Download - OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA38.doc
-
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
1/25
OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA
Problemas resueltos y comentados por:Jos Luis Hernndez Prez yAgustn Loz!no Pr!di""o
XXXVIII OLIMPIADA DE FSICA IRN, 2007
PROBLEMA 1
Este problema se refiere a un modelo simplificado de acelermetro diseado para
activar los airbags de un automvil a causa de una colisin. El sistema
electromecnico debe funcionar de modo !ue cuando la aceleracin del
ve"#culo e$ceda de un determinado valor% uno de los parmetros el&ctricos del
sistema% por e'emplo% el volta'e% en un cierto punto del circuito% sobrepasa un
valor umbral% lo !ue determina !ue el airbag se active.
1.- Considere el condensador de platos paralelos representado en la
figura 1. El rea de cada plato es A, la distancia entre los platos d, siendo
d muy pequeo comparado con las dimensiones de los platos.
Uno de los platos est en contacto con una pared a travs de un muelle
cuya constante elstica es , el otro plato est fi!o. Cuando la distancia
entre los platos es d el muelle ni est contra"do ni estirado, en otras
pala#ras el muelle no e!erce fuer$a so#re el plato.. %a permitividad del
medio entre los platos es o y la capacidad del condensador
d
Ao&o
C = .
'o#re los platos se ponen cargas () y *) y se permite que el sistema
alcance el equili#rio. En el pro#lema se considera que la gravedad
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net
$-
207
+ig.1
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
2/25
1.1.-Calcular la fuer$a elctrica, +E, que e!ercen entre s" los platos.
L* "!')* *+.*/"*$* " u" /o"$"s*$o! +*"o /*!'*$o /u&* $is(*"/i* "(! +*/*s sL s1
A
L3
2
4
C
3
2
45
o
22
==
Si *u."(*.os +* s*!*/i6" "(! sus +*/*s " $L $.os *o!(*! u" (!**8o F$Lsi"$o
A2
3
$L
$5F
o
2
==
1..-'ea el despla$amiento que sufre el plato ligado al muelle. Calcular.E9is( :ui+i!io "(! +* ;u!%* 8!/i$* o! +os +*(os & +* :u 8!/ + .u++, s( s*+*!'* " 9 & +* $is(*"/i* "(! +os +*(os s $
-
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
3/25
( )
=
+=
+=+=
-$?A
3
4A
$3
2
4
-?A
3
2
4
A
$3
2
4
A
-2A
33
2
4
A
$3
2
4
-?A
3-
2
4
A
9$3
2
4
-?A
3-
2
4
C
3
2
4-9
2
45
o
2
o
2
2o
2
?
o
2
o
o
22
o
2
22
o
2
?
o
2
22
o
2
?22
En la figura , la masa 6 est unida a un plato conductor mvil de masa
desprecia#le y a dos muelles que poseen la misma constante elstica . El
plato conductor se puede despla$ar adelante y atrs en el espacio que
eiste entre los otros platos que estn fi!os. 7odos los platos son similares
y tienen la misma rea A. El con!unto de los tres platos constituyen dos
condensadores. 7al como indica la figura , los platos fi!os estn
conectados a potenciales (0 y *0 y el plato del medio a un interruptordo#le. El 8ilo conectado al plato mvil no pertur#a el movimiento del
plato y los tres permanecen siempre paralelos. %a distancia entre los
platos fi!os es d y cuando el sistema est en reposo el plato mvil
equidista de los fi!os.
Cuando todo el dispositivo no se encuentra acelerado la distancia de
cada plato fi!o al mvil es, siendo d muy pequeo comparado con las
dimensiones de los platos. El espesor del plato mvil es desprecia#le.
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 20@
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
4/25
El interruptor puede estar en dos estados y . 'uponer que el
dispositivo est siendo acelerado con aceleracin, a, constante. Admitir
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net
P+*(o ;i8o
(i!!*
*
M
Mu++, - M*s* , M Mu++, -
V
P+*(o ;i8o
P+*(o .6Bi+
Co"$"s*$o! , CS
V
240
+ig.
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
5/25
que durante el tiempo que dura la aceleracin el muelle no oscila y
todos los componentes del sistema estn en posiciones de equili#rio, esto
es, no se mueven uno respecto de otro y con el automvil.
9e#ido a la aceleracin, el plato mvil se despla$a una longitud
respecto de la posicin central de los dos platos fi!os.
.-Considerar el caso en el que el interruptor est en la posicin , esto
es, el plato mvil est conectado a tierra a travs del 8ilo.
.1.- Encontrar la carga de cada condensador en funcin de .
E+ +*(o .6Bi+ s $s+*%* */i* +* i%:ui!$* */!/#"$os *+ +*(o :u s(* /*!'*$oosi(iB*."( & *+8#"$os +* $is(*"/i* 9 $+ +*(o :u s(# /*!'*$o "'*(iB*."(L* /**/i$*$ $+ /o"$"s*$o! ;o!.*$o o! + +*(o i%:ui!$o & + .6Bi+ s
V9$
A3
V
3
9$
A
V
3C o4
4o44
==
=
L* /**/i$*$ $+ /o"$"s*$o! ;o!.*$o o! + +*(o .6Bi+ & + +*(o $ +* $!/*
V9$
A3
V
3
9$
A
V
3C o2
2o22
+
==
+
=
..- Encontrar la fuer$a elctrica neta so#re el plato mvil, +E , en
funcin de .
So! + +*(o .6Bi+ */(*" $os ;u!%*s, u"* $i!i'i$* */i* +* i%:ui!$* :u s +**(!*//i6" :u 8!/ + +*(o ;i8o $ +* i%:ui!$* & u"* $i!i'i$* */i* +* $!/* :u s +*:u 8!/ + +*(o ;i8o si(u*$o * +* $!/*, +* ;u!%* FEs +* $i;!"/i* "(! +*s $os
( ) ( ) ( ) ( )
+
=
+
===
22
22
o
2
222
o
2
222
o
oo
2
2
o
2
4
24E9$
4
9$
4
2
AV
9$
VA
9$
VA
A2
4
A
3
2
4
A
3
2
4FFF
..-'uponer que d:: y los trminos pueden despreciarse frente a d.
'implificar la respuesta del apartado ..
9$
AV2
$?9$
?9$
2
AV
29$$
4
29$$
4
2
AVF
22
o
22?
22
o
22
22
o
E =
=
+
=
.3.-Escri#ir la fuer$a total so#re el plato mvil como *eff y dar la
epresin de eff.
E" +* ;i'u!* s i"$i/*" +*s ;u!%*s :u */(*" so! + +*(o .6Bi+
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 244
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
6/25
Si /o"si$!*.os + $s+*%*.i"(o 9 /o.o osi(iBo
92-$
AV2-299
$
AV22-9F ;;
2
o
2
o(o(*+ =
=+=
.5..-Epresar la aceleracin constante ,a, en funcin de .
9$
AV2
M
2*M*9
$
AV22-9F
2
o
2
o(o(*+
==+=
.- A8ora suponemos que el interruptor se encuentra en el estado # y que
el sistema se 8a diseado para que cuando el volta!e a travs del
condensador ;Cs< alcance el valor de =,15 0, el air#ag se active. >or otra
parte el air#ag no se de#e activar durante una frenada normal en la que
la aceleracin es menor que g?@, m4s.
.1.- /Cul es el valor de Cspara que ocurra lo anterior2
E" +* ;i'u!* ? s *" !!s"(*$o o! s*!*$o +os $os /i!/ui(os
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net
9
$
AV2F
2
oE=
a
F.2-9
242
Fi'
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
7/25
S'" Bi.os " + **!(*$o 24 +* /*!'* 34s .*&o! :u +* /*!'* 32 Si $si'"*.os 3s
* +* /*!'* $+ /o"$"s*$o! Cs, !su+(* :u
24s 333 =
E" +os /i!/ui(os $ +* ;i'u!* s (o.* /o.o s"(i$o osi(iBo + $ +*s *'u8*s $+ !+o8 & s$* u" s"(i$o $ ."os * .#s * +*s $i;!"/i*s $ o("/i*+
0C
3
C
3V=0
C
3
C
3V
s
s
2
2
s
s
4
4 =+=
A *!(i! $ +*s $os +(i.*s /u*/io"s
s
s222
2
2
s
s
s
s
444
4
4
s
s
C
3CVC3
C
3
C
3V
C
3CVC3
C
3
C
3V
+==+
==
( )
( ) ( ) ( )
24s
24
s2424s
s
s
24
s
2
s
4
s
s
s
22
s
s
4424s
CCC
CCV
VCCVCCCC
3
CCVC
C
C
C43
C
3CVC
C
3CVC333
++
==++
=
++==
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net
< or lo tanto un agu!ero negro pierde energ"a de#ido a la
radiacin LaMing y la gana de#ido a la radiacin csmica de fondo.
3.1.- Encontrar la variacin de masa con el tiempo de un agu!ero negro
en funcin de su masa, la temperatura de la radiacin de fondo y las
constantes fundamentales.
Si'ui"$o +o $i/o " + **!(*$o 2 s/!ii.os
2
?
2
?
H?
?
H
2
/
AU
/
AU
$(
$.AUAU/
$(
$.+
=+=
E" +* /u*/i6" *"(!io! + !i.! su.*"$o s * /*+/u+*$o " 2 & " + s'u"$osu.*"$o sus(i(ui.os A & H
2
>
?
?
2
22
?
?
22
2
?
2
?
22
?
./
-
.
4
/
4G
4
/
.
/
/
-
.
4
/
4G
4
$(
$.+=+= >
3..- Eiste una masa mN para la que dm4dt se anula. Epresar mN en
funcin de #y las constantes fundamentales.
( ) ( ) ( ) J@I
-2
/.
-4G
/..
/
-
.
4
/
4G
4
?
?
?
42??2
>
?
?
2
22
?
===
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
18/25
3..-Utilice el valor de #o#tenido en el apartado anterior y calcule dm4dt
en funcin de m , mN y las constantes fundamentales.
Ds8*.os $ @ ,
.-2/
=
L+B*.os + B*+o! *"(!io! * +* /u*/i6" >
( )
( )
=
+=
+=
?
?
22
?
?
2
2
?
22
??
2
>
?
2
22
?
.
.4
.
4
/
4G
4
$(
$.
.
.
/
4G
4
.
4
/
4G
4
.-2
/.
/
-
.
4
/
4G
4
$(
$.
3.3.-Encontrar la temperatura de LaMing de un agu!ero negro que esten equili#rio trmico con la radiacin csmica de fondo
E" + **!(*$o 4 s * /*+/u+*$o +* (.!*(u!* $ H*K-i"' 1.
4
-
/
2
4
H =
D +* /u*/i6" @ s $$u/ +* (.!*(u!* $ +* !*$i*/i6" $ ;o"$o.-2
/
=
Si 9is( :ui+i!io (!.i/o H& so" i'u*+s, o! (*"(o
.
4
-
/
2
4
...-2
/
=
L* /o"/+usi6" s :u si u" *'u8!o "'!o s(# " :ui+i!io (!.i/o /o" +* !*$i*/i6"/6s.i/* $ ;o"$o su .*s* s i'u*+ * . & "(o"/s + *'u8!o "i i!$ .*s* "i +* '*"*3.5.- /El equili#rio es esta#le o inesta#le2
5" *'u8!o "'!o ("$!# u"* .*s* ., si $* +* /*su*+i$*$ :u s(* .*s* s i'u*+ * ."(o"/s + *'u8!o "i i!$ "i '*"* .*s* & s s(*+, !o +o "o!.*+ s :u . s*.*&o! :u . o ."o!
( )
= ?
?
22
?
.
.4
.
4
/
4G
4
$(
$.
Cu*"$o .] . + *!"(sis $ +* /u*/i6" *"(!io! s "'*(iBo & $.^$( s osi(iBo, +*'u8!o "'!o '*"* .*s*
Cu*"$o ._ . + *!"(sis $ +* /u*/i6" *"(!io! s osi(iBo & $.^$( s "'*(iBo, +*'u8!o "'!o i!$ .*s*
PROBLEMA 6
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22?
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
19/25
;n sistema binario est formado por dos estrellas !ue giran alrededor de su centro
de masas. Apro$imadamente la mitad de las estrellas de nuestra gala$ia son
sistemas binarios. *o resulta fcil desde la ierra detectar estos sistemas binarios%
+a !ue la distancia entre las dos estrellas del sistema es muc"o menor !ue su
distancia a la ierra + por ello no se pueden detectar con el telescopio. Para ello se
necesita recurrir a la fotometr#a o espectrofotometr#a + observar las variacionesde la intensidad o el espectro de una estrella para decidir si es o no un sistema
binario.
)otometr#a de estrellas binarias
'i nosotros nos encontramos eactamente en el plano de movimiento de
las dos estrellas, cuando una de ellas se oculta respecto de nosotros al
situarse detrs de la que est delante, la intensidad del sistema disminuye
con el tiempo. Estos sistemas #inarios se llaman #inarias eclipticas.
1.- 'uponer que las dos estrellas descri#en r#itas circulares alrededor
de su comOn centro de masas con una velocidad angular constante, ,
y nosotros nos encontramos eactamente en el plano de movimiento del
sistema #inario. 'uponer tam#in que las temperaturas de las estrellas
son 71y 7, respectivamente, siendo 71:7 y sus radios P1y Psiendo
P1:P. %a intensidad total de lu$ medida en la 7ierra est representada
en la figura 1 frente al tiempo. 6edidas cuidadosas indican que los
m"nimos de las intensidades de la lu$ incidente son el @=Q y R=Q de la
intensidad mima, So,;So?3,.1=-@T4m< reci#ida en la 7ierra por las dosestrellas.
1.1.5Encontrar el periodo del movimiento or#ital, dando la respuesta en
segundos con dos cifras significativas./Cul es la frecuencia angular del
sistema en rad4s2
E" +* ;i'u!* s os!B* +* osi/i6" $ +*s s(!++*s & su !+*/i6" /o" +* ;i'u!* 4
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
20/25
E" +* osi/i6"
-
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
21/25
E" +*s *"(!io!s /u*/io"s $iBi$i.os +os "u.!*$o!s & $"o.i"*$o!s o! ?22
2OR &*
SO
O&A
R
R?
2
?
4
2
2
2
4==
0,G4A
A4
OR
OROR
OR
OROROR
=0,@04A
A
OR
OROR
OR
OR
?
2
2
2
?
2
2
2
?
4
2
4
?
2
2
2
?
4
2
2
?
4
2
4
?
2
2
2
?
2
2
2
?
2
2
2
?
4
2
4
?
2
2
2
?
4
2
4
=++
=+
+
=+
=+
Rso+Bi"$o + sis(.*
,7
@A,7G,400,G
4@
@4
@A0,@00,@0AA
====
+
+
=+=
@
2
4=G 4,? ,7
O
O4,
,7
@A
R
R
2
4 =====
Espectrometr#a de sistemas binarios
En esta seccin se de#en calcular propiedades astronmicas de un
sistema #inario utili$ando para ello medidas espectromtricas del
sistema.
%os tomos emiten o a#sor#en radiacin de determinadas longitudes de
onda. >or ello el espectro de a#sorcin de una estrella contiene l"neas
oscuras de a#sorcin producidas por los tomos que se encuentran en su
atmsfera.
%a l"nea 91del espectro del sodio posee una longitud de onda de 5@5,@oA ;1=
oA?1 nm
-
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
22/25
En este pro#lema se considera que la velocidad del centro de masas del
sistema #inario es muc8o ms pequea que la velocidad or#ital de las
estrellas. 9e ello se deduce que el corrimiento 9oppler se de#e
Onicamente a la velocidad or#ital de las estrellas.
%a ta#la 1 son las medidas de las longitudes de onda o#servadas enla7ierra para cada una de las estrellas.
t=d#as >%6 >%? >%@ 1%( 1% 1% (%1 (%:
1= o
A@C% @C%C @C%( @?%( @%1 @:%6 @:%1 @:%?
(= o
A@6%1 @(% @6%C @?%( @C%6 @%C @@%> @%1
t=d#as (%C 6%> 6%6 6%? 6%@ :%( :% :%
1= o
A@%? @?%C @C%6 @C%C @C%( @?%( @%> @:%6
(= o
A@?%: @:% @6%1 @(% @6%C @?%( @C%: @%C
Bota.- Bo es necesario 8acer una grfica de los datos de esta ta#la
. Utili$ar esta ta#la
.1.- Encontrar las velocidades or#itales de las estrellas v1 y v . Bo
considerar efectos relativista .0elocidad de la lu$, c ? ,=.1=m4s
L* /u*/i6" .*(.#(i/* $+ ;/(o Do+! s1
B/4Q
Q
/
B4Q
/
B/QQ =
=
=
Po$.os s/o'! + B*+o! ."o! o + .*&o! $ +* (*+* *"(!io!P*!* +* s(!++* $ !*$io R4
s
.@,240B@4>@40
>@,@
>@?,44BB/4
>@,@
>@?,4 ?4
> ==
==
s.@,240B@4>@404
>@,@>@?,4BB/4
>@,@>@7,7 ?
4
> ==
=+=
P*!* +* s(!++* $ !*$io R2
s
.40G,4B777440
>@,@
>@2,>4BB/4
>@,@
>@2,> 4
> ==
==
s
.40G,4B7774404
>@,@
>@@,0BB4
>@,@
>@@,04
> ==
=+=
c
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22>
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
23/25
..-Encuentre el cociente de las masas,
m1
m.
Co"si$!*.os u" sis(.* $ !;!"/i* +i'*$o *+ /"(!o $ .*s*s , " s( /*so +* B CM0
4,7@,240
4,G40
B
B
.
.
..
B.B.B ?
4
2
2
4
24
2244CM ===++=
..- 'ean r1y rlas distancias de cada una de las estrellas al centro de
masas comOn, determinar r1y r.
L* B+o/i$*$ *"'u+*! s +* .is.* *!* /*$* s(!++* ,!o +* +i"*+ $"$ $ su$is(*"/i* *+ /"(!o $ .*s*
.407,G2,?40
4,G40
a
B!!aB
.,>402,?40
@,240
a
B!!aB
@
2
22
2
@
?
4
44
4
====
====
.3.-'ea r la distancia entre las estrellas. Encontrar el valor de r.
L* $is(*"/i* "(! +*s s(!++*s s +* su.* $ sus $is(*"/i*s *+ /"(!o $ .*s*s
.4,440G,740,>40!!! 40@@24 =+=+=
.- %a fuer$a de gravitacin es la Onica fuer$a que actOa entre las
estrellas.
.1.- 9eterminar la masa de cada una de las estrellas con una cifra
significativa. Constante de gravitacin Universal ,1.11 sgmR,U.1=D =
L* ;u!%* $ *(!*//i6" '!*Bi(*(o!i* s !/is*."( +* ;u!%* /"(!)(* :u /*$* s(!++*"/si(* *!* 'i!*! *+!$$o! $+ /"(!o $ .*s*s
( ) ( )-'0?40
44G,740
2404,440@,>4022,?40
2!4!2a
2.
4!2a
4.
2!
2.4.
====
( ) ( )-'
0740
44G,740
2404,440
@G,740
22,?40
2!2!2a
4.
2!
2a
2.
2!
2.
4.
=
===
3aracter#sticas generales de las estrellas
3.- %a mayor"a de las estrellas generan energ"a mediante el mismo
mecanismo. Eiste una relacin emp"rica entre su masa, 6, y su
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22@
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
24/25
luminosidad, %, la cual es la potencia radiante total de la estrellaV esta
relacin se puede epresar en la formaK
'ol6
6
'ol%
%
=
6'ol?.1==
g V %'ol?,@.1=R
T
%a relacin se indica en la grfica log-log de la figura inferior
%a estrella que aparece en la grfica representa al 'ol
3.1.- Encontrar con una cifra significativa.
"i"$o " /u"(* :uSo+so+ M
M+o'ZL
L+o' = , +* "$i"( $ +* !/(* *"(!io! "os $*
+ B*+o! $
Z?+o'4+o'40
+o'4+o'40(*'Y
?
==
=
3..-'ean %1 y % las luminosidades respectivas de cada estrella del
sistema #inario. Encontrar los valores de %1y %.
\G40240740,@40
MMLL 2>
?
0
0
2G
?
So+
4So+4 =
=
=
Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 20
http://www.profes.net/http://www.profes.net/ -
7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc
25/25
\G40240
?40,@40
M
MLL
27
?
0
02G
?
So+
2
So+2 =
=
=
3..-Calcular la distancia d, desde la estrella a nosotros epresando elresultado en aos lu$. Un ao lu$ es la distancia que recorre la lu$ en un
ao terrestre.
E+ sis(.* i"*!io !*$i* *+ s*/io E" +* i!!* s !/i I o :u s +* o("/i* o!u"i$*$ $ su!;i/i L* +u.i"osi$*$ (o(*+ $+ sis(.* s L4L2& s* o("/i* s(#b/o"("i$*c " u"* s;!* $ !*$io $
.4,040?,>40?
G40G40
I?
LL$
$?
LLI 4>
@
272>
o
24
2
24o =
+=
+=
+=
4 *`o +u% .@,40$)*
s>G?00$)*G
s
.40 4> ==
+u%*`os400
+u%*`o
.@,40
.4,040$
4
4>
=
3.3.- /Cul es la mima distancia angular, , entre las estrellas a partir
de nuestro punto de o#servacin2
Ds$ "us(!o u"(o $ Bis(* +* .#9i.* $is(*"/i* *"'u+*! s /u*"$o +*s s(!++*s $is("!4& !2$+ /"(!o $ .*s*s, s(o s, /u*"$o "oso(!os bB*.osc :u "(! ++*s *& u"*$is(*"/i* ! 4,44040.
!*$440440
4,440
$
!(*' >
4>
40===
3.5.-/Cul es la menor apertura de un telescopio ptico, 9, que pueda
separar estas dos estrellas2
5(i+i%*"$o + /!i(!io $ Lo!$ R*&+i'
!
Q$4,22
4,22QD
D
Q4,22 ===