![Page 1: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/1.jpg)
1
DARÍO AGRAZAL C.
2-730-1494
SARA VEGA
6-716-1509
MONTEMAYOR BERNAL
4IL121
![Page 2: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/2.jpg)
2
ÍNDICE
Método de variables separables………………………..……………..3
Factor integrante…………………………………………………..…….3
Método de ecuaciones exactas……………….……………………....4
Método para transformar ecuaciones diferenciales a exactas….. 5
Ecuación de Berdulli………………………………………………….…7
Método de sustitución……………………………………………...…..9
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales………………………………………………………….…10
Caída de los cuerpos…………………………………………..……...10
Leyes de crecimiento y decaimiento………………………..…….…11
Ley de enfriamiento……………………………………….………..….12
Mezclas……………………………………………………………..…..13
Trayectorias ortogonales…………………………………….………..14
Puente colgante…………………………………………………..…….15
Cables de tendido eléctrico…………………………………………...16
Reacciones de vigas…………………………………………….…..…17
Forma estándar………………………………………………….…..…18
Reducción de orden………………………………………..……..……20
Ecuaciones con coeficiente constante…………………..…..………21
Método de superposición……………………………………...………21
Método de factor anulador…………………………………….……....23
Variación de parámetros (wronskiano)……………………….………24
Método de cauch y euler…………………………………………..…..26
Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales………….……..27
Movimiento armónico simple……………………………………….….30
Movimiento amortiguado…………………………………….………...31
Circuitos RLC……………………………………………………………32
![Page 3: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Método de variables separables
Problema 1 Problema 2
= (
= *dy
=
Factor Integrante
Problema 1
FI=
= =x
![Page 4: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Problema 2
Método de Ecuaciones Exactas
Problema 1 Problema 2
![Page 5: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Método para transformar ecuaciones diferenciales a exactas
Problema 1
)
(
![Page 6: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Problema 2
![Page 7: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Ecuación de Berdulli
Problema 1
Factor Integrante
Sustitución de integración
Z=x
1dx
![Page 8: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Problema 2
![Page 9: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/9.jpg)
9
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Problema 1 Problema 2
![Page 10: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Caída de los cuerpos
Un objeto se lanza desde la cima de un edificio hacia arriba.
Determine la posición del objeto en cualquier tiempo.
Condiciones:
T = 0; y = h0
y´ = V0; t = 0
ma= -mg
a =
v =
a = d
=
ma = -mg
m
my´´ = -mg
y´ = -gt + c1
V0 = -g(0) + c1
V0 = c1
y´ = -gt + c1
y =
c2
h0 =
c2
h0 = c2
y =
h0
![Page 11: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Leyes de Crecimiento y Decaimiento:
1. En un tiempo t = 0, cierta cantidad de insectos (Io) se encuentra en un
lugar húmedo. En t = 2, los insectos han llegado a reproducirse 3(Io). Si
su crecimiento es proporcional al número de insectos I(t) presentes en
un tiempo (t). Determine:
El tiempo necesario para que el número de bacterias se
quintuplique (5).
ln A = Kt + c
A = c
A =
A = c
Io = c
ln ln Io = c
1.09 = k Io = c
A = c
5Io = Io
=
5=
ln 5 = ln 1.61 = 1.09t 1.47 = t
t A
0 Io
2 3Io
? 5Po
![Page 12: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Leyes de Enfriamiento
1. Un objeto tiene una temperatura de 70°F; en t = 0 se coloca en un lugar
donde la temperatura se mantiene a 40°F. después de 3 minutos la
temperatura del cuerpo es de 60°F. Determine:
¿Cuál es la temperatura del cuerpo cuando han pasado 8
minutos?
¿Cuánto tiempo pasara para que el cuerpo tenga 45°F?
To(°F)
30
T – 30 = c
65 – 30 = c
=
ln (T - To) = Kt + c ln 0.7 = ln
= -0.3566 = 3k
T – 30 = -0.1188 = k
T – 30 = c
80 – 30 = c T – 30= c
50 = c 45 – 30 = 50
T – 30 = c
=
T – 30 = 50 0.5 =
T = 30 + 50 ln(0.5) = ln
T = 49.3 °F -0.69 = -0.1188 t 5.83 minutos = t
T(min.) T(°F)
0 80
3 65
8 ?
? 45
![Page 13: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Mezclas
1. Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual esta
disuelto 4 libras de sal. El agua salada contiene 2 libras de sal por galón.
Esta mezcla entra y sale del recipiente a una razón de 2 galones por
minuto.
Encontrar la cantidad de sal en cualquier tiempo.
Cuanta sal está presente después de 6 minutos.
Condiciones iniciales: si t = 0; A = 8
=
=
A =
A = (4) (5)
A = 20(
A = 20 + c
A = 20 + c
A = 20 + c
A = 20 + 0.4
8 = 20 + c
A = 20 + 0.4 (3.32)
c = 0.4 A = 21.32 lbs
![Page 14: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Trayectorias Ortogonales
1. Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de
curvas dada por la ecuacion:
X2 +
Y´=
ln y =
=
1/2
![Page 15: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/15.jpg)
15
![Page 16: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/16.jpg)
16
O
20
![Page 17: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/17.jpg)
17
A B
)
![Page 18: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Ecuaciones de orden superior
FORMA ESTÁNDAR
![Page 19: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Problema 2
Solución general:
![Page 20: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/20.jpg)
20
REDUCCIÓN DE ORDEN
Problema 1 Problema 2
xy” – 2y´ -3y = 0 (se divide entre x); y1(x) = x2
![Page 21: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/21.jpg)
21
ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Problema 1 Problema 2
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
Problema 1
![Page 22: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Problema 2
![Page 23: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/23.jpg)
23
MÉTODO DE FACTOR ANULADOR
Problema 1
Problema 2
Y´´ + Y´ - 6Y = 2X2 m2 + m - 6 = 0 (m + 3) (m – 2) m1 = -3 m2 = 2 Yc = C1 C2 D3(Y´´ + Y´ -6Y) = D3(2X2) D3(D2 + D – 6) = 0 D3 = 0 m1= m2 =m3 = 0 D2 + D -6 = 0 (D + 3)(D – 2) = 0 D = -3 D = 2 Y = C1 + C2X + C3 X2 + C4 + C5
Yp = Ax2+ Bx + C Y´p = 2Ax + B Y´´p = 2A 2A + 2AX + B -6(AX2 + BX + C) = 2X2
2A + 2AX + B – 6AX2 – 6BX + 6C = 2X2
A =
B =
C =
Yp =
+
YT = C1 + C2
+
![Page 24: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/24.jpg)
24
VARIACIÓN DE PARÁMETROS (WRONSKIANO)
Problema 1
![Page 25: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Problema 2
Y´´ + Y´ - Y = X m2 + m - 2 = 0 (m + 2) (m - 1) = 0 m = -2 m = 1 Y1 = e-2x Y2 = e-x
Y1´ = -2e-2x Y2´ = -e-x
e-2x e-x w = -2e-2x -e-x = - 3e-3x
0 e-x w1= X -e-x = -Xe-x
e-2x 0 w2 = -2e-2x x = Xe-2x
u´1 =
= -
=
u1 =
u1 =
(integración por partes)
u1 =
u´2 =
=
= -
u2 =
u2 = -
(integración por partes)
u2 =
YT = C1 e-2x + C2 e-x +
+
![Page 26: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/26.jpg)
26
MÉTODO DE CAUCH Y EULES
Problema 1 Problema 2
X2
– 5X
+ 8Y = 0
y = Xm
X2y´´ - 5 Xy´ + 8y = 0 y´ = mXm-1
X2(m(m-1)Xm-2) – 5X(mXm-1) + 8 Xm = 0 y´´ = m(m-1)Xm-2
X2((m2 – m )(Xm X-2)) – 5XmXm-1 + 8Xm = 0 X2(m2XmX-2 - mXmX-2) -5Xm Xm-1 + 8Xm = 0 m2Xm - mXm - 5Xm Xm X-1 + 8Xm = 0 Xm(m2 - m - 5m + 8) = 0 m2 - 6m + 8 (m – 2)(m - 4) = 0 m1= 2 m1 = 4 YT = C1X2 + C2X4
![Page 27: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Solución de sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Problema 1
-2 2y + Dx = 0 D -2Dy -X = 0 2Dy +D2 x = 0 D2 x- 2 x = 0 m2 – 2 = 0 m = -+ √2
X = C1 + C2
D 2y + Dx = 0 -1 D2y + Dx = 0 -2y – Dx = 0 D2y - 2y = 0 m2 – 2 = 0 m = -+ √2
Y = C3 + C4
X = C1 + C2
= C1 - C2
C1 - C2 = -2(C3 + C4 )
C1 - C2 = -2C3 -2 C4
![Page 28: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/28.jpg)
28
C1√2 = -2C3
C3 =
-C2√2 = -2C4
C4 =
X = C1 + C2
Y =
+
![Page 29: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Problema 2
![Page 30: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Movimiento armónico simple:
1. un cuerpo se une a un resorte con constante de fuerza de 100 N-
m. se observa que vibra con una frecuencia de 3Hz.
Encuentre el periodo, la frecuencia angular y la masa del
cuerpo.
![Page 31: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Movimiento amortiguado.
.
![Page 32: Proyecto de Ecuaciones Dario Agrazal-Sara Vega](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051401/55cf9b07550346d033a47165/html5/thumbnails/32.jpg)
32