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Probabilidad y Estadstica
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Probabilidades
Qu es estadstica?
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Probabilidades
Qu es estadstica? La ciencia utiliza modelos para describir fenmenos.
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Probabilidades
Qu es estadstica? La ciencia utiliza modelos para describir fenmenos.
Un modelo es una explicacin terica del fenmeno objeto de estudio. Esta explicacin suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemticas.
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Probabilidades
Qu es estadstica? La ciencia utiliza modelos para describir fenmenos.
Un modelo es una explicacin terica del fenmeno objeto de estudio. Esta explicacin suele expresarse en forma verbal, muchas veces mediante ecuaciones matemticas. Existen modelos determinsticos y modelos no determinsticos.5
Probabilidades
Qu es estadstica? Modelo determinstico:
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Probabilidades
Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras.
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Probabilidades
Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras. Modelo no determinstico:
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Probabilidades
Qu es estadstica? Modelo determinstico: Es posible conocer un valor preciso de la variable de inters a partir de otras. Modelo no determinstico: No es posible determinar un valor preciso de la variable de inters pues est presente la incertidumbre.
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Probabilidades
No determinsticos
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Probabilidades
No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop.
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Probabilidades
No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop. Cantidad de personas que compran con tarjeta de crdito en una tienda en un perodo determinado.
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Probabilidades
No determinsticos Duracin de la batera de litio de una laptop. Cantidad de personas que compran con tarjeta de crdito en una tienda en un perodo determinado. Promedio de notas en los estudios universitarios (conocido el promedio de notas en secundaria).13
Probabilidades
Qu es estadstica?La Estadstica nos ensea cmo realizar juicios inteligentes y tomar decisiones en presencia de incertidumbre.
Los mtodos estadsticos estn ideados para permitir evaluar el grado de incertidumbre de los resultados.La Estadstica se ocupa de fenmenos no determinsticos. modelos y14
Probabilidades
Qu es estadstica?Asociado a modelos no determinsticos est el concepto de probabilidad.
Existe la Estadstica Descriptiva Estadstica Inferencial.
y
la
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Probabilidades
Qu es estadstica?Estadstica Descriptiva: Tcnicas para describir o representar conjuntos de datos (grficos y clculo de medidas numricas). Estadstica Inferencial: Mtodos para derivar conclusiones acerca de un gran grupo de objetos al observar una parte de ellos.16
Probabilidades
Cierto tipo de dispositivos electrnicos se envan en lotes de 50. Se seleccion una muestra de 60 lotes y se determin el nmero de dispositivos en cada lote que no cumplan con las especificaciones de diseo y se obtuvieron los datos siguientes:2 1 2 4 0 1 3 2 0 5 3 3 1 3 2 4 7 0 2 3
0 5
4 0
2 2
1 3
3 2
1 1
1 0
3 6
4 4
1 2
2 1
3 6
2 0
2 3
8 3
4 3
5 6
1 1
3 2
1 317
Probabilidades
a) Qu proporcin de lotes muestreados tienen a lo sumo 5 dispositivos electrnicos que no cumplen con las especificaciones? b) Qu proporcin tiene menos de 5? c) Qu proporcin tienen por lo menos 5 unidades que no cumplen con las especificaciones?
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Probabilidades
Histograma de frecuencias16 14
12
10
8
6
4
2
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
19
Probabilidad
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Probabilidades
MODELOS
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Probabilidades
MODELOSCuando utilizamos la Matemtica para estudiar fenmenos observables se intenta construir modelos matemticos.
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Probabilidades
MODELOSCuando utilizamos la Matemtica para estudiar fenmenos observables se intenta construir modelos matemticos.
Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.
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Probabilidades
MODELOSCuando utilizamos la Matemtica para estudiar fenmenos observables se intenta construir modelos matemticos.
Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.Modelo determinstico: resultados. Se pueden predecir los
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Probabilidades
MODELOSCuando utilizamos la Matemtica para estudiar fenmenos observables se intenta construir modelos matemticos.
Los modelos pueden ser determinsticos o probabilsticos.Modelo determinstico: resultados. Se pueden predecir los
Modelo probabilstico: No pueden predecirse los resultados, solo se expresan las probabilidades de los resultados posibles. Tambin se le llama no determinstico o estocstico.25
Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple:
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: Todos los resultados se conocen de antemano.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: Todos los resultados se conocen de antemano.
No es posible predecir el resultado.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIOLos modelos probabilsticos son apropiados para fenmenos que se pueden denominar experimentos aleatorios. En un experimento aleatorio se cumple: Todos los resultados se conocen de antemano.
No es posible predecir el resultado. El experimento condiciones. puede repetirse bajo idnticas
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - Ejemplos
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - EjemplosEjemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el nmero que sale.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - EjemplosEjemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el nmero que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - EjemplosEjemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el nmero que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una seccin de alumnos determinada.
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Probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO - EjemplosEjemplo 1: Lanzar un dado equilibrado (no cargado) y ver el nmero que sale.
Ejemplo 2: Lanzar una moneda cuatro veces y contar el nmero de caras. Ejemplo 3: Contar la cantidad de fumadores en una seccin de alumnos determinada.Ejemplo 4: Contar el nmero de artculos defectuosos producidos en un da.
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio.
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRAL
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
40
Probabilidades
ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
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Probabilidades
ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, , n }
donde n es la cantidad de alumnos de la seccin
42
Probabilidades
ESPACIO MUESTRALEjemplo 1: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ejemplo 2: U = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Ejemplo 3: U = { 0, 1, 2, 3, , n } Ejemplo 4: U = { 0, 1, 2, 3, , n }
donde n es la cantidad de alumnos de la seccin donde n es la cantidad de artculos producidos43
Probabilidades
SUCESO o EVENTO
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Probabilidades
SUCESO o EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
45
Probabilidades
SUCESO o EVENTO
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Probabilidades
SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par
A = { 2, 4, 6 }
47
Probabilidades
SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par Ejemplo 2: B: salieron tres caras
A = { 2, 4, 6 }B={3}
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Probabilidades
SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par Ejemplo 2: B: salieron tres caras
A = { 2, 4, 6 }B={3}
Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la seccin
C={5}
49
Probabilidades
SUCESO o EVENTOEjemplo 1: A: sali un nmero par Ejemplo 2: B: salieron tres caras
A = { 2, 4, 6 }B={3}
Ejemplo 3: C: hay 5 fumadores en la seccin
C={5}
Ejemplo 4: D: se producen menos de 10 artculos defectuosos D = { m entero | 0 m < 10 }50
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
51
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unin de ambos sucesos sea todo el espacio muestral.
52
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
Para todo suceso se puede definir un suceso complementario de modo que la unin de ambos sucesos sea todo el espacio muestral.El suceso complementario o complemento de A se denota por Ac A53
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIO
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Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar
A = { 1, 3, 5 }
55
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }
56
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }
Ejemplo 3: C: en la seccin hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x 5 }
57
Probabilidades
SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo 1: A: sali un nmero impar Ejemplo 2: B: no salieron tres caras
A = { 1, 3, 5 }B = { 0, 1, 2, 4 }
Ejemplo 3: C: en la seccin hay una cantidad de fumadores distinta de 5 C = { x entero | x 5 }Ejemplo 4: D: se producen al menos 10 artculos defectuosos D = { 10, 11, 12, , n }
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Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
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Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca.
60
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si uno ocurre no ocurre el otro.
61
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro.Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y
B: sale un nmero par
62
Probabilidades
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTESDos sucesos son mutuamente excluyentes si no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca.
Dos sucesos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo, si no ocurre no ocurre el otro.Ejemplo 1: Al lanzar un dado A: sale el 3 y
B: sale un nmero par
Ejemplo 2: Dos sucesos complementarios siempre son mutuamente excluyentes.
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Probabilidades
PROBABILIDAD
64
Probabilidades
PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: de definir el concepto de
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Probabilidades
PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica de definir el concepto de
66
Probabilidades
PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica Definicin frecuencialista de definir el concepto de
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Probabilidades
PROBABILIDADHay varias maneras probabilidad: Definicin clsica Definicin frecuencialista Definicin axiomtica de definir el concepto de
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Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin clsica:
69
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles.
70
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un nmero par mayor que 3 al lanzar un dado
71
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin clsica: La probabilidad p(A) de un suceso A es el cociente de la cantidad de casos favorables al suceso entre la cantidad de casos posibles. Ejemplo: Sea A: sale un nmero par mayor que 3 al lanzar un dado
p(A) =
26
=
1372
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin frecuencialista:
73
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso.
74
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 .
75
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = 4 76
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin frecuencialista: La probabilidad p(A) de un suceso A la frecuencia relativa del suceso. Ejemplo: En una cadena de supermercados se venden dos marcas de un producto. Se sabe (por observacin) que el 25% de los clientes compra la marca M1 y el 75% la marca M2 . 1 p(un cliente compre M1) = p(compre M2) = 0.75 4 77
Probabilidades
PROBABILIDADDefinicin axiomtica: Sea E un experimento y U espacio muestral asociado a E. Para cada suceso A se define p(A) y se llama probabilidad del suceso A si se cumplen las propiedades: 1. 2. p(A) 0 p(U) = 1
3.
Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes entonces p(A U B) = p(A) + p(B)78
Probabilidades
PROBABILIDADDe la definicin axiomtica se deduce: 4. p() = 0 ( es el suceso imposible)
5. p(A) 1 para todo A 6. p(A ) = 1 p(A) 7. Si A est contenido en B entonces p(A) p(B) 8. p(A U B) = p(A) + p(B) p(A B)79
c
Probabilidades
-lgebra
80
Probabilidades
-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si:
81
Probabilidades
-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia
82
Probabilidades
-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia tambin su complemento pertenece
83
Probabilidades
-lgebraUna familia de subconjuntos de X es una -lgebra si: 1. El conjunto vaco pertenece a la familia 2. Si un subconjunto pertenece a la familia tambin su complemento pertenece 3. Si A1, A2, A3, pertenecen a la familia entonces UAi tambin pertenece84
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
85
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
86
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
87
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
88
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
89
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
90
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
91
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
92
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
93
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
P(A) 0
94
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
P(A) 0 P(S) = 1
95
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P)
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
P(A) 0 P(S) = 1 P(UAi) = P(Ai)96
Probabilidades
Si tenemos un experimento y un espacio muestral, la familia de todos los eventos es una -lgebra.
(S, , P) es un espacio de probabilidad
Espacio muestral (sucesos elementales)
Conjunto de todos los sucesos (-lgebra)
Medida de probabilidad o funcin de probabilidad
P(A) 0 P(S) = 1 P(UAi) = P(Ai)97
Ejercicios
98
Probabilidades
EJERCICIO 1
99
Probabilidades
EJERCICIO 2
100
Probabilidades
EJERCICIO 3La distribucin de grupos sanguneos en Estados Unidos es de casi 41% del grupo A, 9% del grupo B, 4% del grupo AB y 46% del tipo O. Una persona llega a una sala de emergencias y es necesario indagar su grupo sanguneo. Cul es la probabilidad que sea A, B AB?
101
Probabilidades
EJERCICIO 4Consideremos un sistema de tres componentes idnticos conectados en serie:
Cada componente tiene probabilidad de un 90% de no fallar. El sistema falla cuando al menos uno de los componentes falla. Cul es la probabilidad de que el sistema falle?
102
Probabilidades
EJERCICIO 5Considrese un sistema en el que el motor principal tiene un motor de respaldo. Ambos motores estn diseados para funcionar independientemente. El sistema funciona si uno u otro motor funciona. Un sistema as se dice que tiene los motores en paralelo. Suponga que cada motor es 90% confiable, o sea, tiene probabilidad 0.9 de no fallar. Cul es la probabilidad de que el sistema no falle?
103
Probabilidades
EJERCICIO 6Un qumico analizar muestras de agua de mar en bsqueda de dos metales pesados: plomo y mercurio. La experiencia indica que existen valores txicos de plomo o mercurio en el 38% de las muestras obtenidas cerca de la desembocadura de un ro, sobre cuyo margen se localizan numerosas plantas industriales: 32% con concentraciones txicas de plomo y 16% con concentraciones txicas de mercurio. Cul es la probabilidad de que una muestra seleccionada aleatoriamente contenga solo valores txicos de plomo?104
Probabilidades
EJERCICIO 7Cuando una computadora se bloquea existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga y de 15% de que sea un problema de software. La probabilidad de que se origine una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) Cul es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) Cul es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?105
Probabilidades
EJERCICIO 8Considere que en un ejercicio militar de dos unidades, Roja y Azul, existe probabilidad de 60% de que la unidad Roja cumpla sus objetivos y 70% de que lo haga la unidad Azul. La probabilidad es de 18% de que solo tenga xito la unidad Roja. a) Cul es la probabilidad de que ambas unidades logren sus objetivos? b) Cul es la probabilidad de que una u otra lo alcancen, no as ambas?106
Probabilidades
EJERCICIO 9La muerte puede sobrevenir cuando una persona se ve expuesta a la radiacin. Entre los factores que afectan el pronstico estn la magnitud de la dosis, la duracin e intensidad de la exposicin y la composicin biolgica del individuo. La sigla DL50 se usa para denotar la dosis que suele ser letal en 50% de las personas expuestas a ella. Suponga que en un accidente nuclear 30% de los trabajadores tiene exposicin a DL50 y fallece, que 40% de los trabajadores muere y que 68% tiene exposicin a DL50 o fallece. a) Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar haya sido expuesto a DL50 ? b) Cul es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar tenga exposicin a DL50 y no fallezca? c) Cul es la probabilidad de que muera un trabajador sin exposicin a DL50 ?107
Probabilidad Condicional
108
Probabilidades
109
Probabilidades
DOLOR DE CABEZA
110
Probabilidades
DOLOR DE CABEZA
GRIPE
111
Probabilidades
DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
100
112
Probabilidades
a) Total de personas?
DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
100
113
Probabilidades
a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de
DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
100
114
Probabilidades
a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de
c) Con gripe?DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
100
115
Probabilidades
a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de
c) Con gripe?DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A).
100
116
Probabilidades
a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de
c) Con gripe?DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).
100
117
Probabilidades
a) Total de personas? b) Con dolor cabeza? de
c) Con gripe?DOLOR DE CABEZA
GRIPE
40
10
50
d) Se elige una persona al azar. Sea A: la persona tiene dolor de cabeza. Calcule P(A). e) Sea B: la persona tiene gripe. Calcule P(B).
100
f)
Se sabe que la persona tiene gripe. Probabilidad de que tenga dolor de cabeza? 118
Probabilidades
Probabilidad condicional Para dos eventos cualesquiera A y B con P(B)>0 la probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido se define por: P(A|B) =P(A B)
P(B)
119
Probabilidades
EJERCICIO 1Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que tiene 10 semillas de flores rojas y 5 semillas de flores blancas. a) Cul es la probabilidad de que la primera semilla sea de una flor roja? b) Cul es la probabilidad de que la segunda semilla sea de una flor blanca dado que la primera semilla fue de una flor roja?120
Probabilidades
EJERCICIO 2Suponga que de todas las personas que compran cierta cmara digital 60% incluye una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluyen una batera extra y 30% incluyen tanto una tarjeta como una batera. a) Dado que una persona elegida al azar adquiri una batera extra, cul es la probabilidad de que haya adquirido una tarjeta opcional? b) Cul es la probabilidad de que haya adquirido una batera extra dado que adquiri una tarjeta opcional?121
Probabilidades
EJERCICIO 3Una revista publica tres columnas tituladas Arte, Libros y Cine. Los porcentajes de lectores que leen con regularidad las diferentes columnas son:
ColumnaArte Libros Cine Arte y Libros
Porcentaje14% 23% 37% 8%
Arte y CineLibros y Cine Arte, Libros y Cine
9%13% 5%
a) Cul es la probabilidad de que un lector seleccionado al azar lea la columna Arte dado que lee la columna Libros? b) Cul es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee la columna Libros o la columna Cine? c) Cul es la probabilidad de que lea Arte o Libros dado que lee Cine? d) Cul es la probabilidad de que lea la columna Arte dado que lee por lo menos una de las tres?122
Independencia
123
Probabilidades
REGLA DE LA MULTIPLICACION
P(A B) = P(A|B) P(B)
124
Probabilidades
EJERCICIOInvestigaciones recientes muestran que casi el 49% de las infecciones se deben a bacterias anaerobias. Adems, el 70% de todas las infecciones anaerobias son polimicrobianas, es decir, resultan de dos o ms bacterias anaerobias. Cul es la probabilidad de que una infeccin dada se deba a bacterias anaerobias y tambin sea polimicrobiana?
125
Probabilidades
INDEPENDENCIA
Los eventos A y B son independientes si P(A|B) = P(A) y son dependientes en caso contrario.
126
Probabilidades
INDEPENDENCIA
Si los eventos A y B son independientes entonces P(A|B) = P(A) y tambin P(B|A)=P(B).
127
Probabilidades
Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes
128
Probabilidades
Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesConsidere una gasolinera con seis bombas: B1, B2, B3, B4, B5 , B6 . Supongamos que la bomba B1 es utilizada por el 10% de los clientes, la B2 por el 15%, la B3 por el 25%, la B4 por el 25%, la B5 por el 15% y la B6 por el 10%. Consideremos un cliente definido al azar y definamos los eventos: A = el cliente selecciona una de las bombas B2, B4, B6 B = el cliente selecciona una de las bombas B1, B2, B3 C = el cliente selecciona una de las bombas B2, B3, B4, B5 Bi = el cliente selecciona la bomba Bi para i=16129
Probabilidades
Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesSi A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES
130
Probabilidades
Relacin entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientesSi A y B son dos eventos NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES pueden o no ser INDEPENDIENTES Si A y B son MUTUAMENTE EXCLUYENTES no pueden ser INDEPENDIENTES
131
Probabilidades
EJERCICIOSe sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compaa requieren servicio mientras se encuentran dentro de garanta, en tanto que solo el 10% de sus secadoras necesitan dicho servicio. Si alguien adquiere una lavadora y una secadora fabricadas por esta compaa, cul es la probabilidad de que ambas mquinas requieran servicio de garanta?132
Probabilidades
EJERCICIOa) Cul es la probabilidad de obtener 3 caras en tres lanzamientos de una moneda?
b) Cul es la probabilidad de obtener cuatro 6 y luego otro nmero al lanzar un dado cinco veces?
133
Probabilidades
EJERCICIOCada da, de lunes a viernes, un lote de componentes enviado por un proveedor arriba a una instalacin de inspeccin. Dos das a la semana tambin arriba un lote de un segundo proveedor. El 80% de todos los lotes del proveedor 1 son inspeccionados y el 90% de los del proveedor 2 tambin lo son. Cul es la probabilidad de que, en un da seleccionado al azar, dos lotes sean inspeccionados? Se supone que en los das en que se inspeccionan dos lotes, si el primer lote pasa es independiente de si el segundo tambin lo hace.134
Ley de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
135
Probabilidades
En ocasiones el resultado de un experimento depende de lo que sucede en varias etapas intermedias
136
Probabilidades
EJEMPLOLa terminacin de un trabajo de construccin se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habr huelga, 0.85 de que el trabajo de construccin se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 que el trabajo de construccin se termine a tiempo si hay huelga. Cul es la probabilidad de que el trabajo de construccin se termine a tiempo?137
Probabilidades
HUELGA
NO HUELGA
138
Probabilidades
HUELGAB1
NO HUELGA
B2
A
139
Probabilidades
Esta idea se puede generalizar
140
Probabilidades
A
B1
B2
B3141
Probabilidades
A
B1
B2
B3
B4142
Probabilidades
LEY DE LA PROBABILIDAD TOTALSi los eventos B1, B2, , Bk constituyen una particin del espacio muestral S y P(Bi)0 para i=1, 2, , k entonces para cualquier evento A en S se cumple:P(A) = P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + + P(A|Bk) P(Bk)
143
Probabilidades
EJERCICIO 1Los miembros de una empresa de consultora rentan automviles en tres agencias de renta de automviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3. Si 9% de los automviles de la agencia 1 necesitan una afinacin, 20% de los autos de la agencia 2 necesitan una afinacin y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinacin, cul es la probabilidad de que un automvil rentado, entregado a la empresa, necesite una afinacin?
144
Probabilidades
EJERCICIO 2Si un vehculo rentado entregado a la empresa necesita afinacin, cul es la probabilidad de que haya venido de la agencia de renta 2?
145
Probabilidades
TEOREMA DE BAYESSi los eventos B1, B2, , Bk constituyen una particin del espacio muestral S y P(Bi)0 para i=1, 2, , k entonces para cualquier evento A en S tal que P(A) 0 se cumple: P(Br|A) = = P(Br A)
P(A)
P(A|Br) P(Br)
P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + + P(A|Bk) P(Bk) P(A|Br) P(Br) P(A|Bi) P(Bi)146
=
Probabilidades
EJERCICIO 1Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente componente trado a reparacin es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (as que el evento B est contenido en A). Suponiendo que P(A)=0.6 y P(B)=0.05, cul es la P(B|A)?147
Probabilidades
EJERCICIO 2En una gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular (A1), 35% usan gasolina plus (A2) y 25% utilizan premium (A3). De los clientes que utilizan gasolina regular, solo 30% llenan sus tanques (evento B). De los clientes que utilizan plus, 60% llenan sus tanques, mientras que de los que utilizan premium, 50% llenan sus tanques. a) Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina plus y llene el tanque (A2 B)? b) Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c) Si el siguiente cliente llena el tanque, cul es la probabilidad que pida gasolina regular?, plus?, premium?
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Probabilidades
EJERCICIO 3Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administracin son por los salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de prestaciones. Tambin 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huelgas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. Cul es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administracin se resuelva sin una huelga?149
Probabilidades
EJERCICIO 4El 70% de las aeronaves ligeras que desaparecen en vuelo en cierto pas son posteriormente localizadas. De las aeronaves que son localizadas, 60% cuenta con un localizador de emergencia, mientras que 90% de las aeronaves no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ha desaparecido. a) Si tiene un localizador de emergencia, cul es la probabilidad de que no sea localizada? b) Si no tiene un localizador de emergencia, cul 150 es la probabilidad de que sea localizada?
Probabilidades
EJERCICIO 5Las garrapatas de venados pueden ser portadoras de la enfermedad de Lyme o de la Erhlichiosis granuloctica humana (HGE, por sus siglas en ingls). Con base en un estudio reciente, suponga que 16% de todas las garrapatas en cierto lugar portan la enfermedad de Lyme, 10% portan HGE y 10% de las garrapatas que portan por lo menos una de estas enfermedades en realidad portan las dos. Si se determina que una garrapata seleccionada al azar ha sido portadora de HGE, cul es la probabilidad de que la garrapata seleccionada tambin porte la enfermedad de Lyme?151