Download - Problemas Resueltos Cuarta Parte Optica Geom¶etricachopo.pntic.mec.es/jmillan/pr_op.pdfProblemas resueltos 1. Optica 1.1. Optica Geom¶etrica 1. Explica en qu¶e condiciones un rayo

IES Rey Fernando VISan Fernando de HenaresDepartamento de Fısica y Quımica

Problemas ResueltosCuarta Parte

Optica Geometrica

Profesor : Jesus Millan CrespoGrupo : Fisica 2o BachilleratoFecha : 10 de junio de 2010

Problemas resueltos

1. Optica

1.1. Optica Geometrica

1. Explica en que condiciones un rayo de luz monocromatica: a)Se refracta con un angulo de refraccion menor que el angulo deincidencia. b) Experimenta el fenomeno de reflexion total.Solucion:a) Cuando la luz pasa a un medio mas refringente. Cuando n1 < n2.Segun la segunda ley de Snell: n1 sen i = n2 sen r y si r < i ⇒ n1 < n2.b) Cuando un rayo de luz monocromatica pasa a un medio menos refringente,n1 > n2, existe un angulo L, denominado angulo lımite, a partir del cual nose produce refraccion y solo se produce reflexion.

Si n1 > n2 ⇒ n1 sen L = n2 sen 90 ⇒ L = arc sen(n2

n1

)

2. Se utiliza un espejo esferico para formar una imagen inverti-da, cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla situada a5 m del objeto: a) Determinar la posicion del objeto anterior re-specto al espejo y el valor del radio de curvatura de dicho espejo.¿Que tipo de espejo es? b) Utilizando el mismo espejo, ¿a que dis-tancia tendrıa que colocarse el objeto para que la imagen formadafuese virtual y de tamano cinco veces mayor? Efectuar la construc-cion geometrica en ambos casos.Solucion:a) Si la imagen es cinco veces mayor e invertida el aumento lateral sera -5.La imagen es real y si la pantalla esta a 5 m del objeto s − s′ = 5,como sever e el dibujo.{

s− s′ = 5

−s′

s= −5

⇒ s = −1, 25 ms′ = −6, 25 m

La ecuacion de los espejos es:1

s′+

1

s=

2

R⇒ 1

−6, 25+

1

−1, 25=

2

R⇒ R = −2, 083 m ⇒ espejo concavo

b) Si la imagen es virtual y cinco veces mayor el aumento lateral es 5. Ahoraconocemos el radio y hay que calcular la posicion del objeto y de la imagen.− s′

s= +5

1

−5s+

1

s= 2

−2,083

⇒ s = −0, 83 ms′ = 4, 17 m

IES Rey Fernando VI 1 Dpto. de Fısica y Quımica

1.1 Optica Geometrica Problemas resueltos

C Fy

y’

C F y

y’

Figura 1: ejercicio 2

3. Explica el fenomeno de dispersion de la luz blanca producidopor un prisma optico. ¿Cual es la causa del citado fenomeno?Solucion:a) La luz blanca esta formada por radiaciones electromagneticas de diferenteslongitudes de onda, desde el rojo hasta el violeta.Las radiaciones de mayor longitud de onda viajan mas rapidamente que lasde menor longitud de onda en un medio transparente homogeneo e isotropo,por esto se desvıan menos.Vuando la luz blanca atraviesa un medio transparente, homogeneo e isotropola luz roja se desvıa menos y la azul mas, separandose los haces que componenla luz blanca y apareciendo las distintas coloraciones del arco iris.


4. Utilizando una lente convergente de 2 dioptrıas de potencia, sedesea obtener una imagen virtual de tamano tres veces mayor queel objeto: a) ¿Donde estaran situados el objeto y la imagen? b)Efectuar la construccion geometrica de la citada imagen.Solucion:Utilizando una lente convergente de +2 dipotrıas (f ′ = +50) cm y lo que se



pretende es obtener una imagen virtual 3 veces mayor estaremos utilizandola lente como lupa.

ML = 3 ⇒ s′

s= 3

1

s′− 1

s=

1

f ′1

3s− 1

s=

1

+50

⇒ s = −33, 3 cms′ = −1005 cm

F´F

y

y’


5. a) Describe el funcionamiento optico de un microscopio y analizalas caracterısticas de sus imagenes. b) Deduce la expresion de suaumento.Solucion:

y’

y

y’’

F2F1

F ’2F ’1


Es un sistema optico formado por un objetivo y un ocular.



El objetivo es una lente convergente de muy pequena distancia focal que for-ma una imagen real a la derecha del foco del ocular.El ocular es una lente convergente que forma una imagen virtual en el puntoproximo (a 25 cm).El aumento del microscopio sera el producto de los aumentos del objetivo yocular.

M = Mob ·Moc ⇒ M ' L

f ′1

0, 25

f ′2⇒ M ' P1P2 · 0, 25 · L en m

6. a) ¿Puede el ındice de refraccion absoluto de un medio trans-parente tener un valor menor que la unidad? b) ¿Puede la longitudde onda de una luz monocromatica ser mayor en el agua que en elvacıo? Razona la respuesta en ambos apartados.Solucion:a) Nunca, eso supone que la luz viaja a mayor velocidad en el medio que enel vacıo.

n =c

v⇒ n =

λ0 · fλ · f ⇒ n =

λ0

λb) Igualmente la longitud de onda de una radiacion monocromatica no puedeser mayor en el agua que en el vacıo, esto implicarıa que el ıncide de refrac-cion es menor que 1 y esto no es posible.

7. Un objeto de 2 cm de altura, se situa delante de un espejoesferico concavo de radio de curvatura 40 cm. Determina la posi-cion, naturaleza y tamano de la imagen formada en los dos casossiguientes: a) El objeto se encuentra a 30 cm del espejo. b) Elobjeto se encuentra a 10 cm del espejo. Efectua la construcci6ngeometrica en los dos casos.Solucion:

FC

yy´

O

b)

C Fy

y´

a)


a) El espejo es concavo de R = −40 cm e y = 2 cm. Si s = −30 cm se tiene...



1

s′+

1

s=

2

R

1

s′+

1

−30=

2

−40

⇒s′ = −60 cm; real, mayor, invertida

ML = −s′

s= −3 ⇒ y′ = −6 cm

b) El espejo es concavo de R = −40 cm e y = 2 cm. Si s = −10 cm se tiene...

1

s′+

1

s=

2

R

1

s′+

1

−10=

2

−40

⇒s′ = 20 cm; virtual, mayor, derecha

ML = −s′

s= −2 ⇒ y′ = 4 cm

8. Si un rayo de luz monocromatica se propaga del agua al aire¿a partir de que valor del angulo de incidencia en la superficie dediscontinuidad entre ambos medios se presentara el fenomeno dereflexion total? ¿Que nombre recibe ese angulo? El valor del ındicede refraccion absoluto del agua es na = 4/3. Razona la respuesta.Solucion:A partir de un angulo de incidencia denominado angulo lımite.{

n1 sen L = n2 sen 90o

4

3sen L = 1

⇒ L = arc sen3

4⇒ L = 48, 6o

9. Un espejo esferico concavo tiene una distancia focal de 0,8 m.Determinar las posiciones del objeto y de la imagen en los sigu-ientes casos: a) La imagen es real, invertida y tres veces mayor queel objeto. b) La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor queel objeto. Efectuar la construccion geometrica en ambos casos.Solucion:

FC

yy´

O

b)

C Fy

y´

a)


Se trata de un espejo concavo de f ′ = −80 cm y radio R− 160 cm.a) Si la imagen es real, invertida y 3 veces mayor ⇒ ML = −3.



1

s′+

1

s=

1

f ′

−3 = −s′

s

⇒ 1

3s+

1

s=

1

−80⇒ s = −107 cm

s′ = −320 cm

a) Si la imagen es virtual, derecha y 3 veces mayor ⇒ ML = 3.

1

s′+

1

s=

1

f ′

3 = −s′

s

⇒ 1

−3s+

1

s=

1

−80⇒ s = −53 cm

s′ = 160 cm

10. ¿Que es una onda linealmente polarizada? ¿Se puede polarizarcualquier onda? ¿Se puede polarizar la luz? ¿Y los sonidos? Razonala respuesta.Solucion:Onda linealmente polarizada cuando la direccion de propagacion y de vi-bracion de la onda definen un plano que se denomina plano de polarizacion.La luz se puede polarizar con un polarizador.El sonido no se puede polarizar, es una onda longitudinal y la direccion devibracion y propagacion de la onda siempre coinciden y por tanto no puedendefinir un plano. Solo se pueden polarizar ondas transversales.

11. Una lente convergente tiene una distancia focal de 10 cm. Deter-minar para dos objetos situados delante de la lente, a las distanciasde 30 cm y de 5 cm respectivamente: a) La posicion de la imagenb) El aumento lateral. c) Si la imagen es real o virtual. d) Si laimagen es derecha o invertida. Efectuar la construccion geometricaen ambos casos.Solucion:

F´

Fy

y’ F´

Fy

y’

a) b)




La lente tiene una distancia focal f ′ = +10 cm y para objetos situados ens1 = −30 cm y s2 = −5 cm se quiere saber la posicion, el aumento y el tipode imagen.

1

s′1+

1

−30=

1

+10

1

s′2+

1

−5=

1

+10

⇒s′1 = 15 cm y M1 = −1

2, Real e invertida

s′2 = −10 cm y M2 = 2, Virtual y derecha

12. Enuncia el principio de Huygens y utiliza dicho principio paraconstruir el frente de onda refractado en el fenomeno de la refrac-cion de ondas planas. Deduce, asimismo, la ley fundamental de larefraccion en este caso.Solucion:Cada punto de un medio alcanzado por un frente de ondas se convierte encentro emisor de ondas secundarias, de modo que el nuevo frente de ondassera la envolvente de los frentes de onda secundarios.

A

B

C

S S´

D

R

Q

F

E

ir

T

H

A

B

C

S S´

D

MN

F

E

i

r

H

H

^^

n1

- Consideremos un foco muy alejado de modo quelas ondas que llegan a SS´ sean planas y los rayosparalelos.- Como la onda no cambia de medio v =v y mientras

D llega a F, C llega a H.- CD constituye el frente de ondas incidente y FHconstituye el frente de ondas reflejado.- Se comprueba fácilmente que el ángulo formadopor BFT y el ángulo formado por TFR son iguales.y se cumple que î=r

1 2

^

- Consideremos un foco muy alejado de modo quelas ondas que llegan a SS´ sean planas y los rayosparalelos.

- Como la onda no cambia de medio v v y mientras

D llega a F, C llega a E.- CD constituye el frente de ondas incidente y EFconstituye el frente de ondas refractado.

- t =t DF/v =CE/v CF sen î/v =CF sen r/v

y se cumple que n sen î = n sen r

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

¹

Þ Þ

ÞÙ

Ù


13. Explica por que cuando se observa desde el aire, un remosumergido parcialmente en el agua parece estar doblado. Ayudatede construcciones geometricas en la explicacion.Solucion:



Un punto sumergido en el agua se obseva menos profundo de lo que en real-idad esta.Si suponemos el extremo del palo sumergido, la luz reflejada del objeto alaltravesar la superficie del agua, se aleja de la normal (por pasar a un mediomenos refringente), y como tenemos una percepcion rectilınea de los rayos deluz, la imagen observada estara mas cerca de la superficie dando la sensacionde que se dobla el palo.

N

o

B

C

A

La imagen del punto B, se ve en C y el palo enlugar de verse recto AOB se verá doblado AOC.


14. Un espejo esferico, concavo, ha de formar una imagen invertidade un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a unadistancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm yla imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar: a) Aque distancia del espejo debe colocarse el objeto. b) El radio decurvatura del espejo. Efectuar la construccion geometrica de lacitada imagen.Solucion:

C Fy

y’


Se trata de proyectar con un espejo esferico concavo un objeto de y = 5 mmsobre una pared que se encuentra a 420 cm del espejo, (s′ = −420 cm) y con



30 cm de tamano. La imagen se proyectara invertida.

El aumento lateral del objeto sera M =y′

y⇒ M =

−30

0, 5⇒ M = −60.

El aumento lateral de un espejo se define como M = −s′

s⇒ s′ = 60s.

Como s′ = −420 cm, ⇒ s = −7 cm.

1

s′+

1

s=

2

R

1

−420+

1

−7=

2

R

⇒ R = −13, 85 cm

15. Dibuja la marcha de los rayos en un anteojo astronomico (tele-scopio refractor) si el objeto se encuentra en el infinito y observaun ojo normal sin acomodacion ¿Que distancia separa las lentes eneste caso? Razona la respuesta.Solucion:

y’

F´1F2

F´2a

a

b


Un anteojo astronomico esta formado por dos lentes, el objetivo y el ocular.El objetivo tiene una distancia focal grande y forma la imagen de un objetosituado en el infinito aproximadamente en el foco del ocular.El ocular tiene una distancia focal pequena y forma una imagen virtual, may-or e invertida en el infinito.El ojo, que se situa en el foco del ocular converge la imagen en la retina.No tiene sentido hablar de aumentos laterales en un anteojo astronomico yse habla de aumentos angulares.



M =β

α⇒ M =

tan β

tan α⇒ M =

− y′

f2

y′

f1

⇒ M = −f1

f2

16. A un prisma optico de angulo de refringencia ϕ = 50o llegaun rayo de luz monocromatico bajo un angulo de incidencia de40◦. Sabiendo que el angulo de desviacion producido por el prismaen este rayo es de 30o y que el medio que rodea al prisma es aire:a) Calcular el valor del angulo de emergencia del citado rayo. b)Calcular el valor del ındice de refraccion del prisma. c) Dibujar lamarcha del rayo a traves del prisma.Solucion:

N N’

B

A C


Los datos son el angulo del prisma ϕ = 50o, el angulo de incidencia i = 40o yla desviacion del rayo δ = 30o. Se pide determinar i′ y el ınice de refraccionn.a) De la geometrıa del dibujo se desprende:δ = α + β ⇒ δ = (i− r) + (i′ − r′) ⇒δ = (i + i′)− ϕ ⇒ 30 = 40 + i′ − 50 ⇒ i′ = 40o

Como el angulo de incidencia es igual que el angulo de emergencia se esta endesviacion mınima y se cumple tambien que r = r′, y por tanto r = 25o,porque r = ϕ/2.b) Aplicando la ley de refraccion a la primera, o segunda cara se calcula elındice de refraccion.1 · sen 40 = n · sen 25 ⇒ n = 1, 52

17. a) ¿Que diferencias existen entre una imagen real y una im-agen virtual formadas por un sistema optico centrado? b) Realiza



un ejemplo de construccion geometrica para cada una de ellas uti-lizando espejos esfericos. Explica que tipo de espejo esferico puedesemplear en cada caso.Solucion:La imagen real se forma cuando los rayos convergen, no se puede ver pero sepuede recoger en una pantalla.La imgaen virtual se forma cuando los rayos divergen y se forma donde secruzan sus prolongaciones. Se puede ver pero no se puede recoger en unapantalla.Los espejos esfericos convexos forman siempre imagenes virtuales, menoresy derechas. Los espejos concavos forman imagenes reales e invertidas si elobjeto se encuentra a al izquierda del foco e imagenes virtuales y mayores siel objeto se coloca a la derecha del foco.

FC

yy´

O

b)

C Fy

y´

a)

a) Imagen real espejo cóncavo y objeto antes del foco b) Imagen virtual espejo convexo


18. Una lente esferica delgada biconvexa, cuyas caras tienen radiosiguales a 5 cm y el ındice de refraccion es n = 1,5, forma de un ob-jeto real una imagen tambien real reducida a la mitad. Determinar:a) La potencia y la distancia focal de la lente. b) Las posiciones delobjeto y de la imagen. c) Si esta lente se utiliza como lupa, el au-mento de la lupa cuando observa un ojo normal sin acomodacion.Efectuar las construcciones geometricas. Datos: Distancia mınimade vision neta para el ojo d = 25 cm. El medio exterior es el aire.Solucion:a) A partir de los radios de curvatura y del ındice de refraccion de la lentese calcula la distancia focal de la lente y su potencia.1

f ′= (n−1)

( 1

R1

− 1

R2

)⇒ 1

f ′= (1, 5−1)

(1

5− 1

−5

)⇒ f ′ = 5 cm y P = 20 D

b) La imagen formada es real e invertida y la mitad del objeto.



⇒ M = −1

2⇒ s′

s= −1

2⇒ s = −2s′

Y a partir de la expresion de las lentes.1

s′− 1

s=

1

f ′⇒ −2

s− 1

s=

1

5⇒ s = −15 cm y s′ = 7, 5 cm

c) Se trata de una lente convergente que se puede utilizar como lupa. La lupacrea una imagen de un objeto muy proximo al foco en el punto proximo delojo, a 25 cm.

M =25

f ′expresado en cm ⇒ M = 5 aumentos

y’

F´F

y

y’F´F

y

Lupa


19. Un rayo de luz monocromatica que se propaga en el aire incidesobre una sustancia transparente con un angulo de 58◦ respectoa la normal. Se observa que los rayos reflejado y refractado sonmutuamente perpendiculares: a) ¿Cual es el ındice de refraccionde la sustancia transparente para esta luz? b) ¿Cual es el angulolımite para la reflexion total interna en esta sustancia, si la luz sepropagase desde ella hacia el aire?Solucion:a) De la geometrıa del dibujo se desprende:r + 90 + r′ = 180 y segun la ley de la reflexion i = r ⇒r′ = 180− 90− 58 ⇒ r = 32o

Aplicando ahora la ley de refraccion.1 · sen 58 = n · sen 32 ⇒ n = 1, 6b) El angulo lımite sera aquel angulo de incidencia para el que el angulorefractado salga con 90o.1 · sen L = 1, 6 · sen 90 ⇒ L = 38, 68o



N

90°

i

rL n =1,62

^

^r´^

^


20. Calcule a que distancia debe colocarse un objeto a la izquier-da del vertice de un espejo concavo cuyo radio de curvatura esde 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que el objeto.Interprete los posibles resultados y efectue las construcciones ge-ometricas correspondientes.Solucion:El espejo es concavo R = −12 cm, y la imagen tiene que ser tres veces mayorque el objeto, pero puede ser derecha y virtual, en cuyo caso el aumentolateral sera M = 3 y el objeto se situa antes que el foco o invertida y real,en cuyo caso el aumento lateral es M = −3 y el objeto se situa despues delfoco como se ve en los dibujos.

3 = −s′

s⇒ s′ = −3s

−3 = −s′

s⇒ s′ = 3s

⇒

1

−3s+

1

s=

2

−12

1

3s+

1

s=

2

−12

s = −4 cms′ = 12 cm

s = −8 cms′ = −24 cm

FC

yy´

O

b)

C Fy

y´

a)


21. a) Indique las diferencias que a su juicio existen entre losfenomenos de refraccion y de dispersion de la luz. ¿Puede un rayode luz monocromatica sufrir ambos fenomenos? b) ¿Por que no seobserva dispersion cuando la luz blanca atraviesa una lamina de



vidrio de caras plano-paralelas?Solucion:a) Refraccion es el cambio de direccion que experimenta la luz (monocromatica)en la superficie de separacion entre dos medios transparentes y pasar al otromedio.Dispersion de la luz es la separacion de las distintas radiaciones monocromaticasde una luz compleja, debido a que la luz de mayor longitud de onda viajamas rapidamente que la luz de menor longitud de onda.Una luz monocromatica solo puede sufrir refraccion.b) Cuando la luz atraviesa una lamina de material transparente el rayo prin-cipal sufre dos refracciones, pues encuentra en su camino dos superficies deseparacion diferentes. En una lamina de vidrio las normales N y N’ a lassuperficies lımites S y S’ son tambien paralelas, por lo que el angulo derefraccion respecto de la primera superficie coincidira con el de incidenciarespecto de la segunda. Si ademas la lamina esta sumergida en un mismomedio como puede ser el aire, este estara presente a ambos lados de la lami-na, de modo que la relacion entre los ındices de refraccion aire-vidrio para laprimera refraccion sera inversa de la correspondiente a la segunda refraccionvidrio-aire.Eso ignifica que, de acuerdo con la ley de Snell, el rayo refractado en la se-gunda superficie S’ se desviara respecto del incidente alejandose de la normalN’ en la misma medida en que el rayo refractado en la superficie S se desvıerespecto de su incidente, en este caso acercandose a la normal. Esta equiva-lencia en la magnitud de desviaciones de signo opuesto hace que el rayo queincide en la lamina y el rayo que emerge de ella sean paralelos, siempre quelos medios a uno y otro lado sean identicos. En tal circunstancia las laminasplano-paralelas no modifican la orientacion de los rayos que inciden sobre el-las, tan solo desplazan todas las componentes monocromaticas por igual. Deesta manera no se manifiesta la dispersion de la luz en laminas planoparalelas.

22. Un objeto luminoso de 2 mm de altura esta situado a 4 m.de distancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se colocauna lente esferica delgada L, de distancia focal desconocida, queproduce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el ob-jeto. a) Determine la naturaleza de la lente L, ası como su posicionrespecto del objeto y de la pantalla b) Calcule la distancia focal,la potencia de la lente L y efectue la construccion geometrica de laimagen.Solucion:a) Se deduce facilmente que se trata de una lente convergente porque formauna imagen en una pantalla, real y por tanto invertida. El tamano del ob-



jeto es y = 2 mm y la relacion entre la posicion del objeto y la imagen es:s′ − s = 4 m; M = −3.{

s′ − s = 4

−3 =s′

s

⇒ s = −1 m y s′ = 3 m

b) Ahora la distancia focal de la lente y su potencia.

1

s′− 1

s=

1

f ′1

3− 1

−1=

1

f ′

⇒ f ′ = 0, 75 m y P = 1, 33 D

y la potencia es P =1

f ′en m ⇒ P = 1, 33 D

F y’

F’y


23. ¿En que posicion debe colocarse un objeto delante de una lenteesferica convergente para producir una imagen virtual? Obtengagraficamente la imagen.Solucion:

y

y’

F

F’

a la derecha del foco objeto


A la derecha del foco objeto de forma que actue como lupa.



Se puede justificar graficamente, como se ve en el dibujo y analıticamente.Se parte de la ecuacion de las lentes y se despeja s’, la posicion de la imagen.1

s′− 1

s=

1

f ′⇒ s′ =

f ′ss + f ′

Para que la imagen sea virtual s’ tiene que estar en el espacio objeto, s′ < 0.Pero el valor de s es negativo, s < 0, y el de f’ positivo, f ′ > 0. El numeradores siempre negativo y para que la fraccion sea negativa el denominador debeser positivo, el termino s + f ′ > 0 y esto implica que |f ′| > |s|. El objetotiene que estar a la derecha del foco, entre el foco y la lente.

24. Un rayo de luz amarilla, emitido por una lampara de sodio,tiene una longitud de onda en el vacıo de 589 · 10−9 m. Determinar:a) Su frecuencia.b) Su velocidad de propagacion y su longitud de onda en el interiorde una fibra de cuarzo, cuyo ındice de refraccion es n = 1, 458.c) El angulo de incidencia mınimo para el rayo de luz que, propagandoseen el interior de la fibra de cuarzo, encuentra la superficie de dis-continuidad ente el cuarzo y el aire y experimenta reflexion total.Datos: Velocidad de la luz en el vacıo c = 3 · 108 m/s.Solucion:a) La frecuencia en el vacıo es:c = λf ⇒ 3 · 108 = 589 · 10−9 · f ⇒ f = 5, 093 · 1014 Hzb) La velocidad en el cuarzo es

n =c

v⇒ 1, 458 =

3 · 108

v⇒ v = 2, 0576 · 108 m/s

Y la longitud de onda de la radiacion en el cuarzo:

n =c

v⇒ n =

λ0 f

λ f⇒ 1, 458 =

589

λ⇒ λ = 403, 9 nm

c) El angulo lımite para el cuarzo:n · sen L = 1 · sen 90 ⇒ 1, 458 · sen L = 1 · sen 90 ⇒ L = 43, 30o

25. Una lamina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en elaire, tiene un espesor de 8 cm y un ındice de refraccion n = 1, 6.Calcular para un rayo de luz monocromatica que incide en la carasuperior de la lamina con un angulo de 45◦:a) Los valores del angulo de refraccion en el interior de la laminay del angulo de emergencia correspondientes.b) El desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo alatravesar la lamina.c) Dibujar la marcha geometrica del rayo.Solucion:



a) Angulo de refraccion.1 · sen 45 = 1, 6 · sen r ⇒ r = 26, 23o

Angulo de emergencia.r = r′ ⇒ 1, 6 · sen 26, 23 = 1 · sen i′ ⇒ i′ = 45o

b) El desplazamiento lateral.{

δ = AB · sen γ

cos r =e

AB

⇒δ =

e

cos r· sen(i− r)

δ =8

cos 26, 23· sen(45− 26, 23)

⇒

δ = 2, 86 cmc) La marcha de los rayos queda del siguiente modo:

d

B

A

N

i

N¢

r

i´

r

g

e

n=1,6


26. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lamina devidrio con un angulo de incidencia de 30o.a) ¿Que angulo formaran entre sı en el interior del vidrio los rayosrojo y azul, componentes de la luz blanca, si los valores de losındices de refraccion del vidrio para estos colores son, respectiva-mente, nROJO = 1, 612 y nAZUL = 1, 671.b) ¿Cuales seran los valores de la frecuencia y de la longitud de ondacorrespondientes a cada una de estas radiaciones en el vidrio, si laslongitudes de onda en el vacıo son, respectivamente, λROJO = 656, 3nm y λAZUL = 486, 1 nm?Datos: Velocidad de la luz en el vacıo c = 3 · 108 m/s.Solucion:a) Aplicando la ley de Snell de la refraccion:{

1 · sen 30 = 1, 612 sen rR ⇒ rR = 18, 059o

1 · sen 30 = 1, 671 sen rA ⇒ rA = 17, 411o ⇒ δ = rR − rA δ = 0, 658o

b) La fracuencia no varıa al cambiar de medio de modo que en el vacıo:



λoR =c

fR

⇒ fR = 4, 57 · 1014 Hz

λoA =c

fA

⇒ fA = 6, 17 · 1014 Hz

El ındice de refraccion es n =c

vpero se puede poner tambien como n =

λ0

λ⇒

λR = 407, 13 nm y λA = 290, 9 nm

27. a) Un rayo luminoso que se propaga en el aire incide sobreel agua de un estanque con un angulo de 30◦. ¿Que angulo formanentre sı los rayos reflejado y refractado? b) Si el rayo luminoso sepropagase desde el agua hacia el aire ¿a partir de que valor delangulo de incidencia se presentara el fenomeno de retlexion total?Dato: ındice de refraccion del agua = 4/3.Solucion:a) El angulo que forman el rayo reflejado y el refractado es δ = 180o− r− r′

El angulo de reflexion es igual al de incidencia ⇒ r = 30o

El angulo de refraccion: 1 · sen 30 = 43sen r′ ⇒ r′ = 22, 02o

⇒ δ = 127, 98o

b) Un rayo al pasar a un medio menos refringente, de menor ındice de re-fraccion, se aleja de la normal. La relexion total se produce cuando el rayoincidente es mayor que el angulo lımite a partir del cual el rayo refractado esde 90o. En este caso ya no hay refraccion y solo se produce relexion.43sen L = 1 · sen 90 ⇒ L = 48, 59o

28. Un objeto luminoso esta situado a 6 m de una pantalla. Unalente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantallauna imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. a)¿Cual es la naturaleza y la posicion de la lente? ¿Cual es el valorde la distancia focal de la lente? b) Se desplaza la lente de maneraque se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nıtida, perode tamano diferente al obtenido anteriormente. ¿Cual es la nuevaposicion de la lente y el nuevo valor del aumento?Solucion:a) Segun los datos que se dan:{

s′ − s = 6s′s

= −4⇒ s = −1, 2 m

s′ = 4, 8 m

a) La lente esta a 4,8 m de la pantalla y a 1,2 m del objetoLa distancia focal de la lente es:1

4, 8− 1

−1, 2=

1

f ′⇒ f ′ = 0, 96 m

b) Si se desplaza la lente hacia la pantalla:



1

6 + s− 1

s=

1

0, 96⇒ s = −4, 8 m y s′ = 1, 2 m

s = −1, 2 m y s′ = 4, 8 m

Y el aumento lateral: ML =s′

s⇒ ML = −1

4

F y’

F’

F y’

F’

Figura 20: Ejercicio 28

29. Sobre una lamina de vidrio de caras planas y paralelas, de es-pesor 2 cm y de ındice de refraccion n = 3/2, situada en el aire,incide un rayo de luz monocromatica con un angulo i = 30o. a)Compruebe que el angulo de emergencia es el mismo que el angulode incidencia. b) Determine la distancia recorrida por el rayo den-tro de la lamina y el desplazamiento lateral del rayo emergente.Solucion:a) En una lamina de vidrio de laminas paralelas hay dos refracciones sucesi-vas.1 · sen 30 = 3

2sen r ⇒ r = 19, 47o

3

2sen r = 1 · sen i′

⇒ i = i′ = 30o

b) El recorrido que realiza el rayo dentro de la lamina es la distancia AB.

cos r =e

AB⇒ AB =

2

cos 19, 47o⇒ AB = 2, 12 cm

Y el desplazamineto lateral del rayo emergente es:δ = AB sen γ ⇒ δ = 2, 12 sen(30− 19, 47) ⇒ δ = 0, 388 cm

dB

A

N

i

N¢

r

i´

r

g

e




30. Una lente convergente con radios de curvatura de sus carasiguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50cm. Proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamano5 cm.a) Calcule la distancia de la pantalla a la lente para que la imagensea de tamano 40 cm.b) Si el ındice de refraccion de la lente es igual a 1,5 ¿Que valortienen los radios de la lente y cual es la potencia de la misma?Solucion:a) Una lente convergente proyecta una imagen real e invertida en la pantalla

cuyo aumento lateral es ML =y′

y⇒ ML =

−40

5⇒ ML = −8.

Tambien ML =s′

s⇒ s′ = −8s

La ecuacion de una lente es:1

−8s− 1

s=

1

50⇒ s = 56, 25 cm y s′ = 450 m

b) La ecuacion de una lente en funcion de sus radios de curvatura es:1

s′−1

s= (n−1)

( 1

R1

− 1

R2

)y si R1 = R2 ⇒ 1

f ′= (n−1)

( 2

R

)⇒ R = 50 cm

La potencia de una lente es el inverso de su distancia focal expresada en met-ros.

P =1

f ′(m)⇒ P =

1

0, 5⇒ P = 2 Dioptrıas

31. ¿Que tipo de imagen se obtiene con un espejo esferico convexo?¿Y con una lente esferica divergente? Efectue las construccionesgeometricas adecuadas para justificar las respuestas. El objeto sesupone real en ambos casos.Solucion:

F C F´ F


En ambos casos las imagenes son VIRTUALES, MENORES y DERECHAS.

32. Un rayo de luz monocromatica que se propaga en un medio



de ındice de refraccion 1,58 penetra en otro medio de ındice derefraccion 1,23 formando un angulo de incidencia de 15◦ (respectoa la normal) en la superficie de discontinuidad entre ambos medios.a) Determine el valor del angulo de refraccion correspondiente alangulo de incidencia anterior. Haga un dibujo esquematico.b) Defina angulo lımite y calcule su valor para este par de medios.Solucion:a) Aplicando la ley de Snell de la refraccion:1, 58 · sen 15 = 1, 23 sen r ⇒ r = 19, 42o

b) Angulo lımite es el angulo a partir del que ya no se produce refraccion ytodo es reflexion. Ocurre cuando un rayo de luz pasa de un medio de mayorındice de refraccion a otro menor.1, 58 sen L = 1, 23 sen 90 ⇒ L = 51, 12o

N

90°

i

r

L L´

n =1,232

n =1,581


33. Un objeto luminoso de 3 cm de altura esta situado a 20 cm deuna lente divergente de potencia -10 dioptrıas. Determine:a) La distancia focal de la lente.b) La posicion de la imagen.c) La naturaleza y el tamano de la imagen.d) La construccion geometrica de la imagen.Solucion:a) La potencia es el imverso de lA distancia focal expresada en metros.

P =1

f ′(m)⇒ f ′ = −10 cm

b) La ecuacion de las lentes da la posicion:1

s′− 1

−20=

1

−10⇒ s′ = −6, 667 cm

c) La imagen esta en el espacio objeto y a menor distancia. Tiene un aumento

lateral ML =−6, 667

−20⇒ ML = 0, 33

El aumento es positivo, la imagen sera derecha y′ = ML · y ⇒ y′ = 1 cmLa imagen es VIRTUAL, DERECHA Y MENOR.



F´ F

yy’


34. a) Defina para una lente delgada los siguientes conceptos: focoobjeto, foco imagen, distancia focal objeto y distancia focal imagen.b) Dibuje para los casos de lente convergente y de lente divergentela marcha de un rayo que pasa (el o su prolongacion) por: b1) elfoco objeto; b2) el foco imagen.Solucion:a) Foco objeto: Punto cuya imagen esta en el infinito. Cuando un rayo pasapor este punto e incide en la lente, sale paralelo al eje optico.Foco imagen: Punto donde se juntan los rayos que inciden paralelos al ejeoptico.Distancia focal objeto y distancia focal imagen: el la distancia a la que seencuentran el foco objeto y el foco imagen del centro del sistema respectiva-mente.b) Construccion de la marcha de los rayos

F´F F´ F


35. Sea un sistema optico formado por dos lentes delgadas conver-gentes de la misma distancia focal (f´=20 cm), situadas con el ejeoptico comun a una distancia entre sı de 80 cm. Un objeto luminosolineal perpendicular al eje optico, de tamano y=2 cm, esta situadoa la izquierda de la primera lente y dista de ella 40 cm.a) Determine la posicion de la imagen final que forma el sistemaoptico y efectue su construccion geometrica.b) ¿Cual es la naturaleza y el tamano de esta imagen?Solucion:Posicion de la imagen a traves de la primera lente:1

s′1− 1

−40=

1

20⇒ s′1 = 40 cm y s2 = 40− 80 ⇒ s2 = −40 cm



Posicion de la imagen a traves de la segunda lente:1

s′2− 1

−40=

1

20⇒ s′2 = 40 cm

y la imagen se forma 40 cm a la derecha de la segunda lente.

b) El aumento lateral de la primera lente es: ML1 =s′1s1

⇒ ML1 = −1

El aumento lateral de la segunda lente es: ML2 =s′2s2

⇒ ML2 = −1

El aumento total es: M = ML1 ·ML2 ⇒ M = 1 y y′′ = 1 cmLa imagen es REAL, DERECHA y de IGUAL tamano.

y

y’

y’’

F1

F´1F2

F´2


36. Explique mediante construcciones geometricas que posicionesdebe ocupar un objeto, delante de una lente delgada convergente,para obtener:a) Una imagen real de tamano menor, igual o mayor que el objeto.b) Una imagen virtual. ¿Como esta orientada esta imagen y cuales su tamano en relacion con el objeto?Solucion:a) Imagen REAL, INVERTIDA y MENOR. Posicion |2f | < |s|.b) Imagen REAL, INVERTIDA e IGUAL. Posicion |s| = |2f |.c) Imagen REAL, INVERTIDA y MAYOR. Posicion |f | < |s| < |2f |.d) Imagen VIRTUAL, DERECHA y MAYOR. Posicion |s| < |f |.



y’F´F

y

y’F´F

y

y’

F´F

yy’

F´F

y

a) b)

d)c)


37. Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo esfericoconcavo. Efectue la construccion geometrica de la imagen e indiquesu naturaleza si el objeto esta situado a una distancia igual, en valorabsoluto, a:a) La mitad de la distancia focal del espejo.b) El triple de la distancia focal del espejo.Solucion:a) Si s = f/2. Imagen VIRTUAL, DERECHA y MAYOR.a) Si s = 3f . Imagen REAL, INVERTIDA y MENOR.

FC

yy´

O C F

y

y´

a) b)


38. Un sistema optico centrado esta formado por dos lentes del-gadas convergentes de igual distancia focal, f ′ = 10 cm, estan sepa-radas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca delante dela primera lente a una distancia de 15 cm. Determine:a) La posicion, el tamano y la naturaleza de la imagen formada por



la primera lente.b) La posicion de la imagen final del sistema, efectuando su con-struccion geometrica.Solucion:

y

y´F1

F´1 F2

F´2


La posicion de la imagen a traves de la primera lente:1

s′1− 1

−15=

1

10⇒ s′1 = 30 cm a derecha de la primera lente

El tamano de la imagen: ML =s′1s1

⇒ ML =30

−15⇒ ML = −2 ⇒

y′1 = −2 cm y la imagen es REAL, INVERTIDA y MAYOR.La posicion de la imagen a traves de la segunda lente si s2 = 30− 40:1

s′2− 1

−10=

1

10⇒ s′2 = ∞ cm y la imagen se forma en el infinito.

La construccion geometrica.

39. Una superficie de discontinuidad plana separa dos medios deındices de refraccion n1 y n2. Si un rayo incide desde el medio deındice n1, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o fal-sas:a) Si n1 > n2 el angulo de refraccion es menor que el angulo deincidencia.b) Si n1 < n2 a partir de un cierto angulo de incidencia se produceel fenomeno de reflexion total.Solucion:a) Si n1 > n2 ⇒ n1 sen i = n2 sen r ⇒ i < r y FALSO.

b) Si n1 < n2 ⇒ n1 sen L = n2 ⇒ n2

n1

> 1 y NO HAY REFLEXION TOTAL.

40. Una lente delgada convergente proporciona de un objeto situ-ado delante de ella una imagen real, invertida y de doble tamanoque el objeto. Sabiendo que dicha imagen se forma a 30 cm de lalente, calcule:



a) La distancia focal de la lente.b) La posicion y naturaleza de la imagen que dicha lente formara deun objeto situado 5 cm delante de ella, efectuando su construcciongeometrica.Solucion:La construccion geometrica es:

F´

Fy

y’

F´F

y

y’


a) Si la imagen ese real, invertida y doble:ML = −2, s′ = +30 cm y ⇒ s = −15 cmAplicando la ecuacion de las lentes:1

30− 1

−15=

1

f ′⇒ f ′ = 10 cm

b) Si ahora el objeto esta en s = −5 cm.1

s′− 1

−5=

1

10⇒ s′ = −10 cm imagen VIRTUAL, DERECHA y MAYOR.

41. Un rayo de luz monocromatica que se propaga en el aire pene-tra en el agua de un estanque:a) ¿Que fenomeno luminoso se origina al pasar la luz del aire alagua? Enuncie las leyes que se verifican en este fenomeno.b) Explique si la velocidad, la frecuencia y la longitud de ondacambian al pasar la luz de un medio a otro.Solucion:a) El fenomeno de la REFRACCION de la luz.1a Ley de Snell: El rayo incidente , la normal y el ray reflejado estan en elmismo plano.2a Ley de Snell: el producto del ındice de refraccion por el seno del angu-lo de incidencia es constante para cualquier rayo de luz incidiendo sobre lasuperficie separatriz de dos medios.

n1sen i = n2 sen r



b) LA VELOCIDAD CAMBIA al pasar a otro medio de distinto ındice derefraccion.LA FRECUENCIA NO CAMBIA. Es una magnitud asociada a la energıade la onda y no hay perdida de energıa.

LA LONGITUD DE ONDA CAMBIA λ =v

f, si la velocidad cambia, nece-

sariamente tiene que cambiar la longitud de onda.

42. Una lente convergente de 10 cm de distancia focal se utilizapara formar la imagen de un objeto luminoso lineal colocado per-pendicularmente a su eje optico y de tamano y = 1 cm.a) ¿Donde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme14 cm por detras de la lente? ¿Cual es la naturaleza y el tamanode esta imagen?b) ¿Donde hay que colocar el objeto para que su imagen se forme8 cm por delante de la lente? ¿Cual es la naturaleza y el tamano deesta imagen? Efectue la construccion geometrica en ambos casos.Solucion:a) Para que la imagen este en s′ = −14 cm detras de la lente:1

14− 1

s=

1

10⇒ s = −35 cm REAL, INVERTIDA y MENOR.

b) Para que la imagen este en s′ = −8 cm.1

−8− 1

s=

1

10⇒ s = −4, 44 cm VIRTUAL, DERECHA y MAYOR.

Construccion geometrica

F´

Fy

y’F´F

y

y’


43. Un haz luminoso esta constituido por dos rayos de luz super-puestos: uno azul de longitud de onda 450 nm y otro rojo de lon-gitud de onda 650 nm. Si este haz incide desde el aire sobre lasuperficie plana de un vidrio con un angulo de incidencia de 30◦,calcule:



a) El angulo que forman entre sı los rayos azul y rojo reflejados.b) El angulo que forman entre sı los rayos azul y rojo refractados.Datos: Indice de refraccion del vidrio para el rayo azul: nAZUL = 1, 55y para el rayo rojo: nROJO = 1, 40.Solucion:a) La ley de la reflexion dice: i = r, y no depende ni del ındice de refraccionni de la longirud de onda. ⇒ rR = rA = 30o

b) La ley de la refraccion dice: n1 sen i = n2 sen r′.{1 · sen 30 = 1, 40 sen r′R ⇒ r′R = 20, 925o

1 · sen 30 = 1, 55 sen r′A ⇒ r′A = 18, 819o⇒ δ = 2, 106o

44. Un objeto de 1 cm de altura se situa a 15 cm delante de unalente convergente de 10 cm de distancia focal.a) Determine la posicion, tamano y naturaleza de la imagen for-mada, efectuando su construccion geometrica.b) ¿A que distancia de la lente anterior habrıa que colocar unasegunda lente convergente de 20 cm de distancia focal para que laimagen final se formara en el infinito?Solucion:Construccion geometrica

y

y’

F1

F´1 F2

F´2


a) Ecuacion de la lente con el objeto en s = −15 cm:1

s′1− 1

−15=

1

10e y′ =

s′1s1

· y ⇒s′1 = 30 cm e y′ = −2 cm y la imagen es REAL, INVERTIDA y MAYOR.

b) Para que la imagen, a traves de la segunda lente, se forme en el infinitodebe estar en el foco objeto de la segunda lente, s2 = f2.La distancia que separa las lentes es d = s′1 + 20 ⇒ d = 50 cm



45. a) Explique que son una lente convergente y una lente diver-gente. ¿Como estan situados los focos objeto e imagen en cada unade ellas? b) ¿Que es la potencia de una lente y en que unidades seacostumbra a expresar?Solucion:a) Una lente es un sistema optico, centrado y transparente limitado por dosdioptrıos en el que al menos uno de ellos es esferico.Lente convergente o de bordes finos, cuando los rayos que inciden paralela-mente al eje optico convergen en un punto llamado foco.Lente divergente o de bordes gruesos, cuando los rayos que inciden paralela-mente al eje optico divergen y son sus prolongaciones las que se cruzan el unpunto llamdo foco.En las lentes convergentes el foco objeto esta a la izquierda y el foco imagena la derecha de la lente, en las lentes divergentes al reves.b) La potencia de una lente es el inverso de la distancia focal expresada enmetros y se mide en dioptrıas.

46. Por medio de un espejo concavo se quiere proyectar la ima-gen de un objeto de tamano 1 cm sobre una pantalla plana, demodo que la imagen sea invertida y de tamano 3 cm. Sabiendo quela pantalla ha de estar colocada a 2 m del objeto, calcule:a) Las distancias del objeto y de la imagen al espejo, efectuandosu construccion geometrica.b) El radio del espejo y la distancia focal.Solucion:

C

Fy

y’




a) El aumento lateral para un espejo es: ML =y′

y= −s′

s⇒

{s′ = 3ss− s′ = 2

=⇒ s = −1 m y s′ = −3 m

b) Aplicando ahora la ecuacion de los espejos:1

−3+

1

−1=

2

R⇒ R = −1, 5 m y f = R/2 = −0, 75 m

47. a) ¿Que combinacion de lentes constituye un microscopio? Ex-plique mediante un esquema grafico la disposicion del sistema. b)Dibuje la marcha de los rayos procedentes de un objeto a traves delmicroscopio, de manera que la imagen final se forme en el infinito.Solucion:a) El microscopio esta formado por dos lentes convergentes de muy pequenadistancia focal.El objeto se coloca delante del objetivo y forma una imagen real despues delfoco del ocular, que a su vez forma una imagen virtual a 25 cm.f ′1 << f ′2 y ambas distancias son mucho menores que L, la separacion entrelas lentes.

El aumento lateral del microscopio es, muy aproximadamente ML =25 L

f ′1f′2

.

Marcha de los rayos en un microscopio y construccion para que la imagen seforme en el infinito.En el segundo caso la imagen que forma el objetivo debe caer exactamenteen el foco del ocular y no despues como en el microscopio.

y’

y

F2

F1 F ’2

F ’1

y’

y

y’’

F2F1

F ’2F ’1


48. Un espejo esferico convexo proporciona una imagen virtual deun objeto que se aproxima a el con velocidad constante, el tamanode dicha imagen es igual a 1/10 del tamano del objeto cuando este



se encuentra a 8 m del espejo.a) ¿A que distancia del espejo se forma la correspondiente imagenvirtual?b) ¿Cual es el radio de curvatura del espejo?c) Un segundo despues, el tamano de la imagen formada por elespejo es 1/5 del tamano del objeto. ¿A que distancia del espejo seencuentra ahora el objeto?d) ¿Cual es la velocidad del objeto?Solucion:a) Todas las imagenes de un espejo esferico convexo son virtuales, de menortamano y derechas.

El aumento lateral es: ML =y′

y= −s′

s. Inicialmente

1

10= −s′

sy s = −8 m

1

10= − s′

−8⇒ s′ = 0, 8 m

b) Aplicando al ecuacion de los espejos.1

0, 8+

1

−8=

2

Ry f ′ =

R

2⇒ R = 1, 77 m y f = 0, 89 m

c) Despues de 1 s el aumento lateral es ML =1

5; ⇒ 1

5= −s′

saplicando nuevamente la ecuacion de los espejos.5

−s+

1

s=

1

0, 89⇒ s = −3, 56 m

d) La velocidad es el espacio recorrido entre el tiempo.

v =e

t⇒ v =

(−3, 56)− (−8)

1⇒ v = 4, 44 m/s

49. Un sistema optico esta formado por dos lentes: la primera esconvergente y con distancia focal de 10 cm; la segunda, situada a50 cm de distancia de la primera, es divergente y con 15 cm de dis-tancia focal. Un objeto de tamano 5 cm se coloca a una distanciade 20 cm delante de la lente convergente.a) Obtenga graficamente mediante el trazado de rayos la imagenque produce el sistema optico.b) Calcule la posicion de la imagen producida por la primera lente.c) Calcule la posicion de la imagen producida por el sistema optico.d) ¿Cual es el tamano y la naturaleza de la imagen final formadapor el sistema optico?e) Realice el mismo ejercicio suponiendo que la segunda lente esconvergente y de la misma distancia focal.Solucion:Primera parte



a) Resolucion grafica:

y

y’

y’’F ’2F ’1 F2

F1


b) b) Primera lente s1 = −20 cm.1

s′1− 1

−20=

1

10s′1 = 20 m y ML1 = −1

c) Segunda lente s2 = s′1 − d ⇒ s2 = −30 cm.1

s′2− 1

−30=

1

−15s′2 = −10 m y ML2 = 1/3

d) El aumento lateral del sistema es el producto de los dos aumentos:

ML = ML1 ·ML2 ⇒ ML =s′1s1

· s′2s2

ML = −1/3

VIRTUAL, INVERTIDA y MENOR.Segunda parte:a) Resolucion grafica:

y

y’F1

F´1 F2

F´2

y’’


b) Primera lente s1 = −20 cm.1

s′1− 1

−20=

1

10s′1 = 20 m y ML1 = −1

c) Segunda lente s2 = s′1 − d ⇒ s2 = −30 cm.



1

s′2− 1

−30=

1

15s′2 = 30 m y ML2 = −1

d) El aumento lateral del sistema es el producto de los dos aumentos:

ML = ML1 ·ML2 ⇒ ML =s′1s1

· s′2s2

ML = 1

REAL, DERECHA e IGUAL.

50. Un rayo de luz monocromatica incide sobre una cara lateralde un prisma de vidrio, de ındice de refraccion n =

√2. El angulo

del prisma es α = 60◦. Determine:a) El angulo de emergencia a traves de la segunda cara lateral siel angulo de incidencia es de 30◦. Efectue un esquema grafico de lamarcha del rayo.b) El angulo de incidencia para que el angulo de emergencia delrayo sea 90◦.Solucion:a) Refraccion en la primera cara: 1 · sen 30 =

√2 sen r ⇒ r = 20, 70o

α = r + r′ ⇒ 60o = 20, 70o + r′ ⇒ r′ = 39, 29o

Refraccion en la segunda cara:√

2 · sen 39, 29 = 1 · sen i′ ⇒ i′ = 63, 59o

b) Haciendo el proceso inverso:√

2 · sen r′ = 1 · sen 90 ⇒ r′ = 45o

α = r + r′ ⇒ 60o = 45o + r ⇒ r = 15o

1 · sen i =√

2 sen 15 ⇒ i = 21, 47o

Esquema grafico

N

N’ N’

N


51. a) Defina el concepto de angulo lımite y determine su expre-sion para el caso de dos medios de ındices de refraccion n1 y n2, sin1 > n2. b) Sabiendo que el angulo lımite definido entre un mediomaterial y el aire es 60◦, determine la velocidad de la luz en dichomedio.Dato: Velocidad de la luz en el vacıo c = 3 · 108 m/sSolucion:a) El angulo lımite es el angulo incidente para el cual el rayo refractadoemerge tangente a la superficie de separacion entre los dos medios. Aplicano



la ley de la reflexion en este caso: n1 sen L = n2 sen 90 ⇒ L = arc senn2

n1

b) n =1

sen 60⇒ n = 1, 15 y n =

c

v⇒ v = 2, 598 · 108 m/s

52. Un objeto luminoso de 2 cm de altura esta situado a 4 m dedistancia de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se colocauna lente esferica delgada, de distancia focal desconocida, que pro-duce sobre la pantalla una imagen tres veces mayor que el objeto.Determine:a) La posicion del objeto respecto a la lente y la clase de lentenecesaria.b) La distancia focal de la lente y efectue la construccion geometri-ca de la imagen.Solucion:Si la imagen esta en una pantalla es real, tambien es tres veces mayor y de-bera estar invertida.{

s′ − s = 4s′ = −3s

⇒ s = −1 m y s′ = 3 m

Aplicando la ecuacion de la lente:1

3− 1

−1=

1

f ′⇒ f ′ = 0, 75 m Lente CONVERGENTE

F y’

F’y


53. Dibuje el camino que sigue un rayo luminoso que incide sobreuna lente biconvexa delgada en los siguientes casos: a) Segun el ejeoptico. b) Paralelo al eje optico a una cierta distancia del mismo.c) Pasando por el centro optico de la lente e inclinado respecto aleje optico. d) Pasando por el foco objeto de la lente e inclinadorespecto al eje optico.Solucion:



F

F’

b)

a)

c)

d)


54. Un objeto se situa delante de un espejo esferico de 90 cm deradio. Determine la distancia a la que hay que colocar el objeto yefectue la construccion geometrica de la imagen:a) En el caso de que el espejo sea concavo y la imagen formada seainvertida y tres veces mayor que el objeto. ¿Que tipo de imagenes?b) En el caso de que el espejo sea convexo y la imagen formada seaderecha y de tamano la mitad del tamano del objeto. ¿Que tipo deimagen es?Solucion:a) Espejo concavo, R = −90 cm y s′ = 3s ⇒1

3s+

1

s=

2

−90⇒ s = −60 cm y s′ = −180 cm REAL e INVERTIDA.

b) Espejo convexo, R = +90 cm y s′ = −s/2 ⇒1

−s/2+

1

s=

2

+90⇒ s = −45 cm y s′ = 22, 5 cm VIRTUAL y DERECHA.

C F

y

y’

CF

yy’




55. Delante de una lente convergente se coloca un objeto perpen-dicularmente a su eje optico.a) ¿A que distancia de la lente debe colocarse para obtener unaimagen de igual tamano e invertida? ¿Cual es la naturaleza de estaimagen?b) ¿A que distancia de la lente debe colocarse para obtener unaimagen de doble tamano y derecha? ¿Cual es la naturaleza de estaimagen? Efectue las construcciones geometricas.Solucion:a) Si la imagen de una lente convergente es igual e invertida ⇒ s′ = s1

−s− 1

s=

1

f ′⇒ s = −2f ′ REAL.

b) Si la imagen de una lente convergente es doble y derecha ⇒ s′ = 2s1

2s− 1

s=

1

f ′⇒ s = −f ′/2 VIRTUAL.

y’F´F

y

y’

F´F

y


56. Se tienen tres medios transparentes de ındices de refraccionn1, n2 y n3 separados entre sı por superficies planas y paralelas.Un rayo de luz de frecuencia f = 6 · 1014 Hz incide desde el primermedio (n1 = 1, 5) sobre el segundo formando un angulo θ1 = 30◦ conla normal a la superficie de separacion.a) Sabiendo que el angulo de refraccion en el segundo medio esθ2 = 23, 5◦; ¿cual sera la longitud de onda de la luz en este segundomedio?b) Tras atravesar el segundo medio el rayo llega a la superficie deseparacion con el tercer medio. Si el ındice de refraccion del tercermedio es n3 = 1, 3; ¿cual sera el angulo de emergencia del rayo?Dato: Velocidad de la luz en el vacıo c = 3 · 108 m/sSolucion:



dB

A

N

q1

N¢

g

e

n =1,51

n2

n =1,33

q2

q3

q2


La frecuencia no varıa al cambiar de medio.La longitud de onda de haz en el vacıo es: λ0 =

c

f⇒ λ0 = 5 · 10−7 m.

λ0 =c

f

λ1 =v1

f

⇒ λ0

λ1

= n1 ⇒ λ1 =λ0

n1

⇒

λ1 =5 · 10−7

1, 5m = 3, 33 · 10−7 m = 333 nm

a) Considerando la primera refraccion:

1, 5 sen 30 = n2 sen 23, 5 ⇒ n2 = 1, 88 y λ2 =λ0

n2

λ2 =5 · 10−7

1, 88m ⇒ λ2 = 2, 65 · 10−7 m = 265 nm

b) Considerando la segunda refraccion:1, 88 sen 23, 5 = 1, 3 sen θ3 ⇒ θ3 = 35, 23

57. Sobre una lamina transparente de ındice de refraccion 1,5 yde 1 cm de espesor, situada en el vacıo, incide un rayo luminosoformando un angulo de 30◦ con la normal a la cara. Calcule:a) El angulo que forma con la normal el rayo que emerge de lalamina. Efectue la construccion geometrica correspondiente.b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lamina.Solucion:a) Considerando las sucesivas refracciones:1 sen 30 = 1, 5 sen r = 1 sen i′ ⇒ i′ = 30o y r = 19, 47o

b) Se comprueba, a partir de la figura:

cos r =e

AB⇒ AB =

1

cos 19, 47⇒ AB = 1, 061 cm



dB

A

N

i

N¢

r

i´

r

g

e

n =11

n =1,52

n =11


58. Se tiene un prisma optico de ındice de refraccion 1,5 inmerso enel aire. La seccion del prisma es un triangulo rectangulo isosceles.Un rayo luminoso incide perpendicularmente sobre la cara AB delprisma.a) Explique si se produce o no reflexion total en la cara AC delprisma.b) Haga un esquema grafico de la trayectoria seguida por el rayo atraves del prisma. ¿Cual es la direccion del rayo emergente?Solucion:a) El rayo entra perpendicular a la superficie de separacion AB y no se desvıa.Llega a la superficie de separacion AC formando un angulo con la normal de45o.Al pasar de un medio mas refringente (n=1,5) a otro menos refringente (n=1),puede producirse reflexion total. Se calcula primero el angulo lımite:

A

B C

A

B C

N

n =1,52n =1,52


1, 5 sen L = 1 sen 90 ⇒ L = 41, 81o. Como el rayo incide con 45o que es mayor



al angulo lımite no se refracta y se produce reflexion total. Se refleja en lacara AC formando un angulo de 45o con la normal y sale perpendicular a lacara BC como se muestra en la figura.

59. Un sistema optico esta formado por dos lentes delgadas conver-gentes, de distancias focales 10 cm la primera y 20 cm la segunda,separadas por una distancia de 60 cm. Un objeto luminoso de 2mm de altura esta situado 15 cm delante de la primera lente.a) Calcule la posicion y el tamano de la imagen final del sistema.b) Efectue la construccion geometrica de la imagen mediante eltrazado de rayos correspondiente.Solucion:a) La imagen a traves de la primera lente:1

s′1− 1

−15=

1

10⇒ s′1 = 30 cm REAL e INVERTIDA

Respecto de la segunda lente:s2 = s′1 − d ⇒ s2 = −30 cmLa imagen a traves de la segunda lente:1

s′2− 1

−30=

1

20⇒ s′2 = 60 cm REAL y DERECHA

Los aumentos laterales:

M = M1 ·M2 ⇒ M =s′1s1

s′2s2

⇒ M =30

−15

60

−30⇒

M = 4 e y′ = M · y ⇒ y′ = 8 mmb) Construccion geometrica

y

y’

F´1y

y’

F1

F2 F´2

y’’


60. Un objeto de 1 mm de altura se coloca a una distancia de 1 cmdelante de una lente convergente de 20 dioptrıas.a) Calcule la posicion y tamano de la imagen formada, efectuandosu construccion geometrica.



b) ¿Se podrıa recoger esta imagen en una pantalla? ¿Que instru-mento optico constituye la lente convergente utilizada de esta for-ma?Solucion:a) 20 Dioptrıas corresponde a una distancia focal de 5 cm.Se aplica la ecuacion de las lentes para s = −1 cm.1

s′− 1

−1=

1

5⇒ s′ = −1, 25 cm VIRTUAL y DERECHA

El aumento lateral:

M =s′

s⇒ M =

−1, 25

−1⇒ M = 1, 25 e y′ = My ⇒ y′ = 1, 25 cm

b) NO, porque es virtual.Un objeto situado entre el foco y una lente convergente constituye una LUPA.

yy’

F’F


61. Delante de un espejo concavo de 1 m de radio y a una distanciade 0,75 m se coloca un objeto luminoso de tamano 10 cm.a) Determine la posicion, la naturaleza y el tamano de la imagenformada por el espejo.b) Si desde la posicion anterior el objeto se acerca 0,5 m haciael espejo, calcule la posicion, la naturaleza y el tamano de la im-agen formada por el espejo en este caso. Efectue la construcciongeometrica en ambos casos.Solucion:a) Espejo concavo de R = −1 m, un objeto en s = −0, 75 m y tamano y = 10cm.1

s′+

1

−0, 75=

2

−1⇒ s′ = −1, 5 m imagen REAL e INVERTIDA

El aumento lateral:

M = −s′

s⇒ M = − −1, 5

−0, 75⇒ M = −2 e y′ = My ⇒ y′ = −20 cm y

MAYORb) Si se acerca 0,5 m hacia el espejo, s = −0, 25 m.1

s′+

1

−0, 25=

2

−1⇒ s′ = 0, 5 m imagen VIRTUAL y DERECHA



El aumento lateral:

M = −s′

s⇒ M = − 0, 5

−0, 25⇒ M = 2 e y′ = My ⇒ y′ = 20 cm y MAYOR

y

y’

C

F

yC

F

y’


62. Explique donde debe estar situado un objeto respecto a unalente delgada para obtener una imagen virtual y derecha:a) Si la lente es convergente.b) Si la lente es divergente.Realice en ambos casos las construcciones geometricas e indique sila imagen es mayor o menor que el objeto.Solucion:

y

y’

F

y

y’F’ FF’


a) Lente convergente f ′ > 0. Imagen virtual s′ < 0 y derecha M > 0. Apartir de la ecuacion de las lentes:1

s′− 1

−|s| =1

f ′⇒ s′ =

f ′|s||s| − f ′

El numerador es positivo, solo si |s| < f ′ ⇒ s′ < 0 y la imagen es virtual.

El objeto tiene que estar entre el foco y la lente



b) Lente divergente f ′ < 0. Imagen virtual s′ < 0 y derecha M > 0. A partirde la ecuacion de las lentes:1

s′− 1

−|s| =1

−|f ′| ⇒ s′ =−|f ′||s||s|+ |f ′| Y ∀ s, |s′| < 0 ⇒ .

Una lente divergente siempre produce imagenes virtuales y derechas

63. Sobre un prisma equilatero como el de la figura, situado enel vacıo, incide un rayo luminoso monocromatico que forma unangulo de 41,3◦ con la normal a la cara AB. Sabiendo que en elinterior del prisma el rayo es paralelo a la base AC:a) Calcule el ındice de refraccion del prisma.b) Realice el esquema grafico de la trayectoria seguida por el rayoa traves del prisma.c) Determine el angulo de desviacion del rayo al atravesar el pris-ma.d) Explique si la frecuencia y la longitud de onda correspondientesal rayo luminoso son distintas, o no, dentro y fuera del prisma.Solucion:Si el rayo es paralelo a la base, se esta en desviacion mınima y se tiene quecumplir que i = i′, r = r′ = ϕ/2.a) Indice de refraccion del prisma.1 sen 41, 3 = n sen 30 ⇒ n=1,32

A

B

C

N N’

B

A C

60°


b) Se muestra la marcha de los rayos en la figura.c) La desviacion del rayo es:δ = α + β ⇒ δ = (i− r) + (i′ − r′)Y en situacion de desviacion mınima: δ = 2i− ϕ ⇒ δmin = 22, 6o



d) La frecuencia no varıa al cambiar de medio. esta relacionada con la energıay no hay perdidas de energıa.La longitud de onda aumenta al pasar a un medio mas refringente, esta rela-cionada con la velocidad. Si la velocidad disminuye es por que la longitud de

onda aumenta, v =c

λ.

64. Un buceador enciende una linterna debajo del agua (ındicede refraccion 1,33) y dirige el haz luminoso hacia arriba formandoun angulo de 40◦ con la vertical.a) ¿Con que angulo emergera la luz del agua?b) ¿Cual es el angulo de incidencia a partir del cual la luz no sal-dra del agua?Efectue esquemas graficos en la explicacion de ambos apartados.Solucion:a) Ley de refraccion.1, 33 sen 40 = 1 sen r ⇒ r = 58, 75o

b) La luz dejara de salir del agua para un angulo de incidencia superior alangulo lımite.1, 33 sen L = 1 sen 90 ⇒ L = 48, 57o

L

N

Agua

Aire


65. Se tiene un espejo concavo de 20 cm de distancia focal.a) ¿Donde se debe situar un objeto para que su imagen sea real ydoble que el objeto?b) ¿Donde se debe situar el objeto para que la imagen sea dobleque el objeto pero tenga caracter virtual?Efectue la construccion geometrica en ambos casos.Solucion:



FC

yy´

O

b)

FC

y

y´

O

a)


a) Es un espejo concavo R = −20 cm y s < 0. La imagen tiene que ser reals′ < 0 y doble |s′| = 2|s|. Aplicando la ecuacion de los espejos:

1

−|2s| +1

−|s| =2

−|R| ⇒ |s| = 3|R|/4 ⇒ s = −15 cm entre C y F

b) Es un espejo concavo R = −20 cm y s < 0. La imagen tiene que ser virtuals′ > 0 y doble s′ = 2|s|. Aplicando la ecuacion de los espejos:1

2|s| +1

−|s| =2

−|R| ⇒ |s| = |R|/4 ⇒ s = −5 cm entre F y O

66. Determine el tipo de imagen y el aumento lateral que se obtieneal situar un objeto delante de una lente divergente en los siguientescasos:a) El objeto se situa a una distancia igual al doble de la distanciafocal.b) El objeto se situa a una distancia la mitad de la distancia focalde la lente. Efectue la construccion geometrica en ambos casos.Solucion:a) Delante de una lente divergente cuando s = 2f ′.1

s′− 1

2f ′=

1

f ′⇒ s′ =

2f ′

3.

El aumento es: M =s′

s⇒ M = 1/3 VIRTUAL, DERECHA y MENOR

b) Delante de una lente divergente cuando s = f/2.1

s′− 2

f ′=

1

f ′⇒ s′ =

f ′

3.

El aumento es: M =s′

s⇒ M = 2/3 VIRTUAL, DERECHA y MENOR

Se muestra la construccion geometrica,



y y’F’ F

y

y’F’ F

a)b)


67. Una superficie plana separa dos medios de ındices de refracciondistintos n1 y n2. Un rayo de luz incide desde el medio de ındice n1.Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:a) El angulo de incidencia es mayor que el angulo de reflexion.b) Los angulos de incidencia y de refraccion son siempre iguales.c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado estan en el mismoplano.d) Si n1 > n2 se produce reflexion total para cualquier angulo deincidencia.Solucion:a) FALSO. El angulo de incidencia es siempre igual al angulo de reflexion.Primera ley de Snell para la reflexion.b) FALSO. Solamente cuando ambos medios tengan el mismo ıncide de re-fraccion.c) VERDADERO. Se trata de la segunda ley de Snell para la refraccion.

d) FALSO. Solamente para angulos superores al angulo lımite: L = arc senn2

n1

.

68. Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagentambien real, invertida y aumentada 4 veces. Al desplazar el obje-to 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, derechay con el mismo aumento en valor absoluto. Determine:a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente.b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados.c) Las respectivas distancias imagen.d) Las construcciones geometricas correspondientes.Solucion:



b)

y

y’

F

F’ y

y’

F

F’

a)


b) Imagen real, invertida y cuatro veces mayor: s′ = −4s. Y si s1 = s + 3, laimagen es virtual, derecha y cuatro veces mayor tambien ⇒ s′1 = 4s1.

1

−4s− 1

s=

1

f ′

1

4(s + 3)− 1

s + 3=

1

f ′

⇒ s = −15

2cm, s1 = −9

2cm

s′ = +30 cm, s′1 = −18 cm

a) La distancia focal es: (se comprueba en ambos casos)

1

30− 2

−15=

1

f ′

1

−18− 2

−9=

1

f ′

⇒ f ′ = +6 cm y P = 16, 67 D

69. Una lente convergente tiene una distancia focal de 20 cm. Cal-cule la posicion y aumento de la imagen que produce dicha lentepara un objeto que se encuentra delante de ella a las siguientes dis-tancias: a) 50 cm; b) 15 cm. Realice el trazado de rayos en amboscasos.Solucion:

a) Lente convergente con f ′ = 20 cm, si s = −50 cm.⇒ 1

s′− 1

−50=

1

20⇒ s′ = +33, 3 cm y M = −0, 66 REAL, MENOR e INVERTIDA

b) Lente convergente con f ′ = 20 cm, si s = −15 cm.⇒ 1

s′− 1

−15=

1

20



⇒ s′ = −60 cm y M = +4 VIRTUAL, MAYOR y DERECHATrazado de los rayos.

y

y’F

F’ y

y’

F

F’


70. Un espejo esferico concavo tiene un radio de 10 cm.a) Determine la posicion y el tamano de la imagen de un objetode 5 cm de altura que se encuentra frente al mismo, a la distanciade 15 cm. ¿Como es la imagen obtenida? Efectue la construcciongeometrica de dicha imagen.b) Un segundo objeto de 1 cm de altura se situa delante del espe-jo, de manera que su imagen es del mismo tipo y tiene el mismotamano que la imagen del objeto anterior. Determine la posicionque tiene el segundo objeto respecto al espejo.Solucion:

a) Espejo concavo R = −10 cm. Si s = −15 cm, ⇒ 1

s′+

1

−15=

2

−10⇒

s′ = −75 cm, M = −0, 5 e y′ = −2, 5 cm REAL, INVERTIDA y MENOR.b) Ahora y′ = −2, 5 cm e y = 1 cm ⇒ M = −2, 5 y s′ = 2, 5 s ⇒

1

2, 5s+

1

s=

2

−10⇒ s = −7 cm y s′ = −17, 5 cm.

y

y’

C

F

yC

Fy’




71. a) ¿Puede un espejo concavo producir una imagen virtual,derecha y menor que el objeto?b) ¿Puede una lente convergente producir una imagen real, inver-tida y mayor que el objeto? Justifique la respuesta en cada casomediante un diagrama de rayos.Solucion:a) NO. Los espejos concavos solo forman imagenes virtuales cuando |s| <|R|/2 y siempre son mayores y derechas.Si la imagen es menor |s′| < |s|, s < 0 y s′ > 0 porque es virtual.1

s′+

1

s=

2

R⇒ s + s′

s′s=

2

RNo puede ser, siempre el primer termino es positivo y el segundo negativo.

b) SI. Cuando el objeto esta entre el foco y el doble de la distancia focal,|f ′| < |s| < |2f ′|.Si la imagen es mayor |s′| > |s|, s < 0 y s′ > 0 porque es real.1

s′− 1

s=

1

f ′⇒ s− s′

s′s=

1

f ′

El objeto estara entre el foco y el doble de la distancia focalDiagrama de rayos.

FC

yy´

O

a)

y’

F´F

y

b)


72. Se construye un prisma optico de angulo A con un vidrio deındice de refraccion n =

√2. Sabiendo que el rayo que incide per-

pendicularmente en la primera cara lateral del prisma tiene unangulo de emergencia de 90◦ a traves de la segunda cara lateral,determine:a) El angulo A del prisma.b) El valor del angulo de desviacion mınima.Dibuje la marcha del rayo en ambos casos.Solucion:Representacion de la marcha del rayo en ambos casos:



A

d

r’ dm

r

bar

i

A

A

i

N’

N


a) En la primera cara entra perpendicular y no se desvıa.En la segunda cara se produce reflexion total:√

2 sen r′ = 1 sen 90 ⇒ r′ = 45o.El angulo del prisma A = r + r′ ⇒ A = 0 + 45 ⇒ A = 45o

b) La desviacion del rayo incidente y emergente es: δ = α + β ⇒δ = (i− r) + (i′ − r′)Se estara en desviacion mınima cuando r = r′ = A/2 y i = i′ ⇒ˆδmin = 2i− A

Por otro lado, aplicando la refraccion a la primera cara:1 sen i = 2 sen(A/2) ⇒ i = 32, 76o y ˆδmin = 20, 52o

73. Una lamina de vidrio (ındice de retraccion n = 1, 52) de carasplanas y paralelas y espesor d se encuentra entre el aire y el agua.Un rayo de luz monocromatica de frecuencia 5 ·1014 Hz incide desdeel agua en la lamina. Determine:a) Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.b) El angulo de incidencia en la primera cara de la lamina a partirdel cual se produce reflexion total interna en la segunda cara.Datos: Indice de refraccion de agua nagua = 1, 33; Velocidad de laluz en el vacıo c = 3 · 108 m/s.Solucion:a) La longitud de onda en el vacıo es: λ0 =

c

fλ0 = 6 · 10−7 m o 600 nm

Las longitudes de onda en el agua y en el vidrio son respectivamente:

nag =λ0

λag

⇒ λag = 451, 13 nm

nvid =λ0

λvid

⇒ λvid = 397, 74 nm

b) Se aplica la ecuacion de la refraccion sucesivamente en las dos caras:1, 33 sen i = 1, 52 sen r y 1, 52 sen r′ = 1 sen 90Como r = r′ ⇒ r = 41, 14o y i = 48, 75o



N

i

N¢

r’

r

e

n =1,331

n =13

n =1,522

Agua

Vidrio

Aire

f=5·10 Hz14



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