Números Complejos
Presentación 1 Precalculus
Sec. 1.5
Tipos de números reales
• Enteros positivos o números naturales:
• Enteros no-negativos:
• Enteros
1, 2, 3, 4, ...
0, 1, 2, 3, 4, ...
..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...− − − −
Tipos de números reales (con’t)
• Un número racional es un número real que se puede expresar de la forma donde a y b son enteros and
• La representación decimal de números racionales – decimal finito, por ejemplo – decimal infinito y periódico, por ejemplo
/ ,a b0 .b ≠
5 1.25,4=
177 3.2181818...55
=
Tipos de números reales (cont’d) • Números Reales que NO son racionales son
irracionales. • Ejemplos:
– la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro es apróximadamente 3.14159.
– es apróximadamente 1.414.
• Los irracionales siempre tienen representaciones decimales infinitas y no-periódicas.
,π
2,
Conjuntos núméricos en Álgebra
Si una línea conecta dos rectángulos, el conjunto del rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo inferior.
La unidad Imaginaria
• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las propiedades: – i es la raiz cuadrada de -1, esto es, – i2 = -1 .
• i NO es un número real. Es una nueva entidad matemática que nos permite definir el conjunto ℂ de los números complejos.
Los números complejos
Terminología Definición Ejemplos
Número complejo a + bi , donde a y b son números reales, i2 = -1
3, 2 + i , -5i
Número imaginario a + bi , donde b≠0 son números reales, i2 = -1
3 + 2i , 9i
Número imaginario puro
bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖,−𝑖
Igualdad a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d
x + yi = 3 + 4i si y solo si x = 3 y y=4
Parte real e imaginaria • Para un número complejo a + bi , llamamos
a la parte real y b la parte imaginaria. • Ejemplo: • Encontrar los valores de x y y, donde x y y son
números reales para
• Igualamos la parte real de ambos números 2x – 4 = 8 2x = 12 x = 6
• Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3
Suma y multiplicación • Expresar en la forma a + bi , donde a y b
son números reales.
• Solución:
Ejemplos Adicionales
• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales.
Ejemplos Adicionales
Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i. y luego el ciclo se repite.
Conjugados • Si z = a + bi es un número complejo, entonces
su conjugado, denotado, , es a – bi . • Sigue que el conjugado de a – bi es
a + bi • Hallar el conjugado de cada número complejo: • 9 + 2i • -5 – 7i
• −6 +10𝑖2
• 4i
Propiedades de Conjugados
División de Numeros Complejos
• La división de números complejos implica utilizar la multiplicación por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador.
• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son reales.
Ejemplo (continuación)
Simplificar las raíces de números negativos
Raíces de números negativos
• Ejemplos: a)
b)
c)
−4
−169 = 169 i =13i
−18 = 18 i = 3 2 i
i= 4 i= 2
Precaución • La fórmula 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 es válida para
números reales positivos, pero NO es válida cuando a y b son ambos negativos:
• Si sólo uno de los números ,a ó b, es negativo, entonces 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 .
Operaciones con raíces de números negativos
Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales
Soluciones Complejas
• Si r es un número real positivo, entonces la ecuación x2 = r tiene dos soluciones en los números complejos, , donde 𝑥 = 𝑟 se llama la raiz principal.
• Hallar las soluciones de:
𝑥 = ± 𝑟𝑖
𝑥2 + 24 = 0 𝑥2 = −24 𝑥 = ± −24 𝑥 = ± 24 𝑖
𝑥 = ± 4 ∙ 6 𝑖 𝑥 = ±2 6 𝑖
𝑥 = 2 6 𝑖 y 𝑥 = −2 6 𝑖
Soluciones complejas Ejemplo: Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26. Nota que: x2 – 2x + 26 = 0 Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática.
Para las soluciones son En este caso, a = 1, b = -2 y c = 26. Entonces,
b b acx
a− ± −
=2 4
2
ax bx c+ + =2 0
( ) ( ) ( )( )( )
x− − ± − −
=2
2 2 4 1 26
2 1
(Ecuación cuadrática)
( ) ( ) ( )( )( )
x− − ± − −
=2
2 2 4 1 26
2 1
( )( )x
± −=
2 4 4 1 26
2
x± −
=2 4 104
2± −
=2 100
2i±
=2 100
2i±
=2 10
2i= ±1 5
El conjunto solución de la ecuación es {1+5i, 1-5i}.
Ejemplo
• Halle el conjunto solución de la ecuación
Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza. Utilizando la propiedad de producto cero,
+ + =3 23 4 0x x x
( )+ + =2 3 4 0x x x
0x = + + =2 3 4 0x x
Ejemplo – continuación Como no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática. El conjunto solución de la ecuación es
+ + =2 3 4 0x x
( ) ( ) ( )( )( )
− ± −=
23 3 4 1 4
2 1x
− ± −=
3 9 162
x
− ± −=
3 72
x− ±
=3 7
2i = − ±
3 72 2
i
, ,i i − + − −
3 7 3 70
2 2 2 2
b b acx
a− ± −
=2 4
2
Ejemplo Halle el conjunto solución de la ecuación
Es una ecuación polinómica de grado 3 que factoriza por agrupamiento.
− + − =3 28 12 2 3 0x x x
( )( )− + =22 3 4 1 0x x
Ejemplo - continuación Utilizando la propiedad de producto cero,
− =2 3 0x + =24 1 0x=2 3x
=32
x
= −24 1x
= −2 14
x
( )( )− + =22 3 4 1 0x x
Cont. ejemplo
Por lo tanto, el conjunto solución es .
= −2 14
x
= ±14
x i
= ± −14
x
= ±12
x i
, ,i i − 3 1 12 2 2