Download - Momento Cuadrupolar de las tensiones
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El ncleo y sus radiaciones
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Curso 2011
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Momento cuadrupolar elctrico
Si el promedio temporal de la distribucin de carga dentro del ncleo se
desva de la simetra esfrica, entonces los ncleos poseern momentos
multipolares elctricos finitos.
Estos momentos multipolares contribuyen a la energa electrosttica del
estado electrnico del tomo.
Efectos medibles en la estructura hiperfina de espectros atmicos y
moleculares pueden ser atribuidos a momentos nucleares cuadrupolares
elctricos.
Momento multipolares clsicos de cargas puntales
q
q
q q qq
q
a
a
abb
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Desarrollo multipolar de una distribucin de carga
0
'r r
''
)'(
4
1)(
0
dVrr
rr
Momento cuadrupolar elctrico
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1
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rr i
i
i
...')'()3(
''
6
1 25
,
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ji
ji
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''
6
1
,5
,
2
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dVrxxxxr
xxdVrrxx
r
xxijkl
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ji
ji
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ji
ji
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ji
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lk
ji
ji
ji
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1 25
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ji
ji
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...
6
1.
4
1)(
,53
0
ij
ji
jiQ
r
xx
r
rp
r
qr
dVrrxxQ ijjiij )'()3(2
Momento cuadrupolar elctrico
Una distribucin de carga sin simetra esfrica posee momentos
multipolares adicionales al momento monopolar.
Una nica carga, cuando no est localizada en el origen de coordenadas,
tambin posee momentos multipolares.
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)1()()( dVrVrW
ji ji
ji
ii
ixx
Vxx
x
VxVrV
,0
2
0
)2(...2
1)0()(
Momento cuadrupolar elctrico
Energa de interaccin entre una distribucin de carga y un potencial
externo
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)3(6
1
6
1
0
2
22
0
2
,
2
iiji
ij
ji x
Vr
xx
Vr
)5(
0
2
0
ji
ij
i
i
xx
VV
x
VV
i jiji
ijjiiii
ixx
Vrxx
x
Vr
x
VxVrV )4(...)3(
6
1
6
1)0()(
0
2
,
2
0
2
22
0
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)7()3)((2 dVrxxrQ ijjiij
)6...()3()(6
1
)(6
1)()0()(
2
,
2
dVrxxrV
dVrrVdVrxVdVVrW
ijji
ji
ij
i
iii
i
i
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)8()( k
k
op rrerr
)9()3)((2 dVrxxrQ ijji
opop
ij
)10()()()( kk rfrrrf
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)11()3( 2 ijk
kjkik
op
ij rxxeQ
ji
op
ijijQ V,
(12)6
1QH
teorema de Wigner -Eckart :
)13(,',)(,,,',)((,, mIQmICmIrQmI opijop
ij I
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Para encontrar la constante C utilizamos m=m=I, i=j=z
Definimos la parte izquierda de la ecuacin (14) como eQ, entonces la
constante constante C es
)15()12(
II
eQC
)14(,',)(2
3,,,',,, 2 mImICmIQmI ijijji
op
ij IIIII
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ji
ijijjiijQII
eQV
,
2 )16()(2
3
)12(6
1IIIII
)()z
(zz
Vy
(yy
V)x
(xx
V)II(
eQ
Q17223)223223
126IIIIIIH
Y Utilizando la ecuacin de Laplace
0
,
ijji
ijV
)18())(()3()12(4
2222
yxyyxxzzzQ VVVII
eQIIIIH
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)20(
zz
xxyy
V
VV
)21()()3()12(4
2222
yxzZZ
QII
eQVIIIIH
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Consideremos la componente Qzz del tensor:
dVrrzQzz )()3(22
Vemos que si 0 )()( zzQrr
Igual para una distribucin de carga positiva (x,y,z) =cte. con simetra
cbica.
z 0zzQz 0Q z
0Q
Distribucin prolada Distribucin oblada
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Momento cuadrupolar Q
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Momento cuadrupolar nuclear
Q tiene una definicin distinta de la definicin clsica. No se calcula
respecto del eje de simetra, sino respecto del eje donde es mxima la
proyeccin de I ( mI =I )
La densidad de carga se reemplaza por la probabilidad de que haya un
protn en el punto de coordenadas zyx ,,2
),,(),,( zyxezyx
La integral sobre la densidad de carga se divide por la carga del protn.
dVrze
Q )3(1 22 (promedio temporal)
Las unidades de Q son las de rea. Se utiliza la unidad barn:
224101 cmbarn
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dVre
Q )1cos3(1 2
Relaciones entre Q, mI e I
z
IImI
La evaluacin del momento cuadrupolar en el estado
cuntico mI = I es coherente con las definiciones
convencionales del momento magntico y del
momento mecnico I.
En el caso de Q, las componentes efectivas para otros
valores de m, no siguen una simple ley de cosenos como
lo hacen para e I.
)1(cos
II
m Q
II
IImQmQ
I
m
)12(
)1(3
1cos3
1cos3)(
2
2
2
0Q
Se puede demostrar que:
1Iobservable si y solo si
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Significado de los datos experimentales
de momentos cuadrupolares
Los vectores medidos de Q caen en el rango de 10-26 a 10-24 cm2, que son del
orden del cuadrado del dimetro nuclear.
Tales momentos son producidos por uno o algunos protones a distancias
del orden del radio nuclear.
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Elipticidad de la distribucin de carga
Asumiendo un modelo de densidad constante de los ncleos, para la
distribucin de carga y masa, el hecho de que los ncleos tengan valores
finitos de Q significa que la distribucin de carga es ligeramente elipsodial.
Consideramos un ncleo elipsodial z
a
b
Lmite clsico
II baV 2
3
4
ba
Ze24
3
dVrz
eQQ zz )3(
22
)(5
2 22 abZ
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Para ncleos reales a b, as que definimos
2
baR
ab
ab
R
ab
2
: radio nuclear
: elipticidad
2
5
4ZRQ
Nmero de protones
requeridos para producir el
valor Q observado
Momento cuadrupolar nuclear
Para I =0, I =1/2, =0
Para I 1, es una fraccin muy pequea. Es una buena aproximacin
suponer que los ncleos son esfricos.
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Estructura de capas de los ncleos
La variacin sistemtica de Q y con Z muestra que Q tiene mnimos
absolutos cerca de Z =50 y 82.
Veamos como funciona el modelo carozo + partcula nica
Un carozo con Z par, que tendra I =0 y =0, no puede esperarse que, en general, cancele su momento cuadrupolar. Solo especiales
valores pares de Z, contendran protones en todos los posibles
estados mj y tendran simetra esfrica y Q =0. Este es el caso de las
capas cerradas correspondientes a los nmeros mgicos 2, 8, 20,
28, 40, 50, 82.
Para Z impar, N par, tal que Z corresponde a una capa cerrada ms un protn, debemos esperar una distribucin de carga oblada, tipo
lenteja y Q 0.
Ver por ejemplo: In11549 Sb
121
51y
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Para ncleos con Z par, N impar, se observa una variacin sistemtica similar al caso Z impar, N par. Esto sugiere que las
fuertes fuerzas atractivas entre protones y neutrones son tales que la
distorsin en la distribucin de los neutrones produce una distorsin
similar en la distribucin de protones.
En conclusin:
Z impar, N par Q depende primariamente del nmero
de protones.
Q >0 antes del llenado de una capa de
protones.
Q
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Z par, N impar La magnitud de Q depende del nmero
de protones, pero el signo depende del
nmero N, como si los neutrones
tuvieran carga positiva.
Z impar, N impar Depende de cmo se acoplan los espines
del protn y neutrn impares. Si son
paralelos, Q tiene magnitud y signo
comparable a un similar nucledo Z
impar, N par.
(10B, 14N, 176Lu).
De otra manera Q es considerablemente
reducido.
(6Li, 36Cl)
Para Z par, N par, I =0 y Q =0
Estructura de capas de los ncleos