Download - Problem Mate v(Completo)
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISION DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Y
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
CON APLICACIONES
Material de apoyo para el curso de
Matemáticas V
M. en C. Antonio Silva Martínez
2006
1
PRESENTACION
Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas V, del plan de estudios DGET 2004 de la
carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y
Transformadas de Laplace.
Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las
matemáticas merecen un especial apoyo para su comprensión y motivación. Para lo cual se ha
preparado este trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su
solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica
sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios
prácticos de circuitos eléctricos transitorios. Complementándose este trabajo con ejercicios de
práctica para el estudiante. Además de un apéndice sobre descomposición en fracciones parciales de
una función racional, formularios de identidades trigonométricas, reglas de exponenciación, derivadas
e integrales y una tabla de Transformadas de Laplace de mayor utilidad.
Es conocido por todo ingeniero, que las matemáticas en general no pueden estudiarse en forma
contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de
vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor
cantidad de ejercicios y problemas posibles. Adquiriendo las bases cognitivas que para asignaturas
posteriores a ésta.
Este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias
Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, avalado por las mismas para
su difusión y uso del mismo por parte de los estudiantes de la División.
M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ
DOCENTE DE LA DIVISIÓN
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA
2
ÍNDICE
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA
PÁGINA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES.
1.1.Introducción 1.2. Clasificación según su, tipo, orden y linealidad
3 3
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE PRIMER ORDEN
2.1. Introducción 2.2. EDO con variables separables 2.3. EDO homogéneas 2.4. EDO exactas 2.5. EDO lineales 2.6. EDO de Bernoulli 2.7. Aplicaciones. Circuitos Eléctricos 2.7.1. Circuitos R-C en serie 2.7.2. Circuitos R-L en serie
6 7 11 17 23 28
32 36
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE ORDEN SUPERIOR.
3.1. Introducción 3.2. EDO homogéneas con Coeficientes Constantes 3.3. Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas 3.3.1. El Método de los Coeficientes Indeterminados 3.3.2. El Método de Variación de Parámetros 3.4. Aplicaciones. Circuitos R-C-L en serie.
40 41
49 57 67
4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1. Introducción 4.2. La Transformada de Laplace por definición 4.3. La Transformada de Laplace por tablas 4.4. La Transformada Inversa de Laplace 4.5. Teoremas de Traslación de la Trasformada de Laplace. 4.5.1. El Primer Teorema de Traslación 4.5.2. El Segundo Teorema de Traslación 4.6. La Derivada de la Transformada de Laplace 4.7. Transformada de Laplace de una derivada 4.8. Transformada de Laplace una integral. El Teorema de convolución 4.9. Aplicaciones 4.9.1. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 4.9.2. Circuitos R-C-L en paralelo.
77 77 82 86
91 96 99 102 106
113
120
5. APÉNDICE
5.1. Descomposición en Fracciones Parciales 5.1. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales 5.2. Tabla de Transformadas de Laplace 6. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO
130 133 135
136
3
UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1. INTRODUCCIÓN
Definición. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación
diferencial. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.
En general, una ecuación Diferencial es de la forma:
)()()(.............)()( 011
1
1 xfyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
Las Ecuaciones Diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de los
procesos con cambios dinámicos o variables en el espacio, en tiempo o en ambos. Se utilizan tales
herramientas para responder preguntas que de otra manera son muy difíciles de contestar.
Por ejemplo, el comportamiento de una población de seres vivos a lo largo del tiempo, con base en
sus tasas de nacimiento y muerte en cierta región. Otro ejemplo de gran utilidad de las ecuaciones
diferenciales, es en la Ingeniería Electrónica, con el análisis Circuitos Eléctricos, mediante el
comportamiento de la carga y la corriente a través del tiempo, en el proceso de carga o descarga en
un circuito eléctrico, con componentes de resistencia, inductancia y capacitancia en diferentes
arreglos.
1.2. CLASIFICACION SEGUN SU TIPO, SU ORDEN Y SU LINEALIDAD.
El Tipo de una ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: total o
parcial
El Orden de una ecuación diferencial lo determina el grado de la derivada mas alta que contenga la
misma: desde primer orden, segundo orden y en general, orden superior.
La Linealidad de una derivada lo determina la potencia de las variables dependientes de la ecuación:
si la potencia de las variables es uno, se denomina ecuación diferencial lineal, y si la potencia es
diferente de uno, se dice que es una ecuación diferencial no lineal.
4
1.2. Ejemplos. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden
y su linealidad.
1) 242 xyxdx
dy Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal
2) xdx
dyy
dx
ydx 42
3
3
Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal
3) 0)1(2
2
ydx
dy
dx
ydx Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal
4) xydx
ydcos3 3
2
2
Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal
5) senxyx
y2 Ecuación diferencial parcial de primer orden, lineal
6) 12
22
2
2
t
yc
x
y Ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal
7) 04)1( 2 ydtdyy Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, no lineal
8) ytsentdt
dy 3 Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal
9) tdt
ydyt
3
3
21
22 )( Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal
10) 52
3
3
)( ydt
yd Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal
5
1.2. Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su
linealidad.
1) 123 xexydx
dyy
2) xdx
dy
dx
ydy
dx
ydxy 2
3
3
4
4
tan2
3) 1x
v
x
y
4) 24)4( xdydxy
5) xxydx
ydx 14 3
3
32
6) xydx
yd
dx
dyy
2
2
)2(
7) )x(Lnxyx
yx 1
2
22
8) 2
222
2xxey
dx
dy
dx
ydy
9) 23332 ln)1( xxdtxdyy
10) )x(senhdx
dyy 13
1
6
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
2.1. INTRODUCCIÓN
En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:
),( yxfdx
dy
Sujeta a la condición adicional 00)( yxy
Conocido también como el problema del valor inicial. En términos geométricos, se está interesado en
buscar al menos una solución o curva por donde pase el punto dado, de una familia de curvas que
representan a la ecuación diferencial ordinaria.
Fig. 2.1. Familia de curvas que representan la solución de una ecuación diferencial. Por un
punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia.
xo
yo
P(xo,yo)
X
Y
7
2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES
Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma
)y(h
)x(g
dx
dy
es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:
dx)x(gdy)y(h
E integrado de ambos lados se tiene:
cdx)x(gdy)y(h
Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual queda
expresada de manera explícita o de manera implícita.
Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de integración, ya
que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante c.
8
2.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes
ecuaciones diferenciales con separación de variables 1)
CxCusenuduxy
dudx
dxdu
xu
xdxsendy
xdxsendy
xsendx
dy
5cos5
1cos
5
1
5
1)(
5
5
5
5
5
5
2)
Ce)x(y
Cey
Cduey
Cydue
dudx
dxdu
xu
dydxe
dydxe
dyedx
dyedx
x
u
u
u
x
x
x
x
3
3
3
3
3
3
1
31
3
1
3
1
3
1
3
3
0
3)
CxLnxxy
CxLnxxy
CxLnxLnxxy
CxLnLnuuxy
xLnduu
duxy
xLnu
udy
dudx
ux
xu
dxx
dxx
xdx
x
xdy
dxx
xdy
xdx
dyx
)1((5)(
)1((5)1()(
)1(6)1(()1()(
)1(6)(
)1(61
)(
)1(61
1
1
1
16
11
6
1
6
6)1(
4)
4
444
44
4
4
4
Cx)x(y
Cxeeee
CLnx)CLnx(Lny
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
ydx
dyx
cLnxCLnxLny
5)
9
2)(
2
21
2
2
1
2
2
12
12
23
23
3
2
cx
xxy
cx
xy
Cxy
Cxy
Cxy
dxxdyy
dxxdyy
x
y
dx
dy
6)
)4()2(
1
2
11
2
1
224
222
42
42
)2()4(
0)2()4(
0)2()4(
22
2
2
22
22
22
22
22
xCy
Cveeu
eeCLnvLnu
CLnvLnu
dvv
duu
x
dvdxxdxdvxv
y
dudyydyduyu
dxx
xdy
y
y
dxx
xdy
y
y
dxyxdyxy
dxyxdyxy
dxxyxdyyxy
CLnv
CLnvLnu
7)
Cxsenxy
Cxsenxy
dxx
y
xdxsenydy
xdxsenydy
x
dx
y
dy
ydxxdy
ydxxdy
)24
1
2
1(cos
24
1
2
1cos
2
2cos1cos
cos
cos
seccsc
cscsec
0cscsec
2
2
2
2
2
8) Resolver la siguiente EDO, sujeta a y(0)=0
Cyex
Cyeeeyeex
dyeyeex
evdyedv
dyduyu
partespor
dyyeesenxdx
dyyeedxx
xsenx
dyyeedxx
xsenx
dydxx
xsen
dyyexxdxsene
dyyexxdxsene
y
yyyyy
yyy
yy
yy
yy
yy
e
ye
yy
yy
y
y
)2(cos2
2cos2
)(cos2
:.
2
)(cos
cos2
)(cos
cos2
cos
2
)(cos2
0)(cos2
2
2
2
Aplicando la condición inicial:
2cos(0)=-e-(0)
+(2+0)+C C=2+1-2=1 C=1. Finalmente:
1)2(cos2 yex y
10
2.2. Ejercicios. Resuelva las siguientes
ecuaciones diferenciales con separación de variables
1) 022 ydx
dyx
2) 0secydx
dye x
3) 02xsenxdx
dyy
4) 022)4( 22 xyxdx
dyyxy
5) 04 22 ydx
dyx
6) 0tan)1( 2 xydx
dyy
7) 0ydx
dyxy
8) 0cos2 xydx
dyy
9) 2)1(,..0)2)(18()1( 2 yyxdx
dyyx
10) 2)0(,..01
22
yx
xy
dx
dy
11
2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
Definición. Si una función tiene la propiedad de que:
f(tx,ty)= tn f(x,y)
Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.
Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:
0),(),( dyyxNdxyxM
Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede ser resuelta por
medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:
y = u x
ó
x = v y
con sus respectivas diferenciales:
dy = u dx +x du
dx = v dy + y dv
Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en una
ecuación diferencial de primer orden con variables separables.
12
2.3 Ejemplos. Resuelva las siguientes
ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada 1)
xy
x
xy
x
eCxyeCyx
Cxy
xyxLn
LnLnx
uuLn
uLnx
Cz
zw
Lnx
dzzdz
z
zdw
wx
obtienese
dzdududw
zuuzuw
iablesdecambiossiguienteslosrealizando
duu
udu
ux
duu
udu
udx
x
duu
udx
x
duuxdxux
duuxdxuux
duxuxdxuxxux
duxuxdxduuxxdxuxdx
xduudxxuxxdx
x
yu
xduudxdyuxy
dyxyxdx
xyx
y
)(
1
1)1(
1
11
1
12
1ln
12
112
1
:
111
:var
)1()1(
21
)1()1(
21
)1(
21
)2()1(
0)2()21(
0)2()2(
022
0))(2(
0)2(
22
22
22
2
22
22
222
222
2)
Cxyx
Cxxyx
xy
xCx
xy
xC
x
xyCx
x
yCuCx
Ceee
CuLnLnww
dwLnx
u
dwduududw
uw
duu
udx
x
duu
udx
x
duuxdxux
duuxdxxdxxu
dxxudxxduuxdxxu
dxxuxxduudxux
x
yu
xduudxdyuxy
dxyxyxdy
uLnuLnLnxC
422
2624
22
24
41
22
2
41
2
22
41
2
2
41
2
)12()12(
2
2
2
2
322
3222
222322
2222
22
2
2
)2
(
)2
()2
(
)12()12(
)12(4
1
4
1
4
1
44
12
12
1
12
1
)12(
02
0
0)()(
0)(
41
241
2
13
3)
2
2
)()(
2
2
2
2
)(
1
1
0
0)(
0
0)()(
0)(
Cxy
Cyx
x
yCx
eeee
Cx
yLnx
CuLnx
dudxx
dudxx
duxxdx
duxxdx
duxdxuxuxx
duxuxdxuxdxxdx
xduudxxdxuxx
x
yu
xduudxdyuxy
xdydxyx
Cx
yLnC
x
yLn
Lnx
4)
Cxy
y
xCx
eeee
Cy
xLnx
Cu
Lnx
duu
dxx
duu
dxx
duxdxxu
duxdxxu
duxudxxdxuxdxxu
xduudxxdxuxxu
x
yu
xduudxdyuxy
dyxdxyxy
Cy
xLnC
y
xLn
Lnx
2
2
))(())((
2
2
2
2
322
322
32222
2222
22
)(
)(
1
11
11
0
0
0)()(
0)(
22
14
5)
Cy
x
y
xLnLnx
CuuLnLnx
duu
duu
udx
x
x
duu
udx
x
x
duxuxdxu
xdxuxdxduxuxdxduuxxdxu
dxxuxxduudxxux
x
yu
xduudxdyuxy
dxxydyxy
xy
xy
dx
dy
1
2
12
222
22
22
222
tan2
11
2
1
tan2
1)1(
2
1
1
1
1
1
)1(
)1()1(
)())((
0)()(
6)
Cy
Cxx
y
eee
CLnxx
yLn
CLnxLnu
x
dxdu
u
dxx
xdu
uuu
u
xdxuuuduxu
dxuxuduxuuxdxduxuxdx
xduudxuxxxuxdx
x
yu
xduudxdyuxy
dyxyxydx
cLnxx
yLn
1
2
2
22
1
1
1
0)()1(
0
0))()((
0)(
15
7)
222
2
2
23
222322
2222
22
22
2
2
1
2
1
1
1
)()(
)(
)(
CxLnxxy
CLnxx
y
CLnxu
dxx
udu
dxx
udu
dxxduux
dxxdxxuduuxdxxu
dxxxuxduudxux
x
yu
xduudxdyuxy
dxxyxydy
dxxy
xydy
dxy
x
x
ydy
y
x
x
y
dx
dy
8)
CLnye
CLnye
dyy
dve
dyy
ydve
dyedvy
dyyevydydvyyvdy
dyyevyydvvdyy
y
xv
ydvvdydxvyx
dyyexydx
yexdy
dxy
yx
v
v
v
v
v
v
yx
yx
8
42
1
14
4
4
4)
)4()(
)4(
4
/2
2
2
2
2
22
22
2
/2
/2
16
2.3. Ejercicios. Resuelva las siguientes
ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada.
1) yx
yx
dx
dy
3
3
2) 22 yxydx
dyx
3) 0x
yLn
x
y
dx
dy
4) 0)( 22 dyxdxxyy
5) 332 xydx
dyxy
6) xydydxyx )2( 22
7) 23
21
)( yxyxdx
dyxyx
8) ydx
dyxyyx 2(
9) 02)( 344 ydyxdxyx
10) x
y
y
x
dx
dycosh
17
2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
dyyxNdxyxM ),(),(
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna
función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:
0),(),( dyyxNdxyxM
se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta,
donde se debe cumplir a su vez:
x
N
y
M
Si se cumple la última condición, entonces:
),( yxMx
f o tambièn ),( yxN
y
f
Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta, respectivamente:
)(),(),( xhdyyxNyxf y )(),(),( ygdyyxMyxf
Donde:
dxyxNx
yxMyh ),(),()(' dyyxMy
yxNyg ),(),()('
18
2.4. Ejemplos. Determine si las siguientes
ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1)
Cyyxxx
yyxxxyxf
yydyyyg
yyg
ygygxxyy
f
ygxxyxf
xxf
xxfxx
f
exactaEsx
N
y
M
yxx
N
xyy
M
dyydxx
22
324
2
22
324
2),(
22
3)13()(
13)('
)('))(42
(
)(42
),(
)42(
)42(42
0)13(
0)42(
0)13()42(
2)
exactaesNox
N
y
M
yxxyxxx
N
yyxyy
M
dyyxxdxyxyx
22)2(
2)(
0)2())((
2
22
3)
Cyyxx
yyxxyxf
ydyyyg
yyg
yxygx
ygxygyxxyy
f
ygyxxyxf
xyxf
xyxfyxx
f
exactaEsx
N
y
M
yxxx
N
yxyy
M
dyyxdxyx
42422
5
42422
5),(
42)38()(
38)('
384)('4
)('4))(422
5(
)(422
5),(
)45(
)45(45
4)384(
4)45(
0)384()45(
4)
19
Cyxyx
yxyxyxf
ydyyg
yg
yxygyx
ygyxy
f
ygxyxyy
f
ygxyxyxf
xxyf
xxyfxyx
f
exactaEsx
N
y
M
xyyxxx
N
xyxyyy
M
dyyxdxxy
4322
4322),(
44)(
4)('
422)('22
)('22
))(322(
)(322),(
)322(
)322(322
4)422(
4)322(
0)422()322(
5)
exactaesNox
N
y
M
LnyxLnyyxx
N
yxxeLny
yxeyLny
yy
M
dyxLnyy
dxyxyx
eyLny
)1
(
1)(
0)1
())((
6)
Cx
xyxy
Cx
xyxy
xyxyxyy
xyy
ygx
xyxyyy
f
ygx
xyxyyxf
xxsenxyyf
xxsenxyyf
xsenxyyx
f
exactaEsx
N
y
M
ysenxyxyxyxx
N
ysenxyxsenxyyyy
M
dyxyxy
dxxsenxyy
Cdyyg
yg
yg
yg
2
2cos
23
02
2cos
23
cos22
3cos22
3
cos22
3
))(2
2cos
23(
)(2
2cos
23),(
)23
(
)23
(
23
22
3)cos22
3(
22
3)23
(
0)cos22
3(
)23
(
0)(
0)('
)('
)('
20
7)
Cxxxexy
xxxexyyxf
xxxeyh
dxxxxexh
xxxexh
xyxxexhy
xhyy
f
xhxyxx
f
xhxyyxf
yxf
yxfxy
f
exactaEsx
N
y
M
xxx
N
xyxxeyy
M
dxxyxxexdy
xyxxedx
dyx
32)1(2
32)1(2),(
32)1(2)(
)262()(
262)('
262)('
)('
))((
)(),(
1)(
1)262(
0)262(
262
8)
Cxyx
xyx
yxf
x
x
dx
x
xh
x
xh
x
yxxhyx
xhyxx
f
xhyx
xx
f
xhyx
yxf
yyxf
yyxfyxy
f
exactaEsx
N
y
M
yxyxxx
N
yx
x
yxyy
M
dyyxdx
x
yx
yxdy
dx
x
yx
3arctan3
1
3
33
3arctan3
1
3
33
),(
3arctan3
1
29
1
1
9
1
291
1)(
291
1)('
291
132)('32
)('32
))(3
33
(
)(3
33
),(
)23(
)23(23
23)23(
23)291
132(
023)291
132(
023)291
132(
21
9)
CxIILnsenyx
xIILnsenyxf(x,y)
xllLnh(x)
dxxh(x)
xh'(x)
senysenxxh'(x)ysenx
h'(x)ysenxx
f
h(x))senyx(xx
f
h(x)senyxf(x,y)
yyxf
yyxfyxy
f
exactaEsx
N
y
M
ysenxy)x(xx
N
senxyseny)senxx(yy
M
ydyxseny)dxsenxx(
seccos
seccos
sec
tan
tan
tancos
cos
cos
cos
coscos
coscoscoscos
coscoscos
costan
0coscostan
10)
exactaesNox
N
y
M
xyxxxx
N
xxyxyy
M
dxxyxdyyxx
xyxdx
dyyxx
41)222(
4)434(
0)434()222(
434)222(
22
2.4. Ejercicios. Determine si las siguientes
ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas.
1) 0)6()2(dx
dyyxyx
2) 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny
3) 0334)3cos1
2( 3
2xysenx
x
y
dx
dyx
xy
4) 0)2()3( 32 dyyxexdxeyx yy
5) 0cosh')cosh2( 22 xysenhxxyyxxye y
6) 02
2
2
dyy
xdx
y
x
7) 0)52()333cos3( dyydxxsenxx
8) 0)3()154( 2422 dyxyxdxyxyx
9) 0)12()( 22 dyxxydxyx ;con y(0)=1
10) 02
)3
(45
22
dxy
xdy
y
xy ;con y(1)=0
23
2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
)()()(01
xgyxadx
dyxa
Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .
Despejando y simplificando:
)(
)(
)(
)(
11
0
xa
xgy
xa
xa
dx
dy
Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma::
)()( xfyxPdx
dy
La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la forma:
dxxP
ex)(
)(
Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante (x) e
integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:
dxxPdxxPdxxP
cedxxfeexy)()()(
)()(
La cual constituye una familia uniparamétrica de soluciones.
24
2.5. Ejemplos. Determine la solución de las
siguientes ecuaciones diferenciales lineales 1)
xeCxy
Cx
e
dxxyed
dxx
e
dxx
eydxx
edyx
e
yx
edx
dyxe
xe
dxexxP
ydx
dy
ydx
dy
y
yd
5)(
5
0)5(
0)5
50
55
5
05
55
55)(,5)(
05
5
(
2)
xe
Cx
ex
ye
dxxe)xye(d
dxx
e)x
ye(d
dxx
eydxx
edyx
e
xey
xe
dx
dyxe
xe
dxe)x(,)x(P
ydx
dy
)()ydx
dy(
ydx
dy
C)x(y 4
43
14
43
44
4
3
44
4
3
444
4
4
3
444
4
444
3
44
3
14123
3
1
4123
31
3)
xe
xe
Cx
ex
ye
dxxexyed
dxx
ex
yed
dxx
eydxx
edyx
e
xe
xe
xey
xe
dx
dyxe
xe
dxexxP
xey
dx
dy
Cxy 3
44
1
4)(
4)(
4
43
)(,1)(
3
41)(
4)
3
31
3
31
3
233
233
23323
3
23323
3
23323
3
2323
3
32323
223
xeC)x(y
Cx
ex
ye
dxxxe)x
ye(d
xx
e)x
ye(d
dxxx
eydxx
exdyx
e
dx)xx
e()yx
exdx
dyxe(dx
xx
eyx
exdx
dyxe
)x(x
e)yxdx
dy(
xe
xe
dxxe)x(,x)x(P
xyxdx
dy
5)
25
x
C
x
Lnx)x(y
CLnxyx
dxx
)xy(d
)xy(d
xxln
e
dxxe)x(,
x
)x(P
dxx
dxx
ydxxdy
xy
dx
dyx
xxy
xx
dx
dyx
xy
xdx
dy
xydx
dyx
1
1
2
1
1
1
1
11
11
1
2
2
2
6)
x
C
x
senxxxy
Csenxxxxy
xdxxxxyd
xsenx
xsenxydxxdy
xsenxx
yx
dx
dyx
xLnx
edx
xexx
xP
senxx
y
dx
dy
x
yxsenx
dx
dy
dxyxsenxxdy
xyd
cos)(
cos
coscos)(
)
1
)(,1
)(
0
)(
(
7)
23
23
221
2
2
221
221
21
21
21
21
21
21
21
21
21
2
1
2
1
2
2
22
22
02
4
024
yCy)y(x
Cyxy
dy
ydy
ydy
dx
yy
x
dy
dx
yy
x
dy
dx
y
)yx(
dy
dx
ydxdy)yx(
ydy)xy(d
y)xy(d
xdyydxy
xyy
yy
y)y(
ylne
ylne
dyy
e)y(,y
)y(P
26
8)
x
C
x
Lnx)x(y
CLnxyx
dxx
)xy(d
)xy(d
xxln
e
dxxe)x(,
x
)x(P
dxx
dxx
ydxxdy
xy
dx
dyx
xxy
xx
dx
dyx
xy
xdx
dy
yedx
dy)e( xx
1
1
2
1
1
1
1
11
11
01
2
2
9)
)Cx(tanxcosxcosCxtanxcos)x(y
Cxtanxsecy
dxxsec)xsecy(d
xsec)xsecy(d
xsecyxtanxsecdyxsec
xsecyxtanxsecdx
dyxsec
xsecyxtandx
dy
xsecyxcos
senx
dx
dy
ysenxdx
dyxcos
xsecxsecLn
exdxtan
e)x(,xtan)x(P
2
2
2
2
1
10)
3
3
3
3
2
333
33
33
323
3
3
233
3
3
1
9
11
3
1
9
1
3
3
3
3
3
3
333
13
x
Ce
xe
x)x(y
Ceex
yx
dxxe)yx(d
xe)yx(d
xeyxdx
dyx
xex
exy
xx
dx
dyx
x
x
ey
xdx
dy
eydx
dyx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
xLnx
exln
e
dxxe)x(,)x(P
27
2.5. Ejercicios. Determine la solución de las
siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
1) 02ydx
dy
2) 02ydx
dyx
3) 02ydx
dyx
4) yxdx
dyx 23 3)1(
5) xxydx
dycos2cot
6) Lnxeydx
dyx x2
7) 22 )1(2)1( xydx
dyx
8) 242 tPtPdt
dP
9) Qxdx
dQ 45
Sujeta a 7)0(Q
10) 0)22( dxeyxyxdy x
Sujeta a 0)1(y
28
2.6 LA ECUACION DE BERNOULLI
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
nyxfyxPdx
dy)()(
Donde n es cualquier número real, se le llama ecuación de Bernoulli.
La cuál, con la sustitución:
nyxw 1)(
y su respectiva derivada
dx
dyyn
dx
dw n)1(
La ecuación de Bernoulli se simplifica a una ecuación diferencial lineal de la forma:
)()1()()1( xfnwxPndx
dw
La cual podrá resolverse por el método del factor integrante para Ecuaciones Diferenciales
Lineales, visto en la sección anterior.
29
2.6. Ejemplos. Resuelva las siguientes
ecuaciones de Bernoulli 1)
Cxyx
x
Cy
ywconx
Cw
Cx
dxx
dxxwdxxdwx
xwxdx
dwx
xw
xdx
dw
xw
xdx
dw
xw
xdx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dyy
despejando
dx
dyy
dx
dw
yyw
xy
xdx
dyy
xyyy
xdx
dyy
n
yx
yxdx
dy
xyy
xdx
dy
yy
dx
dyx
wx
dxxwxd
wxd
xx
edx
xexx
xP
333
3
3
3
3
3
2
223
223
2
2
321
32
2
22
2
2
2
1
1
3
33
33
13
13
13
13
11
3
1
24
43
1
3
3
211
11
2
11
11
11
3
233
3
331
313
,
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)()(
)(.....
)(
)(
ln)(,)(
)(
2)
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxx
xxxxx
x
x
x
x
x
Ceey
Ceey
ywconCeew
Cewe
we
dxewe
dxedxwedwe
eeewedx
dwe
ewdx
dw
ewdx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dyy
despejando
dx
dyy
dx
dw
yyw
eydx
dyy
yyeydx
dyy
n
yeydx
dy
dxxed
d
xe
dxexxP
2
11
2
1
2
1
2
1
24
4
3
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
121
12
222
2
2
1
)(
)(
)(,)(
.
.
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)()(
)(.....
30
3)
xx
xx
xx
xx
Ceexy
ywcon,Ceexw
Cexe
)dxeex
(
x
xwdx
xwdx
dw
xwdx
dw
xwdx
dw
:)(en)(dosustituyen
)(.....dx
dw
dx
dy
y
:despejando
dx
dy
ydx
dw
)(.....yyw
).....(xydx
dy
y
)xy(y
)ydx
dy(
y
n
xyydx
dy
)().....xy(ydx
dy
wx
e
wx
e
dxxxe)wx
e(d
dxx
e)wx
e(d
dxx
ex
edwx
e
xe
xe
xe
xe
dxe)x(,)x(P
33
3
333
33
33
4
4
341
3
4
4
44
4
3
3
11
3
1
3
1
3
1
33
3
33
33
33
3
1
24
43
11
13
3
21
11
4
11
3
3
333
33
333
333
333
4)
x
x
x
x
x
xe
C
xy
ywconxe
C
xw
Cxe
Cxe
x
wdxxe
wx
x
dx
dw
wx
x
dx
dw
wx
x
dx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dy
y
despejando
dx
dy
ydx
dw
yyw
yx
x
dx
dy
y
n
yyx
x
dx
dy
xyyxdx
dyx
xxe
w
wx
xe
dxxxewx
xed
dxx
ewx
xed
dxx
xedwx
xe
xxe
xxe
xxe
xxex
xLnxe
dxx
x
exx
xxP
11
1
11
1
1
1
1
11
11
24
41
1
3
2111
2
1
11
1
2
2
121
1
2
2
2
11
,
)(
)(
(
)(
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)(.....)(
)(
)(
)
)(
)(,)(
31
2.6. Ejercicios. Determine la solución de las
siguientes ecuaciones de Bernoulli
1) y
ydx
dy 1
2) 02 )( xyyxdx
dy
3) 04 )( yxyxdx
dyx
4) 04
13 2 )( yyx
dx
dyx
5) )()( yxyxdx
dyx 32 21
32
2.7. APLICACIONES. CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Gran cantidad de sistemas físicos pueden representarse con una ecuación diferencial ordinario de
prior orden. Entre ellos se encuentran los circuitos eléctricos R-C en serie y los circuitos eléctricos R-L
en serie.
De acuerdo con la Segunda Ley de Kirchhoff, la tensión o voltaje aplicado E en un circuito eléctrico
cerrado o en serie, debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje a lo largo del circuito. Las figuras
2.7.1 y 2.7.2 muestran circuitos R-C y R-L en serie, respectivamente. La corriente en el circuito
después de que se cierra un interruptor de control S (proceso de carga) se denota como i(t). La carga
en un capacitor a un tiempo t después de haberse cerrado un interruptor S, se denota por q(t). Las
magnitudes L, C y R son constantes conocidas como Inductancia (Henrys), Capacitancia (Faradios) y
Resistencia (Ohms), respectivamente. En ambos circuitos, la carga y la corriente se encuentran
relacionadas por dt
)t(dq)t(i
Las condiciones iniciales q(0) =q0 y i(0)=q’(0)=i(0)=i0 representan La carga en el capacitor y la
corriente en el circuito para t=0, respectivamente. La tensión eléctrica aplicada E corresponde a una
fuerza electromotriz (fem) , provocando el almacenamiento de carga en el capacitor y genera el
movimiento de la misma a través del circuito, lo que comúnmente se la llama corriente en el circuito
2.7.1 CIRCUITOS R-C EN SERIE
En el circuito R-C en serie, la caída de voltaje en una resistencia es iR y la caída de voltaje a través de
un capacitor C está dada por q(t) /C y la suma de las caídas de voltaje anteriores es igual a la tensión
E aplicada al circuito. Por consiguiente, para el circuito mostrado en la figura 2.7.1, con la Segunda
Ley de Kirchhoff se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
)( tEqCdt
dqR
1
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden
33
E
R
C
S
Fig.2.7.1 Diagrama de un circuito R-C en serie
2.7.1. Ejemplos. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos R-C en serie.
1). A un circuito R-C en serie el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 1x10-4
Faradios, se le aplica un voltaje o tensión de 100 Volts.
a) Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0
b) Encuentre la corriente en la resistencia i(t)
c) Calcule la carga y la corriente en el circuito a los 2 segundos
Solucion:
De La Segunda Ley de Kirchhoff, se obtiene la siguiente Ecuación Diferencial:
01
EqCdt
dqR
Arreglando términos:
EqCdt
dqR
1
Sustituyendo los valores de R, C y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:
34
tCetq
Ct
eqt
e
dtteqt
ed
dtt
eqt
ed
dtt
et
edqt
e
te
te
te
te
dtettP
qdt
qdt
dq
qdt
dq
qxdt
dq
50
100
1
50
100
150
50
2
150
5050
505050
505050
505050
2
1
2
150
2
150
2
150
100101
1200
4
)(
)(
)(
)(,)(
Aplicando la condición inicial q(0)=0:
Amperessegi
esegi
Coulombssegq
e
tetib
te
dt
d
dt
dqti
tetqa
tetq
toloPor
CeC
eC
segqc
02
250
2
12
00102
2501
100
1
50
2
1
501
100
1
501
100
1
50
100
1
100
1
0
100
1
050
100
10
2
)(
)()(
.)(
))(
(
)()
))(()(
)()()
)(
:tan
)(
)()
35
2) A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5x10 -6
Faradios, se le aplica una tensión de 200 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente
i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,
respectivamente cuando t=0.05 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la
resistencia, respectivamente cuando t→∞
Solución:
De La Segunda Ley de Kirchhoff, se obtiene la siguiente Ecuación Diferencial:
01
EqCdt
dqR
Arreglando términos:
EqCdt
dqR
1
Sustituyendo los valores de R, C y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:
tCetq
Ct
eqt
e
dtteqt
ed
dtt
eqt
ed
dtt
et
edqt
e
te
te
te
te
dtettP
qdt
qdt
dq
qdt
dq
qxdt
dq
200
1000
1
200
1000
1200
200
5
1200
200200
200200200
200200200
200200200
5
1
5
1200
5
1200
5
1200
200105
11000
6
)(
)(
)(
)(,)(
Aplicando la condición inicial q(0)=0:
Amperes
Coulombs
segqb
ti
tqc
Amperesxsegi
esegi
Coulombssegq
e
teti
te
dt
d
dt
dqti
tetqa
tetq
toloPor
CeC
eC
0
0010
050
6109050
050200
5
1050
000990050
0502001
1000
1
200
5
1
2001
1000
1
2001
1000
1
200
1000
1
1000
1
0
1000
1
0200
1000
10
)
)
(
()
).(
).().(
.).(
)).(
(
)(
))(()(
)()()
)(
:tan
)(
.
).()
36
E
R
L
2.7.2. CIRCUITOS R-L EN SERIE
Para un circuito en R-L en serie que contiene solo una resistencia R y una inductancia L, la suma de
las caídas de voltaje a través del inductor (Ldi/dt) y del resistor iR es igual a la tensión E aplicada al
circuito. Por consiguiente, para el circuito mostrado en la figura 2.7.1, con la Segunda Ley de Kirchhoff
se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
)(tEiRdt
diL
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden
Fig. 2.7.2 Diagrama de un circuito R-L en serie
37
2.7.2. Ejemplos. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos R-L en serie.
1) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 Henrys y la resistencia es de 50 ohms,
se le aplica una tensión de 30 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también la
corriente cuando t= 0.005 seg. y cuando t→∞.
Solución:
De La Segunda Ley de Kirchhoff, se obtiene la siguiente Ecuación Diferencial:
0)(tEiRdt
diL
Arreglando términos:
)(tEiRdt
diL
Sustituyendo los valores de R, L y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:
tCeti
Ct
eit
e
dtteit
ed
dtt
eit
ed
dtt
et
edit
e
te
te
te
te
dtettP
idt
idt
di
idt
di
idt
di
500
5
3
500
5
3500
500300500
500500
500500500
500500500
500500500
300
300500
300500
300500
305010
)(
)(
)(
)(,)(
.
Aplicando la condición inicial i(0)=0:
Amperesti
Amperessegi
e
tetia
teti
toloPor
CeC
eC
segib
60
550050
00505001
5
3
5001
5
3
500
5
3
5
3
0
5
3
0500
5
30
0050
.(
.).(
)).(
(
)()()
)(
:tan
)(
).()
)
38
2) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 20 Henrys y la resistencia es de 2 ohms,
se le aplica una tensión de 120 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también la
corriente cuando t= 0.005 seg. y cuando t→∞.
Solución:
De La Segunda Ley de Kirchhoff, se obtiene la siguiente Ecuación Diferencial:
0)(tEiRdt
diL
Arreglando términos:
)(tEiRdt
diL
Sustituyendo los valores de R, L y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:
tCeti
Ct
eit
e
dtt
eit
ed
dtt
eit
ed
dtt
et
edit
e
te
te
te
te
dtettP
idt
idt
di
idt
di
idt
di
10
1
60
10
1
6010
1
10
1
610
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
6
610
1
610
1
610
1
120220
)(
)(
)(
)()(
Aplicando la condición inicial i(0)=0:
Amperest(i
Amperes.)seg.(i
)e(
)t
e()t(i)a
te)t(i
:totanloPor
CeC
)(eC
).(
)seg.(i)b
60
02900050
160
10
1
160
10
1
6060
060
010
1
600
005010
1
0050
)
39
2.7. Ejercicios. Analice los siguientes circuitos R-C y R-L en serie y determine lo que se te pide.
1) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 1.5 Henrys y la resistencia es de 20
ohms, se le aplica una tensión de 60 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también
la corriente cuando t= 0.02 seg. y cuando t= 1seg
2) A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 500 ohms y la capacitancia es de 1x10 -6
Faradios, se le aplica una tensión de 100 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente
i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,
respectivamente cuando t=0.005 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la
resistencia, respectivamente cuando t=1 seg.
3) En un circuito R-C en serie, la resistencia es de 100 ohms y la capacitancia es de 10x10-6
Faradios, se le aplica una tensión alterna de 120sen 60t volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor
y la corriente i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la
resistencia, respectivamente cuando t=0.1seg seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor
y la resistencia, respectivamente cuando t→∞
4) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de un Henry y la resistencia es de 500 ohms,
se le aplica una tensión de 10 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también la
corriente cuando t= 0.02 seg. y cuando t→∞
5) Una tensión
300
300100
t
t
tE
,
,
)(
Se aplica a un circuito L-R en serie en el que la inductancia es de 20 Henrys y la resistencia es de 10
ohms. (a) Determinar la corriente i(t), si i(0)=0 (b) Determinar la corriente cuando t=3seg
40
UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.1. INTRODUCCIÓN
En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:
)()()(.............)()( xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n 011
1
1
Sujeta a las condiciones iniciales:
100
10000
nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('
Donde 1000nyyy ,........,, ' son constantes arbitrarias y se busca una solución en algún intervalo I que
contenga a xo.
En el caso de una ecuación lineal de segundo orden, una solución del problema del valor inicial
')(',)(),()()()( 0000012
2
2 yxyyxyxgyxadx
dyxa
dx
ydxa
Es una función que satisface la ecuación diferencial en I cuya gráfica pasa por P(x0,y0), como se ve
en la siguiente grafica:
La solución general yg de una ecuación de orden n en un intervalo I, es de la forma:
xo
yo P(xo,yo)
I
x)i(x)i(
h eCeC)x(y 21
m = y’0
X
Y
X
41
)x(y)x(y)x(y phg
O más específicamente:
)x(y)x(yC.........)x(yC)x(yC)x(y pkkg 2211
En donde la parte homogénea de la ecuación diferencial ordinaria de orden n:
0011
1
1 yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n )()(.............)()(
Tiene como solución la combinación de funciones linealmente independientes:
)x(yC.........)x(yC)x(yC)x(y kkh 2211
Y la solución particular Yp se determinará de acuerdo a la forma de g(x) (Método de los coeficientes
indeterminados) o de la combinación linealmente independiente de la familia de funciones yk(x)
obtenidas de la ecuación homogénea (Método de Variación de Parámetros)
3.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación lineal de primer orden dy/dx + ay = 0, donde a es una constante, tiene la solución
exponencial y=C1e-ax
en (-∞, ∞). Por lo tanto es natural tratar de determinar si existen soluciones
exponenciales en (-∞, ∞) para ecuaciones diferenciales de orden superior de coeficientes constantes
como la siguiente:
0011
1
1 y)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
Lo interesantes es que todas las soluciones de la ecuación diferencial homogénea anterior, son
funciones exponenciales linealmente independientes, de la forma general y=emx
.
Para el caso de una ecuación diferencial de segundo orden:
a y´´+ b y´+ c y = 0
Se puede probar que existe una solución de la forma general y = emx
. Y por lo tanto y´= memx
.y
42
y´´= m2e
mx,de tal manera que la ecuación anterior se convierte en:
a m2e
m+ b me
mx.+ c e
mx = 0
o bien
emx
.(a m2+ b m.+ c ) = 0
Debido a que emx nunca es igual a cero para valores reales de x, se tiene de manera aún más simple:
a m2+ b m.+ c = 0
La cual es llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, que es en sí una ecuación algebraica
cuadrática, cuya solución será el buscar sus respectivas raíces. Tales raíces se encontrarán entre
alguno de los tres casos siguientes: raíces reales diferentes, raíces reales iguales y raíces
complejas conjugadas.
Caso I) Raíces reales diferentes
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1= α1 y m2= α2, dando la siguiente
solución a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:
xx
h eCeC)x(y 22
11
Caso II) Raíces reales iguales
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1 = m2 = α, dando la siguiente solución
a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:
xx
h xeCeC)x(y 21
43
Caso III) Raíces complejas conjugadas
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma compleja m1 = α + i β y m2 = α - i β, dando la
siguiente solución a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:
Utilizando las identidades de Euler se obtiene yh con funciones reales, de la forma:
)xsenCxcosC(e)x(y x
h 21
x)i(x)i(
h eCeC)x(y 21
44
3.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes
ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas. 1)
x
h
xx
h
mx
mxmx
mxmxmx
eCC)x(y
eCeC)x(y
:Finalmente
m,m:sonraícescuyas
)m(m
:dofactorizan
auxiliar.ecmm
)mm(e
meem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´y
25
21
25
2
0
1
21
2
2
2
2
2
50
052
052
052
052
052
2)
xx
h
mx
mxmx
mxmxmx
eCeC)x(y
:Finalmente
m,m:sonraícescuyas
)m)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´y
6
2
6
1
21
2
2
2
2
66
066
036
036
036
036
3)
xx
h
mx
mxmxmx
mxmxmx
xeCeC)x(y
:Finalmente
mm:sonraícescuyas
)m)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ecmm
)mm(e
emeem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
yy´´y
2
2
2
1
21
2
2
2
2
2
022
044
044
044
044
4)
)xsenCxcosC(e)x(y
:Finalmente
im,im:sonraicescuyas
)(
))((m
:generalformulalaAplicando
auxiliar.ecmm
)mm(e
emeem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
yy´´y
x
h
mx
mxmxmx
mxmxmx
33
32
33
2
3
32
13433
0133
0133
033
033
212
3
21
2
2
2
2
2
45
5)
)xsenCxcosC(eC)x(y
)xsenCxcosC(eeC)x(y
:Finalmente
imimm
:sonraicescuyas
)(
))((m,m
)m(m
:dofactorizan
auxiliar.ecmm
)mm(e
meem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´´y
x
h
xx
mx
mxmx
mxmxmx
2
1
2
1
2
1
2
1
8
32
8
320
42
244000
024
024
024
024
024
32
0
1
32
00
1
321
2
1
2
3
3
3
2
6)
xx
h
xx
x
h
mx
mxmx
mxmx
eCeC
xsenCxcosC)x(y
eCeC
)xsenCxcosC(e)x(y
:Finalmente
m,m,im,im:raices
mim
mm
:factoreslosdeunocadadedespejando
)m)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´´´´y,ey
:oproponiend
dx
yd
8
4
8
3
21
8
4
8
3
21
0
4321
22
22
4
4
4
4
4
4
88
88
8888
88
88
088
064
064
064
064
46
7)
xx
h
xxx
mx
mxmxmx
mxmxmxmx
xeCeCC)x(y
xeCeCeC)x(y
:Finalmente
mmm
:raices
)(
))((m,m
)mm(m
:dofactorizan
auxiliar.ecmmm
)mmm(e
meemem
:doSustituyen
em´´´y,em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´y´´´y
2
1
32
1
21
2
1
32
1
2
0
1
321
2
1
2
23
23
23
32
2
10
42
144440
0144
044
044
044
044
8)
xxx
h
mx
mxmxmx
mxmxmxmx
eCeCeC)x(y
:Finalmente
m,m,m
:raices
)(
))((m,m
)mm)(m(
R
r
,,,,q
pr
qy,,,,p
:téticasindivisionutilizando
auxiliar.ecmmm
)mmm(e
meemem
:doSustituyen
em´´´y,em´´y,mey,ey
:oproponiend
yy´´y´´´y
3
3
2
2
2
1
321
2
1
2
23
23
23
32
32
1
2
52
2
1
2
52
12
614552
0652
0651
12102
124312
126421
1126421
01243
01243
01243
01243
47
9)
)senxxcos(xe)x(h
y
:Finalmente
C
)(CCCC
)cosCsenC()(
e
)senCcosC()(
e
´:ydeinicialesscondicionelasaplicando
)xcosCsenxC(xe
)senxCxcosC(xe)x(h
y
:h
yaderivando
CCsenCcosC()(
e
:ydeinicialesscondicionelasaplicando
)senxCxcosC(xe)x(h
y
imim
)(
))((m
auxiliar.ecmm
)mm(mxe
mxemxmemxem
:doSustituyen
mxem´´y,mxmey,mxey
:oproponiend
)´(y)(y:asujeta
yy´´y
1744
172
174411
41221
41
02
01
04
02
01
0441
214
2144
411
02
01
044
214
42
41
12
1714288
01782
01782
01782
2
1040
0178
10)
xx
h
i
xxx
h
h
xxx
h
h
xx
h
xxx
h
mx
mxmxmx
mxmxmxmx
xee)x(y
:Finalmente
CyC,C
:s´Claspara.ecsdesistemaelresultadocomodando
CC
´´:ydeinicialesscondicionelasaplicando
xeCeCeC)x´´(y
:)x´(yaderivando
CC
´:ydeinicialesscondicionelasaplicando
xeCeCeC)x(y
:yaderivando
CCCC
:ydeinicialesscondicionelasaplicando
xeCeCC)x(y
xeCeCeC)x(y
mmm:raices
)(
))((m,m
)mm(m
:dofactorizan
auxiliar.ecmmm
)mmm(e
meemem
:doSustituyen
em´´´y,em´´y,mey,ey
:oproponiend
)´´(yy)´(y,)(y:asujeta
y´´y´´´y
66
321
32
6
3
6
3
6
2
32
6
3
6
3
6
2
2121
6
3
6
21
6
3
6
2
0
1
321
2
1
2
23
23
23
32
3
1
3
1
13
1
3
1
12360
361236
61
66
0
60
12
361412120
03612
03612
03612
03612
001000
03612
48
3.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes
ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas.
1) 0y´´y
2) 0y8´´y
3) 0y´´y
4) 0y6y´´y
5) 0yy4´´y
6) 0yy2´´y3
7) 0´´y5´´´y
8) 0y2´´y´´´y
9) 0y9´´y24´´´´y16
10) 1)0´´(y,0)0´(y,1)0(y
,0y25´´y10´´´y
===
=+
49
3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS
3.3.1. EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
El Método de los Coeficientes Indeterminados se desarrolla mediante el principio de superposición
para ecuaciones diferenciales no homogéneas, para encontrar cualquier solución particular yp de una
ecuación no homogénea de orden superior. Una solución particular es una función libre de constantes
arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial idénticamente. Recuérdese que una solución general
de una ecuación diferencial no homogénea es de la forma:
)()()( xyxyxy phg
En el caso de las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo grado de la forma:
)x(gyadx
dya
dx
yda
012
2
2
Donde a2, a1 y a0 son coeficientes constantes. Es importante recalcar que el método de los
Coeficientes Indeterminados no está limitado a ecuaciones de segundo orden, pero si se limita a
ecuaciones no homogéneas que tengan las siguientes características:
- tengan coeficientes constantes
- g(x) sea una constante k, una función algebraica, una función exponencial eαx, sen βx, cos βx,
o sumas o productos finitos de estas funciones.
Por ejemplo:
g(x)=2
g(x)=3x2 + 4x -1
g(x)=2sen 3x + 6x cos 2x
Y así sucesivamente, Esto es g(x) es una combinación lineal sólo de la funciones del tipo:
K (constante), xn, xn eαx, , eαx cos βx y xn eαx sen βx, donde n es un entero no negativo y α y β son
números reales.
50
El conjunto de funciones que consisten en constantes, exponenciales eαx, senos y cosenos tienen la
propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son nuevamente sumas y productos de
constantes, polinomios, exponenciales eαx, senos y cosenos.
En la siguiente tabla se realiza una propuesta de soluciones particulares para yp, dada la forma de
g(x). Teniendo en cuenta que ninguna función que se suponga como solución particular es una
solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.
PROPUESTA DE SOLUCIONES PARTICULARES
No. g(x)
Forma para yp
1 1 (cualquier constante) A
2 5x + 7 Ax + B
3 3x3 - 2 Ax2 + Bx + C
4 X3 – x + 1 Ax3 + Bx2 + Cx + D
5 Sen 4x Acos 4x + Bsen4x
6 Cos4x Acos 4x + Bsen4x
7 e5x A e5x
8 (9x+2) e5x (Ax + B) e5x
9 X2e
5x e
5x (Ax
2 + Bx + C)
10 e3x Sen 4x e3x(Acos 3x + Bsen3x)
11 e3x cos 4x e3x(Acos 3x + Bsen3x)
12 5x2sen 4x (Ax2 + Bx + C) sen 4x + (Dx2 + Ex + F) cos 4x
13 x e3x
cos 4x (Ax + B) e3x
cos 4x + (Cx + D) e3x
sen 4x
Si g(x) consiste de una suma de m términos, entonces la solución de una solución particular yp
consiste en la suma de las ypm correspondientes a los m términos de dicha suma. Es decir:
yp =yp1 + yp2 +………..+ ypm
51
3.3.1. Ejemplos. Resuelva las siguientes
Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el Método de los Coeficientes Indeterminados 1)
3
43
23
1
3
4
9
121290
00
32
31
32
31
392
092
092
092
2
09
129
xsenCxcosC)x(g
y
)x(p
y)x(h
y)x(g
y
:finalmente
A)A(
:ogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen
)x´´(p
y,)x´(p
y,A)x(p
y
:ogéneahomnopartelapara
xsenCxcosC)x(h
y
:essoluciónla
im,im:sonraícescuyas
imm
:oresolviend
auxiliar.ecm
)m(mxe
mxemxem
:doSustituyen
mxem´´y,mxmey,mxey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
y´´y
2)
2
1x
2
12xe2
C2xex1
C(x)gy
(x)py(x)h
y(x)gy
:finalmente
4
1
4
14ABy
2
1Adonde
14B4Ay24A
:xdepotenciaslasigualando
12x4B)(4A4Ax
12x4B4Ax4A
12xB)4(Ax4(A)4(0)
:homogéneanoecuaciónlaendosustituyen
0´´(x)pyA,´(x)pyB,Ax(x)py
:homogéneanopartelapara
2xe2
C2xex1
C(x)h
y
:essoluciónla
22
m1
m
:sonraícescuyas
02)2)(m(m
:dofactorizan
auxiliarec.044m2m
04)4m2(mmxe
0mx4emx4memxe2m
:doSustituyen
mxe2my´´,mxmey´,mxey
:oproponiend
04y4y´y´´
:homogéneaecuaciónlapara
12x4y4y´y´´
52
3)
27
89
9
14
3
1
27
89
3
148
9
14
3
28
3
1
22
1
22
3
1
22
22
22
22
2
2
1
22
3
1
2
1
22
3
1
2
2
2
2
2
134823813
12348383
12348383
12333488
1232424
22
01232
0344
0344
0344
0344
12344
xxeCexC)x(y
)x(y)x(y)x(y
:finalmente
BAC
,A
B,A:donde
xx
g
phg
ppp
xx
h
mx
mxmxmx
mxmxmx
CBAy,BA,A
:xdepotenciaslasigualando
xx)CBA(x)BA(Ax
xxCBABxAxAx
xxCBxAxBAxA
xx)CBxAx()BAx()A(
:ogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen
A)x´´(y,BAx)x´(y,CBxAx)x(y
:ogéneahomnopartelapara
eCexC)x(y
:essoluciónla
m,m
:sonraícescuyas
)m)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ecmm
)mm(e
emeem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
yy´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xxyy´´y
4)
53
xsen)x(xcosx(
xsenCxcosC)x(y
,AA,C
:escoeficientigualando
:ndosimplificayogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen
xsen)DxxC(xcos)DCx(
xcos)DCx(xCsenxcosAx(
xsen)BAx(xsen)BAx(xcos)A()x´´(y
xcos)DxxC(xsen)DCx(
xsenAx(xcos)BAx()x´(y
xsen)DxxC(xcosAx()x(y
:ogéneahomnopartelapara
xsenCxcosC)x(y
:essoluciónla
im,im
:sonraícescuyas
m
:oresolviend
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xsen)x(y´´y
)x
)x(y
)x(y)x(y)x(y
:finalmente
BBC
DDA
xsenxxsen
xsen)BC(xcos)DA(xAxsenxcosCx
)Bx
)Bx
)Bx
hg
phg
p
p
p
h
mx
mxmx
mxmxmx
216
12
8
1
22
8
1180
24222
2222224
22222222
2222
2222
22
22
22
4
04
04
04
04
234
2
3
2
3322
16
1042
232
2222422828
2
21
2
2
2
2
22
21
21
2
2
2
2
2
54
5)
4
1
28
216168
1681644
4
16
4
2
4
1
44
4444
44444
444
4
2
4
1
21
2
2
2
2
2
4
4
128
44
16
0
016
016
016
216
xx
hg
phg
xx
xxxx
xxxxx
p
xx
p
x
p
xx
h
mx
mxmx
mxmxmx
x
eCeC)x(y
AA
:escoeficientigualando
ee
eAxeee
:ogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen
eeeee)x´(y
eAe)x´(yAxe)x(y
:ogéneahomnopartelapara
eCeC)x(y
:essoluciónla
m,m
:sonraícescuyas
m
:oresolviend
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
ey´´y
)x(y
)x(y)x(y)x(y
:finalmente
A
AxA
AxAAxAA´
x,
6)
55
xcos
Axcos)BC(xsen)CB(
xcos
A(xcosCxBsen
:ogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen
xcosCxBsen)x´´´(y
cosB)x´´(y
cosB)x´(y
A)x(y
eeC)x(y
eCeCeC)x(y
:esogéneahomsoluciónla
im,i,m,m
:sonraíceslastotanlopor
ii))((
m
:factorsegundoeldofactorizan
)mm)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´´yem´´y,mey,ey
:oproponiend
y´´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xcosy´´´y
)xCsenxcosB
p
xCsenxp
xCxsenp
xCsenxcosBp
)xsenCxcosC(xx
h
iixh
mx
mxmx
mx,
mxmxmx
332
838333833
332
8333333
333333
3
33
32322
322
122
2
41442
0422
08
08
08
08
3328
33
333
33
33
3322
323
322
2
321
2
3
3
3
32
321
1
56
xsenxcos
eeC)x(gy
)x(y)x(y)x(y
:finalmente
C,B,A
:solviendoRe
A
BC
CB
:semejantesosmintérigualando
)xsenCxcosC(xx
phg
391
393
8
33
4
1
91
39
8
33
4
1
28
3833
0833
3322
321
3.3.1. Ejercicios. Resuelva las siguientes
Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el Método de los Coeficientes Indeterminados
1) 623 yy´´y
2) xxexyy´´y 26100208 2
3) senxxy´´y 2
4) xcossenxyy´´y 32
5) xsen)x(y´´y 234 2
6) 6425 23 xxxy´´y
7) xexyy´´y´´´y 433
57
3.3.2. EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS
El Método de Variación de Parámetros es un método adicional para resolver ecuaciones lineales no
homogéneas de orden superior. El procedimiento básico es esencialmente el siguiente:
La solución particular para una ecuación diferencial ordinaria de segunda grado, no homogénea es de
la forma:
)x(y)x(u)x(y)x(u)x(yp 2211
Donde y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes obtenidas en la solución de la ecuación
homogénea respectiva:
)x(yC)x(yC)x(yh 2211
Y las funciones u1(x) y u2(x) están definidas mediante:
dxW
W)x(uydx
W
W)x(u 2
21
1
Donde:
)x(fy
yWy
y)x(f
yW
yy
yyW
´´´´ 1
1
2
2
21
21 0021
El determinante W se conoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal de y1 y y2 en
I, se sabe que W(y1(x),y2(x))≠0 para toda x en el intervalo.
Este método, que se acaba d examinar para ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo
orden , puede generalizarse para ecuaciones diferenciales lineales de orden n que sean de la forma
)x(gyadx
dya......
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n 011
1
1
Si
yh(x)=C1 y1(x)+C2y2(x)+……….+Cnyn(x)
es la solución complementaria, entonces la solución particular será de la forma:
58
)x(y)x(u........)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nnp 332211
Donde las uk’s funciones se determinan mediante:
,n,........,,kdxW
W)x(u k
k 21
donde W es el wronskiano de y1, y2, ………..yn y Wk es el determinante obtenido al sustituir la k-ésima
columna del wronskiano por la columna:
)x(f
.
.
.0
0
El Método de Variación de Parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de Coeficientes
Indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una solución particular yp, a condición
de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda resolver. El presente método no se limita a
una función f(x) que sea una combinación lineal de los cuatro tipos de funciones con los que sólo
trabaja el Método de los Coeficientes Indeterminados.
59
3.3.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el
Método de Variación de Parámetros
1)
senxx)x(cosLnxcos
senxCxcosCyy)x(g
y
senxx)x(cosLnxcosyuyu)x(p
y
:finalmente
xdxdxW
Wu
xcosLndxxtan
dxW
Wu
xcos
xcosxsecxcos
xsecsenx
xcosW
xtanxcos
senxxsecsenx
xcosxsec
senxW
xcossenxcossenx
senxxcosW
senxy,xcosy
:ogéneahomnopartelaPara
senxCxcosC)x(h
y
:essolucióncuya
im,im:sonraícescuyas
imm
:despejando
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xsecy´´y
ph
mx
mxmx
mxmx,
mx
21
2211
2
1
1
1
2
1
22
21
21
21
2
2
2
2
2
1
1
1
10
0
1
1
01
01
0
0
60
2)
xsenxcos)xsenx
(senxCxcosCyy)x(g
y
senxcos)xsenx
(yuyu)x(p
y
:finalmente
xsendxsenxxcosdxW
Wu
xsenx
dxxcos
dxxsendxW
Wu
senxxcossenxsenx
xcosW
xsenxcossenx
senxW
xcossenxcossenx
senxxcosW
senxy,xcosy
:ogéneahomnopartelaPara
senxCxcosC)x(h
y
:essolucióncuya
im,im:sonraícescuyas
imm
:despejando
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
senxy´´y
ph
x
mx
mxmx
mxmx,
mx
3
21
3
2211
22
1
21
1
2
2
1
22
21
21
21
2
2
2
2
2
2
12
4
1
2
2
12
4
1
2
2
1
24
1
22
21
0
0
1
1
01
01
0
0
61
3)
xsenxsenxcossenxCxcosCyy)x(g
y
xsenxsenxcosyuyu)x(p
y
:finalmente
xsensenxdx)xsen(xcosdxxcosdxW
Wu
xcosdxxcossenxdxW
Wu
xcosxcossenx
xcosW
xcossenxxcosxcos
senxW
xcossenxcossenx
senxxcosW
senxy,xcosy
:ogéneahomnopartelaPara
senxCxcosC)x(h
y
:essolucióncuya
im,im:sonraícescuyas
imm
:despejando
auxiliar.ecm
)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xcosy´´y
ph
mx
mxmx
mxmx,
mx
424
21
424
2211
3232
2
321
1
3
22
2
21
22
21
21
21
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
11
3
1
0
0
1
1
01
01
0
0
62
4)
Lnxdxxe
eCeCyy)x(g
y
Lnxdxxe
eyuyu)x(p
y
:finalmente
Lnxdxx
dxW
Wu
dxxe
dxW
Wu
xxee
eW
xeexe
eW
eeeeee
eW
y,ey
:ogéneahomnopartelaPara
CeC)x(h
y
:essolucióncuya
m,m:sonraícescuyas
)m)(m(
dofactorizan
auxiliar.ec)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
x
ey´´y
xe
xxx
ex
ph
xe
xx
x
xx
x
x
xx
x
xxxx
xx
xe
x
xe
x
xe
x
mx
mxmx
mxmx,
mx
x
24
22
2
2
1
24
2
2211
2
2
41
1
22
2
2
4
22
2
1
222
22
22
22
2
2
2
1
2
2
2
1
21
2
2
2
2
4
1
4
4
1
4
4
1
4
1
4
1
2
0
2
0
422222
22
022
04
04
04
4
63
5)
xxx
xxxph
xxx
x
xx
xx
xxxxx
x
x
xxxxx
x
x
xxxx
xx
xx
xx
xx
h
mx
mxmx
mxmx,
mx
eexe
exe
eexe
ex
xee
(
ex
e(
eeeexcoshe
eeeexcoshe
e
e
e
e
CeCyy)x(gy
yuyu)x(py
:finalmente
dx)dxW
Wu
dx)dxW
Wu
xcoshe
eW
excoshW
eeeeee
eW
y,ey
:ogéneahomnopartelaPara
CeC)x(y
:essolucióncuya
m,m:sonraícescuyas
)m)(m(
:dofactorizan
auxiliar.ec)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
y´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
xcoshy´´y
8
1
4
1
84
1
8
1
4
1
84
1
4
1
84
1
4
84
1
44
1
2
1
22
22
1
2
21
2211
222
2
221
1
2
2
2
1
21
21
21
2
2
2
0
0
2
11
011
01
0
0
64
6)
xxxxxxph
xxxx
xxx
x
xx
x
xx
e
x
x
xx
xe
x
xxx
xx
xx
xx
xx
mx
mxmx
mxmx,
mx
eee
ee
ee
xe
ee
xe
e
xe
e
xe
e
e
e
e
m
x
eLneCeCyy)x(gy
eLneyuyu)x(py
:finalmente
u:con)e(LnedxdxW
Wu
u:coneLndxdxW
Wu
e
eW
eW
eeeee
eW
y,ey
:ogéneahomnopartelaPara
CeC)x(hy
:essolucióncuya
m,m:sonraícescuyas
)m)(m(
dofactorizan
auxiliar.ec)m(e
eem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
yy´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
eyy´´y
22
21
22211
22
2
1
1
1
12
2
2
1
1
2
1
333
2
2
2
21
2
21
21
2
2
2
11
11
1
1
3
11
0
2
0
22
21
021
02
04
023
1
123
65
7)
)LnxxexeCeCyy)x(gy
:finalmente
)Lnxxexeyuyu)x(py
xxLnxLnxe
Lnxedx
W
Wu
partesporegrandointeedvyxucon
exexedxe
Lnxxedx
W
Wu
LnxeLnxee
eW
LnxxeexeLnxe
xeW
exeexeexee
eW
y,ey
:ogéneahomnopartelaPara
CeC)x(hy
:essolucióncuya
mm:sonraícescuyas
)m)(m(
dofactorizan
auxiliar.ec)mm(e
emeem
:doSustituyen
em´´y,meyey
:oproponiend
yy´´y
:ogéneahomecuaciónlapara
Lnxeyy´´y
(exe
(e
dxx
x
xe
xe
xe
xxxxxph
xxx
dx
x
xxdx
x
x
x
x
xx
x
x
xxx
x
xxxx
xxx
xx
xx
xx
mx
mxmxmx
mxmx,
mx
x
14
1
2
1
14
1
2
1
4
1
2
1
0
0
1
011
012
02
02
2
233
21
2332211
2
2
2
222
2
21
1
22
21
2222
21
21
21
2
2
2
2
2
66
Ejercicios 3.3.2. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el
Método de Variación de Parámetros
1) senxy´´y
2) xcosy´´y 2
3) xtanxsecy´´y
4) senhxy´´y
5) xseceyy´´y x22
6) 2144 2 xeyy´´y
x
7) 262 x´´y´´´y
67
E
R
L
C
3.4. APLICACIONES. CIRCUITOS ELECTRICOS R C L EN SERIE
Una gran cantidad de sistemas físicos pueden describirse por medio de una ecuación diferencial lineal
de segundo orden, entre ellos se encuentran los circuitos eléctricos, concretamente los circuitos R C L
en serie, como el de la siguiente figura:
Figura 3.4.1. Circuito R C L en serie
Si i(t) representa la corriente en el circuito eléctrico R C L en serie mostrado en la figura 3.4.1,
entonces la caída de voltaje a través de la resistencia, la capacitancia y la inductancia, de acuerdo a
la segunda ley de Kircchhoff es la siguiente:
)t(EqC
iRdt
diL
1
Es decir, la suma de la caída de los voltajes en los componentes del circuito R C L es igual al voltaje
E(t) suministrado al circuito.
Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la corriente i(t) mediante i= dq/dt, y así la
ecuación anterior se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo grado de la forma:
)t(EqCdt
dqR
dt
qdL
1
2
2
68
Si E(t)=0, las oscilaciones eléctricas del circuito se dice que son libres. Puesto que la ecuación
auxiliar correspondiente es
L m2 + R m + 1/C = 0
Existen tres formas de solución de la ecuación anterior cuando R ≠ 0, dependiendo del valor del
discriminante R2-4L/C. Se dice entonces que el circuito está:
Sobreamortiguado si R2-4L/C < 0
Críticamente amortiguado si R2-4L/C = 0
Y Subamortiguado si R2-4L/C > 0
Para cada uno de los tres casos, la solución general de la ecuación diferencial anterior contiene el
factor e-Rt/2L y así q(t)→0 cuando t→∞. Cuando E(t)=0 y R=0, se dice que el circuito no está
amortiguado y las oscilaciones eléctricas no tienden a cero a medida que t se incrementa sin tener
una cota; la respuesta del circuito es armónica simple.
69
E=60V
C=1/16 F
L=1 H
3.4. Ejemplos. Resuelva los siguientes circuitos en serie.
1) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LC en serie, con L=1 Henry, C= 1/16
Faradios, E= 60 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes. Evalúe la carga en el capacitor y la
corriente en el circuito a los 2 segundos.
00
44
41616
016
016
2
2016
16016
0
161
160
01
0
0
21
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)t(´´q,)t(q
arminerdetaecoeficientA)t(q
:ogeneahomnopartelaPara
tsenCtcosC)t(q
:complejasraícespara
iimm
m
eem
:)(endosustituyen
em)t´´(q,me)t´(q,e)t(q
:oproponiend
)....(qdt
qd
)....(qdt
qd
:Arreglando
qdt
qd
qCdt
diLV
VVVV
V
pp
p
h
mtmt
mtmtmt
S
cLS
Amperes.sen)seg(i
Coulombs.cos)seg(q
:Evaluando
tsen)t(i
tcos)t(q
CcosCsenC
C
senCcosC
:)(y)(ainiciales.condaplicando
)....(tcosCtsenCdt
dq)t(i
)....(tsenCtcosC)t(q
)t(q)t(q)t(q
:totanlopor
A
A
:)(endosustituyen
ph
8148152
295644
158
4
152
415
4
154
4
15
004040
4
15
4
15000
43
44444
34
1544
4
15
60160
1
221
1
21
21
21
70
E=0 V
R=20 ohms
L=1/4 H
C=1/300 F
2) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/4 Henrys,
R=20 ohms, C= 1/300 Faradios, E= 0 Volts. Con q(0)=4 Coulombs e i(0)= 0 Amperes. Evalúe la carga
en el capacitor a los 3segundos.
:)4(y)3(ainicialesscondicioneaplicando
)4)....(t41.34cosC41.34t41.34senC41.34(e
)t41.34senCt41.34cosC(e4)t´(q)t(i
)3).....(t41.34senCt41.34cosC(e)t(q)t(q
:complejasraícespara
i41.344m:sonraícescuyas
auxiliar.ec01200m8m
0e1200me8em
:)2(endosustituyen
em)t´´(q,me)t´(q,e)t(q
:oproponiend
)2....(0q1200dt
dq80
dt
qd
)1....(0q300i20dt
qd
4
1
:Arreglando
0q
3001
1i20
dt
qd
4
10
0qC
1Ri
dt
diLV
0VVVVV
0V
21
t4
21
t4
21
t4
h
2
mtmtmt2
mt2mtmt
2
2
2
2
2
2
S
CRLS
71
Coulombs10x097.2)seg3(q
))3(41.34sen4698.0)3(41.34cos4(e)seg3(q
:Evaluando
)t41.34sen4698.0t41.34cos4(e)t(q
4698.0)4(41.34
4C
41.34
4C
C41.34C40
)0cosC41.340senC41.34(e
)0senCt0cosC(e40
4C
)0senC0cosC(e4
5
)3(4
t4
12
21
21
0
21
0
1
21
0
72
E=300 V
R=10 ohms
L=5/3 H
C=1/30 F
3) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=5/3 Henrys,
R=10 ohms, C= 1/30 Faradios, E= 300 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
)2....(1800q18dt
dq6
dt
qd
)1....(300q30i10dt
qd
3
5
:Arreglando
0q
301
1i10
dt
qd
3
5300
0qC
1Ri
dt
diLV
0VVVVV
0V
2
2
2
2
2
2
S
CRLS
73
100)t3sent3(cose100)t(q
100)t3sen100t3cos100(e)t(q
100CCC3C3
C3C30
)0senC0cosC(e3)0cosC30senC3(e0
100C100C0
100)0senC0cosC(e0
:)5(y)4(ainiciales.condaplicando
)5)....(t3senCt3cosC(e3
)t3cosC3t3senC3(edt
dq)t(i
)4....(100)t3senCt3cosC(e)t(q
)t(q)t(q)t(q
:totanlopor
100A1800A18
:)2(enosutituyend
0)t(´´q,0)t(q
arminerdetaecoeficientA)t(q
:ogenenahomnopartelaPara
)3).....(t3senCt3cosC(e)t(q
:complejasraícespara
i33m:sonraícescuyas
auxiliar.ec018m6m
0e18me6em
:)2(deogéneahompartelaendosustituyen
em)t´´(q,me)t´(q,e)t(q
:oproponiend
t3
t3
1212
12
21
0
21
0
11
21
0
21
t3
21
t3
21
t3
ph
pp
p
21
t3
h
2
mtmtmt2
mt2mtmt
74
E=50cost
R=4 ohms
L=1 H
C=1/4 F
4) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1 Henry, R=4
ohms, C= 1/4 Faradios, E= 50cos t (Volts). Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
:ogéneahomnopartelaPara
)3.....(teCeC)t(q
:igualesraícespara
2mm:sonraícescuyas
auxiliar.ec04m4m
0e4me4em
:)2(endosustituyen
em)t´´(q,me)t´(q,e)t(q
:oproponiend
)2....(0q4dt
dq4
dt
qd
)1....(tcos50q4i4dt
qd
:Arreglando
0q
41
1i4
dt
qd1tcos50
0qC
1Ri
dt
diLV
0VVVVV
0V
t2
2
t2
1h
21
2
mtmtmt2
mt2mtmt
2
2
2
2
2
2
S
CRLS
75
tcos13
100sent
13
150te
13
800e
13
100
dt
dq)t(i
sent13
100tcos
13
150te
13
400e
13
150)t(q)t(q
finalmente
13
400
13
100
13
1502
13
100C2C
13
100CC20
0cos13
1000sen
13
150eC2eCeC20
13
150C
13
150C0
0sen13
1000cos
13
150e)0(CeC0
:)5(y)4(ainiciales.condaplicando
)5....(tcos13
100sent
13
150teC2eCeC2
dt
dq)t(i
)4....(sent13
100tcos
13
150teCeC)t(q
)t(q)t(q)t(q
:entonces
sent13
100tcos
13
150)t(q
13
100By
13
150A
:sistemaelsolviendoRe
0B3a2
50B2A3
:semejantesosmintérigualando
sent0tcos50sent)A2B3(tcos)B2A3(
tcos50Bsent4tcosA4tcosB2Asent2BsenttcosA
tcos50)BsenttcosA(4)tcosBAsent(2BsenttcosA
:)1(enosutituyend
BsenttcosA)t(´´q
tcosBAsent)t(q
arminerdetaescoeficientByAcon
BsenttcosA)t(q
t2t2
t2t2
1221
0
2
0
2
0
1
11
0
2
0
1
t2
2
t2
2
t2
1
t2
2
t2
1
ph
p
p
p
p
76
3.4. Ejercicios. Encuentre lo que se te pide en los siguientes circuitos RCL en serie.
1) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1 Henry, R=100
Ohms, C= 0.0004 Faradios y E= 30 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 2 Amperes. Evalúe la carga
en el capacitor y la corriente en el circuito a los 0.5 segundos.
2) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1 Henry, R=2
Ohms, C= 0.25 Faradios y E= 50cost Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)=02 Amperes.
3) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/2 Henry, R=20
Ohms, C= 0.001 Faradios y E= 100sen60t+100cos60t Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)=0 Amperes.
4) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/2 Henry, R=10
Ohms, C= 0.01 Faradios y E= 50 Volts. Con q(0)=1 Coulomb e i(0)=0 Amperes.
5) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LC en serie, con L=0.1 Henry, C= 0.1
Faradios, E= 100senβt Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes
77
4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1. INTRODUCCIÓN
La transformada de Laplace L {f(t)} es una integral que ayudará principalmente en la transformación
de una ecuación diferencial de orden n, en una ecuación diferencial lineal, bajo las condiciones y(0),
y´(0), y´´(0),……y(n-1)
(0). Como consecuencia de esta propiedad, la Transformada de Laplace L {f(t)}
resulta muy adecuada en la solución de ciertos problemas físicos de valor inicial. Por ejemplo, en el
análisis de circuitos eléctricos transitorios en serie y en paralelo, que involucran ecuaciones
diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, respectivamente.
4.2. La Definición de la Transformada de Laplace
Definición. Sea f(t) se define para t 0, entonces la integral
0
dt)t(fe)t(f st L
Se denomina Transformada de Laplace de f(t), siempre que la integral sea convergente, y su
resultado es una función de s. En términos generales, se utilizará una letra minúscula para denotar la
función que se transforma, y la correspondiente letra mayúscula para representar su transformada de
Laplace, por ejemplo:
)s(F)t(f L )s(G)t(g L y )s(G)t(g L
La Transformada de Laplace es una transformación lineal, ya que
)s(G)s(F)t(g)t(f)t(g)t(f L L L
78
4.2. Ejemplos. Utilice la definición de la Transformada de Laplace para evaluar L {f(t)} 1)
s
2)s(F
)01(s
10
es
2
0
es
2dte2
dte2dt)t(fe)t(f
2)t(f
st
st
0
st
0
st
0
st L
2)
1
101
1
01
1
7
77
77
7
7
1
0
1
0
00
s
e)s(F
see
se
dteedtee
dteedt)t(fe)t(f
e)t(f
)s(t
)s(ttst
sttst
t
L
3)
2
22
2
s
1)s(F
)01(s
10e
s
10
es
t
0e
s
1
0
es
t
dtes
1
0
es
t
es
1dvvdttdu
dtedvtu
dtetdte)t(f)t(f
t)t(f
stst
stst
0
stst
st
st
0
st
0
st L
79
9
33
93
33
9
013
001
39
1
39
0
33
0
31
33
0
313
0
31
133
3
33
0
31
133
3
3
3
222
2
22
2
22
2
2
0
0
0
0
0
0
00
sss
sdtetsen)s(F
sdtetsen
s
s
)(s
)(s
dtetsens
dtetsens
etcoss
etsens
dtetsens
etcosss
etsens
es
dvvtsendu
dtedvtcosu
dttecoss
etsens
es
dvvtcosdu
dtedvtsenu
dtetsendt)t(fe)t(f
tsen)t(f
st
st
st
st
stst
stst
st
st
st
stst
st
st
stst L
4)
5)
22
22
2
2
s
e
s
1)s(F
s
e
s
e
s
1
s
e
)0e(s
1
)e1(s
1)e0(
s
1
1
es
10
1e
s
10
1
es
t
dtedtetdte)t(f)t(f
1t1
1t0t)t(f
s
sss
s
ss
ststst
1
st
1
0
st
0
st L
80
6)
)s2
2
2
0
st
))s2
2
22
0
st
)s2
2
0
st
2
2
0
stst
st
st
st
stst
st
st
2
0
st
0
st
e1(s1
sdtetcos
e1(s
1(
s1
sdtetcos
e1(s
1dtetcos)
s
11(
dtetcoss
12
0
esents
1
s
1
0
2
es
tcos
es
1dvvtcosdu
dtedvsentu
dtesents
12
0
es
tcos
es
1dvvsentdu
dtedvtcosu
dtetcosdte)t(f)t(f
2t0
2t0tcos)t(f
L
81
4.2. Ejercicios. Utilice la definición de la Transformada de Laplace para evaluar L {f(t)}
1) t4te)t(f
2) t3sen)t(f 2
3) 3t4e3)t(f
4) t4cose)t(f t
5)
4
4
t,0
t0,t2sen)t(f
82
4.3. LA TRASFORMADA DE LAPLACE POR TABLAS
Generalizando, se pueden trabajar las Transformadas de Laplace a partir de tablas como la siguiente
y la del apéndice 5.2, para calcularlas.
f(t) L {f(t)} = F(s)
1 1 / s
tn
n! / (sn+1
)
eat
1 / (s-a)
sen k t k / (s2+k
2)
cos k t s / (s2+k
2)
senh k t k / (s2-k
2)
cosh k t s / (s2-k
2)
4.3. Ejemplos. Utilice las tablas de la
Transformada de Laplace para hallar F(s), dada f(t) 1)
s
3
s
13133)s(F
s
11
:utilizando
3)t(f
L L
L
2)
312
22
1n
2
s
8
s
!24t4t4)s(F
s
!nt
:utilizando
t4)t(f
n
L L
L
3)
s
10
s
6
s
110
s
!16)s(F
110t610t6)s(F
s
!nt
s
11
:utilizando
10t6)t(f
211
1n
n
L L L
Ly L
4)
s
1
s
3
s
6
s
6
s
1
s
!13
s
!23
s
!3)s(F
1t3t3t
1t3t3t)s(F
s
!nt
s
11
1t3t3t)t(f
:utilizando
)1t()t(f
234
111213
23
23
23
3
1n
n
L L L L
L
Ly L
83
5)
9s
3
3s
3t9sen)s(F
ks
kktsen
:utilizando
t3sen)t(f
222
22
L
L
6)
4s
1e)s(F
s
1e
:utilizando
e)t(f
t4
t
t4
L
L
7)
5s
53
5s
53)s(F
t5cos3t5cos3)s(F
ks
sktcos
:utilizando
t5cos3)t(f
222
22
L L
L
8)
5s
53
5s
53)s(F
t5cos3t5cos3)s(F
16s
s
2
1
s
1
2
1t2cos
t4cos2
11
2
1
2
t4cos
2
1
2
t4cos1t2cos
ks
sktcosy
s
11
2
t4cos1t2cos
:utilizando
t2cos)t(f
222
2
2
2
22
2
2
L L
L
L L
L L L L
L
L,
9)
8s
7
)8(s
17
e7e7)s(F
s
1e
:utilizando
e7)t(f
t8t8
t
t8
L L
L
84
10)
8s
1
4s
2
s
1
ee21
ee21)s(F
s
1e
s
11
:utilizando
ee21)e1()t(f
e1()t(f
t8t4
t8t4
t
t8t42t4
2)
t4
L L L
L
Ly L
11)
64s
3
9
1
8s
8
9
1t8senh
9
1)s(F
ks
kktsenh
:utilizando
t8senh9
1)t(f
222
22
L
L
12)
2s
1
2
1
s
1
2
1
e2
11
2
1
2
e
2
1
2
e1tsenhe)s(F
2
e1
2
eeetsenhe)t(f
ks
kktsenhy
2
eesenht
:utilizando
tsenhe)t(f
t2
t2t2t
t2tttt
22
tt
t
L L
L L L L
L
13)
25s
10
1s
2
t5sen2tsen2
t5sen2
1sent
2
14
t2cost3sen4t2cost3sen4)s(F
ks
kktsen
)t)(sent)(sen(2
1tcostsen
:utilizando
t2cost3sen4)t(f
22
22
L L
L
L L
L
y
85
4.3. Ejercicios. Utilice las tablas de la
Transformada de Laplace para hallar F(s), dada f(t)
1) 4t2)t(f
2) 3t6t)t(f2
3) 2)1
t2e(3)t(f
4) t
)2t3()t(f
2
5) t2cost2sen)t(f
6) tcoshe)t(f t
7) t2cos)t(f 2
8) t2costcos)t(f
9) tsen)t(f 3
10) 2
3
t
)2t()t(f
86
4.4. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Anteriormente se transformó una función f(t) en una función F(s) mediante la transformada de
Laplace, simbólicamente esto se representó mediante L {f(t)}= F(s). .Ahora en esta sección se
trabajará con el problema inverso: dada una función F(s) hallar una función f(t) que corresponde a
esta transformada, en otras palabras se dice que f(t) es la Transformada inversa de F(s) y se
escribe de la siguiente manera:
)s(F)t(f 1-L
La Transformada inversa de Laplace es en sí misma una transformación lineal, ya que
)s(G)s(F)s(G)s(F 1-L 1-L 1-L
donde F y G son transformadas de algunas funciones f y g.
En seguida se muestran Transformadas inversas de Laplace de algunas funciones:
L -1 { F(s)} f(t)
1 / s 1
n! / (sn+1) tn, n=1, 2, 3, ……..
1 / (s-a) eat
k / (s2+k2) sen kt
s / (s2+k
2) cos kt
k / (s2-k2) senh kt
s / (s2-k2) cosh kt
87
4.4. Ejemplos. Utilice las tablas de la
Transformada Inversa de Laplace para hallar f(t), dada F(s) 1)
2
12123
n
1n
3
t2
1)t(f
s
!2
!2
1
s
!2
!2
1
s
1
t
s
!n
:utilizando
s
1)s(F
1-1-1-
1-
L L L
L
2)
32
13
1211
n
1n
432
4
23
4
3
t6
1t
2
3t31)t(f
s
!3
!3
1
s
!2
!2
3
s
!1
!1
3
s
1)s(F
t
s
!n
:utilizando
s
1
s
3
s
3
s
1
s
1s3s3s
s
)1s()s(F
1-
1-1-1-
1-
L
L L L
L
3)
4
1411
5252
n
1n
52
t2t)t(f
s
!4
!4
48
s
!1
s
148
s
1
s
48
s
1
t
s
!n
:utilizando
s
48
s
1)s(F
1-1-
1-1-1-
1-
L L
L L L
L
4)
t4
1
41
41
ta
41
e)t(f
s
1
4
1
s
1
4
1
eas
1
:utilizando
s
1
4
1
1s4
1)s(F
1s4
1)s(F
4
1
1-1-
1-
L L
L
88
5)
t7sen7
5)t(f
7s
7
7
5
49s
5
ktsenks
k
:utilizando
49s
5)s(F
222
22
2
1-1-
1-
L L
L
6)
tcos)t(f
s
s
s
s
ktcosks
s
:utilizando
s
s
1s4
s4)s(F
1s4
s4)s(F
21
224
12
22
4122
2
21
1-1-
1-
L L
L
7)
t8senh8
3)t(f
8s
8
8
3
64s
3
ktsenks
k
:utilizando
64s
3)s(F
222
22
2
1-1-
1-
L L
L
8)
t3sen2t3cos2)t(f
3s
3
3
6
3s
s2
9s
16
9s
s2
9s
6
9s
s2
9s
6
9s
s2
9s
6s2
ktsenks
kyktcos
ks
s
:utilizando
9s
6
9s
s2
9s
6s2)s(F
9s
6s2)s(F
2222
22
22
222
2222
222
2
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
L L
L L
L L
L L
L L
9)
t
ta
e)t(f
ss
ssss
eas
ys
:utilizando
ssss)s(F
).apendicever(
:parcialesfraccionescon
ss)s(F
3
3
1
3
1
31
31
31
31
2
31
31
2
2
3
11
33
1
11
1
33
1
15
3
1
1-1-
1-1-
1-1-
L L
L L
L L
89
10)
tt
ta
eetf
ss
ssss
s
eas
utilizando
ssss
ssF
apéndicever
parcialesfraccionescon
ss
s
ss
ssF
dofactorizan
ss
ssF
3
4
3
4
1
1-
43
1-
41
43
41
1-
2
1-
1-
43
41
2
2
)(
3
1 L
1
1 L
31 L
32 L
1 L
:
31)3)(1()(
)1.5(
:
)3)(1(32)(
:
32)(
11)
tsent)t(f
ss
ss)s(s
ktsenks
k,t
s
!n
:utilizando
ss)s(s)s(F
).everapéndic(
:parcialesfraccionescon
)s(s)s(F
n
n
2
2
21
24
1
44
1
15
4
1
81
41
2281
241
22
41
2
41
22
221
2
41
2
41
22
22
1-1-
1-1-
1-1-
L L
L L
L L
90
4.4. Ejercicios. Utilice las tablas de la
Transformada Inversa de Laplace para hallar f(t), dada F(s)
1) 5s
)3s2()s(F
3
2) 2
3s
2)s(F
3) 2s5
1)s(F
4) 16s
s10)s(F
2
5) 81
1)(
2s
ssF
6) 20ss
1)s(F
2
7) )3s)(3s(
3s)s(F
8) )2s)(1s)(1s(s
1s)s(F
2
9) 9s
1)s(F
4
10) )4s)(1s(
3s6)s(F
22
91
4.5. TEOREMAS DE TRASLACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
La definición de la Transformada de Laplace de una función f(t), dada por
0
dt)t(fe)t(f st L
No es conveniente utilizarla siempre, por ejemplo al evaluar ktsenet t2 L con tal definición,
resulta bastante complicada. En adelante se presentan algunos Teoremas que ahorran bastante
trabajo, éstos a su vez, permiten elaborar una tabla más extensa de Transformadas de Laplace sin
necesidad de utilizar la definición de la Transformada Laplaciana.
4.5.1. El Primer Teorema de Traslación
Si se sabe que L {f(t)}= F(s), entonces puede calcularse la Transformada de Laplace )t(feat L
sin más esfuerzo que trasladar o correr F(s) a F(s - a). Este resultado se conoce como el Primer
Teorema de Traslación o primer Teorema de corrimiento.
Definición.
Si a es un número real cualquiera, entonces
)as(F)t(feat L
Donde
F(s) = L {f(t)}
La forma inversa del Primer Teorema de Traslación puede escribirse como
ass
at )s(F)as(F)t(fe 1-L 1-L
92
4.5.1. Ejemplos. Utilice el Primer Teorema de
Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso.
1)
3
6ss
36ss22t6
at
1n
2t6
)6s(
2)s(F
s
!2tte
)as(F)t(feys
!nt
:utilizando
te)t(f
n
L L
L L
2)
t3
4
1t
4
1
41
41
41
41
2
t22
3
123
at
ass
n
1n
33
3
ee)t(f
3s
1
1s
1
3s1s3s2s
s
et2
1
)2s(
1
s
!2
!2
1
)2s(
1
)t(fe)s(F
t
s
!n
:utilizando
s
1
)2s(
1
)2s(
1)s(F
2ss
2ss
1-1-
1-1-
1-
1-1-
1-
1-
1-1-
L L
L L
L
L L
L
L
L L
3)
2
210sst10
at
1n
t10
)10s(
1)s(F
s
!1tet
)as(F)t(feys
!nt
:utilizando
et)t(f
10ss
n
L L
L L
4)
tt
1ss1ss
ete)1s(
s
)t(fe)s(F
yt
s
!nt
s
1
:utilizando
s
1
s
1
)1s(
1
)1s(
1s
)1s(
11s
)1s(
s
)1s(
s)s(F
2
at
ass
n
1n
2
22
22
2
1-
1-
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
Lf(t)
L
L, L
L L
L L
L L
93
5)
)sentt(cose)t(f
tsene2tcose5s4s
s
)t(fe)s(F
yktsenks
k,ktcos
ks
s
:utilizando
1s
12
1s
s
12)2s(1)2s(
2s
12)2s(1)2s(
2s
1)2s(
22s
1)2s(
s
5s4s
s
1)2s(
s
1)4s4s(
s
5s4s
s
:cuadradotrinomio.complet
5s4s
s)s(F
t2
t2t2
2
at
ass
2222
22
2
22
22
222
2
2ss2ss
1-
1-
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
Lf(t)
L
L L
L L
2 L L
2- L L
L L
6)
4)1s(
1s
2
1
1s
1
2
1)s(F
4s
s
2
1
1s
1
2
1
t2cose2
1e
2
1
t2cose2
1e
2
1
2
t2cos1etsene
)as(F)t(fe
ks
sktcos
2
t2cos1tsen
:utilizando
tsene)t(f
2
tt
tt
t2t
at
22
2
2t
1ss2
L L
L
L L
L
L
7)
tsene10s6s
1
)t(fe)s(F
yktsenks
k
:utilizando
1s
1
10s6s
1
1)3s(
1
910)9s6s(
1
10s6s
1
:cuadradotrinomio.complet
10s6s
1)s(F
t3
2
at
ass
22
22
222
2
3ss
1-
1-
1-
1-1-
L
L
L
L L
94
8)
2
1
32
23223
32332
23232
233
32332
32
2
11
1
1
1
111
1
3
1
2
1
131
1
2
1
2
1
22
1
1
1
2
1
12
1
3
1
2
1
131
1
1
1
2
1
2
1
22
1
2
1
1
1
2
1
12
15
1
12
teet)t(f
)t(fe)s(F
yts
!n
utilizando
)s(sss)t(f
s)s()s(ss)s()s()s(s
)s(s)s(s)s(s
s
s)s()s(ss)s(s
)s()s()s(s)s(s
)s(s)s(s)s(s
s
.).apéndicever(
:parcialesfraccionesutilizando
)s(s
s)s(F
tt
at
ass
n
n
1-
1-
1-
1-1-
1-1-
L
L
L
L L
L L
95
4.5.1. Ejercicios. Utilice el Primer Teorema de
Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso
1) 2)4s(
2)s(F
2) t74et)t(f
3) 5s2s
1)s(F
2
4) t3coshe)t(f t
5) 34s6s
5s2)s(F
2
6) t3cose)t(f 2t
7) 4)2s(
1s)s(F
8) 2t2t )ee(t)t(f
9) 4)1s(
1)s(F
10) t512et)t(f
96
4.5.2. EL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN
En el primer teorema de traslación se vio que un múltiplo exponencial de f(t) resulta una traslación o
corrimiento de la Transformada F(s) sobre el eje s. En el siguiente teorema se verá que siempre que
F(s) se multiplique por una función exponencial apropiada inversa de este producto, se tendrá
también una función corrida, definida mediante el Segundo Teorema de Traslación o segundo
Teorema de corrimiento
Definición.
Si a es un número real positivo, entonces
)()()( sFeatuatf sa L
Donde
F(s) = L {f(t)}
Y la función escalón unitario U(t - a) se define mediante:
at,1
at0,0)at(u
Observe que la función U(t - a) quedará definida sólo en el eje t no negativo, ya que eso basta para
estudiar la Transformada de Laplace
La forma inversa del Segundo Teorema de Traslación puede escribirse como
)()()( sFeatuatf sa 1-L
97
4.5.1. Ejemplos. Utilice el Segundo Teorema
de Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso
1)
s
2
s
2
s
1n
sa
es
1sF
es
1et1t1t
s
nt
ysFeatuatf
utilizando
1t1ttf
n
)(
)U()(
!
)()()(
:
)U()()(
L L
L
L
2)
s2
2
s2s2
2
s2s2
1n
sa
es
2
s
1sF
es
2e
s
1e12et
2t2
2t2t2t22t2t
s
nt
ysFeatuatf
utilizando
2t22t2ttf
2t22ttf
2tttf
n
)()(
)U(
)U()()U()U()(
!
)()()(
:
)U()U()()(
)U()()(
)U()(
L L
L
L L
L
L
3)
)()()(
)()(
)(!!
!
)()()(
!
:
)(
2tu2t2
1tf
2tu2t2
1
s
e
2tus
2
2
1e
s
2
2
1
s
e
atuatfsFe
yt
s
n
utilizando
s
esF
2
2
12
s2
12
s2
123
s2
sa
n
1n
3
s2
1-
1-1-1-
1-
L
L L L
1-L
L
4)
)()(
)(
)()()(
:
)(
tutsen1s
e
tu1s
1
1s
e
atuatfsFe
yktsen
ks
k
utilizando
1s
esF
2
s
222
s
sa
22
2
s
1-
1-1-
1-
L
L L
1-L
L
98
5)
s
s
s
et2sF
e2t2
et21tt2
ks
skt
ysFeatuatf
utilizando
tt2tf
22
sa
cos)(
)cos(
)(cos)U(cos
cos
)()()(
:
)U(cos)(
L
L
L
6)
))(()(
)()()(
)()(
tan
)(
)()()(
!
)()()(
:
)()(
ts
ts
s
s
1n
sa
s
e11tu1ss
e
1tue1tu1ss
e
1tu1s
1
s
1
1ss
e
tolopor
1s
1
s
1
1ss
1
parcialesfraccionescon
1tu1ss
1
1ss
e
s
nt
ysFeatuatf
utilizando
1ss
esF
n
1-
1-
1-
1-1-
L
L
L
L L
L
L
4.5.1. Ejercicios. Utilice el Segundo Teorema
de Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso
1) 2s
esF
s2
)(
2) )()( 2tuetf t2
3) )(
)(1ss
esF
2
s2
4) )()(2
tusenttf
5) 4s
essF
2
2s
)(
6) t3cose)t(f 2t
99
4.6. LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Si F(s) = L {f(t)} y si se supone que es posible intercambiar el orden de derivación e integración,
entonces
)(
)(
)(
)(
)()(
sFds
dt
tsFds
d
dttfte
dttfes
dttfeds
dsF
ds
d
0
st
0
st
0
st
- }f(t){ L
}f(t){ L
En forma similar
)(sFds
dt
2
22 - }f(t){ L
En general, para n=1,2,3,……
)(sFds
dt
n
nn n(-1) }f(t){ L
Donde
F(s) = L {f(t)}
100
4.6. Ejemplos. Utilice la derivada de una Transformada Laplace para calcular F(s), dada una función f(t). 1)
2
t5t5
at
n
nn
t5
5s
1
5s
1
ds
de
ds
det
as
1e
ysFds
dt
utilizando
ettf
}{ L }{ L
L
(-1) }f(t){ L n )(
:
)(
2)
22
at
n
nn
9s
s6
9s
s23
9s
3
ds
dt3sen
ds
dt3sent
as
1e
ysFds
dt
utilizando
t3senttf
22
2
)(
)(
:
)(
}{ L }{ L
L
(-1) }f(t){ L n
3)
222
222122
22
22
n
nn
1s
s2sF
1ss21sds
d
1s
1
ds
dhtsen
ds
dhtsent
ks
kktsenh
ysFds
dt
utilizando
htsenttf
)()(
)()(
)(
:
)(
}{ L }{ L
L
(-1) }f(t){ L n
4)
22
2
22
2
22
2
2
22
n
nn
9s
9ssF
9s
9s
9s
s2s9s1
9s
s
ds
dt3
ds
dt3t
ks
skt
ysFds
dt
utilizando
t3ttf
)()(
)()(
)()(
coshcosh
cosh
)(
:
cosh)(
}{ L }{ L
L
(-1) }f(t){ L n
101
4.6. Ejercicios. Utilice la Derivada de una Transformada Laplace para calcular F(s), dada una función f(t).
1) t72ettf )(
2) t6ttf cos)(
3) t2senttf 2)(
4) t52ettf )(
5) t3ttf 23 cos)(
102
4.7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA
Ahora se utilizará la Transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Para lo cuál será necesario evaluar expresiones tales como
)()()´(
)()(
)(
)`()´(
0fssFtf
tfs0f
dttfese
dttfetf
0
st
0
0
st
st
L
L
L
De forma similar
)´()()()´´(
)´()()()´´(
)´()´(
)´()´(
)´´()´´(
0f0sfsFstf
0f0fssFstf
tfs0f
dttfestfe
dttfet
2
stst
st
0
0
0
L
L
L
L
Para la n-ésima derivada de f(t), se tiene:
)(......)()()()( )()()()( 0f0fs0fssFstf 1n2n1nnn L
Donde
F(s) = L {f(t)}
103
4.7. Ejemplos. Utilice la Derivada de una
Transformada Laplace para resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 1)
te)t(y
finalmente
ss)s(F)t(y
ss)s(s
ss)s(s
.).apéndicever(
:parcialesfraccionescon
)s(s)s(Y
s)s(Y)s(
s)s(Y)s(sY
s)s(Y)(y)s(sY
)(enosutituyend
s
y)s(Yy
)(y)s(sY)t´(y
utilizando
)......(..........yy
yy
)(y,yy
1
1
11
1
11
1
1
1
11
1
1
15
1
1
11
10
10
1
11
0
11
1
001
L LL
L L
L
L
L
L L L
L L
1-1-1-
1-1-
2)
tt
at
t
t
t
t
ete)t(y
finalmente
et)as(
con
)s(s)s(F)t(y
)s()s()s(s
)s()s()s(
s
.).apéndicever(
:parcialesfraccionescon
)s(
s)s(Y
)s(
s
)s(
s)s(Y)s(
s)s(Y)s(
s)s(Y)s(sY
s)s(Y)(y)s(sY
)(enosutituyend
se
y)s(Yy
)(y)s(sY)t´(y
utilizando
)......(..........eyy
eyy
)(y,eyy
44
2
2
2
22
2
4
4
4
4
172
1
4
117
4
12
4
17
4
2
1
1
4
17
4
2
4
92
15
4
92
4
92
4
8214
24
14
4
124
4
140
1
4
1
0
14
4
204
L
L LL
L L
L
L
L
L L L
L L
1-
1-1-1-
1-1-
104
3)
tt eett)t(y
finalmente
s)s(ss)s(F)t(y
s)s(sss)s)(s(
s
s)s(sss)s)(s(
s
).apéndicever(
:parcialesfraccionescon
s)s)(s(
s
s)ss(
s)s(Y
s
s
s)ss)(s(Y
s)s(Y)s(sY)s(Ys
s)s(Y))(y)s(sY()´(y)(sy)s(Ys
)(enosutituyend
st
y)s(Yy
)(y)s(sY)t´(y
)´(y(sy)s(Ys)t´´(y
utilizando
)......(..........tyy´´´y
tyy´´y
)´(y,)(y,tyy´´y
33
22
222
2
222
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
10
9
10
27
2
9
1
3
1
27
2
3
1
9
11
27
21
9
1
3
1
27
2
3
1
9
11
27
21
9
1
33
1
3
1
27
2
3
1
9
11
27
21
9
1
33
1
15
33
1
96
1
11
196
1961
190600
1
1
0
00
196
96
100096
L L L LL
L L
L
L
L
L
L L L L
L L
1-1-1-1-1-
1-1-
105
4)
)cos(cos)(
)()(
cos)(
cos
)()(
)()()(
)()(
))((
)()(
)()´()()(
)(
)()(
)´(()()´´(
)......(..........´´
´´
)´(,)(,´´
ttsent2
1tty
finalmente
1s
2
2
1
1s
sty
ktktsenktks
k2ykt
ks
s
utilizando
1s
1
1s
sty
1s
1
1s
ssFty
1s
1
1s
ssY
1s
1s1ssY
1s
1sYssYs
1s
1sY0y0sysYs
1enosutituyend
ks
kktsen
ysYty
0y0sysYsty
utilizando
1sentyy
sentyy
00y10ysentyy
222
222
3
22
222
222
222
2
2
2
2
2
2
22
2
L L
L L
L L
LL
L
L
L
L L L
L L
1-1-
1-1-
1-1-
1-1-
5)
t25
156
64242
4
2
4
2
4
2
1n
atn
2
t23
t23
t23
et15
2ty
finalmente
2s
5
5
6
2s
16sFty
2s
6
3s2s
6
2s4s4s
6sY
2s
64s4ssY
2s
6sY4ssY4sYs
2s
6sY40yssY40y0sysYs
1enosutituyend
as
net
ysYy
0yssYty
0y0sysYsty
utilizando
1ety4y4y
ety4y4y
00y00yety4y4y
)(
)(
!
!)()()(
)()()())(()(
)())((
)()()()(
)()())()(()´()()(
)(
)(
!
)(
)()()´(
)´(()()´´(
)......(..........´´´
´´´
)´(,)(,´´´
L LL
L
L
L
L
L L L L
L L
1-1-1-
106
6)
sentetcosee)t(y
finalmente
)s()s(
s
ss)t(y
)s()s(
s
ss)t(y
ssss
s
ss)s(F)t(y
ss
s
ss)ss)(s(s
s
ss
s
ss)ss)(s(s
s
).apéndicever(
:parcialesfraccionescon
)ss)(s(s
s)s(Y
)ss)(ss(
s
))s)((ss(
s)s(Y
)s(
s)ss)(s(Y
)s(
s)s(sY)s(Ys
)s(
s))(y)s(sY()´(y)(sy)s(Ys
)(enosutituyend
k)as(
asktcose
y)(y)s(sY)t´(y
)´(y(sy)s(Ys)t´´(y
utilizando
)......(..........tcosey´´y
tcosey´´y
)´(y,)(y,tcosey´´y
ttt
at
t
t
t
2
3
2
74
2
1
11
1
2
3
11
1
2
7
1
14
1
2
1
11
15
11
11
2
7
1
14
1
2
1
22
15
222
7
1
14
1
2
1
22
5
1
14
1
2
1
221
1
22
5
1
14
1
2
1
221
1
15
221
1
22
1
11
1
11
1
11
1
11
1000
1
0
00
1
0000
22
22
22
2
2
7
2
2
2
7
2
2
2222
2
2
2
2
2
2
22
2
L L L L
L L L L
L L L LL
L L
L
L
L
L L L
L L
1-1-1-1-
1-1-1-1-
1-1-1-1-1-
1-1-
107
7)
)cos(cos)(
)()(
cos)(
cos
)()(
)()()(
)()(
))((
)()(
)()´()()(
)(
)()(
)´(()()´´(
)......(..........´´
´´
)´(,)(,´´
ttsent2
1tty
finalmente
1s
2
2
1
1s
sty
ktktsenktks
k2
yktks
s
utilizando
1s
1
1s
sty
1s
1
1s
ssFty
1s
1
1s
ssY
1s
1s1ssY
1s
1sYssYs
1s
1sY0y0sysYs
1enosutituyend
ks
kktsen
ysYty
0y0sysYsty
utilizando
1sentyy
sentyy
00y10ysentyy
222
222
3
22
222
222
222
2
2
2
2
2
2
22
2
L L
L
L
L L
LL
L
L
L
L L L
L L
1-1-
1-
1-
1-1-
1-1-
4.7. Ejercicios. Utilice la Derivada de una
Transformada Laplace para resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
1) 10yty2y )(,´
2) 00ytsenyy )(,´
3)
30y00y0y13y6y )´(,)(,´´´
4) 00y10y0y4y4y )´(,)(,´´´
5) 00y00ytsenhey2y t )´(,)(,´´´
6)
00y10yey2y3y3y2 t )´(,)(,´´´´´´
7)
00y00y00y10ytyy 4 )´´´(,)´´(,)´(,)(,)(
108
4.8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA INTEGRAL. EL TEOREMA DE
CONVOLUCIÓN
Definición. Sean f(t) y g(t) dos funciones continuas tramo a tramo en [0,∞) y de orden exponencial,
entonces:
dttgedftgtf
bieno
sGsFtgtf
0
st )()()(*)(
)()()(*)(
L
g(t) Lf(t) L L
Expresión conocida como el Teorema de Convolución.
Cuando g(t)=1 y G(s)=1/s, el Teorema de la Convolución implica la Transformada de Laplace de una
integral de una función f(t). Para lo cuál se tiene:
s
sFdf
t
0
)()( L
El Teorema de Convolución también es útil para encontrar la Transformada inversa de Laplace de
un producto de dos Transformadas. Para lo cual se tiene:
)(*)()()( tgtfsGsF-1 L
109
4.8. Ejemplos. Utilice la Transformada de
Laplace de una Integral o el teorema de la Convolución para resolver los siguientes problemas, según sea el caso 1)
2)
1s
1
s
1
s
1de
e1tde
e1tde
etde
evddu
dedvu
deede
partesporegrando
de
2
t
tt
tt
tt
t
t
ttt
t
t
0
t
0
t
0
t0
t
0
t
0
t
0
t
0
t
0
L
L- L L L
L L
L L
L L
L
int
3)
5
3
5
44
3
433
33
3
s
6t1
s
4
4
1t
4
1
4
tt1
4
uduut1
dudddu
tu
iabledecambiocon
dt1t1
t1
t
0
t
0
t
0
t
0
L
L L L
L L L
L L
L
!)(
var
)(
1s
1tsend
0tsensend
d
2
t
0
t
0
t
0
t
0
t
0
L L
L L L
L
cos
cos
cos
110
4)
1s
1
5
2
1s
s
5
1
2s
1
5
1dtsenesente
finalmente
tsen5
2t
5
1e
5
1dtsene
tsen2tedtsene5
tsene2tedtsene41
osterultimoyprimeragrupando
dtsene4tsene2tedtsene
tsenvde2du
dtdveu
partesporegrando
dte2tesente
tvde2du
dtsendveu
partesporegrando
dtsenesente
sente
22
2t2
t22
t22
2t22
22t22
2
2
2t2t2
2
2
2t2
t2
t
0
t
0
t
0
t0
t0
t
0
t
0
t0
t0
t
0
t
0
t0
t
0
)(
cos)(
cos)(
)()cos()()(
min
)()()cos()(
)(
)cos(
int
)cos()cos(
)cos(
)(
int
)(
L L
L L L L
L L
L L
L L
L L
L L
L
111
5)
t3t
t3
t3
3
3
2
t2
t
t2
ee3
1
1s2s
1
e1e3
1
1s2s
1
1ee3
1
1s2s
1
ee3
1
1s2s
1
dee1s2s
1
deee1s2s
1
dee1s2s
1
dtgf1s2s
1
tolopor
e1s
1
ye2s
1
donde
1s2s
1
t
t
t0
t
t
0
t
t
0
t
t
0
t
0
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
Lf(t)
L
L
L
L
L
L
L
Lg(t)
Lf(t)
L
)()(
:tan
6)
t11ss
1
t01ss
1
t1ss
1
dtsen11ss
1
dtgf1ss
1
tolopor
tsen1s
1
y1s
1
donde
1ss
1
2
2
2
2
2
2
2
t0
t
0
t
0
cos
)cos(cos
)cos(
)(
)()(
:tan
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
Lf(t)
L
L
L
L
Lg(t)
Lf(t)
L
112
7)
t4t
t4
t0
t4
t
0
t4
t
0
t
0
t
0
e3
1e
3
1
4s5s
1
1ee3
1
4s5s
1
ee3
1
4s5s
1
dee4s5s
1
deee4s5s
1
dee4s5s
1
dtgf4s5s
1
tolopor
e4s
1
ye1s
1
donde
4s1s
1
4s5s
1
4s5s
1
2
t3
2
3
2
3
2
4t4
2
t4
2
2
t4
t
2
2
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-1-
1-
Lf(t)
L
L
L
L
L
L
Lg(t)
Lf(t)
L L
L
)(
)()(
:tan
4.8. Ejercicios. Utilice la Transformada de
Laplace de una Integral o el teorema de la Convolución para resolver los siguientes problemas, según sea el caso
1)
t
0
dtsen )cos( L
2)
t
0
d2 cos L
3)
t
0
det 2 L
4) sentt2 L
5) te t2 cos L
6) tee tt cos L
7) 8s4s
1 L 1-
8) 21s
1 L 1-
9) 7s8s
12
L 1-
113
4.9. APLICACIONES
4.9.1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Cuando se especifican condiciones iniciales, la Transformada de Laplace reduce un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma:
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda
n,n,nn
n
n
n,nn
n
n
n,n
n,n,nn
n
n
n,,nn
n
n
n,n
10011
111
1
1
111
001
11
1
1
1
.
.
.
.
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda ,,n
n
n
n,,n
n
n
n, 00001
101
1
1
100
Sujetas bajo las condiciones iniciales o de frontera siguientes:
0010
2
10
1 y)x(y,.........y)x(y,y)x(y ón
n
nn
n
n
A un sistema de ecuaciones lineales bajo las funciones trasformadas bajo la variable s. Las cuales
se resolverán por los métodos adecuados (igualación, sustitución, suma y resta, Gauss, Cramer,
etc). Finalmente se aplicará la trasformada inversa para encontrar la solución al sistema de
ecuaciones diferenciales lineales.
114
4.9.1. Ejemplos. Utilice el método de la
Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1)
tt eetx
sL
sLsXL
ssLsXL
parcialesfraccionescon
sssssX
ss
sssX
ssssX
s
sXsYssX
yigualando
s
sXsY
sXssY
sXyssY
xLdt
dy
sYssX
sYsXssX
sYsXxssX
yLxLyxLdt
dx
xdt
dy
yxyxdt
dx
2
11
31
31
1
2
2
31
31)(
2
1
31
1
1
31)(
21)(
:
)3.....()1)(2(
1
2
1)(
12)(
121)(
1)(2)(1)(
:)2()1(
)2.....(1)(2
)(
)(21)(
)(2)0()(
2 L
)1).....((1)(
)()(0)(
)()()0()(
L
2
1)0(,0)0(,
1
1
tt
tt
eety
eety
sL
sL
sL
sL
sLty
sL
ssL
ssLsYLty
parcialesfraccionescon
sL
ssL
ssLsYLty
ssssssssssY
endosustituyen
2
2
11
111
1
21
21
11
1
11
31
31
31
32)(
13
13
13
23
2)(
1
2
1
31
1
31
1
1
321
32)(
1
232
1
11
32)()(
:
1
)2(
1
32
)1(
1
32)()(
1
)2(
1
32
)1(
1
321
21
2)(
:)2()3(
1
1
115
2)
)t6cosht6(cosh2
1)t(x
6s
6
62
1 L
2
1
6s
s L
2
1)t(x
6s
6
62
1
6s
s
2
1 L)s(X L)t(x
6s
6
62
1
6s
s
2
1
6s
1s
2
1
s6
1s
2
1)s(X
2
1
1s
s6)s(X
1s
5s1)s(X
2
1
1s
5)s1)(s1()s(X
2
1
1s
5s1)s(X
1s
)s(X5)s(Y)s1)(s(X
2
1
:)2(y)1(igualando
)2....(1s
)s(X5)s(Y
)s(X5)s(Y)1s(
)s(Y)s(X5)s(sY
)s(Y)s(X5)0(y)s(sY
yLxL5yx5Ldt
dy L
)1)....(s1)(s(X2
1
2
)1s)(s(X1)s(Y
)1s)(s(X1)s(Y2
)s(Y211s)s(X
)s(Y2)s(X)1()s(sX
)s(Y2)s(X)0(x)s(sX
yL2xLy2xLdt
dx L
yx5dt
dy
0)0(y,1)0(x,y2xdt
dx
2
1-
2
1-
22
1-1-
2222
22
tttt
11
11
111
2
1
2
11
22
e3
1e3
21e3
13
1e3
23
2)t(y
2s
1L
31
s
1L
31
1s
1L
32
s
1L
32
2s
21
s
21
L3
21s
1
s
1L
32)s(YL
:parcialesfraccionescon
)6s)(1s(
6L
62
5
)6s)(1s(
sL
2
5)s(YL
6s
6
62
1
6s
s
2
1
1s
5
1s
)s(X5)s(Y
:)2(en)3(dosustituyen
116
3)
s1
1
s
1 L
2
3)t(y
s1
1
s
1
)s1(s
1
:parcialesfraccionescon
)s1(s
1
2
3 L)s(Y L)t(y
)3....()s1(s
1
2
3)s(Y
s
3s22)s(Y
___________________
s
4)s(sY2)s(sX2
s
1)s(Y2)s(sX2
)2por)2(ndomultiplicaepreviament(
:)1(de)2(dotanres
)2....(s
2)s(sY)s(sX
s
2)0(y)s(sY)0(x)s(sX
1 L2dt
dyL
dt
dx L
2 Ldt
dy
dt
dx L
)1....(s
1)s(Y2)s(sX2
s
1)s(Y2)0(x2)s(sX2
1 Ly L2dt
dx L2y2
dt
dx2 L
2dt
dy
dt
dx
0)0(y,0)0(x,1y2dt
dx2
1-
1-1-
t
1-1-
2
1-
2
1-
1-
2
22
22
22
22
t
1-1-
1-
e2
3
2
3t2)t(x
s1
1 L
2
3
s
1 L
2
3
s
1 L2)t(x
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
12 L)t(x
X(s) L)t(x
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
12)s(X
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s1
1
s
1
s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s1
1
s
1
s
1
)s1(s
1
:parcialesfraccionescon
)s1(s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s
1
)s1(s
1
2
32)s(sX2
:)1(en)3(dosustituyen
e2
3
2
3)t(y
s1
1 L
2
3
s
1 L
2
3
s1
1
s
1 L
2
3)t(y
117
4)
34
13
1
14
1
4
1
5
1
45
11
45232
23
2
2
22
3
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
22
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t3
1t
24
1)t(y
s
!3L
!3
2
s
!4L
!4
1
s
2L
s
1L)t(y
s
2
s
1L)s(YL)t(y
)3....(s
2
s
1
s
4
s
2
s2
1)s(Y
s
4
s
2)s(Ys2
___________________
s
4)s(Yss8)s(Xs
s
2)s(Yss8)s(Xs
:)1(a)2(dotanres
)2....(s
4)s(Yss8)s(Xs
s
4))0´(y)0(sy)s(Ys
()0´(x)0(sx)s(Xs
t L4dt
ydL
dt
xd L
t4 Ldt
yd
dt
xd L
)1....(s
2)s(Yss8)s(Xs
s
2)0´(y)0(sy)s(Ys
)0´(x)0(sx)s(Xs
t Ldt
yd L
dt
xd L
t Ldt
yd
dt
xd L
0)0´(y,0)0(y,t4dt
yd
dt
xd
0)0´(x,8)0(x,tdt
xd
dt
xd
43
14
11
13
1
5
11
4
1
54
1
54
322
232
2
245
22
t24
18t
3
1)t(x
s
!4L
!4
1
s
1L8
s
!3L
!3
2)t(x
s
1L
s
8L
s
2L)t(x
s
1
s
8
s
6L)t(x
s
1
s
8
s
2)s(X
s
1s8
s
2
s
1)s(X
s
4
s
1
s
2s8)s(Xs
s
4
s
2
s
1ss8)s(Xs
:)2(en)3(dosustituyen
118
5)
tt
1
2
11
2
11
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
2
2
t
2
2
2
2
2
2
2
2
t
2
2
2
2
e3
1te
3
1
3
1)t(y
1s
1L
3
1
1s
1L
3
1
s
1L
3
1)t(y
1s3
1
1s3
1
s3
1L)s(YL)t(y
)3....(1s3
1
1s3
1
s3
1
1ss3
1)s(Y
:parcialesfraccionescon
1ss3
1)s(Y
1s
1)s(sY3
_____________________________
1s
1)s(Y32)s(Xs
0)s(Y)1s(32)s(Xs
:)1(a)2(dotanres
)2....(1s
1)s(Y32)s(Xs
1s
1)s(Y3)0´(x)0(sx)s(Xs
te LyL3dt
xd L
te Ly3dt
xd L
)1....(0)s(Y)1s(32)s(Xs
0)s(Y3)0(y3)s(sY3)0´(x)0(sx)s(Xs
0 Ly L3dt
dy L3
dt
xd L
0 Ly3dt
dy3
dt
xd L
0)0´(y,0)0(y,tey3dt
xd
2)0´(x,0)0(x,0y3dt
dy3
dt
xd
t2
1
3
1
2
11
32
1
1
32
232
22
232
2
22
2
22
2
et2
1t1)t(x
1s
1L
s
!2L
!2
1
s
!1L
!1
1
s
1L)t(x
1s
1
s
1
s
1
s
1L)t(x
)s(XL)t(x
1s
1
s
1
s
1
s
1)s(X
1s
1
s
1
s
1
s
1
s
2)s(X
1s
1
s
1
s
1
)1s(s
1
:pàrcialesfraccionescon
)1s(s
1
s
1
s
2)s(X
1s
1
s
12)s(Xs
1s
1
1s
1
)1s(
1
s
12)s(Xs
1s
1
1s3
1
1s3
1
s3
132)s(Xs
:)2(en)3(dosustituyen
119
4.9.1 Ejercicios. Utilice el método de la
Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1)
tx8dt
dy
1)0(y,1)0(x,ey2dt
dx t
2)
teydt
dyx
dt
dx
0)0(y,0)0(x,1dt
dyx3
dt
dx
3)
2y3x3dt
dy
dt
dx
0)0(y,0)0(x,1x2dt
dy
dt
dx
4)
5)0´(y,0)0´(x,0dt
dx4
dt
dy
dt
yd
1)0(y,1)0(x,0dt
dy
dt
dx
dt
xd
2
2
2
2
5)
0)0´(y,0)0´(x,0dt
xd2x2
dt
dx
0)0(y,0)0(x,tsen6dt
ydx4
dt
dx
2
2
2
2
===-+
===+-
120
E
R
L
C
4.9.2. CIRCUITOS RCL EN PARALELO
Un sistema físico se puede describir por medio de una sola ecuación diferencial, por ejemplo el
movimiento de un sistema masa-resorte o la respuesta de un circuito en serie. Sin embargo si se
sujetan dos (o mas resortes juntos o si se forma un circuito en paralelo o con mas de una malla,
como el de la figura, se necesitará un sistema de dos o mas ecuaciones diferenciales
simultáneas para describir la respuesta del circuito.
Es importante recordar que se deben cumplir los principios de conservación de la energía, expresadas
mediante los teoremas de Nodos y Mallas de las Leyes de Kirchhoff:
Para cualquier nodo del circuito:
0si
Para cualquier malla del circuito:
0sV
121
E=120 V
L=1 H
C=0.2 F
R1=10 Ώ
i1
i2
i3
A
I II
R2=5 Ώ
4.9.2. Ejemplos Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos en paralelo
1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 0000 321
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
)....(iii
is
1
0
321
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
)....(idt
di
:ordenando
dt
dii
dt
diLEiR
V
212010
012010
0
0
21
12
121
122
Malla II:
055155
05501505
0515
055155
7120
10
0000
120100
112010
12010
62
6055155
0555510
05510
45
5
1
401055
01055
301055
01
0
2121
212211
2121
2121
21
3211
211
21
21
2121
21212
21212
213
23
3
233
233
21332
)s(I)s(I)s(sI)s(sI
)s(I)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI
iidt
di
dt
di
iidt
di
dt
di
)....(s
)s(I)s(sI
:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde
s)s(I)(i)s(sI
idt
di
idt
di
:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando
)....(iidt
di
dt
di
iidt
di
dt
di
dt
di
)ii(iidt
d
dt
di
:)(en)(dosustituyen
)....(iii
:)(ecuacionlade
)....(dt
dii
dt
di
dt
didt)t(ii
dt
d
:derivando
)....(idt)t(ii
iRdt)t(iC
iR
V
L 5L L L 5L-
L L
L L L
L L
123
:)(en)(dosustituyen
)....(et)s(i
sss
)s(i
sss
)s(I)s(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
sss
ss
s)s(I
:parcialesfraccionesaplicando
)....(
ss
s)s(I
)s(s
s)s(I
ss
s
ss
s)s(I
s
s)s(Is
s
s)s(Is
s
s)s(I)s()s(
)s(I)s()s(I)s(s
s
)s(I)s(s
)s(I
s)s(
s
)s(I
s)s(I
:)(endosustituyeny)s(Idespejando
)....()s(I)s()s(I)s(
t
710
11121
26
11
13
121
26
13
11
1
121
261
11
131
121
26
13
11
1
121
261
11
131
121
26
10
10
13
11
1
121
261
11
131
121
26
13
11
1
13
120
9
13
11
1
13
120
1113
1120
1113
11120
1113
11
5
600
160011135
16005565
1600135150
01351501
600
013510120
15
10120
8
8013515
13
11
2
22
222
22
2
2
2
22
222
22
22
22
222
22
21
1
21
L L L
L L
1-1-1-
1-1-
124 213
13
11
2
1
321
3211
321
321
321
321
21
21
51511
151331
3380
1331
3380
22
130
121
14780
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
10
14
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
13
11
1
11
131
11
13
121
2601
11
1301
121
14780
13
11
1
11
131
11
13
121
2601
11
1301
121
14780
1213
13
13
11
1
11
131
11
13
13
11
1
12
12
13
11
1
121
2601
11
1301
121
14780
13
11
1
121
2601
11
1301
121
260120
120
13
11
1
121
261
11
131
121
2610
iii
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(ett)t(i
ssss
)t(i
ssss
)s(I)t(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
ssss
)s(I
ssss
)s(I
ssss
)s(I
:)(en)(dosustituyen
)...(
ss
ss
:)(deominterultimoalparcialesfraccionesaplicando
)....(
ssss
)s(I
ssss
)s(sI
ss
ss)s(sI
t
L L L L
L L
1-1-1-1-
1-1-
125
E=10 V
R1=1 Ώ
C=0.2 F
L=2 H
i1
i2
i3
A
I II
R2=2 Ώ
)....(ett)t(i
etett)t(i
t
tt
161331
3094
22
130121
1331
3094
121
26
11
13
121
26
1331
3380
1331
3380
22
130
121
14780
13
11
2
3
13
11
13
11
2
3
2) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 1000 321
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
)....(iii
is
1
0
321
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
)....(idt
di
:ordenando
idt
di
iRdt
diL
V
202
02
0
0
12
12
112
126
Malla II:
02212
002202
02
022
6352
01522
1000
005022
05
052
53
5022
02
24
4
1
3052
1052
52
01
0
131
13311
131
131
13
133
321
11333
13
3
13
3
131
131
312
13
3
331
331
11332
)s(I)s(sI)s(sI
)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI
idt
di
dt
di
idt
di
dt
di
)....()s(sI)s(I)s(
)s(sI)s(I)s(sI
:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde
)(i)s(sI)s(I)(i)s(sI
dt
dii
dt
di
dt
dii
dt
di
:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando
)....(idt
di
dt
di
i)ii(dt
d
:)(en)(dosustituyen
)....(iii
:)(ecuacionlade
)....(dt
dii
dt
di
dt
ddt)t(iii
dt
d
:derivando
Edt)t(iii
iREdt)t(iC
iR
V
L L L 2L
L L
L L L 2L
L L
127
)....(
s)s(
s
s)s(
s
sss
s
s
s)s(I
:)(en)(dosustituyen
)....(ee)s(I)t(i
)....(
ssss
)s(I)t(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
ssss
s)s(I
parcialesfraccionesaplicando
)....(
ss
s
ss
s
ss
)s(s
)s(s
s)s(I
ss
)s(s
ss)s(I
:)s(Idespejando
)s(s
ss)s(I
ss
s
s
s
s)s(I
ss
s)s(I
s
)s(
s
)s(sI
s
s
)s(I)s(
s
)s(sI
:)(y)(igualando
)....(s
)s(I)s()s(I
:)(de)s(Idespejando
)....(s
)s(sI)s(I
:)(de)s(Idespejando
)....()s(sI)s(I)s(
)s(I)s(sI)s(sI
tt
14
2
552
2
5
2
152
2
3
52
3
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
5252
3
811
132
5
2
3
12
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
11
11
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
2
5
2
1
54
10
2
5
2
1
54
5124
54
5124
522
522
54
5124
522
2
1
52
3
522
5124
2
1
52
3
2
12
522
1
52
3
2
1
2
12
5252
3
2
112
52
3
98
92
112
7
852
3
6
71212
122
3
2
5
2
1
11
11
1
221
21
1
2
1
1
11
11
13
3
13
3
31
131
L
L L L L
1-
1- 1-1-1-
128
)....(etee)t(i
eteeeei
iii
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(etee)t(i
sss
)t(i
sss
)s(I)t(i
sssss
)s(I)t(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
ssss
s
)s(I
ssss
s
)s(I
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(
ssss
s
s)s(
s
)...(
ss
s)s(
s
:parcialesfraccionesaplicando
ttt
ttttt
ttt
192
25
2
7
2
25
2
16
2
5
2
3
41813
182
25
2
16
2
1
1
2
25
2
1
1
2
1
2
5
16
2
5
1
2
25
2
1
1
2
1
2
5
16
2
5
1
2
25
2
5
15
2
1
1
2
1
2
5
15
2
5
16
17
17
2
5
1
2
25
2
5
15
2
1
1
2
1
52
1
2
5
2
5
16
2
5
15
2
5
12
2
5
2
1
1
3
1
52
1
3
5
2
3
2
5
16
141615
16
2
5
15
2
5
12
2
5
2
5
2
552
15
2
1
1
3
1
52
1
3
5
2
152
2
1
2
5
2
1
2
2
1
2
1
2
5
2
5
2
1
2
312
2
1
2
1
2
5
1
23
233
233
23
23
2
L L L
L L
L L
1-1-1-
1-
1-
1-
1-
129
E=cos t V
L=2 H
C=0.40 F
R1=1 Ώ
i1
i2
i3
A
I II
R2=2 Ώ
E=6 V
R1=3 Ώ
C=0.05 F
L=0.25 H
i1
i2
i3
A
I II
R2=1 Ώ
4.9.2. Ejercicios. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos en paralelo
1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 0000 321
2) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 0000 321
130
5. APENDICE
5.1. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
Si Q(s) es una función racional, entonces Q(s)= F(s) / G(s), donde F(s) y G(s) son polinomios. En esta
sección se hará un recordatorio sobre las reglas para expresar a Q(s) en términos de fracciones mas
simples, que ayudan a calcular la Trasformada Inversa de Laplace de una función de la forma de Q(s)
Tal técnica tiene la misma finalidad al integrar a funciones racionales de la forma de Q(s).
Por ejemplo, puede verificarse fácilmente que
1
1
1
1
1
22 sss
La descomposición del lado derecho de la ecuación anterior se llama descomposición en fracciones
parciales
Teóricamente, cualquier expresión racional F(s) / G(s) se puede expresar como una suma de
expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a
2. Concretamente, puede demostrarse que si F(s) y G(s) son polinomios y el grado de F(s) es menor
que el de G(s), entonces
rf.......fff)s(G
)s(F321
Donde cada término fk de la suma es de la forma
nmcbsas
BAsbieno
qps
A
2
Donde A y B son números reales, m y n son enteros no negativos y as2+bs+c es irreducible en el
sentido de que es un polinomio cuadrático que no tiene ceros reales; es decir, b2-4ac<0. En este caso
as2+bs+c no se puede expresar como un producto de polinomios de primer grado.
131
La guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de F(s) / G(s) debe usarse sólo si
F(s) tiene grado menor que G(s). Si no es así, hay que realizar previamente la división hasta llegar a
la forma apropiada. Por ejemplo, dada la siguiente función
1
3562
23
s
sss
Dividiendo entre polinomios se obtiene
1
966
1
35622
23
s
ss
s
sss
En seguida se podrá aplicar el método de las fracciones parciales en el último término de la anterior
ecuación
Reglas para obtener fracciones parciales:
Regla (A). Por cada factor de la forma (ps+q)m con m ≥ 1, la descomposición en fracciones parciales
contiene una suma de m fracciones parciales de la forma
m
m
qps
A.....
qps
A
qps
A2
21
Donde cada numerador Ak es un número real.
Regla (B). Por cada factor de la forma (as2+bs+c)
n con n ≥ 1, donde as2+bs+c la descomposición en
fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma
n
nn
cbsas
BsA.....
cbsas
BsA
cbsas
BsA
222
22
2
11
Donde todos los Ak y Bk son números reales.
Ejemplo. Descomponer en fracciones parciales el siguiente polinomio:
sss
ss
32
913423
2
132
De acuerdo con la regla (A), la descomposición de este polinomio tiene la forma:
1313
9134
32
9134 2
23
2
s
C
s
B
s
A
)s)(s(s
ss
sss
ss
En este caso los factores del denominador son lineales y no se repiten
Multiplicando el mínimo común denominador (el del lado izquierdo), se obtiene
4s2+13s-9=A(s+3)(s-1)+Bs(s-1)+Cs(s+3)
Desarrollando y agrupando los términos del lado derecho de la última ecuación
4s2 + 13s – 9 = As
2 + 2As - 3A + Bs
2 – Bs + Cs
2 + 3Cs)
4s2 + 13s – 9 = As2 + Bs2 + Cs2 + 2As – Bs + 3Cs - 3A
4s2 + 13s - 9 = (A+B
+C)s
2 + (2A-B+3C)s
1 -3As
0
Igualando los coeficientes a la misma potencia de s, del lado izquierdo y derecho de la ultima
ecuación
S2: 4 = A + B + C
S1: 13 = 2A – B + 3C
S0: -9 = -3A
Resolviendo el anterior sistema lineal de ecuaciones, se tiene:
A=3
B=-1
C=2
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:
1
2
3
13
13
9134
32
9134 2
23
2
sss)s)(s(s
ss
sss
ss
133
5.2. TABLAS DE IDENTIDADES, DERIVADAS E INTEGRALES
udxd
uarcsenu
dxd
udxduuu
dxd
udxduuu
dxd
udxduu
dxd
udxduu
dxd
udxdsenuu
dxd
udxdusenu
dxd
vdxdvvuu
dxdvvuvu
dxd
udxdnnunux
d
v
vdxduu
dxdv
vu
dxd
udxdvv
dxduuv
dxd
nnxnxdxd
udxdccu
dxd
vdxdu
dxdvu
dxd
xdxd
h
xfhxf
h
eesenhh
eeh
ee
ee
senh
ee
eesenh
ee
eesenh
h
h
senh
21
1 .63
cotcsccsc .62
tansecsec .61
2csccot .60
2sectan .59
cos .58
cos .57
ln1 .56
1 .55
25 .54
)( .53
1.52
.51
)( .50
1 .49
,)()(
0lim
dx
df(x) .48
21csc .47
2
cosh
1sec .46
coshcoth .45
coshtanh .44
2cosh .43
2 .42
2csc12coth .41
2sec2tanh1 .40
122cosh 39.
AS.HIPERBÓLIC
RICAST RIGONOMÉT SIDENT IDADE .III
DERIVADALA
DE DEFINICIÓN
.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.
0.x lnxe 36. xe
prerp
(e 38. q-p
eq
e
pe
35. qp
eq
ep
e 31
ua 34.
n(ab) 37. u(a
6. 5.
3.
2.
xx
ub
vuava
ua
ubuuvvvuavaua
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensen
sensen
sensensen
sensen
sensensen
ca
sen
hipco
sen
oc
ac
ac
hip
oc
hip
ac
oc
hip
ac
hip
ocsen
ln .32
).
b
a .30
aa) 33. 29.
AS.LOGARITMIC Y
CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.
222coscos .28
22cos2 27.
2cos
2cos2coscos .26
2cos
22 .25
)cos()cos(21 .24
)cos()cos(21coscos .23
)()(21cos .22
)()(21cos .21
2tan1
tan22tan 20.
12cos222122cos2cos .19
cos22 .18
tantan1
tantan)tan(.17
coscos)cos( 16.
coscos)( 15.
tantan1
tantan)tan( 14.
coscos)cos( 13.
coscos .12
2cos1212cos 11.
cos2-1212 .10
2csc2cot1 .9
2sec2tan1 .8
12cos2 7.
..
.cot
.sec
..csc .4
.
..tan
.cos
.. .1
RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.
θ
134
cuuudu
cuuudu
csenuudu
cuudu
cuuduu
cuuduu
cuudu
cuudu
csenuudu
cuduusen
udxduhuhu
dxd
udxduhuhu
dxd
udxduhu
dxd
udxduhu
dxd
udxdsenhuu
dxd
udxdusenhu
dxd
xgdxdxgf
dxdxgf
dxd
udxdueue
dxd
udxdauaua
dxd
udxd
auua
dxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uuarc
dxd
udxd
uu
dxd
udxd
u
udxd
cotcsclncsc .88
tanseclnsec .87
lncot .86
seclntan .85
csccotcsc .84
sectansec.83
cotcsc .82
tansec .81
cos .80
cos .79
N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.
cothcsccsc.78
tanhsecsec.77
2csccoth.76
2sectanh.75
cosh.74
cosh.73
,)()))((())(( .72
.71
ln .70
ln1 log .69
12
1 csc .68
12
1 sec .67
21
1 cot .66
21
1 arctan .65
21
1 arccos .64
2
2
CADENA
LA DEREGLA
ba
afbfdxxf
cau
aaudu
auuaauudxau
cauarcsenauaudxua
cauau
aaudu
cauau
auadu
cau
aauu
du
cau
auadu
causen
ua
du
caa
dua
cee
cuudu
cucuduru
cun
duu
vduuvudu
chuuduhu
chuuduhu
cuuduh
cuuduh
cuhudu
csenhuhudu
csenhuudu
cuudu
csenhuudu
cusenhudu
uu
uu
r
nn
)()()( .113
arctan1 .112
ln22
.111
22 .110
ln21 .109
ln21 .108
sec1 .107
tan1 .106
.105
ln1 .104
.103
ln .102
-1r ,ln , -1r , .101
11 .100
, .99
csccothcsc .98
sectanhsec .97
coth2csc .96
tanh2sec .95
21tanhlncsc .94
1tansec .93
lncoth .92
coshlntanh .91
cosh .90
cosh 89.
22
222
2222
22222
22
22
1
22
1
22
1
22
1
1
PARTES PORNINTEGRACIÓ
135
5.3. TABLAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f(t) F(s)
1
1
s
1
2
t 2
1
s
3
tn
1ns
!n
4
Senkt
22 ks
k
5
Coskt 22 ks
s
6
Sen2kt
)ks(s
k22
2
4
2
7
Cos2kt
)ks(s
ks22
22
4
2
8
eat
as
1
9
senhkt 22 ks
k
10
coskt 22 ks
s
11
teat 2
1
as
12
tneat 1n
as
!n
13
senktcoshkt 24
22
4
2
ks
)ks(k
14
cosktsenhkt 44
22
4
2
ks
)ks(k
15
t
senat
s
aarctan
16
eatf(t)
F(s-a)
17
F(t-a)U(t-a)
e-asF(s)
18
U(t-a)
s
e as
19
tnf(t) )s(Fds
dn
nn
1
136
6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO
1. Autor: ZILL DENNIS G.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES
Editorial: THOMPSON
Edición: QUINTA 2. Autor: EDWARDS JR. C. H. Y PENNEY DAVID E.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES Editorial: ED. PRENTICE-HALL
Edición: PRIMERA
3. Autor: SPIEGEL
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Editorial: ED. PRENTICE-HALL
Edición: PRIMERA
4. Autor: SANCHEZ, ALLLEN Y KINER
Titulo: DIFFERENTIAL EQUATIONS Editorial: ED. ADDISON WESLEY
Edición: PRIMERA
5. Autor: KREYSIG ERWIN.
Titulo: MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1 Y II (5.1 EDICIÓN) Editorial: ED. LIMUSA
Edición: PRIMERA
6. Autor: SPIEGEL
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Editorial: ED. PRENTICE-HALL
Edición: PRIMERA
7.. Autor: BORELLI/COLEMAN
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Editorial: ED. OXFORD
Edición: PRIMERA
8. Autor: MARCUS
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Editorial: CECSA
Edición: PRIMERA
9. Autor: SWOKOWSKI EARL W.
Titulo: CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Editorial: GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA
Edición: PRIMERA