Prof. Isaías Correa Marín
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.
• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
1. Números racionales (Q)1.1 Propiedades de los racionales
1.2 Operatoria en los racionales
1.3 Transformaciones de números racionales
1.4 Comparación de fracciones
2. Números irracionales (Q*)
Contenidos
3. Números reales ( IR )
4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.5 Secuencia numérica
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:
a
b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2; 7
0,489; 2,18; -0,647-1; 8
14; 3
15, 0
NO es racional
a: numerador y b: denominador
Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 3
1
IN IN0 Z Q
Todo número entero es racional.
Diagrama representativo:
1.1 Propiedades de los racionales
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:2
3
=12
18
• Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.
Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
3
3=
9
15
Al simplificar la fracción por 3 resulta:27
45
27 :
45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9es: 9
2
Ejemplo:
1.2 Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15+
7
15=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15+
7
45=
2∙3 + 7∙1
45=
6 + 7
45=
13
45
4
15-
7
15=
-3
15y
3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12 +
7
18=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5 +
7
8=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40= =
67
40
-4
5 ∙
8
7=
-32
35=
• Multiplicación:
Ejemplo:-4
5
7
8= ∙
-28
40=
28
40-
• División:
Ejemplo:-4
5 :
7
8=
32
35-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8 3 5 =
8∙5 + 3
5=
43
5
1.3 Transformación de números racionales
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide el numerador por el denominador.
7 4
= 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
100175 =1,75 = 7
425∙7 25∙4
=
• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99
Ejemplo 2:0,376 = 376 – 0 = 376
999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.
3,21 = 321-32 = 289 9090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.
Ejemplo:
1.4 Comparación de fracciones
• Multiplicación cruzada:Ejemplo:
Al comparar
(Multiplicando cruzado)13
15
9
10y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9
130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 13
15
9
10<
• Igualando denominadores:
Ejemplo:
13
15
7
12Al comparar
y (Igualando denominadores)
13∙4
15∙4
7∙5
12∙5
y
52
60
35
60y
Como 52 > 35, entonces 13
15
7
12>
• Transformar a decimal:Ejemplo:
13
15
7
12Al comparar
(Transformando a decimal)y
13
15= 0,86666666…
7
12= 0,58333333…
13
15
7
12>Como 0,86 > 0,583 , entonces
• Igualando Numeradores:
Ejemplo:
Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)
10
3
13
4y
10·13
3·13
13·10
4·10y
130
39
130
40y
Por lo tanto,10
3
13
4es mayor que
Ejemplo:
En la secuencia: 6 ,5
16 , 5
26 , 5
36 , ... 5
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?
1 ,5
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.
65 5
1 ,5
65 = 13 5
Es decir:
Respuesta:
1.5 Secuencia Numérica
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:
1 + 1 ,5
1 + 3 ,5
1 + 5 ,5
1 + 7 , 5
1 + 13…5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como: 15
1 + (2n - 1)5
(Con n = posición del término)
Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
2. Números Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
Q
U
Q*=
3. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2; 7
2,18; ;2 23,491002
IN IN0 Z Q IR
Q* IR
4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26 ,4 4 16,25
5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IN IN0 Z Q IR C
II C
IR x II = C
Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual
lo que hemos aprendido
Conjunto Q
Propiedadesy comparación
Operatoria Transformaciones
Decimal finito a fracción
Decimal periódico a fracción
Decimal semiperiódico a
fracción
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Simplificación
Amplificación
Fracciones equivalentes