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INSTITUTO
POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
Academia de circuitos
RESPUESTA LIBRE Y FORZADA DE UN CIRCUITO RLC
GRUPO: 5CM4
ALUMNO: LOEZA SAAVEDRA ALEJANDRO IVÁN
FECHA DE ENTREGA: 03/10/2013
ÍNDICEMarco teórico 2Teoría Respuesta Forzada de un circuito RLC 3Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC 6Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC 7Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC 8Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC 9Teoría Respuesta Libre de un circuito RLC 10Solución: Caso 1 Respuesta forzada de un circuito RLC 12Solución: Caso 2 Respuesta forzada de un circuito RLC 13Solución: Caso 3 Respuesta forzada de un circuito RLC 14Solución: Caso 4 Respuesta forzada de un circuito RLC 15Memoria de cálculo respuesta Forzada Caso 2 16Memoria de cálculo respuesta Libre Caso 2 20Tabla de Respuesta forzada y grafica a mano 24Tabla de Respuesta Libre y grafica a mano 25Simulación del 2do Caso Libre y Forzada de un RLC 26Simulación del 1ro Caso Libre y Forzada de un RLC 27Simulación del 3ro Caso Libre y Forzada de un RLC 28Simulación del 4to Caso Libre y Forzada de un RLC 29Objetivo 30Material 30Desarrollo 30Observaciones 32Conclusiones 32Recomendaciones 32Bibliografía 32
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
Academia de circuitos
RESPUESTA LIBRE Y FORZADA DE UN CIRCUITO RLC
GRUPO: 5CM4
ALUMNO: LOEZA SAAVEDRA ALEJANDRO IVÁN
FECHA DE ENTREGA: 03/10/2013
MARCO TEÓRICO Se llama régimen transitorio, o solamente "transitorio", a aquella respuesta de un circuito
eléctrico que se extingue en el tiempo, en contraposición al régimen permanente, que es la respuesta que permanece constante hasta que se varía bien el circuito o bien la excitación del mismo.
La figura muestra un transitorio de tensión, que dura el tiempo de carga del condensador. Una vez cargado, la salida ya no varía. No existe un punto donde el régimen cambia, pasando de transitorio a permanente, sino que el transitorio tiende asintóticamente al régimen permanente. En la práctica se elige un valor arbitrario que depende de la aplicación de que se trate.
Desde el punto de vista del análisis circuital, el régimen transitorio viene dado por la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal que describe el circuito, mientras que el régimen permanente se obtiene de la solución de la particular. El amortiguamiento nos indica la evolución del transitorio, que se puede aproximar monótonamente al régimen permanente, como en la figura 1, o bien sufrir oscilaciones amortiguadas.
Desde el punto de vista tecnológico, los transitorios son de gran importancia. Se producen en todos los circuitos (el encendido ya es un transitorio) y se suelen extinguir de forma natural sin causar problemas, pero existen casos donde se deben limitar pues pueden provocar un mal funcionamiento o incluso la destrucción de algún componente. Debe prestarse atención a los transitorios principalmente en las siguientes situaciones:
Encendido. Transitorios en las líneas de alimentación pueden destruir algún componente. En los amplificadores operacionales o circuitos cmos puede presentarse el fenómeno de Latch-up.
Conmutación de inductancias: relés, motores, actuadores electromagnéticos... Son peligrosos para el elemento de potencia que los gobierna. Se suelen proteger con diodos.
Líneas de transmisión. En líneas de transmisión incorrectamente adaptadas se producen reflexiones que, en el caso de circuitos digitales, se comportan como transitorios. También estas líneas son susceptibles de captar ruidos de diversa procedencia que se acoplan a ellas llevando la señal fuera del margen de funcionamiento. Algunas familias digitales incluyen clamp diodes para proteger las entradas de estos transitorios.
Figura 1. Muestra el comportamiento transitorio y permanente de un circuito RC simple
Para la solución debe tener en cuenta los siguientes tiempos en nuestro circuito de interés:
1. t<0 o t=0−¿¿: es el tiempo transcurrido antes de accionar el interruptor, se calcula desde −∞ a un instante antes de t=0 cuya respuesta obtenida es la condición inicial..
2. t=0: es cuando se abre y cierra el interruptor conectando y desconectando la red iniciando el análisis transitorio.
3. t>0 ot=¿: corresponde a un instante después det=0, a partir de este instante se hace el análisis con ecuaciones diferenciales.
Los distintos elementos que integran un circuito RLC son esencialmente la bobina, el resistor y el capacitor, en los cuales se comportan de distintas maneras de acuerdo con la tabla 1.
Elemento t=0 t=∞Sin condiciones
iniciales
Con condiciones
iniciales V1
V = 1
Tabla 1 Comportamiento de la bobina, la resistencia y el capacitor con y sin condiciones iniciales
Respuesta Forzada de Circuitos RLC.Calcular i (t ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.
Figura 2 Circuito RLC en Respuesta ForzadaSolución
t<0 Condiciones iniciales
Figura 3 Circuito RLC en t<0
vC¿iL¿
t=0 Se acciona el switch
Figura 4 Circuito para t=0
iL (0 )=0 ---------- condición inicial
vC (0 )=0 ---------- condición inicial
i (0 )=0di (0 )dt
vL (0 )=L di (0 )dt
di (0 )dt
=vL (0 )L
Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=EvL (0 )=E−vR (0 )−vC (0 )vL (0 )=E−Ri (0 )−0vL (0 )=E
di (0 )dt
=EL
t>0 Se establece la Ecuación Diferencial
Figura 5 Circuito para t>0Por LKV
vR ( t )+vL (t )+vC ( t )=EQue puede expresarse
Ri ( t )+ L di (t )dt
+ 1C∫ i ( t )dt=E
Ld2 i ( t )dt 2
+Rdi ( t )dt
+i ( t )C
=0
LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0
Factorizando:
i (t )(LD2+RD+ 1C )=0
Entonces:
LD2+RD+ 1C
=0
Las raíces son
D1=−R2L
+√( R2L )2
− 1LC
D2=−R2L
−√( R2 L )2
− 1LC
D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2
α= R2L
coeficiente deamortiguamiento
ω= 1
√LCfrec . natural
β=frec . de amortiguamiento
Casos:Caso Condición Tipo de raíces Tipo de sistema
1 ¿ Raíces Complejas Conjugadas.
Sistema Subamortiguado.
2 ¿ Raíces Reales Iguales. Sistema Críticamente Amortiguado.
3 ¿ Raíces Reales Diferentes. Sistema Amortiguado4 R=0 Raíces Puramente
ImaginariasSistema Oscilatorio.
Tabla 2 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Forzada
Soluciones:1er Caso:D1=−α+ jβD2=−α− jβ
La solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−(α− jβ )t+k2 e
−(α+ jβ ) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1e−(α− jβ )0+k 2e
−(α+ jβ )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di ( t )dt
=−(α− jβ ) k1 e−(α− jβ )t−(α+ jβ ) k2e
−(α+ jβ ) t
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−(α− jβ ) k1−(α+ jβ )k 2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
Entonces:
−(α− jβ ) k1−(α+ jβ ) k2=v L (0 )L
Pero k 1=−k2
(α− jβ ) k2−(α+ jβ ) k2=v L (0 )L
α k2− jβ k2−α k2− jβ k2=v L (0 )L
−2 jβ k 2=vL (0 )L
k 2=−vL (0 )2 jβL
→k1=vL (0 )2 jβL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=v L (0 )2 jβL
e− (α− jβ ) t−v L (0 )2 jβL
e−(α + jβ )t
i (t )=v L (0 )2 jβL
e−αt e jβt−v L (0 )2 jβL
e−αt e− jβt
i (t )=v L (0 )2 jβL
e−αt (e jβt−e− jβt )
i (t )=vL (0 )βL
e−αt( e jβt−e− jβt
2 j )i (t )=
vL (0 )βL
e−αt sin (βt )amp .
→τ= 1α
=2 LR
2° Caso:Raíces reales iguales α 2=ω2
EntoncesD1=−αD2=−αLa solución propuesta:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−αt+k2 te
−αt……(a)Evaluando en t=0 para calcular las k´s
i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e
−α (0)
→k1=0Derivando (a)di (t )dt
=−α k1 e−αt−α k2 te
−αt+k2 e−αt
Ahora derivando en t=0
di (0 )dt
=−α k 1+k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
−α k1+k2=vL (0 )L
Como k 1=0 entonces:
k 2=vL (0 )L
Sustituyendo k 1k2 en (a)
i (t )=vL (0 )L
t e−αt
3er Caso:D1=−α+βD2=−α−βLa solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−(α−β ) t+k 2e
−(α+β) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1e−(α−β )0+k2 e
−(α+β )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt
=−(α−β ) k1 e−(α−β ) t−(α+ β ) k2 e
−(α +β ) t
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−(α−β ) k1−(α+β ) k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
Entonces:
−(α−β ) k1−(α+β ) k2=v L (0 )L
Pero k 1=−k2
(α−β ) k2−(α+β ) k2=v L (0 )L
α k2−β k2−α k2−β k2=vL (0 )L
−2 βk 2=vL (0 )L
k 2=−vL (0 )2βL
→k1=v L (0 )2 βL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=vL (0 )2 βL
e−(α− β) t−vL (0 )2 βL
e−(α+β ) t
i (t )=vL (0 )2 βL
e−αt eβt−vL (0 )2βL
e−αt e−βt
i (t )=vL (0 )2 βL
e−αt (eβt−e− βt )
i (t )=vL (0 )βL
e−αt( e βt−e−βt
2 )i (t )=
vL (0 )βL
e−αt sinh (βt )amp .
4° Caso:D1= jβ
D2=− jβ
La solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 ejβt+k2 e
− jβt…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1ejβ 0+k2e
− jβ 0……. (a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt
= jβ k1ejβt− jβ k2 e
− jβt
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
= jβ k1− jβ k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
Entonces:
jβ k1− jβ k2=v L (0 )L
Pero k 1=−k2
− jβ k2− jβ k2=v L (0 )L
−2 jβ k 2=vL (0 )L
k 2=−vL (0 )2 jβL
→k1=vL (0 )2 jβL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=v L (0 )2 jβL
e jβt−vL (0 )2 jβL
e− jβt
i (t )=v L (0 )2 jβL
(e jβt−e− jβt )
i (t )=vL (0 )βL ( e jβt−e− jβt
2 j )i (t )=
vL (0 )βL
sin (βt )amp .
Respuesta Libre de Circuitos RLC.Calcular i (t ) suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente.
Figura 6 Circuito RLC para Respuesta libre
Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales
Figura 7 Circuito para t<0vC¿iL¿
t=0 Se acciona el interruptor
Figura 8 Circuito para t=0
iL (0 )=0 ---------- condición inicial
vC (0 )=E ---------- condición inicial
i (0 )=0di (0 )dt
vL (0 )=L di (0 )dt
di (0 )dt
=vL (0 )L
Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=0vL (0 )=−v R (0 )−vC (0 )vL (0 )=−Ri (0 )−EvL (0 )=−E
di (0 )dt
=−EL
t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales
Figura 9 Circuito para t>0Por LKVvR ( t )+vL (t )+vC ( t )=0Que puede expresarse
Ri ( t )+ L di (t )dt
+ 1C∫ i ( t )dt=0
Ld2 i ( t )dt 2
+Rdi ( t )dt
+i ( t )C
=0
LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0
Factorizando:
i (t )(LD2+RD+ 1C )=0
Entonces:
LD2+RD+ 1C
=0
Las raíces son
D1=−R2L
+√( R2L )2
− 1LC
D2=−R2L
−√( R2 L )2
− 1LC
D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2
α= R2L
coeficiente deamortiguamiento
ω= 1
√LCfrec . natural
β=frec . de amortiguamientoCasos:
Caso Condición Tipo de raíces Tipo de sistema1 ¿ Raíces Complejas
Conjugadas.Sistema
Subamortiguado.
2 ¿ Raíces Reales Iguales. Sistema Críticamente Amortiguado.
3 ¿ Raíces Reales Diferentes. Sistema Amortiguado4 R=0 Raíces Puramente
ImaginariasSistema Oscilatorio.
Tabla 3 Casos para las Diferentes Raíces en Respuesta Libre
Soluciones1er Caso:D1=−α+ jβD2=−α− jβ
La solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−(α− jβ )t+k2 e
−(α+ jβ ) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1e−(α− jβ )0+k 2e
−(α+ jβ )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di ( t )dt
=−(α− jβ ) k1 e−(α− jβ )t−(α+ jβ ) k2e
−(α+ jβ ) t
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−(α− jβ ) k1−(α+ jβ )k 2
Pero de c.i. di(0 )dt
=−vC (0 )L
Entonces:
−(α− jβ ) k1−(α+ jβ ) k2=−vC (0 )L
Pero k 1=−k2
(α− jβ ) k2−(α+ jβ ) k2=−vC (0 )L
α k2− jβ k2−α k2− jβ k2=−vC (0 )L
−2 jβ k 2=−vC (0 )L
k 2=vC (0 )2 jβL
→k1=−vC (0 )2 jβL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=−vC (0 )2 jβL
e−(α− jβ) t+vC (0 )2 jβL
e− (α+ jβ ) t
i (t )=−vC (0 )2 jβL
e−αt e jβt+vC (0 )2 jβ L
e−αt e− jβt
i (t )=−vC (0 )2 jβL
e−αt (e jβt−e− jβt )
i (t )=−vC (0 )βL
e−αt( e jβt−e− jβt
2 j )i (t )=
−vC (0 )βL
e−αt sin (βt )amp.
→τ= 1α
=2 LR
2° Caso:Raíces reales iguales α 2=ω2
EntoncesD1=−αD2=−αLa solución propuesta:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−αt+k2 te
−αt……(a)Evaluando en t=0 para calcular las k´s
i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e
−α (0)
→k1=0Derivando (a)di (t )dt
=−α k1 e−αt−α k2 te
−αt+k2 e−αt
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−α k 1+k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=−vC (0 )L
−α k1+k2=−vC (0 )L
Como k 1=0 entonces:
k 2=−vC (0 )L
Sustituyendo k 1k2 en (a)
i (t )=−vC (0 )L
te−αt
3er Caso:D1=−α+βD2=−α−βLa solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−(α−β ) t+k 2e
−(α+β) t…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1e−(α−β )0+k2 e
−(α+β )0…….(a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt
=−(α−β ) k1 e−(α−β ) t−(α+ β ) k2 e
−(α +β ) t
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−(α−β ) k1−(α+β ) k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=−vC (0 )L
Entonces:
−(α−β ) k1−(α+β ) k2=−vC (0 )L
Pero k 1=−k2
(α−β ) k2−(α+β ) k2=−vC (0 )L
α k2−β k2−α k2−β k2=−vC (0 )L
−2 βk 2=−vC (0 )L
k 2=vC (0 )2 βL
→k1=−vC (0 )2βL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=−vC (0 )2 βL
e−(α−β )t+vC (0 )2 βL
e−(α +β ) t
i (t )=−vC (0 )2 βL
e−αt eβt+vC (0 )2 βL
e−αt e− βt
i (t )=−vC (0 )2 βL
e−αt (e βt−e−βt )
i (t )=−vC (0 )βL
e−αt( e βt−e−βt
2 )i (t )=
−vC (0 )βL
e−αt sinh (βt )amp.
4° Caso:D1= jβ
D2=− jβ
La solución propuesta es:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 ejβt+k2 e
− jβt…….(a)Para calcular las k´s utilizar c.i.De c.i. i (0 )=0, entonces evaluando (a) en t=0
i (0 )=k 1ejβ 0+k2e
− jβ 0……. (a)i (0 )=k 1+k2=0→k1=−k2Derivando (a)di (t )dt
= jβ k1ejβt− jβ k2 e
− jβt
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
= jβ k1− jβ k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=−vC (0 )L
Entonces:
jβ k1− jβ k2=−vC (0 )L
Pero k 1=−k2
− jβ k2− jβ k2=−vC (0 )L
−2 jβ k 2=−vC (0 )L
k 2=vC (0 )2 jβL
→k1=−vC (0 )2 jβL
Sustituyendo k 1 y k 2 en (a)
i (t )=−vC (0 )2 jβL
e jβt+vC (0 )2 jβL
e− jβt
i (t )=−vC (0 )2 jβL
(e jβt−e− jβt )
i (t )=−vC (0 )βL ( e jβt−e− jβt
2 j )i (t )=
−vC (0 )βL
sin (βt )amp .
MEMORIA DE CÁLCULOSuponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales”
V15 V
R1
430Ω
C110µF
L1
1.5H
J1A
Tecla = A
Rint344Ω
Figura 10 Circuito RLC utilizado en Respuesta ForzadaSolución t<0 Condiciones iniciales
V15 V
R1
430Ω
C110µF
L1
1.5H
Rint344Ω
Figura 11 Circuito RLC en t<0
vC¿iL¿
t=0 Se acciona el switch
V15 V
R1
430Ω
J1A
Tecla = A
Rint344Ω
Figura 12 Circuito para t=0
iL (0 )=0 ---------- condición inicial
vC (0 )=0 ---------- condición inicial
i (0 )=0di (0 )dt
vL (0 )=L di (0 )dt
di (0 )dt
=vL (0 )L
Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=EvL (0 )=E−vR (0 )−vC (0 )vL (0 )=E−Ri (0 )−0vL (0 )=5
di (0 )dt
=EL= 51.5
=3.33
t>0 Se establece la Ecuación Diferencial
V15 V
R1
430Ω
C110µF
L1
1.5H
J1A
Tecla = A
Rint344Ω
Figura 13 Circuito para t>0Por LKV
vR ( t )+vL (t )+vC ( t )=EQue puede expresarse
Ri ( t )+ L di (t )dt
+ 1C∫ i ( t )dt=E
Ld2 i ( t )dt 2
+Rdi ( t )dt
+i ( t )C
=0
LD2i (t )+RDi (t )+ 1Ci (t )=0
Factorizando:
i (t )(LD2+RD+ 1C )=0
Entonces:
LD2+RD+ 1C
=0
Las raíces son
D1=−R2L
+√( R2L )2
− 1LC
D2=−R2L
−√( R2 L )2
− 1LC
D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2
α= R2L
coeficiente deamortiguamiento
ω= 1
√LCfrec . natural
β=frec . de amortiguamientoPara que se cumpla el caso 2
R2
¿¿
R=√ 4 LC −R∫¿→R=√ 4×1.5
10×10−6 −344→R=430Ω¿
2° Caso:Raíces reales iguales α 2=ω2
EntoncesD1=−258D2=−258La solución propuesta:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−αt+k2 te
−αt……(a)Evaluando en t=0 para calcular las k´s
i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e
−α (0)
→k1=0Derivando (a)di (t )dt
=−α k1 e−αt−α k2 te
−αt+k2 e−αt
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−α k 1+k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
−α k1+k2=vL (0 )L
Como k 1=0 entonces:
k 2=vL (0 )L
→k2=3.33
Sustituyendo k 1k2 en (a)
i (t )=3.33 te−258t
V c (t)1c∫ 3.33 t e
−258t dt→= 3.33
10x 10−6∫ t e−258tdt
¿333000( t e−258 t−258−∫ e−258 t
−258dt)→=333000( t e
−258 t
−258− e−258 t
(−258 )2 )V c (t )=−1290.69-5e−258 t
Por LKVV c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t
Suponiendo que el circuito ha permanecido conectado durante mucho tiempo de tal manera que ha alcanzado su estado permanente, calcular en respuesta forzada del Voltaje en el capacitor para el caso 2 “Raíces reales iguales”
V15 V
R1
430Ω
Rint344Ω
J1
Key = Espacio
C110µF
L1
1.5H
V25 V
Figura 14 Circuito para t=0
Solución t<0 Se establecen las condiciones iniciales
V25 V
R2
430Ω
Rint1344Ω
J2
Key = Espacio
Figura 15 Circuito para t<0vC¿iL¿
t=0 Se acciona el interruptor
V25 V
R2
430Ω
Rint1344Ω
J2
Key = Espacio
I1
0 A
V3
5 Vrms 0 Hz 0°
Figura 16 Circuito para t=0
iL (0 )=0 ---------- condición inicial
vC (0 )=5 ---------- condición inicial
i (0 )=0di (0 )dt
vL (0 )=L di (0 )dt
di (0 )dt
=vL (0 )L
Por LKVvR (0 )+vL (0 )+vC (0 )=0vL (0 )=−v R (0 )−vC (0 )
vL (0 )=−Ri (0 )−EvL (0 )=−5
di (0 )dt
=−51.5
=−3.33
t>0 Se establecen ecuaciones diferenciales
R1
430Ω
Rint344Ω
J1
Key = Espacio
C110µF
L1
1.5H
Figura 17 Circuito para t>0Por LKVvR ( t )+vL (t )+vC ( t )=0Que puede expresarse
Ri ( t )+ L di (t )dt
+ 1C∫ i ( t )dt=0
Ld2 i ( t )dt 2
+Rdi ( t )dt
+i ( t )C
=0
LD2i (t )+RDi ( t )+ 1Ci ( t )=0
Factorizando:
i (t )(LD2+RD+ 1C )=0
Entonces:
LD2+RD+ 1C
=0
Las raíces son
D1=−R2L
+√( R2L )2
− 1LC
D2=−R2L
−√( R2 L )2
− 1LC
D1=−α+√α 2−ω2β=√α 2−ω2
α= R2L
coeficiente deamortiguamiento
ω= 1
√LCfrec .natural
β=frec . de amortiguamientoPara que se cumpla el caso 2
R2
¿¿
R=√ 4 LC −R∫¿→R=√ 4×1.5
10×10−6 −344→R=430Ω¿
2° Caso:Raíces reales iguales α 2=ω2
EntoncesD1=−258D2=−258La solución propuesta:
i (t )=k1 eD1 t+k2e
D2 t
i (t )=k1 e−αt+k2 te
−αt……(a)Evaluando en t=0 para calcular las k´s
i (0 )=k 1e−α (0 )+k2(0)e
−α (0)
→k1=0Derivando (a)di (t )dt
=−α k1 e−αt−α k2 te
−αt+k2 e−αt
Ahora derivando en t=0di (0 )dt
=−α k 1+k2
Pero de c.i. di(0 )dt
=vL (0 )L
−α k1+k2=vL (0 )L
Como k 1=0 entonces:
k 2=vL (0 )L
→k2=3.33
Sustituyendo k 1k2 en (a)
i (t )=3.33 te−258t
V c (t)1c∫−3.33 t e−258t dt→= −3.33
10 x10−6∫ t e−258t dt
¿−333000( t e−258 t−258−∫ e−258t
−258dt )→=−333000( t e
−258 t
−258− e−258 t
(−258 )2 )
V c ( t )=1290.69 t e−258 t + 5e−258 t
τ= 1D
= 1258
=3.875 x 10−3
T=10 τ=38.75x 10−3
f= 1T
= 1
38.75 x10−3=25.8Hz
A continuación se tabulan las unciones de voltaje para respuesta libre y forzada cada una para 5 τ y se grafican cada una de ellas
t[ms] V c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t
0 03.87 1.317.74 2.96
11.61 4.0015.48 4.5319.35 4.79
Tabla 4 Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada
Figura 18. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta forzada
t[ms] V c (t )=1290.69te−258 t+¿5e−258 t
0 53.87 3.687.74 2.03
11.61 0.9915.48 0.4619.35 0.20
Tabla 5. Tabulación del Voltaje en el capacitor en respuesta Forzada
Figura 19. Grafica del comportamiento del capacitor en respuesta libre
SIMULACIONESCaso 2:
R=430 f=25.8Hz V c ( t )=1290.69 t e−258 t + 5e−258 t V c ( t )=5−1290 .69te−258 t-5e−258 t
Figura 20. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 2
Time
0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms 36ms 40msV(C1:1,0) V(V1:+)
0V
2.0V
4.0V
6.0V
(35.027m,496.830m)
(30.087m,1.3132)
(25.218m,2.9961)
(20.035m,4.8259)
(15.131m,4.5081)
(10.122m,3.6774)
(5.0091m,1.8541)
V1
0 V 5 V 20msec 40msec
L1
1.5H
R1
430Ω
Rint
344Ω
C110µF
XSC1
A B
Ext Trig+
+
_
_ + _
Caso 1: CRITICAMENTE SUBAMORTIGUADO
R<430 R=100 f=3.33 Hz
Figura 21. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 1
Caso 3: CRITICAMEUBAMORTIGUADOR>430 R=1k f=33.33 Hz
Time
0s 20ms 40ms 60ms 80ms 100ms 120ms 140ms 160ms 180ms 200ms 220ms 240ms 260ms 280ms 300msV(C1:1,0) V(R1:1,0)
-2.0V
0V
2.0V
4.0V
6.0V
V1
0 V 5 V 15msec 30msec
L1
1.5H
R1
1000Ω
Rint
344Ω
C110µF
XSC1
A B
Ext Trig+
+
_
_ + _
Figura 22. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 3
Caso 4: R=0
V1
0 V 5 V 0.02 sec 0.04 sec
L1
1.5H
R1
0Ω
Rint
344Ω
C110µF
XSC1
A B
Ext Trig+
+
_
_ + _
Figura 23. Simulaciones en multisim y orcad para el caso 4
ObjetivoPrincipal:
Obtener el análisis del transitorio en un circuito RLC de una sola malla.
Particular: Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta libre por medio
de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Obtener de manera teórica el Voltaje en el capacitor Vc (t) en respuesta forzada por
medio de cálculos y simulaciones, así como de manera experimental. Graficara el Vc (t) asi como la corriente en la malla i (t) para cada uno de los 4 casos
posibles en un circuito RLC.
MATERIAL Un resistor variable de 10 kΩ a ½ watt. Un capacitor de .1µF. Una Bobina de 1.5H y Rint=344. Tres puntas para osciloscopio. Cables caimán-caimán, banana-caimán. Protoboard. Un Generador de señales. Un Osciloscopio.
DesarrolloArmar en el protoboard el circuito mostrado en la figura alimentándolo con una fuente de pulso cuadrado de 0 a 5 V con una frecuencia de 25.8 Hz
V1
0 V 5 V 0.02 sec 0.04 sec
L1
1.5H
R1
430Ω
Rint
344Ω
C110µF
Figura 24. Circuito RLC a ensamblarMedir el voltaje en el capacitor en respuesta tanto libre como forzada colocando las puntas del osciloscopio como se muestra en la figura
Figura 25. Conexión del osciloscopio Dibujar la grafica del transitorio y obtener los diferentes voltajes en el capacitor para distintos instantes de tiempo
Figura 26. Voltaje del capacitor en los distintos instantes de tiempo
Comparar los valores obtenidos en la medición con los resultados teóricos y simulados que se anexan en la práctica.
Observaciones Cuando se empleo un capacitor cerámico de 0.1µF el caso no se cumplió pues la curva de
carga del capacitor se deformaba, por lo que se cambio a uno de valor menor y dicha curva empeoro, por esta razón el circuito volvió a modificarse poniendo un capacitor mayor, con un valor de 10 µF con lo cual se logro obtener a curva deseada.
Para ajustar el circuito correctamente se empleo un potenciómetro que nos permitió ajustar la resistencia deseada pues el valor obtenido no es un valor comercial
El valor de la resistencia debía ser total así que para medir la resistencia del circuito se midió la resistencia del potenciómetro en conjunto con la bobina.
Recomendaciones Conectar el circuito de manera correcta y cuidando que todo haga bien conexión pues un
falso no permite la correcta apreciación de la curva del capacitor Para una mejor medición conecte el capacitor directamente a la tierra y no entre los
componentes(en medio de la bobina y el resistor) pues de esta manera se mide de manera directa, de lo contrario se deberán restar los voltajes para obtener el del capacitor
Ajuste el potenciómetro lo más exacto posible al valor calculado para una mejor apreciación del fenómeno
Medir los voltajes en cada instante del tiempo por medio de los cursores.
Conclusiones La respuesta forzada es cuando se tiene un circuito sin fuentes, por lo que las condiciones
iniciales son 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como circuito abierto y el capacitor como corto.
La respuesta libre es cuando se tiene un circuito con fuentes, por lo que las condiciones iniciales son distintas de 0 y al accionar el interruptor la bobina se comporta como fuente de corriente y el capacitor como fuente de voltaje, además el circuito queda libre de fuentes.
En un circuito RLC dependiendo las racices es el amortiguamiento de la señal.
Bibliografía Jiménez, Garza Ramos F., Análisis de Circuitos Eléctricos, Teoría y Problemas, Editorial
Limusa, México, D. F., 1995, 115-526 páginas. Benítez, Serrano I., Teoría de los Circuitos, Volumen III, Academia de Circuitos Eléctricos, ICE -
ESIME - Zacatenco, México, D. F., 2001, 227 páginas. Jiménez, Garza Ramos F., Introducción a la Síntesis de Circuitos Eléctricos, Editorial Limusa.
México, D.F., 1996, 255 páginas.