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Problema: un muchacho rema aguas arriba por un río, de un punto a otro a 4 kilómetros de distancia, en 1½ hora. El viaje de regreso cuando rema a favor de la corriente, sólo dura 45 min. ¿Con qué rapidez rema, en relación con el agua, y cuál es la rapidez con la que corre esta?
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Solución: si llamamosx = rapidez de remado (en km/hrs)y = rapidez de la corriente (en km/hrs)
cuando el muchacho rema a favor de la corriente, se moverá a un total de
x + y km/hrs
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pero cuando rema contra la corriente, se moverá a
x – y km/hrs
La distancia río arriba y río abajo es la misma, 4 kilómetros. Entonces:
y23)(4 yx 4
3)(4 yx
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Si multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 4, para eliminar los denominadores, tendremos.
Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1633
833
yx
yx
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En general, los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma:
Son conjuntos formados por dos ecuaciones de primer grado que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. Las soluciones del sistema serán los valores x e y que satisfagan ambas ecuaciones.
feydx
cbyax
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Cada una de las ecuaciones tiene una representación gráfica que corresponde a una recta. Entonces, las soluciones del sistema corresponden a las coordenadas de los puntos donde se intersectan las rectas.
Ejemplo: encuentre gráficamente la solución del sistema
(1) (2)02
3
yx
yx
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Solución: confeccionemos una tabla de valores para cada recta y usando las coordenadas de solamente dos puntos, grafiquemos cada recta en un mismo sistema cartesiano:
(1) (2)x y x y
0 3 punto (0,3) 0 0 punto (0,0)
3 0 punto (3,0) 1 2 punto (1,2)
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El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema. En este caso es x = 1 e y = 2.
Al graficar un sistema como éste se presentan tres casos: las rectas se intersectan en un punto (secantes), las rectas no se intersectan (rectas paralelas), o las dos ecuaciones representan la misma recta (coincidentes) y, en este caso, todos los puntos de una de ellas satisfacen también la otra ecuación (el sistema tiene infinitas soluciones).
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En el problema introductorio las representaciones de las ecuaciones 3x – 3y = 8 y 3x + 3y = 16 corresponden a rectas secantes, las cuales se intersectan en el punto de coordenadas (4,4/3).
Como las coordenadas de este punto no son fáciles de leer en el gráfico, es necesario de disponer de métodos de solución algebraicos que eviten dicho problema.
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SOLUCIÓN ANALÍTICA:
Método de sustitución Método de igualación Método de reducción
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Método de sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas, ya sea en la primera o en la segunda ecuación y reemplazarla en la otra.
Ejemplo: (1) (2)
De (1) despejemos y: (3), y reemplazamos en (2);
75
42
yx
yx
42 xy
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Reemplazando este valor en (3) se obtiene
Entonces la solución es el par ordenado (3, -2).
7)42(5 xx
;2432 y
72010 xx279 x
3x9/
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Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar ambos resultados.
Ejemplo: (1) (2)
despejando x de ambas ecuaciones: (1) (2)
2432
9
yx
yx
2324
9yx
yx
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Igualamos y resolvemos la ecuación resultante:
/23249 yy 2
yy 324218
182423 yy
6y
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Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en que aparece despejada la incógnita x:
Entonces, la solución es el par (3, 6).
3
69
9
x
x
yx
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Método de reducción: consiste en buscar el M.C.M. de los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y luego amplificar las ecuaciones por números apropiados para eliminar la incógnita por suma o resta según los coeficientes igualados tengan distinto o el mismo signo, respectivamente.
Ejemplo: (1)
(2)1635
1023
yx
yx
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Multiplicando la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2 se consigue igualar los coeficientes de y:
(3) (4)
Restando las ecuaciones obtenidas [(3)-(4)], obtenemos:
2/1635
3/1023
yx
yx32610
3069
yx
yx
3230109 xx2 x
2x1/
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Reemplazando en (1) tendremos:
Luego la solución del sistema es (2, -2).
10223 y
1026 y
6102 y
2y21/
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Ejercicios: resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción:
a) 3x + 2y = 21 5x – y = 22
b) x + 2y = 0 5x – y = 11