UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal

PAUTA Control N1 Horario A

ALGEBRA LINEAL

1.- a) Sabiendo que :

131

122

111

= C ; 213

514 = B ;

35

12

23

A , determine la matriz

X tal que: 2(C Xt ) = (AB)

2.

Desarrollo:

2(C Xt ) = (AB)

2 C X

t =

2

AB 2)( X

t = C

2

AB 2)( X = (C

2

AB 2)() t

.

AB

19811

835

1156

= , luego, 2

AB 2)(

19811

835

1156

19811

835

1156

2

1=

C 2

AB 2)(

131

122

111

=

546231315

23198133

315133182

2

1

548225317

22994137

313131180

2

1 =

Luego, X = (C 2

AB 2)() t

548229313

22594131

317137180

2

1 =

2742

229

2

3132

22547

2

1312

317

2

13790

=

b) Resuelva para XM2 la ecuacin (AXt + B)

t = X + B

tA con A =

11

12 y B =

22

42.

Desarrollo:

(AXt + B)

t = X + B

tA XAt + Bt = X + BtA XAt X = BtA Bt X(At I) = Bt(A I)

Luego, si existe inversa de (At I), entonces X = Bt(A I) (At I) 1. Pero como A =

11

12 es

simtrica pues At = A , obtenemos X = B

t =

24

22.

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2.- Cuando R, S y TMn, se dice que R es simtrica ssi Rt = R; se dice que S es ortogonal ssi SS

t= In;

y decimos que T es involutiva ssi T 2 = In. Usando estas definiciones,

a) Demuestre que si AMn es una matriz simtrica y ortogonal, entonces A es involutiva.

Demostracin:

Hiptesis o datos: AMn es una matriz simtrica y ortogonal, es decir, At = A y AA

t= In.

Tesis o por demostrar: A es involutiva, o por demostrar que A 2 = In.

Dem.: A2

= AAt, por ser A simtrica.

= In, por ser A ortogonala.

Luego, A 2 = In y por lo tanto A es involutiva.

b) Considerando A, BMn, demuestre que si A es simtrica y B es involutiva, entonces se cumple que (AB

t)1

= (A1

B)t.

Demostracin:

Si A es simtrica y B es involutiva, sabemos que At = A y B

2 = In.

Debemos demostrar la igualdad. Para hacerlo desarrollaremos (ABt)1

.

(ABt)1

= (AtB

t)1

= [(BA) t]1

= [(BA) 1]

t = [A

1 B

1]

t = [A

1 B]

t, pues, si B

2 = In

entonces B 1= B.

Luego, por transitividad de la igualdad, hemos demostrado que (ABt)1

= (A1

B)t.

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PAUTA Control N1 Horario B

ALGEBRA LINEAL

1.- Sabiendo que 13

21= C ;

3

123

211= B ;

23

11

21

= A

; obtenga [A tB

t C 1.

Desarrollo:

Como [A tB

t C 1= [(BA) t C 1, calculamos BA =

3

123

211

23

11

21

=

3

102

36.

Luego, (BA) t C =

3

103

26

13

21 =

3

136

45

Luego, [A tB

t C 1 =

1518

1213

137

1

2.- Determine X en la ecuacin X1

+2(A+BA2 + A

3) = B(B

2+ B + I2) + I2, sabiendo que A =

21

32

es involutiva y B =

11

22 es idempotente.

(Se dice que P es idempotente ssi P2 = P. Y decimos que Q es involutiva ssi Q

2 = In)

Desarrollo:

X1

+2(A+BA2 + A

3) = B(B

2+ B + I2) + I2 . Pero, A

3 = A

2A = A y A

2 = In, por ser A involutiva,

luego, la ecuacin queda: X1

+2(A+B I2 + A) = BB2+ B

2 + B + I2; pero B es idempotente, luego

X1

+ 4A+2B = B + B + B + I2; y despejando, X1

= B + I2 4A ; y finalmente X = (B + I2 4A) 1

Ahora, calculando, X =

1

83

105

=

53

108

10

1

=

53

108

10

1

=

2

1

10

3

15

4

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3.- a) Demuestre que A, BMn con A invertible, si AB = BA entonces BA1

= A1

B.

Demostracin:

Debemos demostrar la igualdad BA1

= A1

B, sabiendo que AB = BA. Partamos de nuestro dato,

AB = BA A1 AB = A1 BA, multiplicando por la izquierda por A1 B = A1 BA, y multiplicando por la derecha por A1 BA1 = A1 BAA1 BA1 = A1 B Y por transitividad de la equivalencia hemos probado que si AB = BA entonces BA

1 = A

1B.

b) Sea A = 21 (I P), con PMn una matriz simtrica y ortogonal. Demuestre que AA

t = A.

(Se dice que R es simtrica ssi Rt = R. Y decimos que Q es ortogonal ssi QQ

t= In)

Demostracin:

Para probar lo pedido desarrollaremos AAt, sabiendo que P

t = P y que PP

t= In.

AAt = 2

1 (I P)[ 21 (I P)]t = 2

1 (I P) 2

1 [(I P)]t = 41 (I P) (I t P t) = 4

1 (I P) (I P t)

= 41 (I P P t + P P t), desarrollando el producto,

= 41 (I 2P + I), por ser P simtrica y ortogonal,

= 41 (2I 2P) = 4

1 2(I P) = 21 (I P) = A

Y por transitividad de la igualdad hemos probado que AAt = A.

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PAUTA Control N1 Horario C

ALGEBRA LINEAL

1.- Sabiendo que :

131

122

111

= C ; 211

302= B ;

32

11

01

A . Determine:

a) La matriz X tal que: 2(AB Xt ) = C

2.

Desarrollo: Despejamos X en la ecuacin:

2(AB Xt ) = C

2 AB Xt =

2

1C

2 Xt = AB

2

1C

2 X= (AB 2

1C

2) t

Y calculamos: AB =

037

113

302

; 2

1C

2 =

131

122

111

131

122

111

2

1 =

326

157

162

2

1

(AB 2

1C

2) t

=

t

2

3410

2

1

2

3

2

12

533

=

2

3

2

1

2

5

42

33

102

13

. Luego, X =

2

3

2

1

2

5

42

33

102

13

b) Resuelva para XM2 la ecuacin ( BA ) X = D con

42

31= D .

Desarrollo: Despejamos X en ( BA )X = D ; multiplicando por inversa de BA, si existe, nos queda

X = ( BA ) 1

D. Ahora, calculamos BA

52

98= y ( BA )

1

82

95

22

1= .

Luego, ( BA ) 1

D

82

95

22

1=

42

31

382

5123

22

1= .

De donde X

382

5123

22

1=

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal

2.- Determine X en la ecuacin X1

+ 2(B + AB2 + B

3) = A(A

2 + A + I2) + I2, sabiendo que

A =

11

22 es idempotente y B =

42

84 es nilpotente de ndice 2.

(Se dice que P es idempotente ssi P2 = P. Y diremos que Q es nilpotente de ndice k ssi Q

k = 0)

Desarrollo:

X1

+ 2(B + AB2 + B

3) = A(A

2 + A + I2) + I2. Pero, B

3 = B

2B = 0 y B

2 = 0, por ser B nilpotente,

luego, la ecuacin queda: X1

+ 2(B + 0 + 0) = AA2 + A

2 + A + I2; pero A es idempotente, luego

X1

+ 2B = A + A + A + I2; y despejando, X1

= 3A + I2 2B ; y finalmente X = (3A + I2 2B) 1

Ahora, calculando, X =

1

107

2215

=

157

2210

4

1

=

4

15

4

72

11

2

5

3.- A,BMn matrices conmutables, demuestre que si A es invertible entonces A1 y B son tambin conmutables.

Demostracin: Debemos probar que A1

B = BA1

, sabiendo que AB = BA.

A1

B = A1

BIn= A1

B(AA 1

)= A1

(BA)A 1

= A1

(AB)A 1

; por A y B conmutables.

= (A1

A)BA 1

= InBA 1

= BA 1

.

Y por transitividad de la igualdad hemos probado que A1

B = BA1

.