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B. Producto de matrices por escalar
Ejemplo:
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C. Producto de matrices
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C. Producto de matrices Ejemplo:
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C. Producto de matrices Condiciones de aplicación:
Num. Columnas de la 1ª matriz = Num. Filas de la 2ª matriz
No es necesario que el Num. filas de la 1ª matriz sea igual al Num. de columnas de la 2ª matriz
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C. Producto de matrices Propiedades:
· Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C · Distributiva respecto a la suma: A · (B + C) = A · B + A · C · El producto de matrices NO es siempre conmutativo: A · B ≠ B · A · Matriz identidad: A · I = I · A = A
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D. Potencias de una matriz cuadrada
Dada una matriz cuadrada A, se definen sus potencias sucesivas como:
A2 = A · A
A3 = A · A · A = A2 · A
A4 = A · A · A · A = A3 · A
...
An = A · A · A · A · … · A = An-1 · A
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E. Traspuesta de matrices
La matriz traspuesta de una matriz Amxn se obtiene de intercambiar sus Filas con las Columnas
Una matriz cuadrada es simetrica si coincide con su traspuesta.
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1.3 Rango de una matriz
Operaciones que se pueden hacer con matrices
a) Intercambiar el orden de sus filas
b) Multiplicar o dividir una fila per un Num. diferente de 0
c) Sumar filas entre ellas
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1.3 Rango de una matriz Resolución por método de Gauss: Ejemplo 1:
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1.3 Rango de una matriz Ejemplo 2:
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1.3 Rango de una matriz Definición:
El rango de una matriz es el Num. de files independientes que tiene (vectores indep.)
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1.4 Matriz inversa.
Dada una matriz A, si inversa A-1 cumple que
Ejemplo:
Métode directo de resolució n
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1.4 Matriz inversa 3x3
Ejemplo:
Determinante de la matriz
Matriz adjunta
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1.4 Matriz inversa.
a.- Determinante de una matriz 3x3 (MET. SARRUS)
2·0·1 3·1·1 5·0·0 5·0·1 3·0·1 2·1·0 + + + + - ( ) ( )
Ejemplo:
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1.4 Matriz inversa. El determinante
Propiedades del determinante
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1.4 Matriz inversa. El determinante
1.- det A = det (At) ↔ |A| =| At |
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1.4 Matriz inversa. El determinante
2.- Si en un determinante se intercambian 2 filas o columnas, el valor de su signo cambia
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1.4 Matriz inversa. El determinante
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1.4 Matriz inversa. El determinante
Propiedades del determinante
4.- Multiplicar un determinante por un Num. real equivale a multiplicar una fila o columna por este Num.
5.- Det (A·B) = Det A · Det B
6.- Si todos los elementos de una fila o una columna están formados per dos sumandos, este determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes.
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1.4 Matriz inversa. El determinante
4.- Multiplicar un determinante por un Num. real equivale a multiplicar una fila o columna per este Num.
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1.4 Matriz inversa. El determinante
5.- Det (A·B) = Det A · Det B ↔ |A·B| =| A|·| B|
6.- Si todos los elementos de una fila o una columna están formados per dos sumandos, este determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes.
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1.4 Matriz inversa.
b.- Matriz adjunta (i la su traspuesta)
Sustituimos cada uno de los elementos de la matriz pol su adjunto
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1.4 Matriz inversa.
c.- Matriz inversa 3x3
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La matriz inversa se puede hacer servir para resolver ecuacione matriciales
Ejemplo:
Buscamos una matriz que cumpla que:
1.5 Ecuaciones matriciales.
No se puede:
Solución: