Florida-Paris Workshop on Granular Fluids 1
Ruptura de la equiparticiónde energía en mezclas granulares fluidas
Andrés Santos∗
Departamento de Física, Universidad de Extremadura, Badajoz
*En colaboración con J.W. Dufty
Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 2003
Ciclo de seminarios del Dpto. de Física
13 de noviembre, 20032
Plan de la charla
Introducción (3-5)Teoría cinética (6-8)Ejemplos (9-13)Diagramas de fase (14-24)Conclusiones (25-26)
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13 de noviembre, 20033
Mezcla granular binaria
a221
m1
a12
2m2
a11
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13 de noviembre, 20034
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13 de noviembre, 20035
Formulación del problema
Mezcla binaria de esferas duras inelásticas
Especie pesada (1):m1, 1, x1=n1/n, a11, a12.
Especie ligera (2):m2, 2, x2=n2/n=1-x1, a22, a21= a12.En el estado de enfriamiento homogéneo,m1àm2ï‚v1
2Ú/‚v22Ú=?
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13 de noviembre, 20036
Ecuación de Enskog-Boltzmann
Tasas de enfriamiento Tasas de termalización
Frecuencia de colisión efectiva
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Parámetro de “orden”
Condición para valor estacionario:
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Aproximación maxwelliana
tasas de enfriamiento tasas de termalización
Colisiones elásticas: φ=h2ïT1/T2=1 ¡Equipartición de energía!
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Unos cuantos ejemplos representativos
1. Colisiones cruzadas cuasi-elásticas:α11= α22=1, 1−α12=O(h2)
Ruptura débil de la equipartición de energía Estado “normal”f~h2, T1~ T2
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2. Colisiones cruzadas inelásticas :α11= α22=1, 1−α12=Ο(1)
No dinámica browniana (x1ö0)
No gas de Lorentz (x2ö0)Independientemente de las concentracionesï
Ruptura fuerte de la equipartición de energíaf~1, T1/ T2ö¶ Estado “ordenado”
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3. Colisiones pesada-pesada inelásticas:α12= α22=1, 1−α11=Ο(1)
De nuevo, ruptura fuerte de la equipartición de energía
Estado “sub-normal”
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4. Colisiones ligera-ligera inelásticas + tamaños dispares:α11= α12=1, 1−α22=Ο(1), si~mi1/3
Intermedio entre los estados normal y ordenado
Estado“sub-ordenado” (o “super-normal”)
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5. Colisiones ligera-ligera inelásticas + límite browniano:α11= α12=1, 1−α22=Ο(1), x1= Ο(h2)
Ruptura muy fuerte de la equipartición de energía
Estado “super-ordenado”
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Clasificación de los estados
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Leyes de escala
a1=0ïColisiones pesada-pesada inelásticasa1=¶ï Colisiones pesada-pesada elásticas
b=0ï Colisiones cruzadas inelásticasb=¶ï Colisiones cruzadas elásticas
a2=0ï Colisiones ligera-ligera inelásticas + tamaños comparablesa2=¶ï Colisiones ligera-ligera elásticas
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas inelásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas débilmente cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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13 de noviembre, 200319
Diagrama de fases (concentraciones finitas)Colisiones cruzadas fuertemente cuasi-elásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (concentraciones finitas)
Colisiones cruzadas inelásticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Diagrama de fases (Límite browniano)
Colisiones cruzadas inelásticas
(I)
(II)
Líneas críticas
Sub-normalNormalSub-ordenadoOrdenadoSuper-ordenado
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Líneas críticas (Límite browniano)
(I) x1~h2, b2ö0
(I)
(II)
(II) 1-a22~h2, x1/h2ö0
normal
sub-ordenado
ordenado
sub- ordenado
ordenado
normal
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Caso (II) 1-a22~h2, x1/h2ö0
2
2
2
2
2
2
2
2
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13 de noviembre, 200324
Caso (II) 1-a22~h2, x1/h2ö0¿Es fiable la aproximación maxwelliana?
b2=0.9
b2=1
b2=1.1
Maxwell-Boltzmann
=b2
Solución de la Ecuación cinética
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13 de noviembre, 200325
ConclusionesDependiendo de los parámetros de control (coeficientes de restitución,
cociente de tamaños y concentraciones), el cociente entre las velocidades cuadráticas medias ‚v1
2Ú/‚v22Ú (y entre las temperaturas parciales T1/T2)
en una mezcla granular con enfriamiento libre presentan una ricadiversidad de leyes de escala en el límite de masas disparesm1/m2ö¶. Los estados resultantes van desde el “sub-normal” (T1/T2ö0) al “super-ordenado” (‚v1
2Ú/‚v22Úö¶).
Si las colisiones cruzadas son inelásticas (a12<1), el estado es siempre “ordenado” (‚v1
2Ú/‚v22Ú~1). Por consiguiente, en este caso no
puede existir ni dinámica browniana (cuando x1 ö0 ) ni gas de Lorentz(cuando x2 ö0 ).
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ConclusionsUn estado “normal” (T1/T2~1) solamente es posible si los tres tipos de
colisión son suficientemente cuasi-elásticas.
Un estado “super-ordenado” sólo es posible en el límite browniano(cuando x1 ö0 ). No hay estado “sub-normal” en ese caso.
En el límite browniano existen líneas críticas en el diagrama de fases sobre las cuales el estado puede ser normal, ordenado o sub-ordenado.
El mismo escenario que en el caso de enfriamiento libre se da esencialmente en el caso de un sistema forzado externamente.
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¡GRACIAS!