La topología encuentra
la neurociencia
Daniela Egas Santander Octubre 2018
Esquema
El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)
Esquema
El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)
Caja de herramientas de topología algebraica
Esquema
El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)
Caja de herramientas de topología algebraica
Topología y neurociencia
Esquema
El Blue Brain Project
R econstrucción digital del corteza somatosensorial de la rata Lo más biológicamente preciso posible Búsqueda de principios organizativos Explotar altos niveles de organización
Analizar: estructura y funcionamiento
El Blue Brain Project
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Información biológica esencial:
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Información biológica esencial:
grosor de cada capa
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Información biológica esencial:
grosor de cada capa
morfologías neuronales precias
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Información biológica esencial:
grosor de cada capa
morfologías neuronales precias
densidades y proporción de los diferentes tipos de neuronas en cada capa
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
Reconstrucción digital de las capas 1 a 6
Cinco ratas de 14 días de edad
Información biológica esencial:
grosor de cada capa
morfologías neuronales precias
densidades y proporción de los diferentes tipos de neuronas en cada capa
probabilidad de conexión entre los diferentes tipos de neuronas
Corteza somatosensorial
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
42 microcircuitos
~ 31 000 neuronas
~ 8 milliones conexiones synápticas
Simulaciones de actividad espontánea y evocada
Varios experimentos in vitro e in vivo reproducidos digitalmente, sin ajuste de parámetros
Microcircuitos neuronales
Circuitos neuronales y grafos
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Grafo
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Grafo
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Grafo
Grafo dirigido
Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección
Synapsis químicas imponen una dirección preferencial
Circuitos neuronales y grafos
Grafo
Grafo dirigido
Matriz de adyacencia "Neocortical Microcircuit Portal"
https://bbp.epfl.ch/nmc-portal/downloads
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Estudio de conectividad
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Estudio de conectividad
Siguiente paso después de la teoría de grafos
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Estudio de conectividad
Siguiente paso después de la teoría de grafos
Propiedades locales a globales
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Estudio de conectividad
Siguiente paso después de la teoría de grafos
Propiedades locales a globales
Construir espacios a partir de bloques de básicos
Cuantificando complejidad
Topología algebraica
Estudio de conectividad
Siguiente paso después de la teoría de grafos
Propiedades locales a globales
Construir espacios a partir de bloques de básicos
Determinar sus propiedades globales a partir de los bloques
Cuantificando complejidad
Complejo simplicial ordenado
Simplices geómetrica
Simplices geómetrica
Simplices geómetrica
Simplices geómetrica
Simplices geómetrica
Complejo simplicial ordenado
Imágenes: Wikipedia (complejo simplicial, complejo simplicial abstracto)
complejo simplicial no es complejo simplicial
Bloques:símplices
Bloques:símplices
Bloques:símplices
Bloques:símplices
Bloques:símplices
Propiedades globales:agujeros
1 simplice 3 simplices 4 simplices 1 agujero
Propiedades globales:agujeros
1 simplice 3 simplices 8 simplices 1 agujero
Intuición
Borde
Complejo de cadenas
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
1
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
1
Definición
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas de K es
Cp espacio vectorial (sobre cualquier cuerpo)
Base de Cp son las p-simplices de K
Diferencial
Ejercicio
Bordes
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
1
Definición
Los p-bordes de K es el subespacio vectorial:
Bordes
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
1
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
1
Definición
Los p-bordes de K es el subespacio vectorial:
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
Zp = ker(dp) ✓ Cp
d1((a, b) + (b, c)� (a, c))
= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))
= b� a+ c� b� (c� a) = 0
) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
1
CiclosDefinición
Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
Zp = ker(dp) ✓ Cp
d1((a, b) + (b, c)� (a, c))
= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))
= b� a+ c� b� (c� a) = 0
) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
1
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
Zp = ker(dp) ✓ Cp
d1((a, b) + (b, c)� (a, c))
= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))
= b� a+ c� b� (c� a) = 0
) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
1
CiclosDefinición
Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
Zp = ker(dp) ✓ Cp
d1((a, b) + (b, c)� (a, c))
= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))
= b� a+ c� b� (c� a) = 0
) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
1
Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas
de K es
• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp
• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial
d : Cp ! Cp�1
d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)
±(v0, v1, . . . , vp�1)
d2 = 0
Bp = im(dp+1) ✓ Cp
d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)
) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1
Zp = ker(dp) ✓ Cp
d1((a, b) + (b, c)� (a, c))
= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))
= b� a+ c� b� (c� a) = 0
) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
1
CiclosDefinición
Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Definición
Definimos una clase de equivalencia en los p-ciclos de K
en este caso decimos que z y z' son homólogos.
Classes de homología
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
Definición
Definimos una clase de equivalencia en los p-ciclos de K
en este caso decimos que z y z' son homólogos.
Classes de homología
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Ejercicio:
HomologiaDefinición
La p-homología de K:
donde [z] es la clase de equivalencia de z.
Ejercicio es un espacio vectorial
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
Imagen:Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)
HomologiaDefinición
La p-homología de K:
donde [z] es la clase de equivalencia de z.
Ejercicio es un espacio vectorial
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
Imagen:Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)
96 IV Homology
It follows that every p-boundary is also a p-cycle or, equivalently, that Bp
is a subgroup of Zp. Figure IV.1 illustrates the subgroup relations among thethree types of groups and their connection across dimensions established bythe boundary homomorphisms.
B
Z
Cp+1
p+1
p+1
C
Z
B
p
p
p
C
Z
B
p−1
p−1
p−1
0 0 0
p+2 p+1 p p−1
Figure IV.1: The chain complex consisting of a linear sequence of chain, cycle, andboundary groups connected by homomorphisms.
Homology groups. Since the boundaries form subgroups of the cyclegroups, we can take quotients. In other words, we can partition each cyclegroup into classes of cycles that differ from each other by boundaries. Thisleads to the notion of homology groups and their ranks, which we now defineand discuss.
Definition. The p-th homology group is the p-th cycle group modulo thep-th boundary group, Hp = Zp/Bp. The p-th Betti number is the rank of thisgroup, βp = rankHp.
Each element of Hp = Hp(K) is obtained by adding all p-boundaries to a givenp-cycle, c + Bp with c ∈ Zp. If we take any other cycle c′ = c + c′′ in thisclass, we get the same class, c′ + Bp = c + Bp, since c′′ + Bp = Bp for everyc′′ ∈ Bp. This class is thus a coset of Hp and is referred to as a homology class.Any two cycles in the same homology class are said to be homologous, whichis denoted as c ∼ c′. We may take c as the representative of this class butany other cycle in the class does as well. Similarly, addition of two classes,(c + Bp) + (c0 + Bp) = (c + c0) + Bp, is independent of the representatives andis therefore well defined. We thus see that Hp is indeed a group, and becauseZp is abelian so is Hp.
The cardinality of a group is called its order. Since we use modulo 2 coeffi-cients, a group with n generators has order 2n. For example, the base 2 loga-
Números de BettiDefinición
Los números de Betti de K son:
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
Números de BettiDefinición
Los números de Betti de K son:
Circuito neuronal Complejo simplicial ordenado
Número de símplices, Números de Betti
2
d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0
) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1
z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp
(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)
Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}
�p(K) = dim(Hp(K))
Abundancia de simplices
M.Reimann et. al. Cliques of Neurons Bound into Cavities Provide a Missing Link between Structure and Function, Front. Comput. Neurosci, (2017)
Validación in vitro
Simplices y funcionamiento
Las neuronas que pertenecen a simplices de alta dimensión tienen una alta correlación de picos de corrientes (spiking correlation)
Números de betti e individuos
b1
b3
Estudiando la actividad cerebral
Estudiando la actividad cerebral
Grafos de transmisión y respuesta
Grafos de transmisión y respuesta
Estimular el microcircuito.
Grafos de transmisión y respuesta
Estimular el microcircuito.
Serie de subgrafos
Grafos de transmisión y respuesta
Estimular el microcircuito.
Serie de subgrafos
Grafos de transmisión y respuesta
Estimular el microcircuito.
Serie de subgrafos
aristas i j
Grafos de transmisión y respuesta
Estimular el microcircuito.
Serie de subgrafos
aristas i j
Grafos de transmisión y respuesta
i e j están conectados
La neurona j dispara a lo sumo 10 ms después de la neurona i
Estimular el microcircuito.
Serie de subgrafos
aristas i j
Simplices en grafos TR
Simplices en grafos TR
Formación de classes de homología
Estudiar otros sistemas con modelados con grafos dirigidos
Aprendizaje y memoria
Análisis topológico de datos
Perspectivas
Giuseppe Chindemi, Henry Markram, Max Nolte, and Michael Reimann (Blue Brain Project, EPFL) Rodrigo Perin (Laboratory of Neural Microcircuitry, EPFL) Paweł Dłotko (Swansea) Dejan Govc, Ran Levi and Daniel Lütgehetmann (Aberdeen) Katharine Turner (Australian National University) Stefania Ebli, Kathryn Hess, Nicolas Ninin, Gard Spreeman, Martina Scolamiero (Laboratory for Topology and Neuroscience, EPFL) Nicolas Antille and Jonas Karlsson (visualization)
Referencias
Colaboradores
H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.
M.Reimann et. al. Cliques of Neurons Bound into Cavities Provide a Missing Link between Structure and Function, Front. Comput. Neurosci, (2017) Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)