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Método Inductivo
El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización delcomportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que pormedio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones.Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógicapodría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicaciónse considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso General
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 01
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución:
12
3
18
19
20
Analizando por partes, tenemos:
Caso 1→ 1 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 12
1
Caso 2
1
2
→ 4 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 22
Caso 31
2
3
→ 9 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 32
En el problema:
12
3
1819
20
→ 202 = 400 𝑡𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠
Ejemplo 02
Hallar la suma de cifras del resultado:
𝐸 = 999…995101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
952 = 9025 → 1 𝑥 9 + 7
Resolución:
9952 = 990025 → 2 𝑥 9 + 7
99952 = 99900025 → 3 𝑥 9 + 7
999952 = 9999000025 → 4 𝑥 9 + 7
999…995100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2 = → 100 𝑥 9 + 7 = 907
Suma de CifrasResultado
Ejemplo 03
Calcular el valor de:
𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯40 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
Resolución:1 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1
2 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2
3 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4
4 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8
40 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋯
2 1 − 1
2 2 − 1
2 3 − 1
2 4 − 1
2 40 − 1
Ejemplo 04
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “SEBASTIAN”?
Resolución:
SEE
BB BAA AA
SS SS STTTTT T
II IIII IA AA AAAA A
N N NNN NNN N
Cuando la palabra tiene:
S: 1 letra
S → 1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 0
SE: 2 letras
S → 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 1
E E
SEB: 3 letras
S → 4 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 2
E EB B B
SEBA: 4 letras
S → 8 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 3
E EB B B
A A A A-1
-1
-1
-1
En el Problema:SEBASTIAN: 9 letras
2 8 = Formas
Observación:
Debemos de considerar que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n = 3 y n = 4; o hasta n = 50, entonces se va a cumplir para todo entero positivo n, pues podríamos cometer errores, como en este otro caso siguiente:
¿Es cierto que 22𝑛+ 1 es un NUMERO PRIMO, para todo entero 𝑛 ≥ 1 ?
Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n, nos encontramos con que:
Para n = 1: 221+ 1 = 5 es un número primo
Para n = 2: 222+ 1 = 17 es un número primo
Para n = 3: 223+ 1 = 257 es un número primo
Para n = 4: 224+ 1 = 65537 es un número primo
Donde 5, 17, 257, 65537 son efectivamente números primos; es decir que son números enteros que no son divisibles por ningún número entero, excepto por sí mismos y por la unidad 1.
Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (22𝑛+1) resulta un número primo, estaríamos
cometiendo un error, pues cuando n = 5:
22𝑛+ 1 = 22
5+ 1 = 4294967297 NO ES PRIMO
Pues 4294967297 es divisible por 641; en efecto 4294967297 = 641x6700417
Entonces la manera correcta de inducción es hacer cumplir lo siguiente:
Sea 𝑛 ∈ ℕ; donde si se cumple:I. n = 1II. n = k … (Hipótesis) III. n = k+1 … (Tesis)
Si el caso (III) se cumple a partir del caso (II); entonces la inducción será completada
Ejemplo 02
Probar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, satisface la fórmula:
12 + 22 + 32 + 42 +⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2
6; ∀𝑛 ∈ ℕ
Resolución:
Sea: 𝑆 = 𝑛 ∈ ℕ𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 12 + 22 + 32 + 42 +⋯+ 𝑛2 =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6⊂ℕ
Probaremos en base al principio de inducción matemática, que el subconjunto 𝑆 ⊂ ℕ, coincide con todo ℕ, es decir 𝑆 = ℕ. Veamos que:
𝑛 = 1 ∈ 𝑆:
12 = 1 =(1) 1 + 1 2 1 + 1
6 Asumiendo la HIPOTESIS DE INDUCCIÓN que 𝑛 ∈ 𝑆, es decir que para n se cumple la fórmula
12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6Trataremos de implicar que 𝑛 + 1 ∈ 𝑆, es decir que probaremos que:
12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2 =(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
6
En efecto,12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2 = 12 + 22 + 34 +⋯+ 𝑛2 + 𝑛 + 1 2
=𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6+ 𝑛 + 1 2 = 𝑛 + 1
𝑛 2𝑛 + 1 + 6 𝑛 + 1
6= 𝑛 + 1
2𝑛2 + 7𝑛 + 6
6
=1
6𝑛 + 1 𝑛 + 2 2𝑛 + 3 =
1
6𝑛 + 1 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
Así observamos que (n + 1) ∈ 𝑆.