Propiedades efectivas en materialescompuestos fibrosos en presencia de
contacto imperfecto variable
Jose Antonio Otero Hernandez1,Reinaldo Rodrıguez Ramos2,Guillermo Monsivais Galindo3.
1 Instituto de Cibernetica, Matematica y Fısica (ICIMAF), Cuba.2Facultad de Matematica y Computacion, Universidad de la Habana, Cuba.
3Instituto de Fısica, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Mexico.
II Encuentro Cuba-Mexico de Metodos Numericos y Optimizacion.21 al 23 de enero de 2013, ICIMAF, La Habana, Cuba
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Topicos
1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
3 Resultados
4 Publicaciones
5 Conclusiones
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Topicos
1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
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Contacto imperfecto
Contacto Imperfecto el astico
Materiales compuestos
Durante el proceso de fabricacion de los materialescompuestos pueden ocurrir uniones imperfectas o la presenciade una tercera fase entre los materiales originando cambios enlas propiedades del compuestos.
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Contacto imperfecto
Contacto Imperfecto el astico
Modelos te oricosSe necesitan modelos teoricos para estudiar las propiedadesde los compuestos con imperfeccion constante y variable enlas interfases
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Objetivo de la presentaci on
Objetivos
Objetivo 1
Presentar un modelo semi-analıtico para obtener laspropiedades efectivas en compuestos elasticos formados porfibras en presencia de contacto imperfecto.
Objetivo 2
Considerar un modelo de ”resorte” para estudiar laimperfeccion en las intercaras, el cual esta caracterizado portres parametros de imperfeccion variables.
Objetivo 3
Presentar resultados numericos considerando los parametrosde imperfeccion variable en las interfases.
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Objetivo de la presentaci on
Objetivos
Objetivo 1
Presentar un modelo semi-analıtico para obtener laspropiedades efectivas en compuestos elasticos formados porfibras en presencia de contacto imperfecto.
Objetivo 2
Considerar un modelo de ”resorte” para estudiar laimperfeccion en las intercaras, el cual esta caracterizado portres parametros de imperfeccion variables.
Objetivo 3
Presentar resultados numericos considerando los parametrosde imperfeccion variable en las interfases.
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Objetivo de la presentaci on
Objetivos
Objetivo 1
Presentar un modelo semi-analıtico para obtener laspropiedades efectivas en compuestos elasticos formados porfibras en presencia de contacto imperfecto.
Objetivo 2
Considerar un modelo de ”resorte” para estudiar laimperfeccion en las intercaras, el cual esta caracterizado portres parametros de imperfeccion variables.
Objetivo 3
Presentar resultados numericos considerando los parametrosde imperfeccion variable en las interfases.
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Topicos
1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
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Planteamiento del problema: Homogeneizaci on Asint otica
Compuesto fibroso
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Planteamiento del problema: Homogeneizaci on Asint otica
Homogeneizaci on asint otica
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Planteamiento del problema: Problema antiplano 13
Problema antiplano 13
Energıa potencial total
Π =12
∫V
σT ε dV−∫V
uT f dV −∫S
uT T dS −∑
i
uTi Pi
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Planteamiento del problema: Problema antiplano 13
Problema antiplano 13
Forma matricial del problema antiplano 13
σ = D ε
donde
σ =[
τ13(13) τ23(13)
]T,
ε =[
ε13(13) ε23(13)
]T=
[∂ u3∂y1
∂ u3∂y2
]T, u = u3,
D =
[C55 00 C55
].
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Planteamiento del problema: Problema antiplano 13
Problema antiplano 13
Condiciones contorno del problema antiplano 13
u3 = 0, para y1 = 0
u3 =12, para y1 =
12
τ23(13) = 0, para y2 = 0
τ23(13) = 0, paray2 =12
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Planteamiento del problema: Problema antiplano 13
Problema antiplano 13
Condiciones contacto del problema antiplano 13
T (1)3(13)|Γ =
κtc(2)1313
R
(u(1)
3 − u(2)3
)T (2)
3(13)|Γ =κtc
(2)1313
R
(u(2)
3 − u(1)3
)T (1)
3(13)|Γ = T (2)3(13)|Γ
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Planteamiento del problema: Problema antiplano 13
Problema antiplano 13
Condiciones contacto del problema antiplano 13
C∗55 = 4
∫A
C55∂ u3
∂ y1dA
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Mallado de 1/4 de la celda
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Aproximaci on del Desplazamiento
u3 = N q,
dondeq = [q31 q32 . . . q3,n−1 q3,n]
T
N = [N1 N2 . . . Nn−1 Nn]
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Funciones de interpolaci on
a) Elemento cuadrilatero de cuatro nodos (n = 4)
N1 = ξ1η1, N2 = ξ2η1, N3 = ξ2η2, N4 = ξ1η2,
dondeξ1 = 1
2 (1 − ξ) , η1 = 12 (1 − η) ,
ξ2 = 12 (1 + ξ) , η2 = 1
2 (1 + η) .
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Funciones de interpolaci on
b) Elemento cuadrilatero de ocho nodos (n = 8)
N1 = ξ1η1c1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ2η1c2, N4 = ξ2η3,N5 = ξ2η2c3, N6 = ξ3η3, N7 = ξ1η2c4, N8 = ξ1η3,
donde
ξ1 = 12 (1 − ξ) , η1 = 1
2 (1 − η) , ξ2 = 12 (1 + ξ) ,
η2 = 12 (1 + η) , ξ3 =
(1 − ξ2
), η3 =
(1 − η2
),
c1 = −1 − ξ − η, c2 = −1 + ξ − η, c3 = −1 + ξ + η,c4 = −1 − ξ + η.
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Funciones de interpolaci on
c) Elemento cuadrilatero de nueve nodos (n = 9)
N1 = ξ1η1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ2η1,N4 = ξ2η3, N5 = ξ2η2, N6 = ξ3η2,N7 = ξ1η2, N8 = ξ1η3, N9 = ξ3η3,
dondeξ1 = −1
2ξ (1 − ξ) , η1 = −12η (1 − η) ,
ξ2 = 12ξ (1 + ξ) , η2 = 1
2η (1 + η) ,
ξ3 =(1 − ξ2
), η3 =
(1 − η2
).
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Funciones de interpolaci on
d) Elemento cuadrilatero de dieciseis nodos (n = 16)
N1 = ξ1η1, N2 = ξ3η1, N3 = ξ4η1, N4 = ξ2η1,N5 = ξ2η3, N6 = ξ2η4, N7 = ξ2η2, N8 = ξ4η2,N9 = ξ3η2, N10 = ξ1η2, N11 = ξ1η4, N12 = ξ1η3,N13 = ξ3η3, N14 = ξ4η3, N15 = ξ4η4, N16 = ξ3η4,
donde
ξ1 = − 916
(19 − ξ2
)(1 − ξ) , η1 = − 9
16
(19 − η2
)(1 − η) ,
ξ2 = − 916
(19 − ξ2
)(1 + ξ) , η2 = − 9
16
(19 − η2
)(1 + η) ,
ξ3 = 2716
(13 − ξ
) (1 − ξ2
), η3 = 27
16
(13 − η
) (1 − η2
),
ξ4 = 2716
(13 + ξ
) (1 − ξ2
), η4 = 27
16
(13 + η
) (1 − η2
).
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Relaci on deformaci on-desplazamiento
ε =
[∂ u3∂y1∂ u3∂y2
]=
1det(J)
[J22 −J12
−J21 J11
][∂ u3∂ξ
∂ u3∂η
],
ε = B q ,
donde
B =1
det(J)
[J22 −J12−J12 J11
] ∂N1∂ξ
∂N2∂ξ
· · ·∂Nn−1
∂ξ∂Nn∂ξ
∂N1∂η
∂N2∂η
· · ·∂Nn−1
∂η∂Nn∂η
.
Relaci on esfuerzo-deformaci on
σ = D B q
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Matriz de rigidez del elemento
Energıa de deformacion elastica
ΠeS = te
∫e
12σT ε dA =
12
qT KeS q
donde
Kes = te
1∫−1
1∫−1
BT D B det J dξ dη
Matriz de rigidez global
ΠS =∑
e
ΠeS =
∑e
12
qT KeS q =
12
QT KSQ
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Matriz de imperfecci on
ΠT =
∫S
uT T dS.
Π(Υ)T = te
∫l(Υ)1···m
u(Υ)3 T (Υ)
3 dl
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Matriz de imperfecci on
u(Υ)3 = N 3q(Υ) = 3q(Υ)T
NT,
T (Υ)3 = N 3T(Υ),
dondeN =
[N1 N2 · · · Nm−1 Nm
],
3q(Υ) =[
q(Υ)31 q(Υ)
32 · · · q(Υ)3,m−1 q(Υ)
3,m
]T,
3T(Υ) =[
T (Υ)31 T (Υ)
32 · · · T (Υ)3,m−1 T (Υ)
3,m
]T,
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Funciones de interpolaci on
i) funciones de interpolacion lineal (m=2)
N1 = 12 (1 − ξ), N2 = 1
2 (1 + ξ),
ii) funciones de interpolacion cuadratica (m=3)
N1 = −12 ξ (1 − ξ), N2 = (1 − ξ)(1 + ξ), N3 = 1
2 ξ(1 + ξ).
iii) funciones de interpolacion cubica (m=4)
N1 = − 916
(19 − ξ2
)(1 − ξ) , N2 = 27
16
(13 − ξ
) (1 − ξ2
),
N3 = 2716
(13 + ξ
) (1 − ξ2
), N4 = − 9
16
(19 − ξ2
)(1 + ξ) .
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Matriz de imperfecci on
3T(Υ) =[
K(Υ)1 K(Υ)
2
] [3q(2)
3q(1)
],
donde
K(Υ)1 =
−κt (Υ− 1) 0 · · · 0 κt (2 − Υ)0 −κt (Υ− 1) · · · κt (2 − Υ) 0
.
.
....
. . ....
.
.
.0 κt (2 − Υ) · · · −κt (Υ− 1) 0
κt (2 − Υ) 0 · · · 0 −κt (Υ− 1)
,
K(Υ)2 =
−κt (2 − Υ) 0 · · · 0 κt (Υ− 1)0 −κt (2 − Υ) · · · κt (Υ− 1) 0
.
.
....
. . ....
.
.
.0 κt (Υ− 1) · · · −κt (2 − Υ) 0
κt (Υ− 1) 0 · · · 0 −κt (2 − Υ)
,
κt = κt C(2)55 /R
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Problema antiplano 13
Matriz de imperfecci on
ΠlT =
12
(Π
(1)T + Π
(2)T
)=
12
qT K lT q
dondeq =
[3q(2) 3q(1)
]T
K lT = te
[Am×m Bm×m
Cm×m Dm×m
],
Am×m =∫
l(2)1···m
NTNK(2)
1 dl , Bm×m =∫
l(2)1···m
NTNK(2)
2 dl ,
Cm×m =∫
l(1)1···m
NTNK(1)
1 dl , Dm×m =∫
l(1)1···m
NTNK(1)
2 dl .
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Propuesta de soluci on: M etodo de Elemento Finito
Problema antiplano 13
Matriz de imperfecci on global
ΠT =∑
l
ΠlT =
12
QT KT Q
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Problema antiplano 13
Coeficiente efectivo asociado a un elemento
eC∗55 = 4
1∫−1
1∫−1
D B q det (J) dξ dη,
dondeD = eC55
B =1
det(J)
[J22 −J12
] ∂N1∂ξ
∂N2∂ξ
· · ·∂Nn−1
∂ξ∂Nn∂ξ
∂N1∂η
∂N2∂η
· · ·∂Nn−1
∂η∂Nn∂η
Coeficiente efectivo
C∗55 =
∑e
eC∗55
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1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
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Validaci on del m odelo: Fibras vacias
Table: Coeficientes efectivos C∗ij (GPa) para κt = κn = 0
γ1 C∗11-Semi-Analıtico C∗11-Analıtico C∗12-Semi-Analıtico C∗12-Analıtico0.05 80.525367267475 80.525340039910 33.149806825864 33.1498025520800.20 53.390014041054 53.390011091840 18.365994181923 18.3659934382400.35 36.536035848067 36.536034852230 9.781059283943 9.7810591788090.55 20.498584257763 20.498583869870 3.378678373826 3.3786791626970.75 5.849941587920 5.849968639273 0.289122177387 0.289123725301γ1 C∗13-Semi-Analıtico C∗13-Analıtico C∗33-Semi-Analıtico C∗33-Analıtico0.05 34.102552228002 34.102542777600 86.961531878495 86.9615256665600.20 21.526802466893 21.526801359020 68.916081923221 68.9160808154100.35 13.895128539603 13.895128209310 53.837077459125 53.8370769255900.55 7.163178789477 7.163178909770 35.797907446184 35.7979073458600.75 1.841719129592 1.841727709372 18.605034667715 18.605036625620γ1 C∗44-Semi-Analıtico C∗44-Analıtico C∗66-Semi-Analıtico C∗66-Analıtico0.05 24.358970441296 24.358969691260 23.209442250086 23.2094253045300.20 17.945057074195 17.945056708350 13.422077906961 13.4220756287300.35 12.915297272467 12.915297045270 6.616326760747 6.6163255360510.55 7.459089293901 7.459089118081 1.808770619416 1.8087664662720.75 2.111431016424 2.111428077125 0.078900908542 0.078817876229
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Validaci on del m odelo: Cantacto perfecto
Table: Coeficientes efectivos normalizados C ij para κt = κn = ∞
γ1 C11-Semi-Analıtico C11-Analıtico C12-Semi-Analıtico C12-Analıtico0.05 1.055613195746 1.055613441112 1.040485293402 1.0404838188230.20 1.260696273098 1.260704666692 1.156459827399 1.1564855773460.35 1.543615667429 1.543584712192 1.259934265506 1.2599362177470.55 2.114481246274 2.114487722074 1.395770805810 1.3957645978720.75 3.126404413003 3.126400805895 1.785169589159 1.785150605411γ1 C13-Semi-Analıtico C13-Analıtico C33-Semi-Analıtico C33-Analıtico0.05 1.022294039366 1.022293921242 1.200995351432 1.2009954595290.20 1.100143613682 1.100149550268 1.805212872676 1.8052135693820.35 1.200139066138 1.200129863461 2.411916019504 2.4119150034370.55 1.392353788874 1.392354954620 3.227463196494 3.2274633381560.75 1.752536715912 1.752533127859 4.061863498663 4.061863103712γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C66-Semi-Analıtico C66-Analıtico0.05 1.078377140607 1.078395713051 1.062477573412 1.0624764690540.20 1.355509551192 1.355488493290 1.261921629590 1.2619429994240.35 1.720073829280 1.720078399086 1.504115686223 1.5041071585170.55 2.458415214418 2.458433864300 2.005299536116 2.0053032517310.75 4.044105820407 4.044095981454 3.335487513251 3.335494113348
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Validaci on del m odelo: Problema antiplano 13
Table: Coeficiente efectivo normalizado C44
κt 5 5 10 10γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico0.05 1.050497283000 1.050497329395 1.063227927489 1.0632279831280.20 1.218551766000 1.218551776258 1.279448900256 1.2794489111000.35 1.416761447000 1.416761454190 1.546963064155 1.5469630862750.55 1.745183922000 1.745184682879 2.027389195300 2.0273978805820.75 2.184697494000 2.184743450944 2.778602364788 2.779576843989κt 50 50 ∞ ∞γ1 C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico C44-Semi-Analıtico C44-Analıtico0.05 1.075134177545 1.075134240093 1.078377140607 1.0783957130510.20 1.338803259987 1.338803271256 1.355509551192 1.3554884932900.35 1.681006228453 1.681006257241 1.720073829280 1.7200783990860.55 2.354450215382 2.354464076114 2.458415214418 2.4584338634480.75 3.675314446315 3.677499910115 4.044105820407 4.043962317514
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Coeficientes efectivos
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Coeficientes efectivos
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Coeficientes efectivos
Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable
( π4 −
π2 ) κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112
(0 − π4 ) κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500
C∗11(GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.01C∗12(GPa) 31.08 34.39 40.66 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37C∗13(GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90C∗22(GPa) 122.7 124.8 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42C∗23(GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95C∗33(GPa) 204.6 205.3 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15C∗44(GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69C∗55(GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63C∗66(GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Coeficientes efectivos
Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable
( π4 −
π2 ) κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500
(0 − π4 ) κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112 κ = 112
C∗11(GPa) 122.70 124.83 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42C∗12(GPa) 31.09 34.39 40.67 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37C∗13(GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95C∗22(GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.00C∗23(GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90C∗33(GPa) 204.66 205.31 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15C∗44(GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63C∗55(GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69C∗66(GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Coeficientes efectivos
κ varıa linealmente con respecto a θ
κ =2π
(κ2 − κ1)θ + κ1
θ = sin−1 ((N1y1 + N2y2 + · · ·+ Nm−1ym−1 + Nmym)/R)
Table: Coeficientes efectivos C∗ij para κt = κn = κ variable: κ1 = 1 y
κ2 = 1000
γ1 0.05 0.10 0.30 0.50 0.70 0.75C∗11(GPa) 99.22 104.71 132.92 175.14 240.94 264.38C∗12(GPa) 41.91 43.40 48.73 53.11 60.90 65.54C∗13(GPa) 41.23 42.15 46.54 52.64 62.28 65.96C∗22(GPa) 99.38 105.08 134.87 181.55 260.29 289.18C∗23(GPa) 41.26 42.20 46.80 53.48 64.81 69.20C∗33(GPa) 113.15 132.08 208.03 284.45 361.90 381.63C∗44(GPa) 29.02 31.30 42.63 59.95 93.02 108.20C∗55(GPa) 28.99 31.23 42.34 58.99 89.04 101.75C∗66(GPa) 28.57 30.27 37.92 49.19 73.01 85.42
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Comparaci on del m odelo imperfecto y modelotrifasico
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Comparaci on del m odelo imperfecto y modelotrifasico
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Comparaci on del m odelo imperfecto y modelotrifasico
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Comparaci on del m odelo imperfecto y modelotrifasico
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
Topicos
1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
3 Resultados
4 Publicaciones
5 Conclusiones
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Topicos
1 Motivaci on y ObjetivoContacto imperfectoObjetivo de la presentacion
2 Materiales CompuestosPlanteamiento del problema: HomogeneizacionAsintoticaPlanteamiento del problema: Problema antiplano 13Propuesta de solucion: Metodo de Elemento Finito
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5 Conclusiones
Motivaci on y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones
1 Se presento un modelo semi-analıtico para determinar loscoeficientes efectivos en materiales compuestos elasticosformados por fibras con condiciones de contactoimperfecto
2 Se concluye que las propiedades efectivas del compuestofibroso dependen fuertemente del tipo de contacto en lasinterfases.