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LÍNEAS
Una línea es una sucesión de puntos del plano
Las líneas pueden ser:
Rectas Curvas Abiertas Cerradas
LÍNEAS RECTASUna línea recta es una sucesión de puntos del plano situados en la misma dirección y que no tiene principio ni final.
Una semirrecta es parte de la recta limitada por un punto.
Un segmento es una parte de la recta limitada por dos puntos.
RELACIONES ENTRE LÍNEAS RECTAS
Dependiendo de su situación una línea recta con respecto a otra puede ser:
Paralelas Secantes Perpendiculares
Cuando situamos varios segmentos uno a continuación de otro formamos una línea poligonal
LÍNEAS POLIGONALES
UN PLANO
Imagina una hoja como ésta, pero infinitamente grande, en donde no hubiera límites o bordes; es algo muy difícil de imaginar, porque algo así no existe en la realidad. Pero si existe en la “imaginación” de la Geometría, pues eso sería UN PLANO.
¿ Y por qué son tan importantes los planos ? Pues para entender e imaginar los demás elementos geométricos que se estudiarás en este curso y en cursos venideros , dado que casi todos ellos nos los tenemos que imaginar dentro de un plano: las rectas, los segmentos, los puntos, los ángulos, etc.
Los ángulos
Al trazar dos rectas secantes (rectas que se cortan) , el plano queda dividido en cuatro zonas. Cada una de ellas es un ángulo .
1
2
3
4
β αO
A
B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
Medición de ángulos ( I )
Los ángulos, igual que otras cosas también se pueden medir, pero lo hacemos utilizando como unidad, otro ángulo muy pequeño al que llamamos grado, igual que las rectas o las carreteras se miden en metros, en kilómetros, etc.
También se mide tu peso en kilogramos o la cantidad de refresco que te tomas, en litros, centilitros, etc.
¿ Por qué se ha utilizado esta medida exacta ? Porque es la que resulta de dividir una circunferencia en 360 partes iguales. Cada una , es un GRADO .
Medición de ángulos ( II )Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.
Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común , determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo B recibe el nombre de cóncavo.
Para medir la amplitud o medida de un ángulo, se utiliza un instrumento llamado transportador de ángulos o limbo graduado. Tiene forma de semicírculo y mide 180 grados. Tiene una marca horizontal y otra vertical cuya intersección debe coincidir con el vértice del ángulo que deseamos medir , la línea horizontal coincidirá con uno de los lados , mientras que el otro lado pasará por una cifra o marca que nos indicará su amplitud. Así si pasa por la marca 60 grados y cinco rayitas nuestro ángulo medirá 65 grados
Medida de ángulos ( III )
α + β = 90º
θ + δ = 180º
δθ
αβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
α β δ εφ
α α
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común
01. Ángulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. Ángulos alternos externos: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠803. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
04. Ángulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
1 2
34
5 6
78
α + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
Sean los ángulos: α y βα + β = 80° Dato: β = 80° - α ( 1 )
( 90° - α ) = 2β ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: α y β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
β + α = 50° β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
A B
O C
M
αα
60°
20°X
De la figura:
α = 60° - 20°
Luego:
X = 40° - 20°
α = 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
A
O
B
C
θ
θX
(θ- X)
( θ + X) (θ - X) = 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según el enunciado
Del enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A
C
B
D
M
N
αα
ββ
θX
De la figura:
2α + θ = 90°θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°
X = α + θ + β
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado
2α + 2θ = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero cóncavo
α + θ = 55° (1)
80° = α + θ + X (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°
80°
30°
αα
θθ
X
m
n
RESOLUCIÓN
5α
4α 65°
X
m
n
Por la propiedad:
4α + 5α = 90°
α = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUCIÓN
3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = α + θ X = 60°
RESOLUCIÓN
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ángulos conjugados internos
PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
αα
2x
m
n