![Page 1: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/1.jpg)
TEMA 2
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
![Page 2: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/2.jpg)
EXPERIMENTOS: EJEMPLOS
Deterministas
•Calentar agua a 100ºC
•Soltar objeto
Aleatorios
•Lanzar un dado
•Resultado fútbol
•Respuesta en una encuesta
puntos
quinielavapor
cae
Sí/No
![Page 3: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/3.jpg)
EXPERIMENTO ALEATORIO
•Los experimentos determinísticos son modelizados mediante ecuaciones que ponen en relación la respuesta con las variables causales
•Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado.
•El desconocimiento de las causas que provocan una respuesta tiene como consecuencia que sea más fácil modelizar un experimento como aleatorio.
![Page 4: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/4.jpg)
ESPACIO MUESTRAL
Aunque no se conozca el resultado particular de un experimento aleatorio, sí es posible conocer el conjunto de todos los posiblesresultados.
ESPACIO MUESTRAL
Ω
![Page 5: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/5.jpg)
ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral es un conjunto no vacío que puede ser:
Finito numerableLanzamiento de un dado: Ω=1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito numerableContar el número de lanzamientos de un dado hasta que salga cara por primera vez: Ω=1, 2, ....
Infinito no numerableEscoger al azar un punto en el intervalo unidad: Ω=[0,1]
![Page 6: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/6.jpg)
SUCESOS
Un elemento cualquiera ω perteneciente a Ω se denomina suceso elemental
Un suceso es cualquier subconjunto A de Ω
Un suceso A ocurre si el resultado del experimento aleatorio es un elemento ωperteneciente a A
![Page 7: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/7.jpg)
SUCESOS ALEATORIOS. EJEMPLOS
EJEMPLOS:
Dado:
A=“puntuación par”=2, 4, 6
B=“puntuación mayor que 5”=6
Número al azar en intervalo [0,1]:
A=“mayor que 0.5”=(0.5,1]
B=“racional”=Q ∩ [0,1 ]
![Page 8: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/8.jpg)
SUCESOS ELEMENTALESY COMPUESTOS (II)
EJEMPLOS:
Dado:
A=“Obtener puntuación par”
B=“Obtener múltiplo de 3”
C=“Obtener múltiplo de 5”
Quiniela:A=“Empatar”
B=“No ganar en casa”
Elemental
Compuesto
C
A,BElemental
Compuesto
A
B
![Page 9: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/9.jpg)
SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (I)
• Ω es el suceso seguro
• ∅ es el suceso imposible
![Page 10: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/10.jpg)
SUCESOS SEGURO E IMPOSIBLE (II)
Dado:
A=“Obtener puntuación menor que 7
B=“Obtener múltiplo de 7”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
Futbol:
A=“Algún equipo obtenga puntos”
B=“Ningún equipo obtenga puntos”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
![Page 11: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/11.jpg)
OPERACIONES CON SUCESOS
Los sucesos son conjuntos y por lo tanto pueden ser manipulados con las operaciones:UNIÓN
Ocurre el suceso A o el B: A ∪ B
INTERSECCIÓNOcurren los sucesos A y B: A ∩ B
COMPLEMENTARIONo ocurre el suceso A: Ac
![Page 12: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/12.jpg)
UNIÓNA∪B=B∪A(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪Ac=WA∪∅=A
INTERSECCIÓNA∩B=B∩A(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)A∩Ac=∅A∩∅=∅
A∪(B ∩ C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B ∩ C)=(A∪B)∩(A∪C)
OPERACIONES CON SUCESOS: PROPIEDADES
COMPLEMENTARIOWc =∅ ∅c = W (Ac)c=A
(A∪B)c=Ac ∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc
![Page 13: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/13.jpg)
ÁLGEBRAS
![Page 14: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/14.jpg)
ÁLGEBRAS. PROPIEDADES
![Page 15: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/15.jpg)
ÁLGEBRAS. EJEMPLOS
![Page 16: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/16.jpg)
s-ÁLGEBRAS
![Page 17: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/17.jpg)
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
![Page 18: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/18.jpg)
INTRODUCCIÓN
La idea de probabilidad surge por la necesidad
de medir la incertidumbre o verosimilitud que
posee cada suceso asociado a un experimento
aleatorio.
![Page 19: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/19.jpg)
DEFINICIÓN EMPÍRICA (I)
Interpretación frecuentista de la probabilidad
0
0,5
1
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
N
frec
uenc
ia
rela
tiva
EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos de una moneda y calculamos su frecuencia relativa
![Page 20: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/20.jpg)
DEFINICIÓN EMPÍRICA (II)
Supongamos que se repite un experimento n veces y se observa que el suceso A ocurre k veces, entonces:
No es posible desarrollar una teoría coherentecon esta definición
![Page 21: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/21.jpg)
PROPIEDADES DE LA DEFINICIÓN EMPÍRICA.
•La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
•La frecuencia relativa de cualquier suceso es no negativa
•La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las frecuencias de ambos.
![Page 22: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/22.jpg)
ESPACIOS DE PROBABILIDAD
![Page 23: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/23.jpg)
PROPIEDADES BÁSICAS
![Page 24: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/24.jpg)
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEUna función de probabilidad es una aplicación, p, que a cada ωk le asigna un valor pk=p(ωk), tal que:
1. pk≥0
2. Σkpk=1
![Page 25: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/25.jpg)
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Dada una función de probabilidad p sobre unespacio muestral Ω=ω1, ω2,... NUMERABLEse define:
Entonces
es un espacio de probabilidad
![Page 26: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/26.jpg)
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Si Ω=ω1, ω2,..., ωΝ es finito yp1=p2=...=pN=1/N
REGLA DE LAPLACE
![Page 27: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/27.jpg)
TÉCNICAS PARA CONTAR.
Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son útiles los diagramas de árbol.
No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la característica que cumplen. A veces es muy útil la Combinatoria: permutaciones, variaciones,...
![Page 28: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/28.jpg)
TÉCNICAS PARA CONTAR.
![Page 29: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/29.jpg)
PROBABILIDAD DEL SUCESO COMPLEMENTARIO
Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n personas haya al menos 2 con la misma fecha de cumpleaños.
0.9940.9700.8910.7060.4110.117p
605040302010n
Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507
![Page 30: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/30.jpg)
PROBABILIDAD CONDICIONADA (I)
Probabilidad de un suceso, sabiendo que otro ha ocurrido.
Ejemplo: DadoSupongamos que sale un múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 3?
A=obtener el 3 B=múltiplo de 3
P(A|B)=1/2
Sin embargo: P(A)=1/6
![Page 31: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/31.jpg)
PROBABILIDAD CONDICIONADA (II)
La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es
( )( / )( )
P A BP A BP B∩
=
La probabilidad de la intersección de sucesos es:
( ) ( / ) ( )P A B P A B P B∩ = ⋅
![Page 32: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/32.jpg)
PROBABILIDAD CONDICIONADA. EJEMPLO
Sorteo no equitativo: En una clase de 27 alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta de fin de curso. Cada alumno tiene un número asignado.
•Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae una al azar.
•Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se realiza una extracción en dos pasos. En el primero se extraen una de las bolas 0, 1 y 2. En el segundo se extrae una de entre todas las bolas.
![Page 33: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/33.jpg)
INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Dados dos sucesos A y B con probabilidades no nulas, decimos que son independientes si
( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =
En estos sucesos se puede calcular cómodamentela probabilidad de la intersección.
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅
![Page 34: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/34.jpg)
INDEPENDENCIA DE SUCESOS. EJEMPLOS
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento de dos dados, obtengamos un 10.
![Page 35: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/35.jpg)
INTERSECCIÓN DE MÁS DE DOS SUCESOS
• Sucesos no independientes:
1 2
1 2 1 2 1 1
( )( / ) ( / ) ( )
n
n n
P A A AP A A A A P A A P A−
∩ ∩ ∩ == ∩ ∩ ∩ ⋅ ⋅ ⋅
…… …
Regla de la multiplicación.
• Sucesos independientes:
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅… …
![Page 36: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/36.jpg)
SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Los conjuntos A1, A2,... An forman un sistema completo de sucesos si
( )i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠
1 2 nA A A∪ ∪ ∪ = Ω…
Encuesta:A=“ningún hijo”B=“un hijo”C=“dos hijos”D=“más de dos hijos”
Los sucesos A, B, C y D
forman un sistema
completo de sucesos
![Page 37: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/37.jpg)
PROBABILIDAD TOTAL (I)
Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An la probabilidad de un suceso S es
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= ⋅ + ⋅ + + ⋅…
![Page 38: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/38.jpg)
PROBABILIDAD TOTAL (II)
Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas es superior a 1.80 metros. Además el 60% de estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de coger a un estudiante de altura superior a 1.80 metros.
P(S|M)=0.01P(S|H)=0.04P(M)=0.6
S=“altura superior a 1.80”M=“ser mujer”H=“ser hombre”
P(S)=P(S|M)P(M)+P(S|H)P(H)=0.022
![Page 39: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/39.jpg)
TEOREMA DE BAYES (I)
Dado un sistema completo de sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera S con probabilidad no nula
1
( ) ( / ) ( )( / )( ) ( / ) ( )
i i ii n
j jj
P A S P S A P AP A SP S P S A P A
=
∩ ⋅= =
⋅∑
con P(Ai) la probabilidad a priori de Ai y P(Ai|S) la probabilidad a posteriori de Ai.
![Page 40: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/40.jpg)
TEOREMA DE BAYES (II)
En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que el estudiante escogido fuera mujer sabiendo que medía más de 1.80.
( / ) ( ) 3( / ) 0.27( ) 11
P S M P MP M SP S
⋅= = =
![Page 41: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/41.jpg)
TEOREMA DE BAYES (III)
Ejemplo • Se administra una prueba para detectar
usuarios de drogas.• Prevalencia en la población: 3%• Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad)• Cuando se administra a alguien que no la usa,
da negativa en el 98% de los casos (especificidad).
• La prueba dio positiva, ¿cuál es la probabilidad de que la persona use drogas?
![Page 42: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/42.jpg)
TEOREMA DE BAYES (IV)
• P( Usa) = .03• P( Prueba + | Usa) = .95• P( Prueba - | No usa) = .98
Queremos saber P( Usa | Prueba +)
![Page 43: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/43.jpg)
TEOREMA DE BAYES (V)
Selecciono una persona
Usa
.03
No Usa
.97
.95
Prueba +
.02
Prueba +
.05
Prueba -
.98
Prueba -
Si estoy aquí o aquí, ¿cuál es la probabilidad de haber pasado por aquí?
Diagrama de árbol
![Page 44: Presentación de PowerPointoptimierung.mathematik.uni-kl.de/mamaeusch/veroeffentlichungen/ver... · La probabilidad de la intersección de sucesos es: P()AB∩ =⋅P(A/B)P(B) PROBABILIDAD](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021709/5bd567fb09d3f2513e8b8e76/html5/thumbnails/44.jpg)
TEOREMA DE BAYES (VI)
++ = =
++
=+ + +⋅
=⋅ + ⋅
ii i
( Pr )( /Pr )
(Pr )(Pr / ) ( )
(Pr / ) ( ) (Pr / ) ( )0.03 0.95
0.03 0.95 0.97 0.02
P Usa y uebaP Usa ueba
P uebaP ueba Usa P Usa
P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Usa