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Homotecia II
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Actividad Inicial • Realiza la homotecia, con
centro en el origen y con razón de homotecia 𝑘 = 2.
• Comprobar el resultado usando GeoGebra.
Hasta ahora, hemos realizado homotecias con valores k, la razón o factor de homotecia 𝑘 > 1 (Caso 1). En este caso, la figura homotética es más grande que la figura inicial. ¿Qué ocurre si la razón de homotecia es un valor de que mayor que cero y menor que 1? Es decir, 0 < 𝑘 < 1. Veamos…
Continuemos…
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Caso 2: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia 0 < 𝑘 < 1.
Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(3,-3), B(3,3),
C(0,3) y razón de homotecia 𝑘 =1
3.
A’
B’ C’
• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.
• En este caso, 𝑂𝐴 = 3, −3 , 𝑂𝐵 = 3,3 𝑦 𝑂𝐶 = (0,3) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de
homotecia 𝑘 =1
3
Es decir, 1
3 𝑂𝐴 = 1, −1 ,
1
3𝑂𝐵 = 1,1 𝑦
1
3𝑂𝐶 = 0,1
• Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso, el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′, 𝐵′ 𝑦 𝐶′.
• Comprobar el resultado usando GeoGebra.
A
B C
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Actividad 4: Aplica las siguientes homotecias
a) Determina la imagen homotética de la figura dada, con centro de homotecia en el origen y factor de homotecia 1/3.
b) Determina la imagen homotética de la figura dada, con centro de homotecia en el origen y factor de homotecia 1/2.
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En el “Caso 1” y “Caso 2”, los valores de la razón de homotecia nos entrega una figura “más grande” o “más pequeña”, respectivamente.
En ambos casos, las figuras tienen la misma orientación. Los puntos iniciales y sus imágenes quedan el mismo cuadrante, o en el mismo semieje de los ejes cartesianos.
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Recordemos… Cuando ponderábamos un vector por un valor negativo, el nuevo vector tenía las siguientes características:
Mantenía la misma dirección Cambiaba su magnitud o módulo (tamaño), si 𝑘 ≠ −1.
𝑢′ es del mismo tamaño que 𝑢, ya que, la razón de homotecia es igual a -1. 𝑢′′ es más pequeño que 𝑢
El sentido del vector cambiaba 𝑢′ y 𝑢′′ tienen sentido contrario a 𝑢. ¿Qué ocurriría si aplicamos una homotecia con razón de homotecia negativa? Ve el siguiente video para recordar algunos conceptos. o
https://www.youtube.com/watch?v=1nAmTyNSZqE
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Caso 3.1: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia 𝑘 < −1.
Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(2,-1), B(2,2), C(1,1) y razón de homotecia 𝑘 = −2.
A’
B’
C’
• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.
• En este caso, 𝑂𝐴 = 2, −1 , 𝑂𝐵 = 2,2 𝑦 𝑂𝐶 = (1,1) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de
homotecia 𝑘 = −2 Es decir,
−2𝑂𝐴 = −4,2 ,−2𝑂𝐵 = −4, −4 y −2𝑂𝐶 = −2, −2 • Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso,
el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′ −4,2 , 𝐵′ −4, −4 𝑦 𝐶′ −2, −2
• Comprobar el resultado usando GeoGebra.
A
B
C
-4
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Caso 3.2: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia −1 < 𝑘 <0.
Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(4,-2), B(2,2), C(0,2) y razón de homotecia 𝑘 = −
1
2.
A’
B’ C’
• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.
• En este caso, 𝑂𝐴 = 4, −2 , 𝑂𝐵 = 2,2 𝑦 𝑂𝐶 = (0,2) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de
homotecia 𝑘 = −2 Es decir,
−1
2𝑂𝐴 = −2,1 ,−
1
2𝑂𝐵 = −1, −1 y −
1
2𝑂𝐶 = 0, −1
• Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso, el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′ −4,2 , 𝐵′ −4, −4 𝑦 𝐶′ −2, −2
• Comprobar el resultado usando GeoGebra.
A
B C
-4
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Observaciones • En el caso 3.1 el triángulo homotético es más grande que la figura inicial. Ya que el
valor de la razón es 𝑘 = −2, es decir, 𝑘 < −1.
• En el caso 3.2 el triángulo homotético es más pequeño que la figura inicial. Ya que el
valor de la razón es 𝑘 = −1
2, es decir, −1 < 𝑘 < 0.
• En ambos casos, el triángulo homotético está “invertida”, sin embargo, corresponde
a rotación en 180° con centro en O, y luego agrandar o achicar la figura según
corresponda (composición de transformaciones).
• Las imágenes de los puntos quedan ubicados en el cuadrante opuesto respecto del
origen, o semieje opuesto de los ejes coordenados.
• Las homotecias con factor de homotecia negativo, se les llama Homotecias Inversas.
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Homotecia Inversa (Reducción Inversa)
Homotecia Directa (Ampliación Directa)