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8/18/2019 PROPORCIONALIDAD TEORÍA
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PROPORCIONALIDADPara comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.
Razón y proporción numérica
Razón entre dos números
La Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente entre
Por ejemplo la razón entre !" y # es $ ya %ue
& la razón entre los números "!$ y "' es
PROPI(DAD() D( LA) RA*ON() +(O,-.RICA)
Propiedad !: si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda multiplicada o
dividida por el mismo número.
E!emplo: sea la razón "#$% & '
"# ( ) & #' & * "# : ' & % & " % % % %
Propiedad #: +i el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda dividida o
multiplicada por el mismo número
E!emplo: +ea la razón )*$ & #
)* & )* & ' )* & )* & "'
( ' "- : ) )
Propiedad ': +i ambos términos de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no altera.
E!emplo: sea la razón "- & )
*
"- ( # & %' & ) "- : ' & & )
* ( # '# * : ' )
PROPORCI/N N0,-RICA
/ora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre s0, para ver cómo se comportan entre ellas, estaremos
/ablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a b c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma ue entre c y d.
Es decir
+e lee 1a es a b como c es a d1
Los números #, "2 y "', )2 forman una proporción, ya ue la razón entre # y "2 es la misma ue la razón entre "' y )2.
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Es decir# & "'
"2 )2
En la proporción 3ay cuatro términos4 a y d se llaman e2tremos, c y b se llaman medios3
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción el producto de los e2tremos es i4ual alde los medios3
s0, en la proporción anterior# & "'
"2 )2
+e cumple ue el producto de los e(tremos nos da # ( )2 & "'2 y el producto de los medios nos da "2 ( "' & "'2
5isto lo anterior, podemos decir ue:
Las dos magnitudes pueden subir o ba!ar 6aumentar o disminuir7 o bien si una de las magnitudes sube la otra ba!o y viceversa.
". +i ocurre, como en el primer caso, ue las dos magnitudes ue se comparan o relacionan pueden subir o ba!ar en igual
cantidad, /ablaremos de magnitudes directamente proporcionales.
'. +i ocurre como en el segundo caso, en ue si una magnitud sube la otra ba!a en la misma cantidad, /ablaremos de
8agnitudes inversamente proporcionales.
,A+NI.0D() DIR(C.A,(N.( PROPORCIONAL()
+i la primera magnitud se le dobla, triplica99. una cantidad y la segunda magnitud también se dobla, triplica99
la otra cantidad, entonces se dice la son magnitudes directamente proporcionales.
(jemplo
0n saco de camotes pesa 5" 643 7Cu8nto pesan ' sacos9
0n car4amento de papas pesa $#" 64 7Cu8ntos sacos de #" :4 se podr8n ;acer9
úmero de sacos " ' ) ... '* ...
Peso en ;g #2 -2 "'2 ... "2#2 ...
Las magnitudes número de sacos y peso en 64 son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a ;g es #2.
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo ue llamaremos Regla de tres y ue nos servir< para
resolver una gran cantidad de problemas matem
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PROPI(DAD() D( LA) PROPORCION()
Propiedad !: en toda proporción la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es asu consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a
su consecuente.
a & c = a > b & c > d
b d b d
a & c = a ? b & c ? d
b d b d
Propiedad # : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón esa su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a
su antecedente .
a & c = a > b & c > d
b d a c
a & c = a ? b & c ? d
b d a c
Propiedad ' : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es ala diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuentede la segunda razón es a
la diferencia de los mismos .
a & c = a > b & c > d
b d a - b c - d
)erie de razones i4uales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o m c > e> m
b d f n b+ d + f+ n
(jercicio !
3allar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales.
4 < $ < ! @ # & " = # . ) & b. " = b < !#b d 3 b 3
5 & " = A. ) & ". d = d < !$d 3
4 < $ < ! = 5 < $ < !b d 3 12 15 3
(jercicio # 3 Aplicar las propiedades de las proporciones3
a> a? b < @ a B b < ! B #
a & c = a > b & c > d
b d b d
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& " > ' = & ) = . ' & ) .b = b & . ' & *
b 2 b 2 3
a + b = 9
a > * & @ a & ? * = a & )
b> a b < # a B b < 5 B'
a & c = a ? b & c ? d
b d a c
' & # ? ) = ' & " = ' . # & a. " = a & '. # & -
a 4 a 4 1
a ? b & '
8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6
Resoler
a7 a > b & A y la razón es ",A solución 2 y 3
b 7 a ? b & ? " y la razón entre ellos 2,-%A solución 7 y 8