Números Aleatorios y Pseudo Aleatorios
¿Qué son? Números aleatorios Son obtenidos al azar es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección de uno no depende de la elección del otro. Aleatoriedad → carencia de propósito, causa, u orden. Números pseudo aleatorios Sus características son: -Pseudo →falso -Se forman a partir de algoritmos determinísticos -Deben pertenecer a una distribución ~U(0, 1)
¿Para qué sirven? La función de los números pseudo aleatorios es que a partir de ellos podemos generar:
Comportamiento de materiales, sucesos, personas
Distribuciones de probabilidad
Variables aleatorias
¿Para qué y cómo se usan? Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de los modelos de simulación fundamentalmente porque las sucesiones de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios. Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente grande de números aleatorios, pero generarlos resulta complicado, es aquí donde entran los números pseudo aleatorios ya que se pueden generar rápidamente aplicando alguno de los algoritmos.
¿Para qué y cómo se usan? En forma resumida podemos decir que los números pseudo aleatorios se usan de la siguiente manera:
1.- Primero, se generan mediante algún algoritmo determinístico.
2.-Se aplican las pruebas necesarias para comprobar que son aptos (es decir, pueden mostrar aleatoriedad) para usarse en la simulación.
3.- Con ellos se generan variables aleatorias para distribuciones continuas o discretas (cada una conlleva una serie de pasos a seguir). Con métodos como el de la transformada inversa.
4.- Las cuales se usan para describir el comportamiento de materiales, sucesos, personas.
¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1?
Los números pseudo aleatorios se generan mediante:
Los algoritmos determinísticos se dividen en: Congruenciales No Congruenciales
Algoritmos Determinísticos
que requieren Parámetros de
arranque como Semilla
¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1?
No Congruencial
Algoritmo de cuadrados medios
Algoritmo de multiplicador
constante
Congruencial
Algoritmo lineal
Algoritmo multiplicativo
Algoritmo aditivo
Algoritmo de cuadrados medios
Algoritmo de productos medios
Algoritmo cuadrático
Algoritmo de Blum, Blum y
Shub
No Lineales Lineales
Propiedades que deben cumplir los números pseudo aleatorios
Propiedades
Distribución Uniforme U (0, 1)
Media
Varianza
Indepen
dencia 𝜇= 1
2
𝜎2= 1
12
Generación de números pseudo aleatorios
Mediante el algoritmo congruencial lineal. Xi+1 = (a Xi + c) mod m i = 1, 2, 3…n
X0= semilla debe ser entero y X0 >0. a = constante multiplicativa, a >0 y debe ser entero. c = constante aditiva, c >0 y debe ser entero. mod m = modulo, significa dividir lo anterior entre m y obtener solo el residuo. Condiciones para poder establecer un periodo de vida máximo N=m= 2g : k =entero X0 = a=1+4k g = entero m= 2g = 25 c = primo a m
X1 = (17*23+31) mod (32) = 6 r1 = 6/31 = 0.1935
31
32
5
17
4 23
Prueba de medias 𝐻0: 𝜇𝑟𝑖 = 0.5 𝐻1: 𝜇𝑟𝑖 ≠ 0.5
𝑟 =1
𝑛 𝑟𝑖𝑛𝑖=1
𝑟 =1
32 (0.1935 + 0.1612
32
𝑖=1
+ 0.6451 +⋯+ 𝑟𝑛) = 0.500
Límites de aceptación
𝐿𝐼𝑟 =1
2− 𝑧𝛼/2
1
12𝑛=1
2− 1.96
1
12 32 = 0.3999
𝐿𝑆𝑟 =1
2+ 𝑧𝛼/2
1
12𝑛=1
2+ 1.96
1
12(32)= 0.6000
Se acepta la 𝐻0.
Prueba de varianza 𝐻0: 𝜎𝑟𝑖
2 = 1/12
𝐻1: 𝜎𝑟𝑖 2 ≠ 1/12
𝑉 𝑟 = (𝑟𝑖 − 𝑟 )
2𝑛1=𝑖
𝑛 − 1=2.8263
31= 0.0911
Límites de aceptación
𝐿𝐼𝑉 𝑟 =𝑋2α/2,𝑛−1
12(𝑛 − 1)=48.232
372= 0.1296
𝐿𝑆𝑉 𝑟 =𝑋21−𝛼2,𝑛−1
12(𝑛 − 1)=17.539
372= 0.0471
Se acepta la 𝐻0.
Prueba de Uniformidad *Chi-cuadrada *Kolmogorov-Smirnov
H0: ri ~U (0,1)
H1: ri no son uniformes si X2
0 < 𝑥𝛼/𝑛−12 se acepta la H0
Intervalo Oi Ei =
𝑛
𝑚 (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2
𝐸𝑖
(0.00 – 0.166) 6 5.6569 0.0209222
(0.166 – 0.33) 5 5.6569 0.0760848
(0.33 – 0.5) 5 5.6569 0.0760848
(0.5 – 0.666) 5 5.6569 0.0760848
(0.666 – 0.833) 5 5.6569 0.0760848
(0.833 – 1) 6 5.6569 0.0209222
0.3461838
Prueba de uniformidad
X20 =
𝐸𝑖−𝑂𝑖
𝐸𝑖
𝑚
𝑖=1
2 = 0.3461838
𝑥𝛼,𝑛−12 = 𝑥0.05,5
2 = 11.07
Por lo tanto, se puede aceptar que los números pseudo aleatorios generados siguen una distribución uniforme entre 0 y 1.
Prueba de independencia *Prueba de corrida arriba y abajo *Prueba de corrida arriba y debajo de la media *Prueba póker *Pruebas de series *Prueba de huecos
H0: los números de los conjuntos ri son independientes H1: los números de los conjuntos ri no son independientes
si Z0< Zα/2 se acepta la H0.
µCo = 2𝑛−1
3 𝜎𝐶𝑜
2 = 16𝑛−29
90
Z0 = 𝐶𝑜− µ𝐶𝑜
𝜎𝐶𝑜2
Prueba de independencia
S = {0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0}
Co = 19
µ𝐶𝑜 = 2 32 −1
3 = 21
𝜎𝐶𝑜2 = 16(32)−29
90 = 5.3666
Z0 = 19 − 21
5.3666 = - 0.8634 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96
-0.8634 < 1.96, se acepta la H0.
0.1935 0.1612 0.6451 0.6129 0.0645 0.0322 0.5161 0.4838
0.9677 0.9354 0.3870 0.3548 0.8387 0.8064 0.2850 0.2258
0.7096 0.6778 0.1290 0.0967 0.5806 0.5483 0 1
0.4516 0.4193 0.9032 0.8709 0.3225 0.2903 0.7741 0.7419
Variables Aleatorias
¿A qué se le llama variable aleatoria? Son mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo de experimento aleatorio. Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.
Las variables aleatorias son
aquellas que tienen un comportamiento
probabilístico de la realidad.
Tipos de variables aleatorias
Discretas Continuas
Números enteros
Números enteros y
fraccionarios
Número de hijos
Peso, estatura
Determinación del tipo de distribución al que pertenece el siguiente conjunto de datos con la herramienta Stat: :Fit.
Objetivo: Utilizar la herramienta Stat::Fit con la finalidad de determinar la distribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos.
Generación de variables aleatorias
Principales métodos:
*Método de la transformada inversa *Método de convolución *Método de composición *Método de la transformada directa *Método de aceptación y rechazo
Generación de variables aleatorias continuas
*Método de la transformada inversa Distribución Exponencial 1) Definir la función de densidad F(x) = λe-λx para x≥ 0 2) Función acumulada F(x) = 𝜆𝑒
−𝜆𝑥𝑥
0 dx = 1-e-λx para x≥ 0
3) Despeje de la variable aleatoria Xi = -1
𝜆 ln (1-ri)
4) Función acumulada inversa Xi= -λln (1-ri)
Generación de variables aleatorias continuas Ejemplo: El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal de cómputo en una importante universidad sigue una distribución exponencial de probabilidad, con promedio de 36 minutos.
Xi= -36Ln (1-ri)
Alumno ri Tiempo Alumno ri Tiempo
1 0.4849 23.882192 11 0.2917 12.4159517
2 0.5128 25.8869003 12 0.5088 25.5925405
3 0.2963 12.6505134 13 0.8877 78.716931
4 0.7793 54.3942348 14 0.8011 58.1383114
5 0.7306 47.2160885 15 0.1761 6.97342016
6 0.4068 18.8000521 16 0.1011 3.83700547
7 0.5486 28.6344509 17 0.0221 0.80452309
8 0.0961 3.63731559 18 0.4884 24.1276395
9 0.2352 9.65307302 19 0.8534 69.1217096
10 0.5319 27.3266399 20 0.1323 5.10873286
Generación de variables aleatorias discretas *Método de la transformada inversa Distribución de Bernoulli 1) Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar:
p(x)= px (1-p) 1-x para x=0, 1 2) Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1 : 3) Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x). 4) Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x).
Si ri ∈ (0, 1 –p) x = 0 Si ri ∈ (1 –p, 1) x = 1
x 0 1
p(x) 1-p p
x 0 1
P(x) 1-p 1
Generación de variables aleatorias discretas Ejemplo: La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice una compra a un agente de ventas es 0.20 (x=1) y de 0.8 de que no compre (x=0) en un dia determinado.
p(x)= (0.2)x (0.8) 1-x para x=0, 1
Cálculo de probabilidades puntuales y acumuladas para x=0 y x=1
Si ri ∈ (0 – 0.8) x=0 Si ri ∈ (0.8 - 1) x=1
X 0 1
p(x) 0.8 0.2
P(x) 0.8 1
Generación de variables aleatorias discretas Persona ri Xi Evento: Compra
1 0.1935 0 No
2 0.1612 0 No
3 0.6451 0 No
4 0.6129 0 No
5 0.0645 0 No
6 0.0322 0 No
7 0.5161 0 No
8 0.4838 0 No
9 0.9677 1 Si
10 0.9354 1 Si
11 0.387 0 No
12 0.3548 0 No
13 0.8387 1 Si
14 0.8064 1 Si
15 0.285 0 No
16 0.2258 0 No
17 0.7096 0 No
18 0.6774 0 No
19 0.129 0 No
20 0.0967 0 No
21 0.5806 0 No
22 0.5483 0 No
23 0 0 No
24 1 1 Si
25 0.4516 0 No
26 0.4193 0 No
27 0.9032 1 Si
28 0.8709 1 Si
29 0.3225 0 No
30 0.2903 0 No
31 0.7741 0 No
32 0.7419 0 No