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METODOS NUMERICOS
Israel Fernando San Román Tiscareño
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Es una forma de presentar el polinomio que interpola unconjunto de puntos dado.
Se define de la siguiente forma:
Donde :
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A partir del polinomio de Newton:
Se reformula como:
01
0101
)()(, X X
X f X f X X f
10
0
01
101
)()(,
X X X f
X X X f
X X f
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La ecuación anterior se sustituye en la formula de interpolaciónlineal:
Se agrupan términos semejantes:
)()()()( 010
01
01
001 X f
X X X X X f
X X X X X f X f
)()()( 101
00
10
11 X f
X X X X
X f X X X X
X f
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La versión lineal de primer orden es semejante a unainterpolación lineal, por esto se observa un error relativoporcentual muy alto.
Ejemplo #1. Con un polinomio de interpolación de Lagrange deprimer grado, evalúe ln 2
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%33.33%100693147.0
462098.0693147.0 x Error
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Si la versión es de segundo orden, la aproximación tiene unaforma cuadrática, lo cuál logra un error relativo mucho maspequeño y cercano al valor verdadero.
Ejemplo #2. Con un polinomio de interpolación de Lagrange desegundo grado, evalué In 2
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%36.18%100693147.0
565844.0693147.0 x Error
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Se muestra un casode segundo grado.
La suma de lostérminos es el únicopolinomio de segundogrado.
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Estimar la velocidad del paracaidista en T=10s
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La importancia de esta interpolación lineal consiste en laposibilidad de obtener la representación explicita de polinomiosinterpoladores sin necesidad de resolver el sistema deecuaciones que imponen las condiciones de interpolación.
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Este método nos proporciona un polinomio conveniente de lasiguiente forma:
nn X a X a X aa X f ...)(
2210
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Calcule los coeficientes de la parábola de la forma:
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051873.0721463.0
66959.0
2
1
0
aa
a
2
2 )2(051873.0)2(721463.066959.0)2(
f
564844.0)2(2 f
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Debe observarse que el método anterior no es el método deinterpolación más eficiente para determinar los coeficientes de unpolinomio.
Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para ngrandes.
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Para determinar un punto intermedio, emplee la interpolación deNewton o de Lagrange.
Para determinar una ecuación de la forma general, limítese apolinomios de grado menor y verifique los resultados.