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Captulo 1
Matrices. Sistemas de ecuaciones
lineales. Determinantes
1. Comprobar queAB = 0 siendo:A =
1 0 1
2 0 2
, B =
0
@
0 2 1 0
1 3 0 1
0 2 1 0
1
A
2. Es cierto que A C = B C ) A = B. Si lo es demustralo y si no busca un
contrajemplo.
3. Analiza bajo que condiciones se verican o no las siguientes igualdades matri-
ciales:
a) (A+B)
2
= A
2
+ 2A B +B
2
b) (A+B) (AB) = A
2
B
2
4. Encuentra el valor de m en la matriz A =
1 2
3 m
para que existan matrices
B no nulas tales que A B = 0. Sol: m = 6.
5. Sea la matriz A =
0 0
2 1
. Halla las matrices B tales que
a) conmutan con A.
b) A B = 0.
c) A B = B A = 0.
Sol:
a 0
2d 2a d
,
a b : : : n
2a 2b : : : 2n
,
a 0
2a 0
1
-
2 CAPTULO 1. MATRICES. SISTEMAS. DETERMINANTES
6. Calcula la potencia n-sima de las matrices siguientes:
A =
a 1
0 a
, B =
0
@
1 0 1
0 0 0
1 0 1
1
A
, C =
0
@
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
A
, D =
0
@
1
3
0 0
0 0
1
3
0
1
3
0
1
A
Sol: A
n
=
a
n
na
n1
0 a
n
, B
n
= 2
n1
B, C
n
= 3
n1
C,
D
n
=
(
1
3
n
I si n es par
1
3
n1
D si n es impar
7. Calcula los nmeros reales a, b y c para que la matriz
0
@
1 2 5
0 1 3
0 0 1
1
A
sea la inversa de A+B siendo
A =
0
@
1 1 b+ 2
0 1 c+ 2
5 0 3
1
A
B =
0
@
0 a+ 1 2
0 0 2
5 0 2
1
A
Calcular despus la inversa de (A+B)
t
.
Sol: a = 2, b = 1, c = 3
((A+B)
t
)
1
=
0
@
1 0 0
2 1 0
5 3 1
1
A
8. Calculam y n sabiendo que la matriz A =
2 1
1 2
verica A
2
+mA+nI = 0.
Calcula A
1
, si existe.
Sol: m = 4, n = 5; A
1
=
2
5
1
5
1
5
2
5
9. Calcula la matriz X que verique que:
0
@
1 2 0
1 0 2
1 0 0
1
A
= 3X
0
@
0 1 0 1
2 1 1 0
3 0 1 2
1
A
0
B
B
@
0 1 0
1 0 2
0 1 1
0 1 1
1
C
C
A
Sol: X =
1
6
0
@
3 5 4
1 3 4
3 1 0
1
A
-
310. Mediante operaciones elementales sobre las calcula la inversa, (Mtodo de
Gauss), de las siguientes matrices:
A =
0
@
1 2 4
1 1 5
2 7 3
1
A
B =
0
@
1 3 4
1 5 1
3 13 6
1
A
Sol: A
1
=
0
@
16 11 3
7
2
5
2
1
2
5
2
3
2
1
2
1
A
, B
1
no existe.
11. Calcula la inversa, por el mtodo de Gauss-Jordan, de las siguientes matrices:
A =
0
B
B
@
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
1
C
C
A
B =
0
B
B
@
1 2 1 0
0 1 1 1
1 3 1 2
1 4 2 4
1
C
C
A
Sol: A
1
=
0
B
B
@
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
1
C
C
A
B
1
=
0
B
B
@
10 20 4 7
3 6 1 2
5 8 2 3
2 3 1 1
1
C
C
A
12. Estudia y resuelve, cuando sea posible, por el mtodo de Gauss los siguientes
sistemas:
a)
8
>
>
:
x + 2y + 3z t = 0
x y + z + 2t = 4
x + 5y + 5z + 2t = 4
x + 8y + 7z 7t = 8
Sol: a) Compatible determinado: x = 1; y = 0; z = 1.
b) Compatible indeterminado x = 8 + 9z; y = 5 6z; z = z.
c) Incompatible.
d) Compatible indeterminado x = 1514y; y = y; z = 17+19y; u = 3+2y.
e) Compatible determinado x = y = z = 0.
f ) Compatible indeterminado x = 6 +
5
2
y; y = y; z = 2
3
2
y; t = 0.
-
4 CAPTULO 1. MATRICES. SISTEMAS. DETERMINANTES
13. Estudia y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
8