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Polinomios
Álgebra Superior
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Contenido
Operaciones con polinomios
Definición de polinomioProducto de polinomiosDivisión de polinomioTeorema del residuo División sintéticaRegla de HornerMáximo común divisor
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Raíces de polinomiosEcuaciones algebraicasTeorema de identidadTeorema fundamental del álgebraRaíces imaginariasRelación entre raíces y coeficientes
Obtención de raíces múltiples Factorización de un polinomio raíces múltiples
Descomposición de un polinomio en factores linealesFunciones racionales Fracciones parciales
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Definición de polinomioUn polinomio es una expresión de la forma
a0xn + a1xn–1 + … + an
Donde a0, a1, …, an son números reales o complejos y x es una variable.
La expresión anterior también se llama función racional de x.
Si a0 0, el polinomio es de grado n y a0xn es el término principal.
Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término, es decir
a0xn + a1xn–1 + … + an = b0xn + b1xn–1 + … + bn
Si a0 = b0, a1 = b1, …, an = bn, .
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Multiplicación de polinomios
Sean los polinomios x2 – x + 1 y x2 + x + 1, el producto se calcula de la siguiente manera:
(x2 – x + 1) (x2 + x + 1)
x4 – x3 + x2)
x3 – x2 + x
x2 – x + 1
x4 + x2 + 1
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Método de coeficientes separadosEl producto anterior puede evaluarse sin escribir las potencias de x.
1 – 1 + 1 1 + 1 + 1
1 – 1 + 1
1 – 1 + 1
1 – 1 + 1
1 + 0 + 1 + 0 + 1
El producto es
x4 + 0 + x2 + 0 + 1 = x4 + x2 + 1
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Ejemplo
5x4 – 2x3 – x + 1 y x4 + x2 + 3x + 5,
5 – 2 0 – 1 1 1 0 1 3 5
5 – 2 0 –1 1
5 –2 0 –1 1
15 –6 0 –3 3
25 –10 0 –5 5
5 – 2 5 12 20 –11 – 2 – 2 5
El polinomio es
5x8 – 2x7 + 5x6 + 12x5 + 20x4 – 11x3 – 2x2 – 2x + 5
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División de polinomiosSean dos polinomios
f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an
g(x) = b0xm + b1xm–1 + … + bm
Con n>= m. Si hacemos c0 = a0/b0, podemos formar un polinomio f1 de grado n1<n como
f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x) = (a1– a0b1/b0)xm–1 + … + (a0– a0bm/b0)
Si no es nulo podemos aplicar este proceso con c1 tal que:
f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)
Los grados de los restos parciales f1, f2, … forman una sucesión decrciente hasta encontrar uno cn nk<m.
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División de polinomios (cont.)f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x)
f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)
…
fk(x) – ckxnk–m g(x) = fk+1(x)
Poniendo:
c0xn–m + c1xn1–m +…+ ckxnk–m = q(x) y fk+1(x) = r(x)
Obtenemos:
f (x) = g(x) q(x) + r(x)
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EjemploDividir x8 + x7 + 3x4 – 1 por x4 – 3x3 + 4x + 1
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Teorema del residuoEl residuo obtenido de la división de f (x) por (x – c), es igual al valor numérico del polinomio f (x) para x = c.
Demostración. Como el divisor es de primer grado, el residuo debe ser una constante r. Entonces
f (x) = (x – c)q(x) + r
Evaluando en x = c.
f (c) = (c – c)q(x) + r = r
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AplicacionesDemostrar que f (x) = x3 + x2 – 5x + 3 es divisible entre x + 3.
f (3) = (3)3 + (3)2 – 5(3) + 3 = 27 + 9 + 15 + 3 = 0
Por lo tanto el residuo vale 0.
Demostrar que xn – cn es divisible entre x – c.
Debido a que f (c) = cn – cn = 0, es divisible entre x – c.
En que condiciones xn + cn es divisible entre x + c.
(– c)n + cn = cn + cn = 2cn si n es par
(– c)n + cn = –cn + cn = 0 si n es impar
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Regla de Ruffini (división sintética)El cociente de un polinomio entre un factor (x – c) se puede
determinar fácilmente.
f (x) = (x – c) q(x) + r
Donde
q(x) = b0xn–1 + b1xn–2 + … + bn–1
Efectuando la multiplicación se obtiene:
(x – c) q(x) + r = b0xn + (b1 – cb0) xn–1 + (b2 – cb1) xn–2 + …
(bn–1 – cbn-2) x + r – cbn
Esto debe ser igual a
a0xn + a1xn–1 + … + an
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Regla de Ruffini (cont.)Igualando coeficientes
a0 = b0 , (b1 – cb0) = a1, (b2 – cb1) = a2, …, r – cbn = an
Despejando las bes
b0 = a0 , b1 = a1 + cb0, b2= a2 + cb1, …, r = an + cbn–1
Esto suele ordenarse de la siguiente manera
c) a0 a1 a2 … an an
cb0 cb1… cbn–2 cbn–1
a0 = b0 b1 b2 … bn–1 r
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EjemploDividir 3x6 – 7x5 + 5x4 – x2 – 6x – 8 por x + 2
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Casos especialesSi se desea dividir entre un factor de la forma ax+b, se aplica la regla de Ruffini evaluando en x = b/a, el cociente se obtiene al dividir los valores entre a.
Ejemplo: x4 + x3 – x2 +1 entre 3x + 2
1 1 -1 0 1 -0.667
-0.667 -0.222 0.8148 -0.543
1 0.3333 -1.222 0.8148 0.457
0.3333 0.1111 -0.407 0.2716
Cociente: x3/3 + x2/9 – 0.407x +0.2716
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Regla de HornerSe puede escribir cualquier polinomio como un desarrollo de potencias de (x – c)
xm = [c + (x – c)]m = cm + mcm–1 (x – c) + m(m – 1) cm–1 (x – c)2/2 + …
f (x) = A0 + (x – c) f1 (x); f1 (x) = A1 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–1
f1 (x) = A1 + (x – c) f2 (x); f2 (x) = A2 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–2
A0 es el residuo de la división de f entre (x – c).
A1 es el residuo de la división de f1 entre (x – c).
Etcétera
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Ejemplo de regla de HornerDesarrolle 4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1 en potencias de x – 1.
4 –6 3 1 –1 –1
4 –2 1 2 1 0
4 2 3 5 6
4 6 9 14
4 10 19
4 14
4
4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1
= 0 + 6(x – 1)+14(x – 1)2+ 19(x – 1)3+ 14(x – 1)4+ 4(x – 1)5
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Máximo común divisorSean dos polinomios f y f1. Al dividir f por f1. obtenemos un cociente q1 y un residuo f2.
f = f1q1 + f2
El proceso podemos extenderlo hasta encontrar un residuo nulo.
f = f1q1 + f2
f1 = f2q1 + f3
…
fr–2 = fr–1qr–1 + fr
fr–1 = frqr
fr es el divisor común de f y f1.
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Máximo común divisor (cont.)De hecho cualquier múltiplo de fr es también divisor de f y f1.
El algoritmo anterior es el algoritmo de Euclides par apolinomios.
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EjemploEncontrar el mcd de x6 + 2x5 + x3 + 3x2 + 3x + 2 y x4 + 4x3 + 4x2 – x – 2
1 2 0 1 3 3 2 1 4 4 -1 -2
1 4 4 -1 -2 1 -2 4
-2 -4 2 5 3
-2 -8 -8 2 4
0 4 10 3 -1 2
4 16 16 -4 -8
0 -6 -13 3 10
f2 = – 6x3 – 13x3 + 3x + 10
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1 4 4 -1 -2
6 24 24 -6 -12 -6 -13 3 10
6 13 -3 -10 -1 -11
11 27 4 -12
66 162 24 -72
66 143 -33 -110
19 57 38
1 3 2
-6 -13 3 10 1 3 2
-6 -18 -12 -6 5
5 15 10
5 15 10
0 0 0
x 6
x 6
/ 19
Mcd = x2 + 3x + 2
f2
f1
f2
f2
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Encontrar el mcd de x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 y
5x4 – 4x3 – 6x2 + 4x + 1
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Raíces de polinomios
Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos. Definimos una ecuación algebraica como
f (x) = 0
Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz.
De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama: lineal, cuadrática, cúbica, etc.
Si c es una raíz de f (x), entonces
f (x) = (x – c) f 1(x)
Donde f 1(x) es un poliniomio de grado n – 1.
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Raíces de polinomios
Si c1 es otra raíz de f (x), entonces
(c1 – c) f 1(c1) = 0
De donde f 1(c1) = 0 y f 1(c1) es divisible por (x – c1).
f 1(x) = (x – c1) f 2(x)
Donde f 2(x) es un polinomio de grado n – 2.
Podemos concluir que f (x) será divisible por
(x – c) (x – c1) …(x – cm–1)
Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.
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Ejemplo Resolver la ecuación siguiente sabiendo que -1 y 3 son raíces.
x4 – 5x2 – 10x – 6 = 0
–1 1 0 –5 –10 –6
–1 1 4 6
3 1 –1 –4 –6 0
3 6 6
1 2 2 0
La ecuación reducida es x2 + 2x + 2 = 0
Las otras raíces son: –1 + i y –1 – i
El polinomio puede escribirse como
x4 – 5x2 – 10x – 6 = (x – 3)(x + 1) (x +1+i) (x+1–i)
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Resuelva 20x3 – 30x2 + 12x – 1 = 0
Si 1/2 es una raíz.
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Resuelva 2x4 – x3 – 17x2 + 15x + 9 = 0
Si 1 + √2 y 1 – √2 son raíces.
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Resuelva x3 – 2(1 + i)x2 – (1 – 2i)x + 2(1 + 2i) = 0
Si 1 + 2i es raíz.
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Teorema fundamental del álgebraTeorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o imaginaria.
Sea f (x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a1 tal que f (1) = 0. Por tanto
f (x) = (x – ) f 1(x)
El argumento se repite para f 1(x) de tal manera que podemos escribir:
f (x) = a0(x – ) (x – )…(x – n)
Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede ser:
f (x) = a0(x – a) (x – b)…(x – l)
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Al hecho de que se repitan las raíces se le llama multiplicidad.
Si = 1, se dice que es raíz simple.
Si = 2, se dice que es raíz doble.
Si = 3, se dice que es raíz triple.
Etc .
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Multiplicidad de una raízSi desarrollamos el polinomio f (x) en potencias de (x – a) donde a es una raíz, obtenemos la siguiente serie de Taylor:
nn
axn
af
axaf
axaf
afxf
··3·2·1...
21''
1' 2
Si es divisible entre (x – a) se requiere que
f (a) = 0; f ‘(a) = 0; ….f (–1)(a) = 0; pero f (a) 0
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ejemploLa ecuación
f (x) = xn – nx + n – 1 = 0
Tiene una raíz en x = 1, encuentre su multiplicidad
f ‘(x) = nxn – 1 – n
f ‘’(x) = n(n – 2)xn – 2
f ‘(1) = 0 pero f ‘‘(1) 0 la multimplicidad es 2.
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Raíces complejasSi una ecuación con coeficientes reales tiene una raíz compleja a + ib de multiplicidad , tiene también la conjugada a – bi con la misma multiplicidad.
Si el número de raíces imaginarias es 2s y el de reales es r, entonces
2s + r = n
Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz es real.
Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas.
Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y cuadráticos.
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EjemploFactorice: x4 + x2 + 1 = 0
Sea y = x2, 2
312
411 iy
23
5.043
41
2
2/14/34/1
2
2/14/34/1
2
2/32/1
ii
ii
x
(x – 0.5 – i√3/2)(x – 0.5 + i√3/2)(x + 0.5 – i√3/2) (x + 0.5 + i√3/2) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
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Relación entre raíces y coeficientes
Desarrollando el producto
(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn)
Obtenemos para n = 2, 3, 4:
(x + b1) (x + b2) = x2 + (b1 + b2)x + b1b2
(x + b1) (x + b2) (x + b3) = x3 + (b1+ b2 + b3)x2 + (b1 b2 + b1b3 + b2 b3)x + b1b2b3
(x + b1) (x + b2) (x + b3) (x + b4) =x4 + (b1+ b2+ b3 + b4)x3 + (b1 b2 + b1b3 + b1b4 + b2 b3+ b2 b4+ b3 b4)x2 + (b1 b2b3 + b1b2b4 + b1b3 b4
+ b2 b3 b4)x + b1b2b3b4
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Relación entre raíces y coeficientes (cont.)
Sea
s1 la suma de b1, b2, b3, bn;
s2 la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos por pares
…
si la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos de a i,
…
sn el producto de b1, b2, b3, bn,
Entonces
(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn) = xn + s1xn–1 + s2x–2 + … + sn
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Relación entre raíces y coef. (cont.)Se puede mostrar que para un polinomio
a0xn + a1xn–1 + … + an
con raíces 1, 2, …,n. Se cumple que:
1 = – a1/a0
12 = a2/a0
…
1 2 3 … i = (–1)iai/a0
…
1 2 3 … n = (–1)nan/a0
Donde 1 es la suma de raíces, 12 es la suma de parejas de productos de raíces, etc.
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ejemploResolver la ecuación 3x3 – 16x2 +23x – 6 = 0 si el producto de dos raíces es 1.
Sean a, b y c las raíces, entonces
a + b + c = –(–16)/3
ab + ac + bc = 23/3
abc = –(– 6)/3 = 2
Además ab = 1. entonces c = 2 y nos queda resolver
a + b = 10/3
ab = 1 = 2
a2 – 10/3a + 1 = 0 x = 2, 3, 1/3
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x3 + 2x2 +3x +2 = 0 si a = b + c
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2x3 – x2 – 18x +9 = 0 si a + b = 0
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3x3 + 2x2 – 19x +6 = 0 si a + b = –1
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Acotación De raíces
Si interesan solo las raíces reales de polinomios con coeficientes reales es importante hallar un número real que sea menor a todas las raíces y otro número que sea mayor a todas ellas.
Estos números son la cota inferior y superior de las raíces reales del polinomio.
Para hallar la cota superior buscamos un número que haga positivo a a0x + a1, y aplicamos la regla de Ruffini para evaluar el polinomio, si resulta negativo alguno de los términos, probamos con un número más grande.
Para encontrar la cota inferior sustituimos x por –x y repetimos el proceso anterior.
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Ejemplos2x5 – 7x4 – 5x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0
Para hacer positivo a 2x – 7, comenzamos con c = 4
4| 2 -7 -5 6 3 -10
2 1 -1 probar con un valor mayor que 4
5| 2 -7 -5 6 3 -10
2 3 10 56 283 1405
5 es la cota superior de las raíces positivas.
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x5 – 7x4 – 100x3 – 1000x2 + 10x – 50 = 0
x – 7, debemos comenzar con x = 7
7| 1 -7 -100 -1000 10 -50
1 0 -100 hay que probar un valor mayor
10| 1 -7 -100 -1000 10 -50
1 3 -70 hay que probar un valor mayor
20| 1 -7 -100 -1000 10 -50
1 13 160 2200 positivos los demás
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2x6 + 20x5 + 30x3 + 50x2 + 1 = 0
x -x
2x6 – 20x5 – 30x3 + 50x2 + 1 = 0
2x – 20 =0 debemos comenzar con x = 10
10| 2 -20 0 -30 50 0 1
2 0 0 -30 hay que probar un valor mayor
11| 1 -20 0 -30 50 0 1
2 2 22 212 Todos posiitivos
11 es la cota superior del polinomio transformado, -11 es la cota inferior del polinomio original.
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ActividadHallar las cotas de las raíces de
x4 – 7x3 + 10x2 – 30 = 0
x5 + 8x4 – 14x3 – 53x2 + 56x – 18 = 0
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Raíces enterasSea la ecuación con coeficientes enteros
f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an = 0
Si c es un entero que es raíz de esta ecuación, entonces
c(a0cn–1 + … + an–1) = –an
Es decir, la raíz divide al término independiente.
Además, f (x) = (x – c) f 1(x) y los coeficientes de f 1(x) son enteros. Si x = a, f (a) = (a – c) f 1(a) y por tanto f (a) es divisible por c – a.
Con esto en mente se pueden excluir algunos enteros que dividen a an en la búsqueda de la raíz.
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EjemploAveriguar si la ecuación siguiente tiene o no raíces enteras.
x6 + 3x5 – 36x4 – 45x3 + 93x2 +132x + 140 = 0
Divisores positivos de 140: 1, 2, 4, 5, 7
Divisores negativos de 140: 1, 2, 45, 7
Probamos 1 y 1 con Ruffini
1 | 1 3 36 45 93 132 140
1 4 32 77 16 148 288 = f (1)
-1 | 1 3 36 45 93 132 140
1 2 38 7 100 32 108 = f (1)
4 + 1 = 5 no divide a 108, –4 – 1 = –5 no divide a 288, excluimos a 4 y –4.
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Probamos 2 y 2
2 | 1 3 36 45 93 132 140
2 | 1 5 26 97 101 70 0 = f (2)
1 7 12 121 -343 756 = f1(2)
2 | 1 5 97 101 70
2 | 1 3 32 33 35 0 = f (2)
1 1 34 35 105 = f2(2)
Probamos luego con 5
5 | 1 3 32 33 35
5 | 1 8 8 7 0 = f (5)
1 13 73 372 = f3(5)
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-5 no divide a 7 queda probar 7 y -7
7 | 1 8 8 7
1 15 113 784
-7| 1 8 8 7
1 1 1 0 = f (7)
Resolvemos x2 + x +1 = 0, x = -0.5 + 1.5i y x = -0.5 + 1.5i
Además de x = 2, -2, 5, -7
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Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras
x5 + x4 – 20x3 – 44x2 – 21x – 45 = 0
Las posibles raíces enteras son 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15, 9 y -9
probamos con 9
9| 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45
9 90 630 5274
1 10 70 586 5253 …. Valores muy grandes
5| 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45
5 30 50 30 45
1 6 10 6 9 0 5 es una raíz
5| 1 6 10 6 9
5 55 325 1655
1 11 65 331 1664 NO es raíz doble
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Probamos con 3
3| 1 6 10 6 9
3 27 111 351
1 9 37 117 360
Probamos -3
-3| 1 6 10 6 9
-3 -9 -3 -9
-3| 1 3 1 3 0 es Raíz, probamos si es doble
-3 0 -3
1 0 1 0 es doble
Las otras raíces son –i, +i.
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Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras
x4 – x3 – x2 + 19x – 42 = 0
Las posibles raíces enteras son 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 7, -7, 14, -14, 21, -21
probamos con 1
1| 1 -1 -1 19 – 42 2| 1 1 1 21
1 0 -1 18 2 6 14
1 0 -1 18 24 1 3 7 35
-1| 1 -1 –1 19 – 42 -2| 1 1 1 21
-1 2 -1 -18 -2 2 -6
1 -2 1 18 60 1 -1 3 15
2| 1 -1 -1 19 -42 3| 1 1 1 21
2 2 2 42 3 12 39
1 1 1 21 0 1 4 13 60
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Probando con -3
-3 | 1 1 1 21
-3 6 -21
1 -2 7 0 es raíz.
Las otras dos raíces se encuentra resolviendo: x2 – 2x + 7 = 0
La solución es: x = 1 + 2.45i y x = 1 – 2.45i
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Raíces racionalesSi un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional de la forma c/d (donde c y d son primos entre si) si
1. El numerador c es un factor de an.
2. El denominador d es un factor de a0.
Demostración. Como f (c/d) = 0
0... 11
1
10
nnn
n
n
n
adc
adc
adc
a
Multiplicando por dn y luego sumando –andn.
nn
nn
nn dadadcacac
11
21
10 ...
Como c y d no tiene factores en común, c debe dividir a an. De forma similar se demuestra la otra parte.
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EjemploMostrar que f (x) = x3 – 4x – 2 = 0 no tiene raíces racionales.
El numerador c debe ser factor de 2 y de 1, y el denominador d debe ser factor de 1.
Las raíces deben ser de la forma 1/ 1 o 2/ 1 o sea 1 o 2
Por Rufinni encontramos
f (1) = -5
f (-1) = 1
f (2) = -2
f (-2) = -2
Por lo tanto no tiene raíces racionales.
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EjemploHallar las raíces de f (x) = 3x4 + 14x3 + 14x – 8x – 8 = 0
El numerador c debe ser: 1, 2, 4, 8
El denominador d debe ser: 1, 3
Las raíces deben ser: 1, 2, 4, 8, 1/3 o 2/3, 4/3, 8/3
Por Rufinni encontramos
f (1) = 15, f (-1) = 3, f (2) = 192, f (-2) = 0.
Probamos con las racionales para 3x3 + 8x2 – 2x -4
f (1/3) = -8.56, f (-1/3) = -4.26, f (2/3) = - 2.37, f (-2/3) = 0
Las otras raíces se obtienen de: x2 + 2x – 2 = 0, x= 0.732, -2.732
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ResolverHallar las raíces de f (x) = x4 + 3x3 – 30x2 – 6x – 56 = 0
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Regla de signos de DescartesSea f (x) un polinomio con coeficientes reales y un término constante diferente de cero.
1. El número de raíces reales positivas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (x) o es menor a ese número en un entero par.
2. El número de raíces reales negativas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (-x) o es menor a ese número en un entero par.
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Ejemplo
Sea f (x) = 2x5 – 7x4 + 3x2 + 6x – 5
Sea f (– x) = –2x5 – 7x4 + 3x2 – 6x – 5
# de soluciones reales positivas: 3 3 1 1
# de soluciones reales negativas: 2 0 2 0
# de soluciones complejas: 0 2 2 4
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ActividadUsando la regla de Descartes determine el número posible de soluciones reales positivas, reales negativas y complejas de la ecuación.
2x4 – x3 + x2 – 3x + 4 = 0
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Funciones racionales
Una función racional es aquella que es igual al cociente de dos polinomios.
El dominio de la función son todos los números reales excepto aquellos que hacen cero al denominador h(x).
xhxg
xf
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Ejemplos
2
1
x
xf El dominio es toda x excepto x = 2
9
52
x
xxf
48
2
3
xx
xf
El dominio es toda x excepto x = 3
El dominio es toda x real.
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Asíntotas verticales
2
1
x
xf
La recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si
f (x) o f (x) –
Cuando x se aproxima a a ya sea por la derecha o por la izquierda.
Tiene una asíntota vertical en x = 2.
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Asíntotas horizontales
2
1
x
xf
La recta x = a es una asíntota Horizontal para la gráfica de una función f si
f (x) c cuando x o x –.
Tiene una asíntota horizontal en f (x) 0 cuando x o x –
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y
x
y = c
y = f (x)
y
x
y = c
y = f (x)
y
x
y = cy = f (x)
y
x
y = cy = f (x)
f (x) c cuando x
f (x) c cuando x –
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Teorema sobre asíntotas horizontalesSea
mm
mmnn
nn
bxbxbxbaxaxaxa
xf
11
10
11
10
...
...
1) Si n < m, entonces el eje x es la asíntota horizontal para la gráfica de f.
2) Si n = m, entonces la recta y = a0/b0 es la asíntota horizontal para la gráfica de f.
3) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.
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Ejemplo
6
132
xx
xxf
Como el grado del numerador es menor que el del denominador, tiene una asíntota horizontal.
Para verificarlo, dividimos numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador (2) y hacemos que x .
2
2
2
2
2
611
13
6
13
xx
xx
xxx
xx
xf
Al tomar el limite cuando x se obtiene f (x) = 0
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Guía para trazar la gráfica de una función racional
Suponga que f (x) = g(x) /h(x), donde g(x) y h(x) son polinomios que no tienen factor común.
1. Encontrar los puntos de intersección con el eje x.
2. Encontrar las raíces del denominador. Para cada raíz trace una asíntota vertical.
3. Encontrar f (0) y localizarlo en la gráfica.
4. Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay asíntota horizontal y = c, trace la línea punteada.
5. Si hay una asíntota horizontal y = c, determine si cruza la gráfica. Las intersecciones son solución de f (x) = c.
6. Trace la gráfica.
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Ejemplo
5243
xx
xf
1. Cero de numerador: x = –4/3
y
x
2. Cero de denominador: x = 5/2
y
x
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Ejemplo
5243
xx
xf
3. f (0) = –4/5
y
x
4. Asíntota horizontal en: y = 3/2
y
x
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Ejemplo
5243
xx
xf
5. f (x) = 3/2
6. Trazar gráfica
y
x23
5243
xx
6x + 4 = 6x – 15, no existe solución, no hay cruce.
x = 5/2
y = 3/2
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Gráfica con Geogebra
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Trazar gráfica
212
2
2
2
xxx
xxx
xf
1. Intersección con eje x: x = 0
2. Ceros de denominador: x = –1, 2
3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.
4. Asíntota horizontal en y = 1/1 = 1
5. Cruce con la asíntota horizontal.
2
121
22
2
xxx
xxx
x = -2
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y
x
x = 2
(-2, 1)
(0, 0)
212
2
2
2
xxx
xxx
xf
x = -1
y = 1
f (x) > 0 para x<-1
f (x) < 0 para -1<x<2
f (x) > 0 para x>2
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Trazar gráfica
1
24
4
xx
xf
1. Intersección con eje x: x = 0
2. Ceros de denominador: no hay
3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.
4. Asíntota horizontal en y = 2/1 = 2
5. Cruce con la asíntota horizontal.
22,21
444
4
xxx
xNo tiene solución real, no hay cruce.
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y
x
(0, 0)
24
4
xx
xf
y = 2
f (x) > 0 para toda x
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Imagen con Geogebra
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Asíntotas oblicuas
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador en uno, se tiene una asíntota oblicua.
xhxr
baxxhxg
xf
Cuando x crece el término r(x)/h(x) se hace 0 y la función crece como ax + b.
Si la diferencia en el grado del numerador y denominador es más grande la asíntota se ajustará a la curva del cociente.
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4292
xx
xf
Tiene una asíntota en x = 2.
El cociente es igual a:
42
51
21
xxxf
Conforme x crece (o decrece) se aproxima a la recta ½ x + 1.
Note que para x>2 la función está por debajo de la recta y para x<2 se encuentra por arriba.
y
x
x = 2
½ x + 1
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Fracciones parcialesLa descomposición en fracciones parciales de una función racional es una expansión de la forma:
rFFFxgxf ...21
En donde cada Fk es de la forma
nmcbxax
BAxo
qpx
A
2
En donde los polinomios cuadráticos no tienen raíces reales.
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Procedimiento1. Si el grado de f (x) no es menor que el de g(x), dividir ambos polinomios.
2. Factorizar g(x) en factores de la forma (px + q) y (ax2 +bx + c) y agrupar los factores comunes de la forma (px + q)m y (ax2 +bx + c)n.
3. Para factores de la forma (px + q)m con m>=1, descomponer en
mm
qpx
A
qpx
Aqpx
A
...2
21
4. Para factores de la forma (ax2 +bx + c)n descomponer en:
nnn
cbxax
BxA
cbxax
BxAcbxax
BxA
222
222
11 ...
5. Encontrar los valores de Ak y Bk.
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Ejemplo
xxxxx
329134
23
2
La factorización del denominador da: x(x + 3)(x – 1)
13329134
23
2
xC
xB
xA
xxxxx
AxCBAxCBA
xCxxBxxxAxx
332
311391342
2
Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.
93
1332
4
A
CBA
CBA Resolviendo se obtiene A = 3, B = -1 y C = 2.
12
313
329134
23
2
xxxxxxxx
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Otro métodoEn lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0, 1, y -3 en:
31139134 2 xCxxBxxxAxx
Con x = 0 se obtiene: - 9 = -3A, A = 3
Con x = 1 se obtiene: 4+13–9 = 4C, C = 2
Con x = -3 se obtiene: 36 – 39 –9 = -12B, B = -1
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Ejemplo
2
2
3
3610
xx
xx
De acuerdo con la regla
AxCBAxBA
CxxBxxAxx
936
3336102
22
Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.
369
1036
1
A
CBA
BAResolviendo se obtiene A = -4, B = 5 y C = 1.
22
2
333
3610
x
Cx
BxA
xx
xx
22
2
3
13
54
3
3610
xxxxx
xx
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Otro métodoEn lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0 y 3 en:
Con x = 0 se obtiene: - 36 = 9A, A = -4
Con x = 3 se obtiene: 9 + 30 –36 = 3C, C = 1
El valor de B se puede encontrar con las ecuaciones anteriores.
CxxBxxAxx 333610 22
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Ejemplo
48229154
23
23
xxxxxx
Son del mismo grado, es necesario dividir
48221
248229154
23
2
23
23
xxxxx
xxxxxx
Factorizando el denominador:
2x3 – x2 + 8x – 4= x2(2x – 1) + 4(2x – 1) = (x2 + 4)(2x – 1)
12448221
223
2
xC
xBAx
xxxxx
x2 – x – 21 = (2A + C)x2 + (–A + 2B)x – B + 4C
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Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.
214
12
12
CB
BA
CA Resolviendo se obtiene A = 3, B = 1 y C = -5
125
413
248229154
223
23
xxx
xxxxxx
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Ejemplo
22
23
1
3735
x
xxx
El factor cuadrático está repetido
5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 + (A + C)x + B + D
A = 5, B = -3, C = 2 y D = 0
22222
23
111
3735
x
DCxx
BAx
x
xxx
22222
23
1
2135
1
3735
x
xxx
x
xxx