Orlando Silva, Jesús Carrera, Sireesh KumarAbril 2008
Problema
2
INTERCAMBIO ZONA MÓVIL-ZONA INMÓVIL
Poros/fracturas intrapartícula
Agregados de granos
Inclusiones de líquido
Zonas estancadas
Difusión a/de lajas, vainas de
arcilla
Haggerty and Gorelick WRR (1995)
Adsorción en superficie de minerales
33
Ecuaciones de conservación
1. Ecuación de flujo con MRMT
2. Ecuación de transporte de soluto con MRMT
3
(1.1)
(2.1)
(1.2)
(2.2)
Ecuación que gobierna la transferencia con la j-ésima zona inmóvil
qht
hS
t
hS m
N
j
jimjim
mm
T1
,,
jimmjim
jimjimjim
jimjim hh
L
K
t
hS ,
,
,,,
,,
mmm
N
j
jimjimjim
mmm cc
t
cR
t
cR
qD1
,,,
jimmjim
jimjimjim
jimjimjim cc
L
D
t
cR ,
,
,,,
,,,
Ecuación que gobierna la transferencia con la j-ésima zona inmóvil
2 maneras de representar numéricamente el problema:
1)Con una malla apropiada de nodos im.
2)Eliminando im como variable de estado explícita, i.e. expresando SVim como función de SVm)
Esto es lo que se supone que hace el presente método
Representación numérica
Discretización del dominio móvil
m
im,N-1
im,N
im, j
im,1
im,2
……
bloques inmóviles
55
Implementación numérica
- El nodo m (zona móvil) está conectado a sus nodos adyacentes en la malla 1, 2 o 3D.
- El “nodo” im (zona inmóvil) sólo está conectado con el nodo m.
- Geométricamente, el “nodo” im se solapa con el nodo m.
- Numéricamente, la variable de estado (presión, concentración) en el “nodo” im puede ser resuelta de manera explícita como función de la variable de estado en la zona móvil.
En otras palabras, el “nodo” im puede considerarse como uno nodo de dimensión cero. (0D)
Ecuación de transporte generalizada
1. Balance de la fase móvil
2. Transferencia de masa dede/hacia la zona inmóvil
(3.1)
(3.2)
mu
N
j
jimj
m uLt
u
t
u
1
,
Njuut
ujimmj
jim ...,,1,,
jimjimjimjim L ,,,,
2,
,,
jim
jimjimjj L
D
3. Relaciones adicionales
NjFt
uj
jimj ,...,1,
N
jjFF
1
(3.3)
7
Solución numérica1 Se asume un esquema de Euler para la integración en el tiempo de la variable um:
kmkmm tttuuu
2. Reemplazando en la ecuación (3.2) se obtienen N ecuaciones diferenciales de primer orden
Njttt
uuu
dt
du kmkmjjimj
jim ,...,1,,
3. Hay una solución analítica (variación de parámetros) para la condición inicial
kj
kj
kj tt
j
kmttkm
ttkjimjim ett
t
ueueutu
1
11,,
kjim
kjim uttu ,,
4. Combinando lo anterior con las ecuaciones (3.2), (3.3) se obtiene el flujo a tiempo tk+.
tjmtk
jimkmjj
kjim
kmjj
kj
jj et
ueuu
uuF
1,
,
8
Contribución del proceso MRMT
Sistema numérico
N
j
tkjim
kmjj
N
j
tj
mk jj euuet
uF
1,
1
1
kk
mm ut
ubAD
9
Equivalencia con otras representaciones numéricas
9
2. Formulación integro-diferencial y función de memoria (e.g., Carrera et al., 1998).
0
0
detg
gt
cdg
tcF
t
t
j
j
tjj
jetg
1. Modelos difusionales (e.g., Harmon et al., 1989).
immimimr
im
imaim
LcLcr
c
r
cr
rr
D
t
c
00
11
3. Comportamiento asintótico (late-time) (e.g., Willmann et al., 2007)
g(t) sigue una ley de potencia (mg) distribución de j, j.21 ttt
4. CTRW (e.g., Dentz & Berkowitz, 2003)
sgss
11
1
0(t): distribución de tiempos de transición
10
Módulo Fortran 90: mod_MRMT.f901. Tipo t_immobile contiene atributos que caracterizan a una zona inmóvil (porosidad, coeficientes de transferencia de masa, concentraciones en la fase inmóvil, etc.).
2. Subrutinas que calculan el aporte del proceso a las matrices numéricas D (ContriToMatrices_) y b (ContriToSink_).
4. Acoplamiento con códigos estándares programados en Fortran.
3. Entrada de datos mediante archivos XML
Parameters im,j, Lim,j, Dim,j, Rim,j
Coefficients im,j y im,j
ExpansionTerms geometría, im,j y im,j, y número de términos de expansión
LateTime mg, t1 y t2
11
Resolución de transporte
Fin del código
Declaración de Variables
Entrada de datos e
inicialización del problema
Resolución del flujo y cálculo del campo de
flujo de Darcy
Escribe resultados
Implementación de Transporte Multi
Tasa (MRMT)
Loop detiempo
Loop detiempo
Código estándar de Transporte
Conservativo
Converge?
Sí
No
Cálculo de matrices de transporte A, D, b
Resolución
1
2
3
4.1
5
4.2
UpdateConc_(...)
Initialize_(...)
Read_xml_(...)
Create_ (...)
type(t_immobile):: ImmbReguse m_MRMT
WriteSolMass_(...)
Destroy_ (...)
ContriToMatrices_(...)
kk
tbAc
cD
ttt kk 1
ContriToSink_(...)
TotSolMass_(...)
WriteConc_(...)
Acoplamiento de mod_MRMT.f90 con
TRACONF
12
Ejemplos de verificación. Flujo radial convergente
r
c
r
c
br
Q
t
c
t
c mmL
N
j
jimj
m2
2
1
,
2
Njcct
cjimmj
jim ...,,1,,
13
Verificación 1. Ensayo de trazadores convergente (TRANSIN).
Pulso de masa de trazador radioactivo sin adsorción. La matriz o fase inmóvil se conceptualiza en forma de lajas.
10 términos de expansión
14
Parámetro valor propiedad
Q, m3/d 150 Caudal de inyección
r, m 0.5 Dispersividad radial
Dm, m2/d 0.0 Coeficiente de difusión
Dim, m2/d 0.001 Coeficiente de difusión en la matriz
m 0.1 Porosidad zona móvil
im 0.045 Porosidad de la matriz
Rm 1.0 Retardo en la zona móvil
Rim 1.0 Retardo en la matriz
M, g 7.88 Masa inyectada
b, m 5.0 Espesor saturado
Lim, m 0.05 Longitud característica matriz
rw, m 0.2 Radio del pozo
Tiempo total de simulación: 4 días
12
d018.0 imim
immmim LR
DR
45.0mm
imimim R
R
Parámetros de simulación
15
Curvas de llegada
Breakthrough curve at injection well
time, days
0 1 2 3 4
Con
cent
ratio
n, g
/l
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
TRANSINpresent approach
Breakthrough curve at pumping well
time, days
0 1 2 3 4C
once
ntra
tion,
g/l
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
TRANSINpresent approach
16
Perfiles de concentración de trazador
Concentration profile at t = 2 d
Distance r, m
0 2 4 6 8 10
Con
cent
ratio
n, g
/l
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
0.020
TRANSIN 1.975 dpresent approach 1.96 d
Concentration profile at t = 4 d
Distance r, m
0 2 4 6 8 10C
once
ntra
tion,
g/l
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0040
TRANSINpresent approach
17
Sensibilidad al número de términos de expansión
time, d
0 1 2 3 40.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
151050
N terms
time, d
0 1 2 3 4
Con
cent
ratio
n, p
pm
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
151050
N terms
TRANSIN PRESENTE MODELO
18
Verificación 2. Flujo radial hacia un pozo de bombeo (Haggerty & Gorelick, 1995).
r
c
r
c
rb
Q
t
c
t
c mmL
N
j
jimjHG
m2
2
1
,
2
Njcct
cjimmj
jim ...,,1,,
0,0,
01.00,15,0,
0,
0,
,
050
0
2
trctrc
ctrcectrc
trrr
c
trc
mjim
mrr
m
wm
m
w
Q* = 1 L/s, b = 20 m, rw = 0.1 m, L = 0.1 m, m = 0.25, Rm = ?
NjR
R
mm
jimjimjjHG ...,,1,,
19
(a) Borden Sand. Restauración de un acuífero homogéneo
Clase, jRango de tamaño, (=2a) mm
j =Da/a2, s-1 jHG
1 0.85-1.7 3.1 x 10-8 0.0406
2 0.42-0.85 9.2 x 10-8 0.1699
3 0.25-0.42 2.3 x 10-7 0.2731
4 0.18-0.25 2.7 x 10-7 0.2592
5 0.125-0.18 9.4 x 10-6 0.1548
6 0.075-0.125 1.7 x 10-6 0.0620
7 <0.075 1.4 x 10-6 0.0404
bulk 2.8 x 10-7 1.0
Rm = 1.6 (PCE en acuífero Borden, Rivet & Allen-King, 2003)
50 términos de expansión por cada zona inmóvil
20
Evolución de la fracción de masa remanente de PCE. 500 días
Present approach
21
(b) Caso hipotético con una mezcla de procesos de transferencia de masa. Restauración de un acuífero
heterogéno
Clase, j Zona inmóvil j =Da/a2, s-1 jHG1 Granos porosos (esferas pequeñas) 2.8 x 10-7 0.35
2 Agregados de granos (esferas grandes)
1.75 x 10-8 0.20
3 Lajas de arcilla (cilindros) 1.43 x 10-9 0.15
4 Vainas de arcilla (cilindros) 1.00 x 10-9 0.10
Clase, j Zona inmóvil j , s-1 jHG5 Reacción de superficie lenta 2.76 x 10-6 0.15
6 Reacción de superficie rápida 4.42 x 10-6 0.05
50 términos de expansión por cada zona inmóvil
22
Evolución de la fracción de masa remanente de PCE. 20000 días
Present approach
CONCLUSIONES
1. Modelo MRMT permite representar una mezcla heterogénea de procesos de transferencia de masa (partículas de acuífero, lajas de arcilla, reacciones de superficie de primer orden).
2. Presente aproximación numérica es sencilla y equivalente a otras formulaciones de MRMT.
3. Implementación en módulo Fortran fácil de acoplar a códigos estándares de flujo y transporte.
4. Predicción buena de resultados obtenidos con otra formulación y con soluciones semi-analíticas.