Download - Numeros complejos
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C soluciona
el defecto algebraico
de R de que existan
ecuaciones polinómicas
con coeficientes reales
que no tienen soluciones
reales.
Ej. x2 + 1 = 0.
N Z Q R C⊂ ⊂ ⊂ ⊂
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Girolamo Cardano (1501-1576)
Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de nacimiento de los números complejos.
Resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado.
“Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra dé 40.”x(10-x)=40 155
Solución “intrigante”.
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Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando como lo hacemos hoy con números complejos.
3
32
3
32
3
322322
,
pqqpqqx
qpqpxx
Forma general de la ecuación cúbica y solución:
Funcionaba bien en algunos casos, como:
333 1010810108;206 xxx
Pero en otros ... : 333 21212121;415 xxx
Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.
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René Descartes (1596-1650)
60 años después de Bombelli:
“A pesar de que podemos pensar que la ecuación x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres raíces, únicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dos…
son simplemente imaginarias.”
René Descartes
"La Géométrie" (1637)
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“Los números imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espíritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no ser”
Gottfried von Leibnitz (1.646 – 1.716)
Otros términos que han sido usados para referirse a los números complejos incluyen :“Sofisticados” (Cardano)“Sin sentido” (Néper)“Inexplicables” (Girard)“Incomprensibles” (Huygens)“Imposibles” (Diversos autores)
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“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.
“formulam littera i …”Leonhard Euler (1777)
1
Leonhard Euler (1.707 – 1.783)
Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática.
i2 = -1; introdujo la notación binómica.Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación.
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Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
“Números íntegros complexos”K. F. Gauss (1831)
A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”.
“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica: x+iy → (x,y).
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Miguel de Guzmán (1936-2004)
“La visualización de los números reales mediante los puntos de una recta o de los números complejos mediante los puntos del plano no
solamente penetró sin gran resistenciaen el análisis, sino que se puede decir
con razón que, en el caso de los números complejos, esta
visualización (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte
oposición de la comunidad matemática al dar carta de ciudadanía
a los números complejos”.El rincón de la pizarra: ensayos de
visualización en análisis matemático.
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Un número complejo z es un par ordenado de números reales a y b, escrito como:
z = (a,b)(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
a se llama la parte real de z: Re(z) := a
b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales:
(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
, :),(: babaC
El conjunto de números complejos, se denota por C
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(0,1)(0,1) se llama la se llama la unidad imaginariaunidad imaginaria y se denota por: y se denota por:
Si Si a a= 0, se dice que es un = 0, se dice que es un imaginario puroimaginario puro. .
Si b= 0, Si b= 0, zz se comporta como un se comporta como un número realnúmero real..
z = a + bi
Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente como :
)10( , i (Los ingenieros (Los ingenieros eléctricoseléctricos a menudo usan a menudo usan ““j”j” para evitar confusiones con el para evitar confusiones con el
símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
(notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)
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z = a + bi
z = (a,b)
)10( , i
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El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)
z
x
y
r
Eje real
Eje imaginario
z = (x,y)
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x
y
3
2
Ejemplo:Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo
i23
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conjugadoEl conjugado de un número complejo z = x + i yse define como:
z
iyxz
x
zy
zy
Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.
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conjugado
Es sencillo demostrar que:
21212121
21212121
// zzzzzzzz
zzzzzzzz
iyxz
zz
22 ))(( yxiyxiyxzz
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opuestoEl opuesto de un número complejoz = x + i y se define como:
z
iyx
x
zy
z
Gráficamente el opuesto
es una reflexión respecto al punto (0,0)
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Suma y producto
Suma
)()( 212121 yyixxzz
)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz
Producto
Sean: 222
111
iyxz
iyxz
Parte real Parte imaginaria
“En la facultad teníamos un profesor cojo al que llamábamos el complejo.Tenía una pierna real y otra imaginaria.”Memorias de un estudiante de matemáticas
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ii
iiiiii
223)1012()158(
]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(
1)00()10()0)(0(2 iiii(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
12 i
Ejemplo:
11112
ii
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Potencias de i
1)1(1)( 2634254 iii
1
1
1
6
5
4
3
2
i
ii
i
ii
i
11
i
i
Por ejemplo:
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Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
)()( 2121 yyixxz
El cociente de dos números complejos se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador
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Suma y resta de números complejos en el plano complejo
x
y
1z
2z21 zz
12 zz En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores
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ii
i
i
ii
1
11
(1)
(2)
Ejemplos:
Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
)27)(27(
)27)(318(
z
z
2
1
ii
ii
53
57120
27
)27)(318(22
i--
i--i
Hallar el inverso de i:
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Calcular:Calcular:
Re(zRe(z11) = 18, ) = 18, Re(zRe(z22) = -7) = -7
Im(zIm(z11) = 3,) = 3, Im(zIm(z22) = 2) = 2
zz11+z+z22 = 11 + 5i, = 11 + 5i, zz11-z-z22 = 25+i = 25+i
zz11zz22 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
más ejercicios
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Ley de clausura:Ley de clausura:
zz1 1 + z+ z2 2 yy z z1 1 zz2 2 pertenecenpertenecen aa C. C.
Ley asociativa:Ley asociativa:
(z(z1 1 + z+ z22) + z) + z33 = z = z1 1 + (z+ (z2 2 + z+ z33))
(z(z1 1 zz22) z) z33 = z = z1 1 (z(z2 2 zz33))
Ley distributiva:Ley distributiva:
zz1 1 (z(z2 2 + z+ z33) = z) = z1 1 zz2 2 + z+ z1 1 zz33
Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.
Ley conmutativa:Ley conmutativa:
zz1 1 + z+ z22 = z = z2 2 + z+ z11
zz1 1 zz22 = z = z2 2 zz11
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0+z = z+0 = z0+z = z+0 = z ((Neutro para la sumaNeutro para la suma))
zz +(-z) = (-z)+z = 0+(-z) = (-z)+z = 0 ((Opuesto para la sumaOpuesto para la suma))
z z ··1 = 1 1 = 1 ·· z = z z = z ((Identidad para el productoIdentidad para el producto))
z z ·· z z-1-1 = z = z-1 -1 ·· z = 1 z = 1 ((Inverso para el productoInverso para el producto))
{C,+,·} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
(Para todo z distinto de 0)
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Falacia¿1=-1?
11;1;111
;1)1)(1(;1)1)(1(2
i
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22: yxzr
x
yz arctanarg:
El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)
Módulo:
También llamado “valor absoluto”(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento:
z
x
y
r
Eje real
Eje imaginario
Para z = 0, el ángulo no está definido.El 0 no tiene forma polar
z = (x,y)
Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …
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z
x
yr
sin
cos
ry
rx
sincos irr
iyxz
sincos irz
rz Forma polar
Forma trigonométrica
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x
y
iz 11
1
12
1r
4sin
4cos21
iz
2)1()1( 2211 zr
argumento:
4/1
1arctanarg 1
z
Ejemplo:
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica:
módulo:
4/1 2zsolución
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x
y
r
13
)2()3( 22
zr
},7.213,7.33,3.146{
3
2arctan
3
2arctanarg
z3
2
rad73.3
Ejemplo:Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar módulo y argumento
Módulo:
Argumento:
i23
La calculadora no distingue
El argumento está multivaluado.
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)]sin()[cos(
]sincoscossin
sinsincoscos[
sincossincos
21
21
2121
irr
i
rr
irirzzz
´´ mmmm
Multiplicación
)]sin()[cos(2121 irrzz
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x
y
z
1r 1z
2z
2r
21rrr
21zzz
Producto de números complejos en el plano complejo
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Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados
)]2/sin()2/[cos(
)cossin(
)sin(cos
ir
ir
iiriz
x
y
1z
12zi 1
3zi
1iz
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Potencias
nnn mm
)]sin()[cos( ninrz nn
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Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:
...,1,0sincos
)2sin()2cos(
)sin()cos(
2sin2cos
sincos
22
11
22
nninrz
irz
irz
irz
irz
nn
)sin()cos(sincos nini n
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
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3223
3
sinsincos3sincos3cos
)sin(cos3sin3cos
ii
ii
El teorema de Moivre es una máquina de generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
Igualando las partes reales e imaginarias:
32
23
sinsincos33sin
sincos3cos3cos
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Potencias iguales
401120
4280
407604
190
404004
100
404
10
16162
16162
16162
162
º1902
º2802
º1002
º102
º4016
Distintos números complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia …
Esto nos lleva al cálculo de raíces
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Potencias repetidas …Raíces
Un número complejo tiene tantas raíces como su índice
Sus afijos son los vértices de un polígono regular
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n zw
1,0,1,k º360
nknn
rR n
Raíces
se llama la raíz enésima de z a cualquier número se llama la raíz enésima de z a cualquier número w que cumple: w que cumple: wwn n = z, y se escribe como= z, y se escribe como
Módulo de w
Ángulo de w
rz Partimos de un número complejo z
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Sean w= R(cosα+ i sinα)
z = r(cos + i sin)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)
Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
RaícesLa fórmula para el cálculo de las raíces se basa en La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en
el teorema de Moivreel teorema de Moivre
1,0,1,k 2
kn
k
rR n
![Page 50: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/50.jpg)
Raíz cuarta …
280
190
100
10
440
2
2
2
2
16
º1902
º2802
º1002
º102
º104
º40
º904
º360
º4016
Primer ángulo
Ángulo a añadir
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Ejemplo: Ejemplo: raíces de la unidadraíces de la unidad
5
84
5
63
5
42
5
21
º00
2055
º0
1
1
1
1
1
4,1,011
11
w
w
w
w
w
kn
k
1nz
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División
)]sin()[cos(2
1
2
1 ir
r
z
z
´´ m
m
m
m
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1z
División de números complejos en el plano complejo
x
y
z
2z
2r
1r
2
1
r
rr
2
1
z
zz
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Benoit Mandelbrot publicó en 1975 su primer ensayo sobre fractales
Su construcción se basa en la iteración de un número complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite con el resultado ….
z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas
Su dimensión es fraccionaria
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Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retomó los trabajos de Juliá en 1970
Mandelbrot y esposaMadrid-ICM 2006
El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con números complejos fue
desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia (a la izquierda)
y Pierre Fatou (a la derecha), a principios del siglo XX.
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El físico-matemático Antonio Brú ha modelado matemáticamente el crecimiento de los tumores, o al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica la primera ecuación de crecimiento tumoral en la mejor revista del mundo de física. “ … Este físico español ha logrado curar un cáncer de hígado terminal con una ecuación …” .http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957
En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular,
las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc.
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Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas.
Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato.
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html
http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm
(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)
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Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria
cinematográfica, en películas como Star Wars y Star Trek.
http://starwars.ya.com/
http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php
![Page 61: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/61.jpg)
Otros programas:
XaosIfsAttrActoR
Fractal hecho con el programa
apophysis.www.apophysis.
org
http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html
Visita la web de un artista:
http://home.wanadoo.nl/
laurens.lapre/
escucha música fractal
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![Page 63: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/63.jpg)
"¿La vibración de las alas de una mariposa en Brasil pue-de desencadenar un
ciclón en Tejas?".(Poincaré)
![Page 64: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/64.jpg)
Causas pequeñas
producen grandes efectos
A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que utilizaba estaba fallando:
pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias asombrosas
![Page 65: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/65.jpg)
los fractales son la representación grafica
del caos.
Ejemplos de sistemas caóticos incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.
En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el
mercado bursátil ….
![Page 66: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/67.jpg)
Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)
Los cuaterniones son números complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843). Así un cuaternión q se expresa como: q = a+ib+jc+kd donde a,b,c,d son números reales.
Cuaterniones e hipercomplejos
![Page 68: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/68.jpg)
!La propiedad conmutativa no se
cumple para el producto de cuaterniones¡.
Los cuaterniones se emplean para describir dinámicas en 3 dimensiones, en física y en gráficos por ordenador (para hacer películas y juegos).
El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegación y vuelo
![Page 69: Numeros complejos](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012908/55cf8f3e550346703b9a63b0/html5/thumbnails/69.jpg)
Basada en la presentación de Bartolo Luquehttp://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt)
http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (área fractal-varios)http://es.webfractales.com/ (imágenes-software)
http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal)http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas)
http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htmhttp://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.html
http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm (fractales y caos)
http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.htmlhttp://www.margencero.com/estevez/estevez_intro.html (música)
http://www.dlsi.ua.es/%7Ejaperez/fractal/ (música)http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/5.html (cuaterniones)
http://www.fractalmusiclab.com/default.asp http://www.culturageneral.net/musica/clasica/
http://sombra.lamatriz.org/terraforming/html/ficcion.htmlAutora: Mª Jesús Casado IES Daviña Rey-Monforte