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Movimiento en dos dimensiones (2D)
Mecánica y Fluidos
Profa. Franco Ortiz 1
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Contenido
Movimiento de proyectiles
Movimiento circular
Movimiento relativo
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Vector de posición en 2D y 3D
Podemos separar el vector de posición en sus componentes en
2 y 3 dimensiones
r = x(t)i + y(t)j en 2D
r = x(t)i + y(t)j + z(t)k en 3D
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Movimiento de proyectiles
Para el movimiento de proyectiles
supondremos que la aceleración es
constante y dirigida hacia abajo,
además despreciaremos la resistencia
del aire.
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Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un
proyectil en cualquier tiempo son:
vx = vx0 = v0 cos q0 = const.
vy = vy0 – gt = v0 sen q0 – gt
x = vx0t = v0 (cos q0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen q0)t – ½ gt2
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Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una
velocidad inicial v0.
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Vector desplazamiento en el tiro parabólico
El vector desplazamiento r puede
escribirse como: r = v0t + ½gt2
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Trayectoria
De las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la trayectoria.
x = vx0t = v0 (cos q0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen q0)t – ½ gt2
00 cosqv
xt
2
0000
00cos2
1
cossen
qqq
v
xg
v
xvy
2
0
22
0
0cos2
tan xv
gxy
qq Representa una parábola
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Algunos parámetros del tiro parabólico
g
vh
2
sen 0
22
0 q
g
vR 0
2
0sen2q
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Máximo alcance
Trayectorias de un proyectil con
diferente ángulo inicial
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Ejemplo Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una velocidad
de 48 m/s y un ángulo de 36°. El acantilado tiene una altura de 52 m. Encontrar la
distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.
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Ejemplo (cont.)
Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la
ecuación de la trayectoria para y = –52 m, q0 = 36°, v0 = 48 m/s.
Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuación:
–0.00325x2 + 0.72654x + 52 = 0
Las soluciones son:
x = –57.0272487 y x = 280.6225766
La raíz aceptable se la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:
t = 7.23 s
2
0
22
0
0cos2
tan xv
gxy
00 cosqv
xt
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Movimiento circular
Existen muchos ejemplos de movimiento circular:
Discos de música de acetato (33, 45, 78)
Discos compactos y discos duros magnéticos
Rueda de la fortuna
Etc.
El movimiento circular uniforme se refiere a movimiento a rapidez constante.
En el movimiento circular se utilizan las coordenadas polares, estas se especifican mediante
una distancia r y un ángulo q.
q
r
O
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Longitud de arco
La longitud de arco se define como:
Longitud de arco = (Circunferencia del círculo) x Ángulo formado por el arco
Ángulo alrededor del círculo total
totalánguloR
q2
Cuando el ángulo q se mide en radianes, el ángulo total es 2 y la longitud del arco es
q
q RRarcodellongitud
22
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Movimiento alrededor de un círculo
Alrededor de un círculo r = R y solo q cambia. En un intervalo de tiempo
dt se recorre un arco dado por
ds = R dq
La velocidad es
dt
dR
dt
dsv
q
Definimos la rapidez angular como
dt
dq
Entonces
v = R
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Periodo y frecuencia
Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama
periodo (T) está dado por
2R = vT
222
R
R
v
RT
La frecuencia es el recíproco del periodo
f = 1/T = /2
La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz
(Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).
Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.
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Aceleración radial
O
P
Q
A
B C Dr
1
Dv
Dq
v(t+Dt) D Dr v
r v
Los triángulos OPQ y ABC son ambos triángulos isósceles con ángulos iguales. Así,
de donde se obtiene |Dv| = (v/r)|Dr| . Ya que |Dr| vDt, vemos que |Dv|/Dt v2 /r. De la definición de , tenemos que la aceleración
es
av
rr
2
Esta es llamada aceleración centrípeta o radial.
v(t)
r(t+Dt)
r(t)
v(t) v(t+Dt) Dq
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Aceleración radial
El subíndice r indica que la aceleración es radial. Vectorialmente
se escribirá como a rr
v
r
2
En donde es el vector unitario en la dirección del radio del círculo. Este vector cambia de dirección conforme la partícula se mueve en la trayectoria circular.
La aceleración se puede expresar como
ar
Tr
4 2
2
r̂
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Ejemplo Calcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la
aceleración correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.
El periodo es 24 h o sea
T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s
La frecuencia es
f = 1/T = 1.16 x 10–5 Hz
El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es
v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s
La rapidez angular es
= 2f = 2(1.16 x 10–5) = 7.3 x 10–5 Hz
La aceleración es
a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2
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MOVIMIENTO CIRCULAR NO UNIFORME
Si una partícula se mueve en una trayectoria curva (no necesariamente circular) experimenta una aceleración radial dada por
av
rr
2
donde r es el radio de curvatura en el punto dado.
Cuando la velocidad también varia habrá una aceleración a lo largo de la tangente a la trayectoria, dada por:
adv
dtt
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Continuación
La aceleración resultante es la suma vectorial de las dos anteriores
a = ar + at
la magnitud de a es:
Si y son vectores unitarios en la dirección en que crece q y en la dirección radial, la aceleración puede expresarse como:
a a ar t 2 21
2
q r
a a a r r t
v
r
dv
dt
2
q
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r
q
q
r
Vectores unitarios en
coordenadas polares
O
Componentes radial y tangencial
de la aceleración
O
at
ar
a
Aceleración radial y tangencial
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Movimiento de un péndulo
ar
at
a
g q
f
r v 0
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Movimiento en una trayectoria curva
La aceleración se descompone en radial y tangencial.
La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.
La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad.
at
a ar
ar a
at
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Movimiento relativo La posición del punto P en relación al marco B es rPB y la relativa al marco A es rPA. Estas están relacionadas por la ecuación rPA = rPB + rBA
donde rBA es la posición del sistema B respecto al A.
yA
xA
yB
xB rBA
rPB
rPA
P
De la relación anterior:
D
D
D
D
D
D
r r rPA PB BA
t t t
v v vPA PB BA
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Transformación galileana
El marco S’ se mueve a velocidad constante u respecto al marco S. Los vectores posición de un punto P respecto a los dos marcos están relacionados por la expresión r’ = r - ut.
y
x
y'
x' ut
r'
r
P S
S’
O
O’
Si u = ui, las coordenadas del punto se relacionan por x’ = x - ut, y’ = y, z’ = z, t’ = t las expresiones anteriores se llaman transformación galileana de coordenadas.
y
x
y'
x'
ut x'
x
P
S S’
z z'
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Principio de relatividad de Galileo
En la transformación galileana se cumple que
v’ = v - u y
a’ = a
principio galileano de relatividad postula que:
Las leyes de la mecánica tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales.