J.£.N. 171-DF/l 51
MÉTODOS DE CALCULO EN REACTORESNUCLEARES
por
G. Velarde
Madrid, 1966
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Se autoriza la reproducción de los resúmenesanalíticos que aparecen en esta publicación.
Este trabajo se ha recibido para su publicaciónen Diciembre de 1965.
Depósito legal n° M. 6948-1967
Í N D I C E
Págs.
1. - PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1
2. - HIPÓTESIS Y SIMPLIFICACIONES COMPLEMENTARIAS 8
3. - MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL
TRANSPORTE. 9
4. - APROXIMACIÓN P j 17
1.- -PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA , •
1.1.- Problema.- El problema que se intenta resolver en el cálculo neu-
trónico de un reactor, es.hallar en un instante determinado t para
una geometría y composición también determinada, el número probable-y -y
de neutrones situados en el entorno dr en r y con velocidades en el->• - * •
entorno dv en v.
1.2.- Variables.- Las variables independiente que intervienen en el pro-
blema son siete: el tiempo t, la posición r (x, y, z) y la veloci-
dad v (v , v , v ) =.vfi , de módulo v y dirección íí (9,<j>), siendo 0
la coaltura y $ el azimut.
Según los problemas considerados es conveniente tomar en vez de las
coordenadas reactangulares, las cilindricas o esféricas; y en vez del2
Vmódulo de la velocidad v, la energía cinética E = —^— , supuesta la
masa del neutrón la unidad, o bien la letárgia u = 2 ln , siendo
v una velociada de referencia.o
Los elementos diferenciales de las variables son:
, y = eos 6r2
dr = dx dv dz = r2 dr dQ = (S2d S) dr (1)
dv = dv dQ
A 2 A d E
du dv = =—E
siendo dS un elemento de superficie. Si f es una función que verifi
ca las igualdades
f (v;v ti) dv dn = f (u,Q) du dü = f (E,Q) dE dñ (2)
se cumple entonces
f u,3) = - E f (E.,n) = - JL_ f (V,n) (3)
- 2 -
1.3.- Definiciones.- Emplearemos las siguientes definiciones:
N (r,v,t) dr dv = número probable de neutrones que en un instan- - * • - * • - * • - * •
te t están situados en r + dr, v + dv.
N (r,v,t) = densidad neutr6nica angular
F (r,v,t) = vN (r,v,t) = densidad de flujo angular
¿ M (r,v,t) = sección eficaz macroscópica, supuesta isótropa,
del proceso x en el núcleo h. El subindice x
puede ser: c = captura, f = fisión, a = a + f =
absorción, e = dispersión elástica, i = disper-
sión inelástica, s = i + e = dispersión, t = a +
+ s = total. La sección eficaz macroscópica pue
de definirse por: número de procesos por unidad de
volumen y tiempo = ¿ F dv.
p (v1 •*• v) dv = probabilidad de que un neutrón incidente de velo-
cidad v1 habiendo sufrido una dispersión con un
núcleo h, alcance la velocidad v + dv, verificando
se que: p (v1 ->• v) dv = 1.1 h •*•
f" (v) dv = probabilidad de que un neutrón producido en la fi-
sión del núcleo h alcance la velocidad v + dv, su-
puesta independiente de la velocidad del neutrón que
produce la fisión, verificándose que: j f (v).
. dv = 1.
v (v) = número total de neutrones producidos (de 2 a 4) en
la fisión del núcleo h con neutrones incidentes de
velocidad v.
I.1*,- Hipótesis.- La densidad neutrónica máxima en un reactor es del orden11 -3
de 10 neutrones, cm , mientras que la densidad nuclear mínima es22 -3
del orden de 10 núcleos . cm , por lo cual las colisiones más pro-
bables son neutrones con núcleos y de núcleos entre sí, o sea:
t.l.- No se consideran las colisiones entre neutrones ni las colisiones de
un neutrón con varios núcleos a la vez.
- 3 -
1.4.2.- Entre dos colisiones sucesivas el neutrón se mueve con movimien
to rectilíneo y uniforme.
En la dispersión inelástica, se forma primeramente un núcleo com_
puesto en estado exictado, el cual emite generalmente un sólo neu
trón después de unos 10 seg. de haberse efectuado la colisión,
por tanto, puede admitirse:
1.4.3.- En cada dispersión se produce un sólo neutrón en el mismo lugar
e instante en el que se efectúa la colisión.
En la fisión se produce diversos neutrones algunos de los cuales
después de unos 10 seg. de haberse producido la colisión, mien
tras que otros se originan, con un retraso de 0,5 a varios segundos,
considerándose entonces
1.4.4.- En cada fisión se producen neutrones en el mismo lugar en el que
efectúa la colisión, algunos instantáneamente, y otros con un cier
to retardo.
La dispersión elástica de un neutrón de energía E Mev con un núcleo
de número másico A es isótropa en el sistema del centro de masas si-2/3
E < 10 A ,o sea si
5 Mev para núcleos ligerosE < { orr. „ s i J \ 5 y teniendo en cuenta que la1 250 Kev para núcleos pesados ' M
energía media de los neutrones de fisión es de unos 2 Mev, se admite
1.4.5.- La dispersión elástica en núcleos ligeros es isótropa en el sistema
del centro de masas.
En la dispersión inelástica y en la fisión, el neutrón incidente pa_
sa a formar parte del núcleo compuesto, perdiéndose la traza de la
dirección incidente, por lo cual los neutrones producidos son emitidos
Ísotropicamente en el sistema del centro de masas. Por una parte
la probabilidad de producirse una dispersión inelástica aumenta con
la masa del núcleo que sufre la colisión y sólo puede producirse cuan
do la energía del neutrón incidente es superior a una umbral,
- r 1 Mev para núcleos ligerosE > 120 Kev para núcleos pesados
_ 4 _
Por otra parte la fisión sólo se produce en núcleos pesados.
Por lo cual, teniendo en cuenta, que para núcleos pesados los
sistemas del laboratorio y del centro de masas se aproximan,
se puede considerar.
I.H.6.- La dispersión inelástica y la fisión son isótropas en el sis-
tenia de laboratorio.
1.5.- Ecuación del balance neutrónico.- La densidad o el flujo neutro
nico se obtiene resolviendo las ecuaciones que aparecen al esta-
blecer el balance entre las pérdidas y ganancias de neutrones.
Estas ecuaciones serán tanto más complicadas cuanta mayor infor-
mación se quiera obtener en la densidad o en el flujo, es decir,
según se intente obtener F ó $ dados en el esquema adjunto, para
geometrías uni, bi ó tridimensionales.
F (r, E, $2, t)
F díJ
(r, E, t)
F dE
E.i
4 dE
E.
i¿ (?, n, t)
, t)
Sonsideremos un tipo de neutrones carazteriado.por qué en'el
instante t tiene una energía E + dE, una dirección ü + áü, y
están situados en el volumen arbitrario V dé'..superficie S.
1.5.1.- Pérdidas por fugas.- El número de neutrones de este tipo per-
didos por fugas a través de la superficie S en la unidad de tiem
po, es
- Eíí / F (r,E,n,t) n dS = - dE dü / Q VF (r,E,H,t) dr
- 5 -
1.5.2.- Pérdidas por colisiones.- Todo neutrón que sufre una colisión
deja de pertenecer al tipo considerado, ya que o bien es absor
bido o bien sufre una dispersión, en la cual o modifica su ener
gía o su dirección o ambas a la vez. El numero de neutrones
del tipo considerado perdidos por colisión es V y en la unidad
de tiempo, es
- dS díí / lt (r, E, t) F (?, E, Q, t) dr (5)
1.5.3.- Ganancias por dispersiones.- El número de neutrones ganados
por dispersiones en V y en la unidad de tiempo, tales que el
neutrón dispersado pertenezca al tipo considerado es
dE dfi I j f1 (r,E',t) p h (E',S?+ E.fí) F (r,E' ,$' ,t)dE'díl?dr (6)h s
1.5.4.- Ganancias por fisiones.- El número de neutrones del tipo con-
siderado ganados por fisiones en V y en la unidad de tiempo, es
dE dü I / v h ( E 1 ) lh ( r " , E \ t ) f h ( E ) F ( r* ,E ' , f t ; t ) d E ' d n ' d r ( 7 )i+TT h f
1.5.5.- Ganancias por fuente exterior.- Si S (r*,E,,ff,t) es la den-
sidad de fuente exterior, el número de neutrones del tipo con-
siderado producidos en V y en la unidad de tiempo es
dE díl I Sov^ (r, E, Q, t) dr (8)
Teniendo en cuenta que el volumen V es arbitrario, el balance
anterior dá:
— 5 - N (r",E, ft,t) = - 3 V F (r,E, ft,t) - L (r,E,t)F(r",E,n ,t) +
ph (E',3Í-, - E, ft ) F ( r * E ' , í ' , t ) dE' dn 'h s
^- I fh (E) /vh (E>) fl (?,EW F (rfS',í',t)dE« díl» + F (",B,14:T r ext
n
- 6 -
Esta ecuación integrodiferencial, llamada del transporte de
neutrones, nos determina en unión de las condiciones de con
torno, el flujo angular.
1.6.- Condiciones de contorno, en superficies sin fuentes ni sumi-
deros.- En la superficie que separa dos medios del reactor,
el flujo angular F (r , E, íl, t) debe ser continuo para to-
das las direcciones de u. En la superficie exterior de un
reactor convexo, es decir, la que separa el reactor del va-
cio r , o bien en la superficie que separa un medio cualquie_
ra de otro negro (pura y totalmente absorbente) r , se veri-
fica que F (? , E, S$, t) = F (r , E, Q, t) = 0, para todo ti
dirigido desde el vacio o desde el medio negro hacia el otro
medio.
1.7.- Reactor real y virtual.- Se define como reactor virtual en
el instante t , el reactor que tiene la misma geometría y com
posición que tiene el reactor real en el instante t = t , ex-
cepto que en vez de producir v neutrones por fisión, se supo
ne que produce v / _ siendo K _ un prámetro tal que el reac-
tor virtual así definido tiene una densidad neutrónica F* in-
dependiente del tiempo. Su ecuación de transporte será enton
ees (9):
- ti VF* (?,E,3) - It(r\E,tQ) F* <r,E, ü) + \ ¡ ^(r,E',to)h
p h (E'.í'.+E', ti) F* (r\E',Q')dEl díl' -i- — — ¿ fh (E) J vh(E')«nrv -h
Kef
. l^ (r,E',to) F* <r",E',Q!) dE' díl1 = 0 (10)
que nos determinan el valor propio K _ y el flujo neutrónico vir_
tual F* s¿ F, los cuales dependen parametricamente de t .
Integrando la ecuación anterior, primeramente respecto a dE di! ,
y luego respecto a dr, como J p dE áü = 1, resulta:
— 7 —
I ! vh (E-) fl (r",E',t ) F* (?,E ! ,n')dE' dí2' dry . Jl f O (11)Kef
J 3 VF* (r.E.n) dE díí dr + j £ (r ,E,t ) F* (r,E,ÍS)dE da dr
El valor propio K _ de la ecuación integrodiferencial (10) repre_
santa, según (11), la relación entre el número de neutrones por
segundo producidos por fisión y el número de neutrones por segun_
do fugados y absorbidos en el reactor virtual, llamándose e.rton-
ce? factor de multiplicación.
1.8.- Reactor crítico.- Se dice que el reactor.real es crítico en el
instante t = t , si se verifica que — - — J — :/ = 0, en° 3 t t = t
o
cuyo caso el reactor virtual coincide con el real y K - = 1. Pero
no recíprocamente, ya que si K _ = 1, como F* i F, no sería
3F/. = 0; sin embargo F* es la forma asintótica de F, o sea al caot
bo de un tiempo infinito, en la práctica unos pocos segundos, ambas
densidades de flujo coinciden.
Si el reactor real es crítico en el instante t , y las secciones
eficaces y la fuente exterior son constantes en ¿" intervalo t' <
t < t", el reactor será crítico en dicho intervalo.
1.9.- Ecuación estática del transporte.- En los métodos de cálculo está_
tico de un reactor, consideraremos la ecuación del transporte corres_
pondiente a un reactor real crítico con secciones eficaces y fuente
exterior independientes del tiempo o bien la ecuación del transporte
correspondiente al reactor virtual.
En ambos casos las fuentes exteriores de neutrones S (r,E,w) y
las debidas a los neutrones producidos por fisión \ f (E) J v (E?) .
\-. (r,E?) F (r,E!, íf) dE1 dfi1 , las agruparemos en una fuente común- * • • * •de densidad S (r, E,£J ), con lo cual, suprimiendo el asterisco en la
densidad de flujo virtual, las ecuaciones (9 y 10) toman la forma general
- 8 -
- a VF (?,E,5 )- L (?,E) F (?,E,n) t H I h <?SE') P
h (E',n-x h s
E, $). F (r.E'.íí1) dE' dQ' -í- S (í,Es^ ) = O (12)
2.- HIPÓTESIS Y SIMPLIFICACIONES COMPLEMENTARIAS.-
2.1.- Teniendo en cuenta los casos prácticos que aparecen en el cál-
culo de reactores, y con objeto de simplificar la exposición,
consideraremos las hipótesis y simplificaciones siguientes, las
cuales no son necesarias en el desarrollo de la teoría general
del transporte.
2.1.1.- La mayoría de los métodos que se indican a contiguación pueden
desarrollarse para geometrías uni, bi y tridimensionales. Pero
teniendo en cuenta que con las calculadoras digitales electróni
cas de tipo medio que son las que actualmente se han instalado o se
instalarán en un futuro próximo en España, los métodos más corrien-
tes son los unidimensionales, nos reduciremos a este caso.
2.1.2.- En el cálculo de un reactor, se divide este en diversas regiones,
de tal modo que cada una de ellas sea homogénea o lo más homogé-
nea posible, y se aplica la ecuación (12) a cada una de estas regio
nes, en unión de las condiciones de contorno en las superficies que
separan dos regiones consecutivas.
2.1.3.- Según el (§ I.4.U.), aunque la dispersión elástica es en algunos
casos aproximadamente isótropa en el sistema del centro de masas,
al pasar al sistema del laboratorio deja de serlo, sin embargo, si
el reactor se ha dividido en regiones homogéneas que además sean
isótropas, se puede considerar que en la dispersión elástica las
desviaciones de la isotropía son tales que la dirección del neutrón
dispersado sea azimutalmente simétrica respecto a la dirección del
neutrón incidente, es decir, que en vez de depender de la dirección
del neutrón incidenteQ1 y de la dispersada H, depende solamente del* " * •ángulo entre ellas, o bien de su coseno Ü .Q , con lo cual
Ph (E«, n1 + E, Ü) = P
h (Ef+ E.n1 . n ) (13)
2.2.- Para geometría plana, haciendo y = eos 6, siendo 8 la coal-
tura de íí o sea el ángulo entre el eje x y 0, y p = Í ' < S :
y1 y + / 1 - yl¿ / 1- u¿ eos ($' - $), siendo $ el azimut
de íí; la ecuación Íntegrodiferencial (12) con la hipótesis
complementarias del (§ 2.1) se reduce a
- y — F ( x , E , y ) - I (E) F ( x , E , y ) + 1 / ff (E«) p h (E'-»E,ye)8 X h
. F ( x , E ' , y ' ) dE1 dy 1 d<j>' + S ( x , E , y ) = 0
La ecuación anterior es la de partida en los métodos de cálcu-
lo que se desarrollan a continuación.
3.- MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL TRANSPORTE.-
3.1.- El método general de resolución de la ecuación del transporte
consiste en aproximar las funciones con dependencia angular en
una serie de armónicos esféricos o en una poligonal, o bien en
aproximar la integral de dispersión por medio de una fórmula de
integración de Gauss.
3.2.- Método de armónicos esféricos.- En geometría unidimensional los
armónicos esféricos quedan reducidos a polinomios de Legendre,
con lo cual el desarrollo de la densidad del flujo será
F (x,E,y) =
el de la probabilidad de dispersión
ph (E' + E, y ) = I 2AJLA * (E, + E ) p (y ) ( 1 6 )
£=o 4TT Í- O
y el de la fuente
00
S (x,E,y) = I 2l + 1 S (x,E) P (y) (17)£=o 4TT
Siendo P. el polinomio de Legendre de grado 1, que verifica
- 10 -
las relaciones de recunencia
p P2*
de ortogonalidad
1
P (y) P (y) dy =.1 X n 21
2P (y) P (y) dy = — 6 (19)
y de adición
P. (y ) = P. (y') P. (y) + 2 £ ̂ l ! P™ (y-) P™ (y) cos m (*'-*) (20)
en la cual P™ son las funciones asociadas de Legendre. De (15 a 19)
resulta
F̂^ (x,E) = 2TT F (x,E,y) ?± (y) dy ' .(21)
.1h (22)
.1j (E1 * E) = 2TT. ph (E1 •• S,y ) P. (y )dy
, 1 ' •
(x,E) = 2TT I S (x,E,y) P (y) dy (23)
Basándose en los anteriores desarrollos, según las transformaciones
que se efectúen en la ecuación (14) obtendremos las siguientes apro
ximaciones;
.3.2.1.- Aproximación PT. Se sustituye primeramente las expresiones (15 a 17)
en la ecuación (14), empleando las relaciones de recunencia (18) y de
adición (20). Luego se efectúan las integraciones indicadas respecto
de y' 3» $', con lo cual debido a esta última integración los térmi-
nos que contienen las funciones asociadas de Legendre se anulan. Por
último, se multiplica por P (y) y se integra respecto a y, y al apli
csr la relación de ortogonalidad (19) resulta en definitiva
- 11 -
m + 1 3 _ /.. r.% m 3
2m + 1 3x "1Ti 2m + 1 9x
T f Th (E1) ph (E'-^E) F (x,E')dE' + S (x,E) =0, m = 0,1, (24)£ • ̂ s m m mn
La aproximación PT consiste en conservar intactas las ecuacio-
nes (24) para m < L (m = o,l,....L - 1 ) , en la ecuación m = L
se suprime los términos L + 1, y se prescinde de las ecuaciones
para m > L. Con lo cual tenemos un sistema de L + 1 ecuaciones
diferenciales con L + 1 funciones F (x,E), m= 0,1......L.m
Aun en el caso de que la dispersión elástica fuere isótropa en
el sistema del laboratorio p1 (E* •*• E) = 0 para 1 > 1, este mé_
todo nos da un valor aproximado de la densidad de dlujo, ya que
fijado L se desprecia el término F
3.2.2.- Aproximación B. . En un medio infinito, en vez de operar con la
ecuación (14) es conveniente operar con su transformada de
Fourier.
- ( It (E) - i P K ) F (K,E,y) + (EM p h (E'+E) F (K,E',v')dE'
. dy' d(j>' + S" (K,E,.y) = 0 (25)
siendo
F (x,E,n) e l k x dx (26)-00
/ 2TT
Íoo
•!VvS (x,E,u) e 1 K X dx (27)
/ 2TT
con sus transformadas inversas1 f JL-v
F (x,E,u) = - ^ L - F (K,E,y) e 1 K X dk • (28).
/2TT
- 12 -
S (K,E,y) e 1 K X dk (29)
Desarrollando en armónicos esféricos F y S análogamente a como
se hizo en (15 y 17) con F y S, y siguiendo las mismas operacio
nes que las efectuadas en la aproximación PT , con las excepcio-
nes de no emplear la relación de recurrencia (18), y de dividir1 u Kp O r %. — ü — antes de efectuar la integración respecto de y, re_
sulta:It(E)
P.(y) P (y)i _ l EL__dp
l=m 21 -
pj (E- - E)F1(K,E') dE<
ii¿, aproximación BT consiste en hacer p, (E1 + E) = 0 y
S. (K,E) = 0 para 1 > L.
En el caso de que la dispersión elástica fuese tal que p. (E'-»-E)=0
para 1 > L', y que las fuentes fuesen tales que ÉL (K,E) = 0 pa-
ra 1 > L', la aproximación B con L > L1 nos dá el valor exacto de
la densidad de flujo, mientras que la aproximación P con L > L'
nos dá un valor aproximado al despreciar el término F. 1. Sin
embargo, en la aproximación B , una vez resueltas las ecuaciones
(30), es necesario efectuar la transformada inversa de Fourier (28)
para obtener la densidad de flujo F.
Nótese que en la fuente de neutrones, el término correspondiente
a los neutrones de fisión es isótropo en el sistema del laborato
rio (§ m . 6 ) y es de la forma <sol<l+1T)~1I fh(E) fvh(E') j>íj (E1)
h- \K,E ) dE1
- 13 -
3.2.3.- Aproximación M.. En un medio infinito, las ecuaciones (24)
de la aproximación PT pueden transformarse de modo que se
obtenga la densidad de flujo en función del valor exacto
de sus momentos.
Multiplicando las ecuaciones (24) por dx e integrando
respecto a x, se obtiene:
m + 1
2m + 1
l\
m
(E1) p£ (E'-E)
( 3 1 )
+ S (E) = O, m = o , l . . . ; n = 0 , 1 . .m,n
siendo
F (x ,E) — —- - m n ¡
dx (32)
nS (E) = S (x ,E)m,n I m n¡
dx (33)
los momentos de F y S , los cuales para x -*• * <•> deben tener
a cero más rápidamente que x~n.
La aproximación M. consiste en hacer p ( E ' - * E ) = 0 y S (E)=L m m= 0 para m > L, entonces, para n = 0, las ecuaciones (31) se re
ducen a
Fm,o ( E ) I) P¡¡ ̂ '^ Fm,o ( E' ) d E' + Sm,o ( E )
que nos determina F para m:= 0 , 1 , . . . . L ; para n = 1
JL±12m + 1
J5 (E) - L (E) (E)
I IJ
2m
'> PÍ <Ef*E) F .m m , l
+ S . ( E ) = 0 (35)m,l
que nos determinan F 1 para m = 0 .... ,L - 1: ..y así suce-
sivamente hasta F - para m = 0. La densidad de fluio Fm,L v J m
puede entonces reconstruirse a partir de sus momentos Fm,n
y obteniéndose en definitiva F (x,E,u) por (15).
3.3.- Método de Carlson, o aproximación S . Se aplica cuando
la dispersión elástica y las fuentes exteriores son isótro-
pas en el sistema del laboratorio, con lo cual, agrupando
en la ecuación (14) el término de dispersión elástica y el
de fuentes, en un sólo Q (x,E) obtendremos:
- P j ^ F (x,E,y) - lt (E) F (x,E,y) + Q (x,E) = 0 (36)
La aproximación S consiste en dividir el intervalo de varia_
ción de y, (-1, + 1) en n subintervalos (y. ., y.) con i = 1,2,
.... n; y s -1, y = l y aproximar la densidad angular de
flujo en cada subintervalo, por una linea recta entre sus va-
lores en los extremos del subintervalo, es decir
y - i i M y,- yF <X>E> t> = w _, F (x,E,y.) + — F (x,E,y ),
1 -1"1 Vi-iyi_1 < y < yi (37)
Sustituyendo la aproximación (37) en la ecuación (36) e inte-
grando respecto a y entre y. 1 y y., resulta:
— (2 y . + y. ) — F (x,E,y..) + — (2 y + y ) — F(x,E,y . ) +3 3 x 3 3 x
+ lt (E) (• F (x,E,yi) + F (x.E.y^) = 2Q(x,E), i = 1,2, n (38)
que en unión de la (36) para y = 1.
F (x,E,yQ) - lt (E) F (x,E,yQ) + Q ( R,E) (39)3 x
- 15 -
dan lugar a un sistema de n + 1 ecuaciones diferenciales
con n + 1 funciones F (x,E,p.).i = 0, 1,..., n.
3.4.- Método de las ordenadas discretas.- Se aplica al reactor
virtual cuando la dispersión elástica es isótropa en el
sistema del laboratorio y los neutrones son monoenergéti-
cos, en estas condiciones la ecuación (14) se reduce a-: •
. u J, vZ 1
0 (X,p)- L 0 <X,y) + \ (T + rrí- ) [0 (X,W)<ÍV = 0 (40)T • ¿ s ef J3 x ~u • ¿ ° "ef
-±
El método de las ordenadas discretas consiste en aproximar
la integral anterior por medio de
i L0 (x,y) dp = I A. 0 (x,p.)
-1 j=o J J
que substituida en (40) dá:
-p. ̂ 0 (x,p.) - Jt 0 (x,p.)+ i(j;s+ l l ) ^ A. 0(xsUj)=O (42)
cuyas soluciones son de la forma:
0 ( x . ^ ) = I A S i e Y s Et X •
Substituyendo un término particular de (43) en (42) resulta
I t v Z K~* L
A . a _ » L_^l_ I A. A . (44)5 5 1 2 E.(l + p. Y ) j=0 ] S'3
X X S
que multiplicada por a., y sumando sobre i, nos dá los va-
lores permisibles de y .E + v I. K~^ L a._s f ef y iI
2 i i=o i t m Y S
con lo cual, la solución (43) puede ponerse en la forma
- 16 -
z + s i f K ^ AS yslty L
0 (x ,y . ) = — — 1 e ,A = £ a. A2 E s 1 + u . y S j=0 D S'3
^ X S
determinándose las A por las condiciones de contorno.s
3.4.1.- Las u. se pueden determinar imponiendo la condición de
que la ecuación (42) y la correspondiente en la aproxi_
mación PT tengan igual forma; esta última ecuación se
obtiene de la (24) al imponer las condiciones de disper
sión isótropa y neutrones monoenergeticos, o sea
3
m + 1 3 „ / \ ni 3
2 m + 1 3 x 2 m + 1 3 x Vi
6 . (Z + v Z K"^ ) 0 (x) = 0, m = 0, 1 , . . . , L , 0Tj>1(x) = 0 (47)om s r er ni b+i.
Haciendo
K -¿Q \i * ( X 'V ' 0 ( s ' y i ) = j o Ci,m 0m
conLTe. B . = ó . . (49)
m=0 3-» m ' X ] 1
y subst i tuyéndola en (47) , r e s u l t a
• It ̂ ^x>^-^ + & B • (Z + v Z_ K~ ) 0 (x,p.) } = O (50)
que multiplicada por C. y sumada sobre m, da:
L L
~ ft J>m • «^ 2m + 1 m + l , i 2m + 1 m - l . i - ' 3 x ^ x » w i 'm=0 J > i=0 ' J A
1 L
- lt 0 (x,y i)+C j j0 (Zg + v Zf K¡f) J BQ)i 0 (x,wi) = 0 (51)
- 17 -
Si se verifica que
JLJLJL B - . + — B . . x y. B . (52)2m + i
W + *• X 2m + 1 m " *' X * " ^
la ecuación (51) tiene igual forma que la (42), con tal que
cj,o= -y-' Bo,i • ai ( 5 3 )
Comparando la relación (52) con la de recunencia de los po
linomios de Legendre (18), una posible solución es:
B . = P (y.) x constante (54)m,i m i
y teniendo ®n ensata (47 y 48), B . * 0, .luego
PT x . ( p.- ) = 0 (55)Jj + 1 i
que nos determina las L -}• 1 valores de y.
4.- APROXIMACIÓN P^-
4.1.- Cuando lá anisotropía de la densidad neutrónica no es
muy acusada, es suficiente emplear las primeras aproxi-
maciones de los métodos dados en el (§ 3) en particular
la P.. Las ecuaciones (24) del. reactor virtual para L = 1
son;
(x,E) - lt (E) F Q (x,E) (E') p£ (E' +E) FQ(x,E)dEo
1
h+ 1 I fh (E) I v" (E') H (E«) F (XjE1) dE' = O (56)
ef h J
" "I" F 7 Fo (X'E) - ^t(E) Fi (X>E) +^ í í" (Et) PÍ {E' * E) '
- 18 -
F1(x, E1) dE' = O (57)
De (21), definiendo
0 (x,E) = I F (x,E,y) dP = F Q (X,E) (58)
J (x,E) = yF (x,E,y) dy = F1 (x,E) (59)
y el valor medio de y por
E) J (x,E')dE!
(60)
E f Eh (E1) pí1 (Ef + E) J (x.E'ME1
E (E) J (x,E)5
en (57) se obtiene
J (x,E) = - — 2 - 0 (X,E) (61)
3 (Z (E) - <y> E (E)l 3 x» s
o bien, definiendo como sección eficaz macroscópica de trans
porte E , y como coeficiente de difusión D
Ztr = Et " <y> Es = Za + (1 " < u > ) Zs ' D = "~^~~ ( 5 2 )
3 Etr
tenemos
J (x,E) = - D — 0 (x,E) (63)3 x
que llevada a (56), da:
D —-;3 x'
0 (x,E) - L (E) 0 (x,E) + I f lh (E') ph(E'*E) 0 (x,E')dE' +z . h i s °
+ — I fh (E) I vh (E1) XÍ (Ef) 0 (x,E') dE1 = 0 (6»OK _ h J
ef
- 19 -
que es la ecuación integrodiferencial para el flujo 0
en la aproximación P... En principio no se ha obtenido
ninguna simplificación al pasar del sistema (56 y 57)
al (60 y 64) ya que en este último sistema el problema
radica en la determinación de <u>; sin embargo, existen
expresiones aproximadas que nos dan <u> para distintos
medios, con lo cual se puede calcular el flujo 0 con
solamente la ecuación integrodiferencial (64).
Si en vez de considerar la ecuación (14) para geometría
plana, se hubiese desarrollado la ecuación (12) para
cualquier geometría, el operador -=— seria substituidoo X
por el V, y el B2 por el A.
4.2.- Ecuaciones de multigrupos energéticos de neutrones.
Si las E y v son función escalera de la energía del
neutrón, es decir si
\ (E) - \. = constante
} para E. „ < E < E. (65)h — — i
v (E) = v. = constante
y si además
E K E<1h h 1+1 1p (E'+E) dE • p '._« • constante para { (66)° ° ^ El , < E' <EÍ
integrando la ecuación (64)respecto a E entre Eíx1 y
E. i = 1, 2,'...., g, resulta:
.. L tl (?) - Jti 0. (í) . ̂ I fs. p ^ . »j (?) • ji- .
g
• l I í 4 I« *4 í̂ ) * 09 i > 1, 2 , g (67)j=0 h x 3 r ] 2
- 20 -
en la cual
B.i
dE, AE.i
E.
fh (E) dE (68)
La (67) representa al sistema de g ecuaciones diferenciales de mul-
tigrupos de neutrones. En realidad, ni las v ni las Z son función
escalera de E, pero si se definen sus valores medios dados por:
i,x Z (E) 0 (r,E)dE
•£.
E.1 0 (í,E)dE
/ D(E) A 0 (r",E)dE
(69)
1 0 (?,E)dE
las ecuaciones (67) se mantienen. Tampoco al principio se ha conse-
guido ninguna ventaja al transformar la ecuación integrodiferencial
(£4) en el sistema de ecuaciones diferenciales (67), ya que para cal_
cular sus coeficientes, o sea las Z., D., se precisa conocer, según
(69), el flujo 0 (r,E) que es la solución de la ecuación integral (640;
sin embargo, en la práctica la ventaja es considerable, ya que hasta
resolver la ecuación integral (640 de un modo muy poco aproximado res_
pecto a la geometría, con lo cual los errores transmitidos a las Z.,
D. en (69) son pequeños, y por tanto puede resolverse el sistema (67)
de un modo más preciso.
4.3.- Promedio de constantes.- En la colisión de un neutrón con un núcleo
cabe distinguir dos extremos. En principio, los núcleos están en mo_
vimiento debido a su agitación térmica, y cuando un neutrón con velo_
cidad del mismo orden de magnitud que la del núcleo colide con él, en
el estudio de la dispersión hay que tener en cuenta el movimiento nu-
clear, pero cuando la velocidad del neutrón es muy superior, puede
despreciarse este movimiento y suponer los núcleos en reposo. Eviden-
temente, no existe una r«locidad frontera que delimite estos dos casos,
- 21 -
pero teniendo en cuenta que la velocidad más probable de los núcleos
en los reactores nucleares es la correspondiente a unos 0,02 a 0,06 eV;
es corriente fijar esta frontera en E = 0,0625 eV (este número preciso
está dado para poder normalizar los cálculos). Los fenómenos que ocu-
rren con los neutrones de energía inferior-a esta frontera se designan
como de termalizacion, mientras que los que ocurren a energías superiores
se designan como de moderación.
Por tanto, al escoger el número de grupos de neutrones, o sea el va-
lor de g, una aproximación elemental sería considerar sólo dos grupos:
el de termalizacion o grupo térmico y el de moderación o grupo rápido,
aunque en la práctica suelen considerarse varios grupos térmicos y rá-
pidos.
A continuación se dan algunas ideas sobre los métodos de promedio de
constantes.
4.3.1.- Promedio de constantes térmicas en gases monoatómicos.- Según el
(§ 1.4) en la termalizacion no intervienen ni los neutrones de fisión
ni las dispersiones inelásticas, con lo cual la ecuación integrodife-
rencial (64) se reduce a:
D A 0 (?,E) - L (E) 0 (?,E) +h j
E'<E
t <E'> PÍ. <E' + E) .-e
. <j> (*>,E) dE1 + M (?,E) = 0 (70)
siendo
M (?,E) = *-s . roh J ^ E
c
(E>) p* (E1 -> E) 0 (?,E')dE' (71)
la fuente debida a los neutrones que son dispersados desde una ener-
gía superior a la E a una dentro del grupo térmico.
- 22 -
La probabilidad de dispersión p (E1 •*• E) se obtiene estable
ciendo las leyes del choque elástico, y han sido obtenidas fór_
mular para algunos medios:
gases monoatómicos ligeros ••• espectros de Wigner-Wilkins
gases monoatómicos pesados •* espectro de Wilkins
Conociendo una expresión de p (E1 •*• E) para el modelo teórico
que más se parezca al medio empleado en el reactor, la ecuación
(70) puede resolverse para una geometría más sencilla que la
real, y una vez obtenido el flujo 0 (r,E) calcular por (59) las
constantes E . y D ..i J i
Para gases monoatómicos, la ecuación integrodiferer.cial (70;. ¿n
un medio infinito, se puede reducir a una ecuación diferencie-1
de Riccatti.
4.3.1.1.- Si no hay absorciones ni fugas, los neutrones están en equilibrio
con el medio, y la solución de (70) es una distribución Maxwel.liar-a
de la forma:
0M (E) = E e'E/KTm (72)
siendo
K = constante de Boltzman, T = temperatura del medio
Si además la sección eficaz de absorción sigue la ley , es decir
al substituir (72 y 7f) en (69), resulta
- 23 -
=1-1 — °_ V (v ), v = / 2KT = 2/B (75)2 v La o ' m m m
m
y lo mismo para la fisión.
H.3.I.2.- Si la abosrción es débil, como esta se produce princ-iplamente
a bajas energías, puede suponerse que la distribución neutró-
nica sigue siendo Maxwelliana, pero desplazada hacia las ener
gías corecientes, con lo cual la temperatura de los neutrones
no coincidirá ya con la del medio; habiendo por tanto dos dis
tribuciones maxwellianas, la de los neutrones de temperatura
T y la de los núcleos del medio de temperatura T . Ambasn J * m
temperaturas están relación adas por la siguiente formula ex
perimental
E (KT ) 1.92 para Do0T •- T f i + A — — 1 A - í 2
TT» m I 1 + A I > ' A - ^ 0.7 para Ho0e 2
y las expresiones (72 y 75) son entonces validad substituyehdo
el subíndice m por n.
4.3.2.- Promedio de las constantes rápidas.- Al variar la sección
eficaz de abosrcion con la energía, el flujo varía en sentido
contrario y su producto varia lentamente, además si se toma como
variable independiente la letárgia u en vez de la energía, los
intervalos de integración son más pequeños, excepto para el H en
el que el intervalo es infinito. En estas condiciones, desarro-
llando en serie de Taylor en u, tenemos para todos los núcleos,
excepto el H
0 (?,u«) - L (u) 0 (r,u) + (u« - u) J- ( L
4 2 ^ ( I (u) 0 (r,u) ) t .... (77)e9 u
que llevada a la ecuación (64) para una geometría sim-
plificada nos permite calcular la integral de dispersión
elástica, habiendo empleado los valores de p (u' •+• u)
obtenidos por la teoría del choque elástico.
J.E.N. 171-DF/I 51 J.E.N. 171-DF/l 51
Junta de Energía Nuclear, División de Física, Madrid
"Métodos de calculo en Reac to re s N u c l e a r e s "VELARÜE, G. (.1966) Ih pp .Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente
a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría
plana y en las aproximaciones P[_, B^, H[_, S y de las ordenadas discretas.
Junta de Energía Nucíear, División de Física, Hadrid."Me'todos de cálculo en Reactores Nucleares"
VELARE, Q. (1966) 24 pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente
a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría
plana y en las aproximaciones P|_, Bi, \ , S_ y de las ordenadas discretas.
J.E.N. 171-DF/I 51
Junta de Energía Nuclear, División de Física, Hadrid."Métodos de cálculo en R e a c t o r e s N u c l e a r e s "
VELARE, G. (1966) Ih pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente
a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida»Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría
plana y en las aproximaciones P[_, Bi, M̂ , S y de las ordenadas discretas»
J.E.N. 171-DF/I 51
Junta de Energía Nucíear, División de Físka, Madrid"Métodos de cálculo en Reac to re s N u c l e a r e s "
VELARE, G. (1966) Ik pp.Se hace un estudio de la ecuación del transporte neutrónico correspondiente
a los reactores real y virtual, así como de las hipótesis de partida.Se desarrollan los métodos de resolución de dicha ecuación para geometría
plana y en las aproximaciones P|_, B|_, H ,̂ Sn y de las ordenadas discretas.