Download - OBJETIVOS GENERALES
Aplicar adecuadamente los conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta operaciones y propiedades básicas en la solución de problemas reales en contextos específicos y lo induzcan a la construcción de una cultura integradora y problematizadora del saber matemático.
OBJETIVOS GENERALES
Adquirir habilidades de pensamiento lógico-matemático, de tal forma que, le permitan al estudiante a partir de situaciones problemas la búsqueda de soluciones acorde con su formación profesional.
Integrar el conocimiento de métodos conceptuales y algorítmicos para dar solución a situaciones planteadas en el análisis de nuevos problemas, que promuevan en el estudiante el aprendizaje colaborativo y el pensamiento crítico y creativo.
Adquirir habilidades y destrezas en las operaciones básicas de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a partir de la solución de problemas aplicados en contextos reales.
Analizar e interpretar elementos de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a través de actividades y talleres que conlleven al estudiante en aplicarlos en las actividades cotidianas y otras áreas del conocimiento.
Percibir los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas como una estrategia que le permite la racionalidad indispensable para analizar y solucionar situaciones de la vida diaria en su entorno cultural a través de problemas prácticos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1
3
2
5
4
6
Números Naturales Corresponden a los números naturales, pero adicionando a estos los números enteros negativos y el número cero así: 0, 1, 2,… . El conjunto se denota por la letra
Formados por aquellos números que se pueden expresar de la forma p/q, en donde p es cualquier entero y q cualquier entero distinto de cero. Se denotan por la letra Q.
Son aquellos que no se pueden expresar de la forma p/q. Este conjunto se expresa por Q*.
Están conformados por la unión de los racionales y los irracionales y se denota por R = Q Q*. Su característica principal es poderse representar en la recta.
Tienen su origen en la resolución de ecuaciones cuadráticas, presentados de la siguiente forma: x2 + 1 = 0 . Consta de dos partes: a) Parte Imaginaria: que se representa con el símbolo i; b) Parte Real. Se denota por la letra C
Se denota por la letra N y está dado por N = (1, 2, 3, ......,.).Números Racionales
Números Enteros
Números Irracionales
Números Complejos
Números Reales
1
2
3
4
5
6
Conjuntos numéricos
Su conocimiento es importante para el dominio del álgebra y el cálculo
Arrastre el número que está a la derecha de su pantalla y ubíquelo en el cuadro que considere se relaciona con la definición. Al terminar de clic en el botón validar respuesta
CONDUCTA DE ENTRADA ?
Validar respuestas
RETROALIMENTACIÓNSi la respuesta es correcta
Qué bien…
Tiene un buen conocimiento sobre conjuntos numéricos
…Lo invitamos a continuar interactuando con el programa
para ampliar o reforzar sus conocimientos.
¡NO SE DESANIME!....
Lo invito a seguir interactuando con el programa para que amplíe o refuerce sus
conocimientos.
Los enteros pares se determinan por Z = 2n.
Los enteros impares se determinan por Z = 2n ± 1, con n perteneciente a los naturales.
Los enteros primos se definen como aquellos números que son divisibles exactamente sólo por si mismos y por la unidad.
El Cero en la suma es el elemento neutro, es decir, cualquier número a, sumado con 0 vuelve a dar a, en la multiplicación, es el elemento absorbente, cualquier número operado con 0 da 0
Las fracciones son el resultado de la división de las expresiones que conforman el número racional
N
Z
Q
Q* I
C
R
Los conjuntos numéricos forman parte de nuestra vida cotidiana, en particular al ir al mercado, en algunas lecturas y juegos, y al momento de enfrentarnos al mundo laboral.
Practiquemos
128 -254 7/48
5 + 2i 2384/45
-1-i
√2
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números que se encuentran en la parte inferior de la pantalla y ubíquelos de acuerdo a los conjuntos numéricos. Suelte el mouse
√-2 0 4iL og2 5
Naturales (N). Surgen de la necesidad de contar, compuestos por un número infinito de elementos, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando uno (+1), y todos, excepto el 1, tienen un antecesor, el cual se obtiene restando uno (-1)
Enteros (Z). Surgen de la necesidad de dar solución general a la sustracción. Se componen de varios subconjuntos: Enteros Negativos Z ¯, el Cero (0), Enteros Positivos Z+, los Enteros Pares, Enteros Impares y Enteros Primos.
Números Racionales (Q): Se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Cardinales y Enteros. Se representan por los números de la forma a/b.
Números Irracionales (I): Equivalen a un decimal infinito aperiódico y provienen de construcciones geométrica. Un ejemplo, puede ser, el cálculo de las diagonales de un cuadrado
Números Reales (R): Se conforman por la unión de los números racionales y los irracionales, cuya principal característica es la representación en la recta.
Números Complejos (C): Se originan en la resolución de ecuaciones cuadráticas y para solucionarlos se requiere aplicar métodos diferentes a los que se utilizan en los números reales.
Pensemos… reflexionemos y resolvamos…
En un observatorio meteorológico de una población de alta montaña se han observado y registrado durante una semana las siguientes temperaturas, El registro presenta en color rojo las temperaturas bajo de cero.
¿Qué día de la semana se presentó la temperatura más baja?, ¿Qué día fue la más alta? Que temperatura esta marcando el termómetro si:
• Marcaba 15ºC y disminuyó 12ºC?
• Marcaba 10ºC bajo cero y aumento 7ºC?
• Marcaba 18ºC y aumentó 7ºC?
• Marcaba 6ºC bajo cero y disminuyó 5ºC?
Validar respuestas
? Digite en el campo de texto, la respuesta que considere correcta. Al terminar haga clic en el botón validar respuesta.
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
5º C 1º C 4º C 2º C 3º C 5º C 8º C
OPERACIONES EN LOS ENTEROS
Suma Resta Multiplicación División
Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos. + =
Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor + =
Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor
+ = Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos.
+ =
+3
+1+2
-3
-4
+5-2
-7
(5+3) + (15 – 18) + (-8 + 13) + (-10+2) + (-25 – 15)
¿Cuál sería la respuesta?
= ?ejemplo
aplican cuando
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse
Pensemos… reflexionemos y resolvamos…
-5
5
1
-6
( - 3 + 16 ) + 13 ( – 8 – 5)
Resolvamos
(- 7 –5 - 4 – 9 - 2) =
¿Cuál sería la respuesta?
+13 -13
Se restan y se coloca el signo de la cantidad
mayor
-
+13
+ - -
Se suman y se coloca el mismo signo de los
sumandos
(- 7 – 6 + 2 - 3 - 9 + 8) =
(4 – 6 + 4 – 5 + 9 + 3 - 8) =
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que aparece al final de su pantalla y arrástrelo a la respuesta que considere correcta de acuerdo con la operación. Suelte el mouse
(5 + 16 + 4 + 8) =
+ 13 + 33
- 15 - 1
- 27
+ 27
- 13
- 33+ 15
+ 1
Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:
OPERACIONES EN LOS REALES
Suma Resta Multiplicación División
Signos iguales generan resultado positivo x =
x = Signos contrarios generan resultados negativos
x =
+2+5
-2+3-8
-7
-(5) (-6) (3) (-2)-(-2)
¿Cuál sería la respuesta?
= ?
Signos iguales generan resultado positivo
aplica ley de Signos
ejemplo
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse
x = Signos contrarios generan resultados negativos
+16
-35
+33
-30
+11 -15
Resolvamos
(-3) (-8) (+2)(-5)
(-7) (-5) - (4) (9)+(-2) =
¿Cuál sería la respuesta?
(+ 24)
Signos iguales generan resultado positivo
- - + -
Signos contrarios generan resultado negativo
- (7)(6) + (2)(-3)(-9) -8 =
- - (-6)(4) - (5)(9) + (3)(8) =
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón y arrástrelo a la respuesta correcta, de acuerdo con la operación. Suelte el mouse
(-3) (5) (-4) (2) (-8) =
-240 +960
15
- 40
- 27
+ 27
+240
-960
+ 15 + 40
(- 10)
aplicando ley de signos
(-6) (2) (-4) (5) =
(5)(-2) (4) =
(-5)(-3)=
-1
+104
- 3
+1
-104-1
+45
- 27 +3
-45
Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:
Cuando hay una operación dentro de un signo de agrupación, se debe efectuar primero la operación contenida por el signo de agrupación y luego destrucción del signo de agrupación
RECUERDE…
6 - (-3 + 1 – 2) x 2 - (-3) x (-9-1) / (-2)
Se resuelven paréntesis
6 + 4 x 2 + 3 x -10 / -2
Se resuelven corchetes
10 x 5 x 5
Se resuelven llaves
= 250
Observa
Relacione las operaciones de acuerdo con su simbología
(a+b)
(axb)
(an)
dxxf )(
(ax)
(a-b)
(a/b)
n a
xLog a
dxdyxfy )(
Adición
Multiplicación
Potenciación
Exponenciación
Integración
Sustracción División
Radicación
Logaritmación
Derivación
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que contiene el nombre de la operación y arrástrelo de acuerdo con la operación que se presenta. Suelte el mouse
Resolvamos
PROPIEDADES Adición Multiplicacióna + b € R a . b € R
a + (b + c) = (a + b) + c * a . (b . c) = (a . b) . c * a + b = b + a a . b = b . a
Es el 0: a + 0 = 0 + a = a
Es el 1: a . 1 = 1 . a = a
Es el opuesto aditivo: a + (–a) = (–a) + a = 0
Es el inverso multiplicativo:
a.(⅟a)=(⅟a) .a=1 si a ≠ 0 Si a = b entonces a + c =
b + c Si a = b entonces a • c =
b • c
(a + b) • c = (a • c) + (b • c)
Observación: La propiedad asociativa permite prescindir del uso del paréntesis y escribir simplemente a + b + c ó a • b • c
6 + 2 = 2 + 62 x 4 = 4 x 2
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 45 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
9 x 1 = 9-3 x 1 = -36 + (-6) = 0
134
43;17
17 == ••5 • (3 + 4) = 5 • 3 + 5 • 4
1
3
2
4
5
6
7
7
5
4 5
2
3
1
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de inverso aditivo´…. Colocar multiplicativo
Uniforme
Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
Ley de cierre
? Aquí va ayudaPropiedades de las operaciones con los números reales
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?. En caso de ser verdaderas, enunciar las propiedades utilizadas
34
3545
31
598*25
98*2
22 cc
92*829*82
1*1a
aRea para todo
05 x
Para todo Existe un número real x para el cual
V
f
v
f
v
v
distributiva
conmutativa
Inverso multiplicativo
Inverso aditivo
Pensemos
Validar respuestas
? Digite en los cuadros pequeños V si es verdadero o F si es falso y de acuerdo a la operación, Si es verdadero digite el nombre de la propiedad. Valide sus respuestas en el botón validar respuestas
OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma Resta Multiplicación División
bdbcad
dc
ba
bdfbdebcfadf
fe
dc
ba
de tres fracciones
de dos fracciones
ejemplo
2
8+
1
3
5
4- =
2 x 3 x 4 +
8 x 3 x 4
==24+ 32 - 120
96
-
1 x 8 x 4 - 5 x 8 x 3
se multiplica el numerador por el denominador de los demás
se multiplican los denominadores entre sí
¿Cuál sería la respuesta?
OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma Resta Multiplicación División
2
=
=8
=
¿Cuál sería la respuesta?
2
8
dbca
dc
ba
...
5
3x
cbda
dcba
cd
ba
dc
ba
.
.
2
8
5
3÷
53
ejemplo
Resulta de multiplicar el producto de extremos por el producto de medios
2x38x5
=Fracción que resulta de multiplicar
numeradores y denominadores entre sí
Resolvamos
Validar respuestas
? Digite en el cuadro de texto la respuesta de acuerdo con el enunciado. Valide sus respuestas dando clic en el botón validar respuesta.
¿Qué parte de la figura está coloreada?
h
aa 1
OPERACIÓN CON LOS REALES
Potenciación Radicación
a es número real, n es entero
si
entonces
an se obtiene multiplicando n veces
el factor a
ejemplo
35 = 3.x.3 x3 x 3 x 3
PROPIEDAD POTENCIA
mmm baba m
mm
ba
ba
nmnm aaa
nmn
m
aaa
mnmn aa *n
n
aa 1
10 a
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base
Cociente de potencias de igual base
Potencia de potencia
Inverso de una potencia
Potencia cero
Potencia unitaria
Se excluyen los casos 00
? Aquí va ayudaVer nota
OPERACIÓN CON LOS REALES
Potenciación Radicación
inversa a la potenciación
es
se llama
raíz enésima de un número a , al número b
tal que,
la potencia enésima de b es igual a a
PROPIEDAD RADICACIÓN
Distributiva con respecto a la división
Exponente racional
Raíz de raíz
abba nn n, con
Simbólicamente
Distributiva con respecto al producto
nnn baba
n
nn
ba
ba
nmm n aa
nmnmn m aaa
?
Si a, b son números reales positivos y n, m números naturales, aplica
Aquí va ayuda(ver nota)
Observamos RECUERDE: La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación.
an an
n es impar a Rn es par 0a
ejemplo,
3 8 = 2 R
3 8 = - 2 R
ejemplo,
16 4= R
16 i4= Im
Siguiente
Observamos y Resolvamos
53628 22222
222 3838
523 22
2164
?16
La raíz de índice par de un número negativo, no tiene solución en los reales, ya que ningún número real elevado a una potencia par da como resultado un número negativo
Por lo tanto, su solución esta en los números Complejos C al definir los imaginarios
1i
16116
resolviendo
161
ii 44
v
F
F
V
22 aa V
¿Cómo se denomina la solución positiva?
¿Cómo se denomina la solución negativa?
? En los ejercicios de 1 a 5 coloque , V si es verdadero o F si es falso, al finalizar resolver las preguntas de acuerdo a los enunciados
CONSULTA: ¿Sabes con cuál tipo de raíz trabajan las calculadoras?
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
ba
bababa
11
ba
bababa
11
a1
Caso 1.
= *a
1aa =
aa
Se racionalizan los denominadores
Resulta de multiplicar numeradores entre sí
Se multiplican denominadores entre sí y se simplifica el exponente y el radical, cuyo resultado es:
Caso 2.
Caso 3.
baba
=
22ba ba 2ba ba )( ba ba
? En los casos dos y tres, arrastre los botones y ubíquelos de acuerdo con los resultados de la operación. Observamos y
aplicamos
¿Cuál sería la respuesta?
FIN MATERIAL PARA EL OAPROYECTO MEN - UDEA
Tema 2. razones y proporciones
RAZONES Y PROPORCIONES
2
24
4
4 8
P1=2 + 2 + 4 P2=4 + 4+ 8
P1=8 P2=16La razón de las medidas de los triángulos están dadas
por
P1P2
= 816
= 12
P2P1
= 168
= 2
La razón entre dos cantidades “a” y “b” se representa por: b
a y se lee “a” es a “b”
ResolvamosAl comparar la longitud de dos puente en un barrio de la ciudad se obtuvo que uno mide 90m. y el otro solo 30m..
Una manera de hacer la comparación es por la diferencia entre las longitudes: Longitud del puente A – Longitud del puente B = 90 – 30 = 60 m
Si se comparan las longitudes ¿cuál sería la respuesta? = Longitud A
Longitud B
¿De qué otra manera pueden compararse? =
¿Qué significa?
¿Qué significa?
? Aquí va ayuda
90 m
A30 m
B
PROPORCIONES
5cm
4cm
Una proporción es la igualdad de dos razones
Se tienen dos triángulos equiláteros: uno de lado 4 cm y otro de lado 5cm, como se muestra en las figuras. El perímetro de cada uno de ellos es de 12 y 15 cm. respectivamente
Al calcular la razón de la longitud del lado y el perímetro en cada triángulo, se tiene:
8,054
BLadoALado
8,01512
BPerímetroAPerímetro
BPerímetroAPerímetro
BLadoALado
se puede escribir como una proporción
Observemos
76
2118
Determinar si las razones entre y forman una proporción
76
2118
Si se multiplican
6 x 21
7 x 18
Producto de extremos
Producto de medios
= 126
= 126
entonces,
76
2118
=
Las razones son iguales, ya que el producto de extremos es igual al producto de medios.
Por lo tanto, forman una proporción
X
por lo tanto,
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando cumplen las condiciones:
•Las magnitudes están directamente relacionadas
•El cociente entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante).
• La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una línea recta.
Dos magnitudes están directamente relacionadas
cuando, al aumentar o disminuir una de ellas, la otra
también aumenta o disminuye.
Número de sacos
1 2 3 --- 26
Peso en Kg
20 40 60 … 520
x1x1x1 x2 x3xn
y1
y2
y3
yn
y
X
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales cuando cumplen las condiciones:
•Las magnitudes están inversamente relacionadas
•El producto entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante).
• La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una curva descendiente cóncava hacia arriba
Dos magnitudes están inversamente relacionadas cuando,
al aumentar una de ellas la otra disminuye y viceversa
Hombres 3 6 9 --- 18
Días 24 12 8 … ?
x1x1x1 x2 x3xn
y1
y2
y3
yn
X
y
3 x 24 = 6 x 12 = 9 x 8 =…
teconsba tan
PractiquemosMAGNITUDES DIRECTA E
INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Determine ¿cuáles de las siguientes magnitudes corresponden a proporciones directas y cuáles a proporciones inversas?
Directa Si disminuye el salario mínimo de un trabajador, también disminuye la calidad de vida
Cantidad de trabajadores y cantidad de trabajo hecho en un día
Distancia recorrida en una hora y velocidad del auto
Cantidad de obras realizadas y presupuesto invertido
Relación entre dólares y pesos
Inversa
directa
inversa
Inversa
Validar respuestas
? Aquí va ayuda
Regla de tres
Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres simple es directa.
•Si un automovilista recorre 180Km. en dos horas, ¿Cuántos km recorre en 7 horas?
Si llamamos la variable x como los km. que recorre en las 7 horas,
se puede escribir:
72180
)()(tan
x
horastiempokmciaDis
72180 x
En el ejercicio planteado, ¿cómo es la regla de tres?
Si las magnitudes son inversamente proporcionales, la regla de tres simple es inversa
¿Cuánto vale X?
Km
Es un procedimiento que permite hallar una cantidad desconocida en términos de
otras tres conocidas, en un problema donde intervienen dos magnitudes
proporcionales.
Validar respuestas
? Aquí va ayuda
Algebra
Parte de las matemáticas que estudia el cálculo de las
cantidades representadas con letras
es
Las cuales pueden ser
ContantesVariables
de la forma
y = - 3x2 + 10
SignoCoeficiente Literales Exponente
y = - 3x2 + 10
cuyos términos algebraicos constan de
Son las cantidades que pueden variar en un problema, representadas por letrasLas cuales pueden tomar los valores que se le asignan
Son las cantidades que no cambian en un problema
particular
Practiquemos? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse
Expresión algebraica
combinación de literales y números, con los signos de las
operaciones aritméticas
se refiere a
De acuerdo con el ejemplo, coloque el tipo de expresión algebraica al que corresponde, teniendo en cuenta el número de términos.
Pueden ser
Monomio
Binomio TrinomioPolinomio
Practiquemos? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse
Monomio: Expresión algebraica que consta de un término
Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos
Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos
Polinomio: Expresión algebraica que consta de más de tres términos
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
Agrupe términos semejantes
El mismo literal El mismo exponente
es decir, que tengan:
por ejemplo, en la ecuación:
3 + 8)a( (-5 – 8)x2+ ( 9 + 3)b +
Agrupando sus términos, quedaría
Solamente se operan:
Los coeficientes
Letras iguales con los mismos exponentes ¿Cuál sería la respuesta?
Practiquemos
3x3
5x2y
- 2xy2
- 4y3 3x3
5x2y
- 2xy2
- 4y3
(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)
Muy bien… agrupados sus términos quedarían así
Ahora….¿Cuál sería la solución a la ecuación?
6x3 + 10x2y - 4xy2- 8y3 6x3 + 10x2y - 2xy2- 8y36x3 + 10x2y - 4xy2- 4y3
EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.
? Arme las parejas de términos, para ello haga clic en el primer término y arrastre el mouse hasta encontrar su pareja. Suelte el mouse..
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
Agrupe términos semejantes
El mismo literal El mismo exponente
La distribución de signos, quedaría…
por ejemplo, en la ecuación:
(3a + 9b - 5x2 – 8a - 3b + 8x2)
los términos agrupados, formarían la ecuación
Solamente se operan:
Los coeficientes
Letras iguales con los mismos exponentes
¿Cuál sería la respuesta?
Distribuya los signos de agrupación
3 - 8)a( (-5 + 8)x2+ ( 9 - 3)b +
ahora,
Practiquemos
3x3 5x2y2xy2 4y33x35x2y 2xy24y3
(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)
Muy bien… Ahora, cómo quedarían agrupados sus términos
¿Cuál sería la solución de la ecuación?. haga clic en la que considere sea la correcta
x3 + 0x2y - 0xy2- 8y36x3 + 10x2y - 0+4y3
EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.
? En esta página encontrará algunas actividades, para solucionarlas, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse
+- - - -++
0 3x3 + 0x2y – 0+ 2y3
Excelente… Otra forma de representarlos sería
3x3- 5x2y - 2xy2 4y3 - 3x3 5x2y2xy2- 4y3
De acuerdo con la ecuación anterior, ubique el signo que le corresponde a cada término
+
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
Las propiedades de potenciación
(4 x -2) (a3 x a2) (b5 x b4 )
(-8) (a5) (b9)
Dos monomios
(4a3b5) (-2a2b4)
Por ejemplo, en la ecuación:
an x am = an+m
se reunieron los términos semejantes
tenga en cuenta:
al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?
(-8) (ab5) (ab9) (-8) (a3b5) (a2b9)
si se trata de:
? Aquí va ayuda
Practiquemos
(3x2y2) (-2x5y3)
se reúnen los términos semejantes = (3)(-2) (x2.x5) (y2,y3)
Se aplica las propiedades de la potenciación.
¿Cuál es la respuesta correcta?
= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)
6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6
Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:
? Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
La propiedad de potenciación
-6x2+ 6x2 -3x
Un monomio por un polinomio
(3x)(2x2- 3x -1)
Por ejemplo, en la ecuación:
a(b+c)=ab+ac
Si se aplicara las propiedades de la potenciación.¿Cómo quedaría la ecuación?
tenga en cuenta:
5x3+ 6x2- 3x 6x3 - 9x2 - 3x
La propiedad distributiva
an x am = an+m
Aplicando propiedad distributiva ,quedaría
(3x.2x2)+ (3x.-3x) +(3x. -1)
si se trata de:
Practiquemos
(3x) (x2 + 4y3 -2xy)
se reúnen los términos semejantes = (3+12- 6) (x2.x5) (y2,y3)
Se aplica las propiedades de la potenciación.
¿Cuál es la respuesta correcta?
= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)
6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6
Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:
? Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
La propiedad de potenciación
-6x2+ 9x2m – 15m2
un polinomio por un polinomio
(3x2-5m)(2x2+3m)
Por ejemplo, en la ecuación:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
¿Cuál considera que es la ecuación final?
tenga en cuenta:
6x4 –mx2 – 15m2 0x4 - 19x2m- 15m2
La propiedad distributiva
an x am = an+m
Aplicando propiedad distributiva quedaría
(3x2.2x2)+ (3x2.3m) +(-5m. 2x2) + (-5m.3m)
si se trata de:
Agrupación de términos semejantes(6x4)+ (9x2m) - (10x2m) (-15m2)
Al agrupar términos y aplicar propiedades de potenciación, la ecuación sería
6x4 +mx2 +15m2
? Aquí va ayuda
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
Las propiedades de potenciación
Dos monomios Por ejemplo, en la ecuación:
an
am
se reunieron los términos semejantes
tenga en cuenta:
al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?
si se trata de:
= am-n
? Aquí va ayuda
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
La propiedad de potenciación
Un monomio por un polinomio Por ejemplo, en la ecuación:
Si se aplicara las propiedades de la potenciación.¿Cómo quedaría la ecuación?
tenga en cuenta:
La distribución del denominador Aplicando propiedad distributiva del denominador,quedaría
si se trata de:
an
am = am-n
? Aquí va ayuda
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
x5 + 7x3 - 5x + 1 x3 + 2x
Operaciones con Polinomios
DivisiónMultiplicaciónRestaSuma
Un Polinomio por un polinomio veamos un ejemplo
si se trata de:
(X5+7x3-5x+1) (x3+2x)
x2
C(x)
- x5 - 2x3
5x3 - 5x
(1) Se colocan los términos en orden descendente con respecto
a la letra que se va a dividir
(2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término
del divisor
+ 5
-5x3 - 10x
- 5x + 1
(3) Los términos delcociente, se multiplican por cada uno
de los términos del divisor(4) Los resultados
obtenidos se restan
R(x)
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Factor común Factor comúnpor agrupación
Diferencia decuadrados
Diferencia decubos
Suma de cubosTrinomio al cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
x2n+ bxn + c
Trinomio de la forma
ax2 + bx +c
TEMA 2. FACTORIZACIÓN
Factor común
ab + ac = a(b +c)
27a3b4m – 36a4b3m + 45a3b5m
se identifican los términos comunes
9, a3, b3, m
aplica si:
en la ecuación
9a3b3m(3b - 4ª + 5b2)
al factorizar, el resultado es
Todos los términos tienen algo en común (puede ser
número, literal o combinación de los dos)
observa
Encuentre el factor común de las siguientes ecuacionesPractiquemos
5m2b3 – 45m4b2 + 15m 5m(mb3 – 9m3b2 + 3)
? Aquí va ayuda
Factor común por agrupación
ab + ac + db + dc = a(b +c) + d(b + c)= ( a + d) (b + c)
a2m – 5a2n + 3x2m + 15x2n
aplica si:
en la ecuación
al unir parejas de términos comunes,se tiene
a2 (m – 5n) + 3x2 (m – 5n)
(m – 5n)(a2 + 3x2)
al factorizar, el resultado es
observa
Al unir parejas que tienen términos semejantes, se
obtiene un polinomio común
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Diferencia de cuadrados
a2n – b2m = (an + bm) (an - bm)
25a4 – 16b6
aplica si:
en la ecuación
extrayendo raíz cuadrada se tiene
5(a2)2 – (4(b3) 2
(5a2 + 4b3) (5a2 - 4b3)
al factorizar, el resultado es
observa
Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz
cuadrada exacta
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Diferencia de cubos
a3n – b3m = (an - bm) (a2n + anbm + b2m)
125a6 – 64b9
aplica si:
en la ecuación
extrayendo raíz cúbica se tiene
(5a2) 3 – (4b3) 3
(5a2 + 4b3) (25a4 + 20a2b3 + 16b6)
al factorizar, el resultado es
observa
Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz
cúbica exacta
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
Suma de cubos
a3n + b3m = (an + bm) (a2n - anbm + b2m)
125a6 + 64b9
aplica si:
en la ecuación
extrayendo raíz cúbica, se tiene
(5a2) 3 + (4b3) 3
(5a2 + 4b3) (25a4 - 20a2b3 + 16b6)
al factorizar, el resultado es
observa
Los términos que la componen tienen igual
signo y ambos tienen raíz cúbica exacta
l
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
(5a3)2 + 2(5a3)(8b2) + (8b2)2
Trinomio de cuadrado perfecto
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2 25a6 + 80a3b2+ 64b4
aplica si:
Ejemplo, factorizar
El primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta
y son positivos
(5a3 + 8b2) 2 Factorizando, la ecuación quedaría
El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser
positivo o negativo
cumple que
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
m x p= -14m + p = - 5
Trinomio de la forma x2n+ bxn + c
El primer término es positivo y tiene raíz
cuadrada exacta X4 - 5x2 - 14
aplica si:
Ejemplo, factorizar
(x2 – 7) (x2 + 2)
se buscan dos números m y n que cumplan
La variable que está en el segundo término es la raíz
cuadrada del primer término
m x p = c , m + p = b
X2n + bxn + c = (xn + m) (xn + p)
para el ejemplo,
m = - 7p = + 2
Factorizando, la ecuación quedaría
cumplen para m y n
de tal forma que,
Dos números que al multiplicarlos den como resultado (m x p) y al sumarlos dan como resultado (m + p)
• Pendiente ejercicio
Practiquemos
(ax)2 + b(ax) + (ac)a
Trinomio de la forma ax2+ bx + c
(ax2 + bx + c)
Para factorizar la ecuación, se debe convertir en un trinomio de la forma x2n+ bxn + c, así:
x2n+ bxn + c
(z)2 + b(z) + c
al organizar la ecuación
ax = z,ac = c
quedaría
si se sustituye
por lo tanto, el resultado es un trinomio de la forma
la ecuación estaría dada por
aa
aa
se obtiene
La expresíón ax2+ bx + c,la multiplicamos y dividimos
simultáneamente por a
• FactorizarPractiquemos
3(3x4 + 5x2 – 8)3
(32x)2 + 15x – 24)3
(3x2)2 + 3(5x2)– 8)3
(3x2)2 + 3(5x2)– 24)3
al multiplicar ydividir por a se
obtiene
al organizarla quedaría como
? Aquí va ayuda
El Operador Sumatoria∑
En la recolección de datos a cerca de la suma de las edades de un grupo de 12 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos:
3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74
Si se representa teniendo en cuenta el operador sumatoria se obtiene:
Si, en forma abstracta se hace referencia a un conjunto de n valores obtenidos a partir de la medición o la observación y son distintos entre ellos, los valores de la variable obtenida se designan con letras mayúsculas , así
Se lee: sumatoria de los valores de la variable X desde (i = 1) hasta el valor enésimo, n
.
de forma general, se representa como
Propiedades del operador sumatoria ∑
Caso 3Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X,
n veces
Caso 4Sumatoria del producto ordenado de variables
Caso 5Sumatoria de las diferencias de
valores pareados de dos variables
Caso 1Definición básica del operador sumatoria
Caso 2Sumatoria de un valor
contante
∑ (Xi2) =
i=1
nX1
2 + X22 + X3
2 - Y32, +… + Xi
2 +…,+ Xn-12 + Xn
2
Caso 6Sumatoria de los cuadrados de n
valores de una variable se refiere a
TEMA 4. SUMATORIA, PRODUCTORIA…
∑ Zk = =
Caso 1Definición básica del operador sumatoria
No es más que la definición del operador sumatoria, ∑, de valores de una variable. Para Xi:
∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn
n
X=1
Propiedades del operador sumatoria ∑
Teniendo en cuenta los valores obtenidos en la medición de la variable Z: 12, 4, 11, 10, 7, 11, 9, 2, 9, 6, 5, 6, Calcular para:
∑ Zk =10
k=1
12+4+11+10+7+11+9+2+9+6 =
∑ Zk =5
k=1
12+4+11+10+7 =
∑ Zk =7
k=1
12+4+11+10+7+11+9 =
6
k=1
∑ Zk = =3
k=1
se tiene,
Caso 2Sumatoria de un valor
contante
En el caso donde el conjunto de n números a obtener o suponer es un valor constante, g, la suma de ellos es:
∑ ai =a1 + a2 + a3 + g+ … + a + a=nan
i=1
Propiedades del operador sumatoria ∑
Si se cuenta con el valor constante k=3, diez veces. Calcular:
∑ ki =10
i=1
3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 =
Para el valor constante k=6, cinco veces. Calcular:
∑ ki =5
i=1
=
Para el valor constante k=7, 3 veces. Calcular:
∑ ki =3
i=1
=
Caso 3Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X,
n veces
La sumatoria de un valor constante k, multiplicado por una variable, Xj, n veces, equivale a
∑ kxj =kX1 + kX2 + kX3 + kX4 +...+ kXj+ … +KXn-1+KXn
∑ kxj =k(X1 + X2 + X3 + X4 +...+ Xj+ … +Xn)= k∑ xj
n
j=1
Propiedades del operador sumatoria ∑
es decir:
n
j=1
n
j=1
La sumatoria de un valor constante multiplicado por valores de una variable, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de los valores de la variable.
∑ kXj =6
J=19 ∑4+4+4+4+4+4 =
Cuál es el valor de la siguiente sumatoria, si se tiene en cuenta que la constante k = 9
6
J=1
Caso 4Sumatoria del producto ordenado
de variables
Propiedades del operador sumatoria ∑
La sumatoria estaría dada por
∑ XjYj =6
J=1
Xj
312544
Yj
1085
129
10
Sean los valores ordenados de la variable Xj, Yj,
(3)(10) + (1)(8) + (2)(5) + (5)(12) + (4)(9) + (4)(10)
= 30 + 8 + 10 + 60 + 36 + 40 =
∑ Xj =6
J=1
∑ XjYj =6
J=1
3 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 =
10 + 8 + 8 + 12 + 9 + 10 =
El producto de estas sumatorias está dado por:
(∑ Xj) (∑ Yj )= =J=1 J=1
6 6
por lo tanto,
lo que equivale a
Observe que: la sumatoria de los productos, es diferente del
producto de las sumatorias
Caso 5Sumatoria de las diferencias de
valores pareados de dos variables
Propiedades del operador sumatoria ∑
∑ (Xj-Yj) =
está dada por
Reagrupando
= (X1 + X2 + X3 +…+ Xj +…+ Xn-1 + Xn) – (Y1 + Y2 + Y3 +… + Yj +… + Yn-1 + Yn)
∑ (Xj - Yj) = ∑ (X - Y )j=1 j=1
n n
en el ejemplo,
la sumatoria de las diferencias es igual a la diferencia de las sumatorias
(X1 - Y1) + (X2 - Y2) + (X3 - Y3) +...+ (Xj - Yj) +…+ (Xn-1 - Yn-1) + (Xn - Yn)
(X1 - Y1), (X2 - Y2), (X3 - Y3), …, (Xj - Yj), …, (Xn-1 - Yn-1), (Xn - Yn)
j=1
n
se puede concluir que
Este caso es importante para resolver derivaciones y los cálculos estadísticos
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formando y calculando su número
Combinatoria
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
• Influye el orden en que se colocan.
• Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.
pueden ser
Variaciones sin repetición Variaciones
con repetición
Variaciones sin repetición
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p, se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
Combinatoria
si,
el número de elementos sin repeticiónequivale a
para
aplicando la fórmula se obtiene
Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones sin repetición para p=3?
por lo tanto,
Variaciones con repetición
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como, las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
Combinatoria
si,
el número de elementos con repeticiónequivale a
para
aplicando la fórmula
Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones con repetición para p=3?
por lo tanto,
Permutaciones
Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
• Influye el orden en que se colocan.
• Se toman todos los elementos de que se disponen.
pueden ser
Permutaciones sin repetición Permutaciones
con repetición
con
Sin repetición
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
Permutaciones
el número de elementos sin repeticiónequivale a
para
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
por lo tanto,
con repetición
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.
Permutaciones
el número de elementos con repeticiónequivale a
para
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
por lo tanto,
con
Sin repetición
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
Combinaciones
el número de elementos sin repeticiónequivale a
para
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
con
con repetición
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
Combinaciones
el número de elementos con repetición equivale a
para
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
con
http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/per_marco.htm
recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos
Teorema del Binomio
el resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una
suma
es
El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es
se expresa en la siguiente variante:
hace referencia a
la fórmula para calcular el valor de ,representado ocasionalmente como C(n,k) o )
donde,
EJEMPLO
para n=2, n=3, n=4:
Observemos(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy+ yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy
Agrupando términos semejantes:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4