con las de la
imagen reconstruida entre todos los píxeles de la imagen. De forma
esquemática sería:
Offset = (cuentas imagen – (cuentas sino)/num. ángulos)/píxeles en imagen .
Este offset se sumará a todos los píxeles de la imagen.
4.4.7.2. A partir del valor de píxeles del fondo de la imagen
Teniendo en cuenta que en la parte del campo de visión que no está
ocupada por el objeto los píxeles de la imagen reconstruida deben ser cero
(valor del fondo), se puede calcular la deriva global buscando una zona de
fondo y calculando la media de esos píxeles. Este valor habrá que restarlo a
todos los píxeles de la imagen.
El problema de este método es que hace necesario un algoritmo para
buscar la zona de fondo, lo que es inviable en imágenes donde todo el FOV
está ocupado por objeto a reconstruir.
4.4.7.3. A partir del análisis del filtro
Un método formal de recuperar la continua y que permite a su vez
eliminar los efectos comentados de shading es hacer un análisis teórico de las
propiedades del filtro, como propone Crawford [31]. Si consideramos la versión
muestreada de las proyecciones filtradas:
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/ 2 12 /
/ 2
1( , ) ( , ) ( )M
j ik Ms S
k M
Q i S k R k eM
πθ θ−
=−
= ∑
12 /
0( , ) ( , )
Nj ik M
S si
S k P i e πθ θ−
=
= ∑
(81)
(82)
siendo M la longitud de la DFT inversa, M par y R(k):
2 / 2( ) ,SR k kM
ω π= ,..., 1
2 2M Mk = − − (83)
La función correspondiente a R(k) en el dominio del espacio se puede
obtener haciendo la DFT inversa de (83):
( ) ( ) ( )s sr i h i a i= + (84)
donde:
2
0
sin ( )2( )( )
2
skk
b i kMa i
i kM
π
π
∞
=−∞≠
⎛ ⎞−⎜ ⎟= − ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑ (85)
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La función ( )r i está definida para todos los valores de i y es periódica
con periodo M, y se tiene que sólo los valores de ( )r i en el rango
[ ( 1), 1]N N− − − son necesarios para hacer el filtrado.
La proyección filtrada a partir del filtro construido en la frecuencia se
puede obtener convolucionando ( , )sP iθ con ( )r i :
( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )]s s s sQ i h i P i a i P iθ θ θ= ∗ + ∗ (86)
El primer término es la proyección filtrada obtenida a partir del filtrado
en el espacio, mientras que el segundo es el causante de la deriva de
componente continua y del shading.
En ( )sa i , el término de continua se puede aproximar por [31]:
2
1 1NDCM Tπ
≈ − (87)
Teniendo esto en cuenta, se puede corregir el filtro rampa restando al
primer término (término R(0)) en (83) el valor anterior. De esta forma se
compensa el efecto de la deriva en continua aunque sigue existiendo shading.
Para eliminar también este efecto se pueden corregir los siguientes coeficientes
del filtro R(k) sustituyéndolos por los coeficientes teóricos de la DFT de sh :
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( / 2) 12 /
( / 2)( ) ( ) ,
Mj ik M
s si M
H k h i e π−
−
= −
= ∑ ,..., 12 2M Mk −
= − (88)
Si tenemos en cuenta que:
2
2
2 2
, 0( ) 0,
4 ,
S par
impar
B lh l l
B ll π
⎧⎪ =⎪⎪= ⎨⎪⎪−⎪⎩
(89)
y simplificamos, resulta:
22
2
8( ) (1 ( )) ( )s M MBH k B S k S kMπ
≈ − + (90)
con B representando el ancho de banda del sistema y
( / 4) 1
20
( / 4) 12
0
cos 2 (2 1) / )(2 1)( )(2 1)
M
iM M
i
k i MiS ki
π−
=−
−
=
++=+
∑
∑ (91)
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El efecto de estos dos artefactos, deriva de componente continua y
shading, se puede reducir también rellenando con ceros las proyecciones antes
de hacer la FFT. La reducción de los artefactos se confirma teóricamente con el
término M en el denominador de la fórmula del término de continua. Cuantas
más muestras tengamos del filtro (menor intervalo de muestreo en la
frecuencia), menor será el porcentaje de frecuencias que serán asignadas a
cero. Para ello es necesario rellenar la imagen con ceros de forma que se
aumente la frecuencia de muestreo en el espacio de Fourier y con ello el
número de coeficientes que definen un periodo para igualar a la definida para
el filtro.
El problema es que este relleno con ceros aumenta el tiempo requerido
para efectuar el filtrado. En la figura 40 se muestra el resultado de aplicar
relleno con ceros (zero-padding) antes de filtrar para factores de relleno de dos
y tres veces la imagen:
Figura 40. Resultado de aplicar relleno con ceros antes de filtrar.
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4.4.8.- Correcciones del sinograma
Los sinogramas reales obtenidos en un sistema PET presentan algunos
efectos que los separan de lo que se esperaría obtener desde un punto de vista
puramente teórico. Este hecho se puede comprobar fácilmente con una imagen
de llenado de campo: para un FOV relleno de actividad homogénea, el
sinograma teórico debería ser una imagen en la que cada píxel tomara el
mismo valor. En cambio, se aprecia fácilmente que el sinograma obtenido
presenta un perfil tal como el que se muestra en la figura 41.
Figura 41. Necesidad de corrección del sinograma.
Sin embargo, esta falta de uniformidad no supone un problema, ya que
los factores que causan este efecto están perfectamente identificados, y se
pueden aplicar correcciones al sinograma obtenido para compensarlos.
4.4.8.1. Corrección por exposición angular
Se trata de compensar el hecho de que hay posiciones concretas en las
que los bloques detectores de rPET permanecen más tiempo, captando por
tanto más actividad y, en definitiva, descompensando el sinograma. Esto se
debe a que el sistema de adquisición es rotatorio, pero por motivos
tecnológicos (principalmente cableado) la rotación no es constante en un
mismo sentido, sino que el anillo en el que se encuentran situados los bloques
detectores gira hasta una posición concreta, y seguidamente invierte su sentido
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de rotación. Esto se hace sucesivamente hasta completar la duración del
estudio. Por tanto, en las posiciones en las que se invierte el sentido de
rotación hay un tiempo muerto mientras se realiza el cambio que hace que se
detecten más cuentas en dichas posiciones.
Conocidos los datos necesarios (ángulos en los que se invierte el sentido
de giro, velocidad de rotación, etc.), el algoritmo que soluciona este problema
es inmediato, y se encuentra implementado en la función list2sin o
rPET_sinowin, según la versión de la consola MMWKS, encargada de realizar el
paso de modo lista a sinograma, externas a IDL por motivos de velocidad.
4.4.8.2. Corrección de decay y tiempo muerto
Otros efectos no deseados que se producen son los denominados decay
y el tiempo muerto [33].
En el primer caso, hay que considerar a la hora de construir el sinograma
el instante de tiempo en el cual se recibe una cuenta, o más exactamente, el
incremento de tiempo entre las cuentas recibidas. Como se ha descrito en el
capítulo segundo de la presente memoria, la actividad del radiofármaco
detectado decae con el tiempo según su vida media, por lo que se obtienen
menos cuentas a medida que pasa el tiempo del estudio. Este hecho es más
relevante de lo que pueda aparentar en principio, ya que los estudios
(adquisiciones) estándar pueden durar incluso horas. Si bien es cierto que en
un estudio estático obtenido en poco tiempo este efecto puede no apreciarse, la
corrección se vuelve especialmente crítica en estudios dinámicos, donde cada
frame presentará menos cuentas según pasa el tiempo, y en estudios de cuerpo
completo hechos por trozos en diferentes posiciones de cama, en los que, si no
se corrigiera, notaríamos una diferencia entre los niveles de gris de cada cama
y una falta de homogeneidad muy evidente en la unión de las mismas.
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Conocidos los instantes de tiempo en los que se detecta cada cuenta y la
vida media del radiofármaco, el algoritmo que corrige los efectos es inmediato,
y se encuentra implementado en la función reseñada anteriormente.
El problema del tiempo muerto deriva del hecho de que los circuitos de
coincidencia no pueden procesar más de un evento hasta un tiempo después
del precedente. Es decir, tras detectar una cuenta, el sistema queda
“insensibilizado” durante un periodo de tiempo denominado “tiempo muerto”.
Se puede corregir aplicando una fórmula muy simple:
01mnmT
=−
(92)
Donde n es el número de eventos reales, 0T el tiempo muerto del
sistema y m el número de eventos procesados.
4.4.8.3. Corrección de la sensibilidad transaxial
Es también necesario “ponderar” las proyecciones en el sinograma para
compensar el efecto de la geometría del sistema de adquisición, por la que
cada punto del objeto contribuye de forma diferente en función del ángulo
sólido visto por los detectores, que depende de su distancia al centro de
rotación, como se muestra en la figura 42. Es evidente que, a medida que nos
alejamos de dicho centro, la detección “en coincidencia” hace que la radiación
procedente de esa zona no pueda ser captada de igual manera que la
procedente de la zona central (más favorecida).
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Figura 42. Efecto de la sensibilidad transaxial.
Este efecto se puede corregir fácilmente de forma teórica, sin más que
multiplicar cada sinograma correspondiente a una sección 2D por el inverso de
una rampa que simula el efecto explicado (figura 43). El sinograma obtenido
aparecerá “escalado” por una rampa que toma su valor mínimo en los extremos
de ρ y alcanzará su máximo justamente en ρ/2, y lo que se hace para corregirlo
es “desescalarlo” para compensar dicha sensibilidad, según la figura 43, donde
el eje horizontal representa los valores de ρ. Así se corrige el sobremuestreo del
sinograma que lo hace más brillante en el centro, y posteriormente se impone
que el número de cuentas permanezca constante tras la operación.
Figura 43. (a) Rampa teórica de escalado del sinograma. (b) Corrección aplicada:
inversa de la rampa de la figura (a).
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En este punto surgen dos nuevos problemas. El primero de ellos es
que, en determinadas ocasiones, y debido a pequeños desalineamientos casi
inapreciables y prácticamente incorregibles, la rampa que viene implícita en el
sinograma no es la esperada teóricamente, y mediante la corrección teórica
podemos subcorregir o sobrecorregir el sinograma con respecto a los valores
adecuados. La solución pasa por emplear un método de corrección basado en
datos experimentales y no teóricos, como veremos a continuación.
El segundo problema que aparece al aplicar la corrección consiste en que
hay puntos del sinograma que se multiplican por un valor y otros que lo hacen
por un valor hasta 27 veces superior (ρ toma valores entre 0 y 55 en el caso de
rPET). Teóricamente, en una situación ideal con datos libres de ruido, es lo
correcto, pero en la práctica no interesa amplificar tanto un punto con respecto
a otro, ya se degrada seriamente la relación señal a ruido de los datos. Para
subsanar este problema, se considera un valor umbral a partir del cual no se
realiza la multiplicación que compensa la sensibilidad transaxial. Así, se impone
una amplificación relativa máxima más restrictiva que la que se tiene en la
inversa de la rampa teórica.
Experimentalmente, se ha fijado el valor umbral a 9, de forma que se
trunca la inversa de la rampa en aquellos valores tal que sean 9 veces
superiores al valor mínimo de la misma, como se muestra en la figura 44.
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Figura 44. (a) Inversa de la rampa teórica de corrección. (b) Corrección aplicada:
Inversa de la rampa teórica con truncamiento según umbral empírico de 9.
Como se puede apreciar, con el umbral fijado a 9, estamos desechando 6
posiciones de ρ, las 3 primeras y las 3 últimas, que coinciden con los puntos
que presentan peor estadística y por tanto más ruido en relación al resto. En
este caso, debe mantenerse el total de cuentas del sinograma, excepto las que
pertenecen a las distancias eliminadas.
4.4.8.4. Sensibilidad de cristales: el annulus
Hay un hecho que no se ha tenido en cuenta todavía, y es que no todos
los cristales de centelleo presentan la misma sensibilidad, y es imposible que lo
hagan por muy controlado que sea su proceso de fabricación. Este hecho
afectará directamente a la cantidad de cuentas registradas en el sistema de
detección de rPET, y para corregirlo habrá que ponderar de nuevo los
sinogramas en función de la sensibilidad de los cristales, de tal forma que las
LORs que impliquen cristales menos sensibles sean compensadas (amplificadas)
con respecto a las que impliquen cristales más sensibles.
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Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 122
Para determinar qué cristales son más o menos sensibles, sólo podemos
hacerlo de forma experimental, y además sólo se medirán sensibilidades
relativas de un cristal con respecto a otro. El proceso pasa por la obtención de
una imagen de llenado de campo o fuente uniforme, compensar de forma
teórica los efectos no deseados vistos anteriormente mediante la aplicación de
algoritmos de corrección, compararla con la que debería haber sido obtenida, y
finalmente deducir la sensibilidad de los cristales de centelleo, ya que es el
único efecto que restaría por compensar.
Llegados a este punto se nos plantea una solución conjunta a todos los
efectos no deseados: la corrección totalmente empírica, que consiste en seguir
los pasos siguientes:
1. Obtener el sinograma de una imagen de llenado de campo o fuente
uniforme.
2. Igualarlo al sinograma ideal (sinograma plano u homogéneo),
obteniendo así una ratio o sinograma corrector.
3. Multiplicar los sinogramas que se obtengan por dicho sinograma
corrector, que corrige todos los efectos no deseados simultáneamente.
Figura 45. Corrección empírica.
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Este método es mucho más potente que realizar las correcciones teóricas
por separado, ya que considera todos los aspectos reales que pueden surgir.
Además de esta gran ventaja, la diferencia principal con respecto a los
anteriores estriba en que es necesario disponer de una fuente uniforme a partir
de la cual obtener un sinograma de corrección. En rPET, dicha fuente se
denomina annulus, y supone la materialización de una ingeniosa idea que
resuelve el problema de encontrar una mezcla homogénea de actividad que
llene el FOV. En lugar de buscar un “molde” o similar que llenar de una solución
totalmente homogénea que incluya un compuesto emisor de positrones
(algo realmente complicado), lo que se hace es situar una superficie cilíndrica
fuera del FOV, relleno de una solución que incluya dicho compuesto
(habitualmente FDG), de tal forma que la radiación que emite inunda el FOV de
la misma manera que lo haría una fuente homogénea que lo rellenara por
completo.
Por tanto, a partir de las imágenes obtenidas empleando este annulus,
se obtienen las “plantillas” necesarias para aplicar todas las correcciones a las
imágenes que se tomen con posterioridad. Será necesario, por tanto, realizar
estudios del annulus con frecuencia para optimizar la corrección de sinogramas.