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PRESENTACIÓN
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CONCEPTOS PREVIOS• PROPORCIONALIDAD
• Recta: línea continua formada por infinitos puntos, que no tieneprincipio ni final
• Semirrecta: es cada una de las partes en que queda divididauna recta por uno cualquiera de sus puntos
• Segmento: es un fragmento de recta que está comprendidoentre dos puntos, llamados extremos
• Ángulo: es la parte del plano comprendido entre dossemirrectas que tienen el mismo punto origen
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CONCEPTOS PREVIOS
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Teorema de TALES
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TEOREMA DE TALES
• Si tres rectas PARALELAS a, b y c cortan a otras dosrectas cualesquiera r y r’, se cumple que:
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TEOREMA DE TALES
• Otra conclusión del Teorema de Tales es la siguiente:
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APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
• Calcular una longitud desconocidaEjemplo: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
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APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
• Dividir un segmento en partes iguales o proporcionales
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APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
• Comprobar el paralelismo entre rectas• Ejemplo: Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta
las medidas que se dan en el dibujo, ¿podemos asegurar que c esparalela a las rectas a y b?
Por tanto, la recta c es paralela a las rectas a y b.
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TRIÁNGULO
Es un polígono cerrado de tres lados
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PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
1) Un lado de un triángulo es menor que la sumade los otros dos, y mayor que la diferencia.
2) La suma de los ángulos interiores de untriángulo es igual a 180º.
3) El valor de un ángulo exterior es igual a lasuma de los otros dos interiores noadyacentes.
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EJEMPLOS• Comprueba si los siguientes lados pueden formar un triángulo:
a=7 , b=10 , c=8
Debemos comprobar si se cumple que:
b < a+c a+c = 7+8 = 15 ; b = 10, por tanto 10 < 15 SE CUMPLEa > b-c b-c = 10-8 = 2 ; a = 7 , por tanto 7 > 2 SE CUMPLEc > b-a b-a = 10-7 = 3 ; c = 8 , por tanto 8 > 3 SE CUMPLE
Solución: Los lados a, b y c, sí pueden formar un triángulo
• Hacer lo mismo con:1) a=8 ; b= 2 ; c = 7 3) a = 2 ; b = 3 ; c = 82) A = 10 ; b = 20 ; c= 31 4) a = 18 ; b = 24 ; c = 30
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EJEMPLOS• Calcula el tercer ángulo interior de un triángulo sabiendo que
los otros dos son: Â = 37º y ^B = 68º
Aplicando la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo:
 + ^B + Ĉ = 180ºĈ = 180º -  - ^B = 180º - 37º - 68º = 75º
Solución: El valor del ángulo Ĉ es 75º
• Hacer lo mismo con:1) Â = 25º ; Ĉ = 110º2) Â = 174º ; Ĉ = 5º3) Â = 14º ; Ĉ = 90º
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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS
• CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOSSegún la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:
EQUILÁTEROS: Sus tres lados son igualesISÓSCELES: Tienen dos de sus lados igualesESCALENOS. Sus tres lados son diferentes
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CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS
• CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOSSegún la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en:ACUTÁNGULO: Sus tres ángulos son agudos (menores de 90º)RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto (igual a 90º)OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90ª)
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EJEMPLOS• Dibuja y clasifica los siguientes triángulos, en
función de sus ángulos interiores
1) Â = 25º ; Ĉ = 110º Obtusángulo2) Â = 174º ; Ĉ = 5º Obtusángulo3) Â = 14º ; Ĉ = 90º Rectángulo4) Â = 40º ; Ĉ = 80º Acutángulo
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN SUS ÁNGULOS HOMÓLOGOS IGUALESY SUS LADOS HOMÓLOGOS PROPORCIONALES
• RAZÓN DE SEMEJANZA: Es la razón deproporcionalidad entre los lados de dos triángulossemejantes.
En el dibujo:• a/d = b/e = c/f• α , β son iguales en
los dos triángulos
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS• Dos triángulos SON SEMEJANTES si:
1. Tienen 2 ángulos iguales2. Tienen los tres lados proporcionales3. Tienen 2 lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS• Un caso particular de los triángulos son los
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, que son aquellos enlos que se cumple que dos de sus lados forman unángulo recto (90º).
• Dos triángulos rectángulos son semejantes si:1. Tienen un ángulo agudo igual.2. Tienen los 2 catetos proporcionales3. Tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales
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SEMEJANZA DE POLÍGONOS
• Dos POLIGONOS SON SEMEJANTES si tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.
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ESCALAS
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ESCALAS• Se define la ESCALA de una representación como
la razón de semejanza entre la figura representada y la figura real.
• Se representa: – Escala numérica: e=1:100 ; e=1:5000
– Escala gráfica:
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ESCALAS• Las ESCALAS que se utilizan en la
representación pueden ser:• Escala Natural: es aquella en que las
dimensiones de la representación son iguales alas del objeto real. En este caso la escala ese=1:1
• Escala de Reducción: es aquella en que lasdimensiones de la representación son menores alas del objeto real.
• Escala de Ampliación : es aquella en que lasdimensiones de la representación son menores alas del objeto real.
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EJEMPLOS: ESCALA NATURAL
Representación objeto real
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EJEMPLOS: ESCALA DE REDUCCIÓN
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EJEMPLOS: ESCALA DE AMPLIACIÓN
Representación objeto real
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TEOREMA DE PITÁGORAS• En un triángulo rectángulo, se cumple siempre
que el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los catetos.
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Aplicaciones del Teorema de Pitágoras
• El Teorema de Pitágoras nos permite clasificar un triángulo en función de sus ángulos:
• Si , el triángulo es RECTÁNGULO
• Si el triángulo es ACUTÁNGULO
• Si el triángulo es OBTUSÁNGULO
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Ejemplos Teorema de Pitágoras
• Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4,8 y el otro 3,6.
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Ejemplos Teorema de Pitágoras
1. Calcula la diagonal del rectángulo.
Ejercicio
Una escalera de 3,7 m de longitud se encuentra apoyada en una pared,quedando el pie a 1,5 m de la misma. ¿Qué altura alcanza la escalerasobre la pared?
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GEOMETRIA PLANA
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DEFINICIONES• POLÍGONO es una figura plana delimitada por
segmentos rectos llamados lados.
– Polígono regular, es aquel polígono que tiene suslados iguales y sus ángulos iguales.
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• ÁREA es la superficie delimitada por los lados de un polígono.
• PERÍMETRO es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.
• APOTEMA es la distancia entre el centro de un polígono regular y cualquiera de sus lados.
• El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por su apotema
DEFINICIONES
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ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES