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TEORIA DE MAQUINAS
PROBLEMAS DE RESISTENCIAS PASIVAS
RP1
Un cilindro de acero, cuyo radio es r (5 cm), está situado entre dos guías paralelas.
La guía inferior está fija y la superior puede trasladarse en línea recta, quedándose paralela
a su posición inicial. La guía superior tiene un peso P1 (100 Kp) y el cilindro P2 (60 Kp).
Los coeficientes de resistencia a la rodadura entre el cilindro y las guías superior e inferior
son fr1 = 3 mm y fr2 = 5 mm respectivamente.
Determinar la fuerza máxima T aplicada a la guía superior con la cual el cilindro
todavía permanecerá en reposo.
T
r
SOLUCIÓN RP1
Consideremos el equilibrio del cilindro, omitiendo las guías superior e inferior y
reemplazándolas por sus reacciones
Sobre el cilindro actúan
N1 : reacción normal de la guía superior.
T1 : fuerza de rozamiento en la guía superior.
N2 : reacción normal de la guía inferior.
T2 : fuerza de rozamiento en la guía inferior.
Resulta entonces, aplicando equilibrio de fuerzas:
( )( )[ ]
rfPPfP
T
fPPfPfNfNrTrTTTT
PPPNNPN
rr
rrrr
222111
22111221112
21
21212
11
⋅++⋅=
⋅++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅==
+=+==
Sustituyendo los valores numéricos: T = 107.91 N = 11 Kp
RP2
Un rodillo de radio r y de peso Q es mantenido en equilibrio sobre un plano
inclinado, que forma un ángulo a con la horizontal, por medio de un cable que pasa por
encima de la polea A. En el otro extremo del cable está suspendida una masa de peso P. El
coeficiente de resistencia a la rodadura del rodillo es igual a fr .
Determinar los valores mínimo y máximo del peso P con los cuales el rodillo
quedará en equilibrio. Hallar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento de
deslizamiento µ con el cual , en caso de movimiento, el rodillo rodará sin deslizamiento.
α
A
P
SOLUCIÓN RP2
Se considera el equilibrio del rodillo en dos casos:
a) P tiene el valor mínimo. El sentido del posible movimiento del rodillo es hacia
abajo.
Según el esquema de fuerzas representado en la figura,
se toman momentos respecto al punto C
RPQfRQ minr ⋅=⋅⋅−⋅ αα cossen
por tanto
( )[ ]aRfaQP rmin cossen −⋅=
b) P tiene el valor máximo. El rodillo tiende a subir por el plano.
Según el esquema de fuerzas representado en la figura,
se toman momentos respecto al punto C
RPQfRQ maxr ⋅=⋅⋅+⋅ αα cossen
por tanto
( )[ ]aRfaQP rmax cossen +⋅=
El valor del coeficiente de resistencia al deslizamiento mínimo, para que exista
rodadura pura es:
- En el caso de encontrarnos en la situación (a), Pmin
( )( ) ( )
( )
Rf
NRfNNFNRfQRfF
QFQRfQQFP
rmin
r
rr
r
min
=
≥⇒≤==
=+−=+
µ
µµα
αααα
;cos
sencossensen
que es la condición de rodadura pura.
- En el caso de encontrarnos en la situación (b), Pmax
( )( ) ( )
( )
Rf
NRfNNFNRfQRfF
QFQRfQQFP
rmin
r
rr
r
max
=
≥⇒≤==
+=++=
µ
µµα
αααα
;cos
sencossensen
condición de rodadura pura.
RP3
Se pretende hacer subir por un plano inclinado los dos cilindros de la figura.
Calcular el valor mínimo de la fuerza F necesaria para poner en movimiento el conjunto.
Datos:
- Peso de cada cilindro = P
- Angulo de inclinación del plano = a
- Coeficiente de deslizamiento entre cilindros = µ
- Coeficiente de resistencia a rodadura cilindro-suelo = d
F
C
1
2
SOLUCIÓN RP3
Ecuaciones de equilibrio del cilindro1
11
1
1
0
cos0
sen0
NdFrFrM
FNPF
FPNFF
rcr
rcy
rcx
⋅+⋅=⋅⇒=
+=⇒=
++=⇒=
∑∑∑
α
α
Para el cilindro2
22
2
2
0
cos0
sen0
rrc
rcy
rcx
FrNdFrM
NFPF
FPNF
⋅=⋅+⋅⇒=
=+⇒=
+=⇒=
∑∑∑
α
α
En el contacto C se produce deslizamiento, luego
crc NF ⋅= µ
Sustituyendo en ∑ = 0M para el cilindro2
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) αµαµµµ cos1cos22 rdPrdNPNrdNNrdNF ccccr ++⋅=+⋅+⋅=+⋅=
Sustituyendo en ∑ = 0xF para el cilindro2
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
crc
c
c
cc
NFrd
rdPN
rdPrdN
PrdPrdNN
⋅=+⋅−
+=
+=+⋅−
+++⋅=
µµ
αα
ααµ
ααµ
11
sencos
sencos11
sencos1
Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio en A
( )1
11
1
sen
cos
rc
rcr
rc
FPNF
NrdFF
FPN
++=
+=
−=
α
α
Comprobación de no deslizamiento en 2
22
2 cos
r
rc
FN
FPN
>⋅
+=
µ
α
Comprobación de no deslizamiento en 1
11 rFN >⋅µ
RP4
Si con un tractor tratamos de arrastrar un bloque por una rampa del 10%, calcular:
1.- Par mínimo que debemos aplicar en la rueda motriz trasera del tractor para
iniciar el movimiento.
2.- Par máximo que se puede aplicar en la rueda motriz del tractor para iniciar el
movimiento sin que las ruedas patinen.
NOTA: La cadena que arrastra el bloque está en la prolongación de la línea que une
los centros de las ruedas.
DATOS:
- Peso del bloque = 10000 N
- Coef. rozamiento bloque-terreno = 1.2
- Coef. rozamiento rueda-terreno = 3
- Peso sobre el eje trasero = 20000 N
- Peso sobre el eje delantero = 15000 N
- Radio de las ruedas = 0.7 m
- Coef. de resistencia a rodadura rueda-terreno = 50 mm.
SOLUCIÓN RP4
Equilibrio en el eje delantero (tomando momentos en el punto A)
QPdsenα
PdcosαPd
Nd
Frd
A
NQ
PRd
NQ
RQPRNd
NN
PN
dd
dd
d
dd
6.2558
sen
sen
6.14925
cos
=
+=
⋅=⋅+⋅
=
=
α
α
α
Equilibrio en el bloque
TPbsenα
PbcosαPb
Nb
Frb
( )NT
PT
PFFPT
b
brb
rbb
12935
cossen
cossen
=
⋅+=
⋅=+=
αµα
αµα
Equilibrio en el eje trasero (tomando momentos en el punto B)
QPtsenα
PtcosαPt
NtFrt
B
T
Mm
( )NmM
dRPM
NmM
PdRFM
NF
PTQF
max
tmax
m
trtm
rt
trt
42785
cos
13233
cos
6.17483
sen
=
+⋅=
=
⋅+=
=
++=
µα
α
α
RP5
SOLUCIÓN RP5
a) Condición de deslizamiento Fr < Ph
º10tg
º10senº10cos
<
=⋅=⋅=⋅=
µ
µµµPP
PPNF
h
nr
Como 0.18 > 0.1763 NO HAY DESLIZAMIENTO
Condición de rodadura Nm > Nr
dr
PddPdNNrPrPM
nr
hm
>
⋅=⋅=⋅==⋅=
10tg
º10cosº10sen
Como 160·0.1763 > 0.15 SÍ HAY RODADURA
b) Energía perdida
JWrod
NP
PPNgP
glrP
radradioanguloArco
dPdPdNWWWW
n
n
nroddeslizrodper
7.2225.6105.12423
2423
º10cos246178004.016.0
25.616
100
º10cos
3
2
2
=⋅⋅⋅=
=
==⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
==⇒⋅=
⋅=⋅⋅=⋅⋅==+=
−
π
ρπ
θ
θθθ
RP6
5 Tm
F
P P P
- Rodadura pura
- P = Peso de cada rodillo
Determinar la fuerza mínima de tracción y aplicar al caso siguiente:
* Coeficientes de resistencia a la rodadura:
- Rodillos-bancada d= 0.09 mm
- Rodillos - terreno d’= 0.04 mm
* Densidad del acero ? = 7.8 kg/dm3
* 15 rodillos de radio r = 2 cm y 1 m de longitud.
SOLUCIÓN RP6
F
P
Pn+P
Pn
Fn
Fnd
d´
. . .
P = Peso de cada rodilloPn = Fracción de peso de la máquina que soporta cada rodillo
Condición de movimiento: Par tractor ≥ Par resistente
( )
( ) ( )
NFF
NVrodilloPeso
NmáquinaPeso
FFr
dPPdPFdPPdPrF
dPPdPresistentePar
cilindrocadaenrFtractorPar
n
n
nnnnnn
nn
n
85.16015
15.9681.97800102.0
4905081.9500
2'
'2
'
2
2
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅=⋅=
=⋅=
=
⋅++⋅=⇒⋅++⋅=⋅
⋅++⋅=
⋅=
∑
πρ
RP7
Una carga de 1000 kg reposa sobre una cuña de 10º de inclinación tal como se
indica en la figura. Si el coeficiente de rozamiento en todas las superficies es µ = 0.3
- Encontrar la fuerza horizontal mínima que hay que aplicar a la cuña para elevar
la carga.
- Calcular el valor mínimo de µ que garantiza autorretención si F = 0
- Calcular el valor máximo del ángulo de la cuña que mantiene autorretención,
con F = 0 cuando µ = 0.3
Se desprecia el peso de la cuña.
SOLUCIÓN RP7
1. Encontrar la fuerza horizontal mínima que hay que aplicar a la cuña para elevarla carga.
Equilibrio en la masa soportada
NN
NN
FNNFFN
A
B
rBBA
rArBB
5804
12374
º10cosº10senº10sen9800º10cos
=
=
+=++=
Rozamientos
CrC
ArA
BrB
NFNFNF
⋅=⋅=⋅=
µµµ
Equilibrio en la cuña
NF
NN
NFN
NFFF
C
CrBB
BrBrC
9267
11541
º10senº10cos
º10senº10cos
=
=
+=
++=
2. Calcular el valor mínimo de µ que garantiza autorretención si F = 0
( ) ( )( )( )
( )( )316.0º10
1tg2
1sencos2
cossensencoscossen
sencos
2
2
=⇒=
−=
−=
−=⋅+⋅+⋅=
=⋅+
µα
µµα
µµαα
αµααµαµαµα
αµα
Para
NNNNN
NNN
BB
CBB
CBB
3. Calcular el valor máximo del ángulo de la cuña que mantiene autorretención,F = 0 cuando 3.0=µ
( )( ) º36,93.013.0*5.0arctg 2 =−=α