Modulación Analógica
Luca Mar0no [email protected]
Introducción
• Un sistema de comunicación trasmite señales con información a través de un canal de comunicaciones que separa el trasmisor del receptor.
Introducción
• Banda Base: se u0liza para denominar la banda de frecuencias que representa la señal original que lleva la información.
• Modulación: Por varios mo0vos (que veremos mas adelante), se requiere desplazar las frecuencias de banda base a otro rango de frecuencias más adecuado para la trasmisión. Tiene que ser un proceso reversible.
• Demodulación: en recepción se realizará el desplazamiento inverso en frecuencia al rango original (banda base).
€
m(t)
Introducción
• Moduladora: señal de banda base que lleva la información.
• Portadora: señal que se modifica de acuerdo con la señal que 0ene la información .
• Señal modulada: señal resultante del proceso de modulación.
€
m(t)
€
c(t)
€
m(t)
€
s(t)
Mo0vos para modular
① U0lización eficiente del canal (transmi0r donde el canal 0ene una buena respuesta en frecuencia).
② radiación eficiente (reducción de la longitud Isica de las antenas; depende de la frecuencia de la señal que se va a emi0r).
③ Transmisión múl0ple.
④ Comba0r ruido (aumentando el ancho de banda de la señal).
⑤ superar limitaciones del equipo.
Tipos de modulación
Modulación
Analógica
Amplitud (AM)
Banda L. Doble
Convencional
Banda L. Única
Banda L. Residual
Angular
FM
PM Digital
Señal en banda base y portadora
• Se considere una señal en bajas frecuencias con ancho de banda .
• la portadora siempre tendrá la siguiente forma (para cualquier 0po de modulación analógica):
€
m(t)
€
W
€
c(t)
€
c(t) = Ac cos(2πfct + φc )
Una de estas variables va a hacer función de
€
m(t)
€
M( f )
€
W
€
f
€
W
€
−W
Recuerda que para una señal real, el modulo de la T. de Fourier es par, mientras la fase es impar.
€
A
€
W
Modulación AM-‐banda lateral doble
• La señal modulada resulta ser:
• la amplitud de la señal transporta la información.
€
s(t) = m(t)c(t)s(t) = Acm(t)cos(2πfct + φc )
AM-‐Banda Lateral Doble (BLD)
• En frecuencia se trata solo de una traslación:
€
S( f )
€
2W
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
2W€
− fc +W€
Ac
2A
€
− fc −W
€
− fc€
Ac
2A
€
S( f ) = M( f )∗ Ac
2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]
S( f ) =Ac
2e jφ c M( f − fc ) + e− jφ c M( f + fc )[ ] Cuidado: NO es la
densidad espectral de potencia.
AM-‐Banda Lateral Doble (BLD)
• El ancho de banda de es (doble respecto al ancho de banda de la señal original ).
€
s(t)
€
2W
€
m(t)
€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W
€
− fc −W
€
− fc
€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W
€
− fc −W
€
− fc
Banda lateral superior
Banda lateral inferior
Ejemplo: Tono Simple
• Se considere la señal en banda base:
€
m(t) = acos(2πfmt)
€
fm << fc
€
s(t) = m(t)c(t)s(t) = Acacos(2πfmt)cos(2πfct + φc )
€
s(t) =Ac
2acos(2π( fc − fm )t + φc ) +
Ac
2acos(2π( fc + fm )t + φc )€
cos(A)cos(B) =12cos(A − B) + cos(A + B)( )
Banda lateral inferior Banda lateral superior
Ejemplo: Tono Simple
• En frecuencia:
€
S( f ) =Aca4
e jφ cδ( f − fc + fm ) + e− jφ cδ( f + fc − fm )[ ]
+Aca4
e jφ cδ( f − fc − fm ) + e− jφ cδ( f + fc + fm )[ ]
€
S( f )
€
f
€
fc
€
− fc + fm€
Aca4
€
− fc − fm
€
− fc
€
fc + fm
€
fc − fm€
Aca4
€
Aca4
€
Aca4
Banda lateral inferior
Banda lateral superior
BLD-‐Potencia
• La potencia es
€
Ps =Ac2
2Pm
€
Ps = limT→∞
1T
s2(t)dt =− T2
T2∫ lim
T→∞
1T
Acm(t)cos(2πfct)[ ]2dt =− T2
T2∫ Ac
2 limT→∞
1T
m2(t)cos2(2πfct)dt =− T2
T2∫
€
cos2(2πfct) =12cos(4πfct) +1[ ]
€
Ps =Ac2
2limT→∞
1T
m2(t)cos(4πfct)dt− T2
T2∫ +
Ac2
2limT→∞
1T
m2(t)dt− T2
T2∫
€
0
De la misma forma se puede calcular la autocorrelación y la densidad espectral de potencia.
€
φc = 0
Hemos supuesto
BLD-‐Autocorrelación
• La autocorrelación de la señal modulada es
€
Rs τ[ ] =Ac2
2Rm τ[ ]€
Rs[τ] = limT→∞
1T
s(t)s(t −τ)dt =− T2
T2∫ lim
T→∞
1T
Acm(t)cos(2πfct)( ) Acm(t −τ)cos(2πfc (t −τ))( )dt− T2
T2∫
= Ac2 limT→∞
1T
m(t −τ)m(t)cos(2πfct)cos(2πfc (t −τ))dt− T2
T2∫ =
=Ac2
2limT→∞
1T
m(t)m(t −τ) cos(4πfct − 2πfcτ) + cos(2πfcτ)[ ]dt− T2
T2∫ =
=Ac2
2limT→∞
1T
m(t)m(t −τ)cos(4πfct − 2πfcτ)dt− T2
T2∫ +
Ac2
2cos(2πfcτ) limT→∞
1T
m(t)m(t −τ)dt− T2
T2∫ =
= 0 +Ac2
2cos(2πfcτ)Rm[τ]
€
0
€
φc = 0
Hemos supuesto
€
cos(A)cos(B) =12cos(A − B) + cos(A + B)( )
BLD-‐Demodulación
• Idea básica: para modular hemos la señal de interés mul0plicado por un coseno:
• para demodular podemos hacer lo mismo y luego filtrar paso bajo:
€
×cos(2πfct + φc )
€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W€
Ac
2A
€
− fc −W
€
− fc€
Ac
2A
€
M( f )
€
f
€
W
€
−W€
A
modulación
€
×cos(2πfct + φc )€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W€
Ac
2A
€
− fc −W
€
− fc€
Ac
2A
demodulación
€
S( f )
€
−2 fc
€
2 fc
BLD-‐Demodulación
• En ausencia de ruido y suponiendo un canal ideal, la señal recibida es igual a la señal modulada ( ).
• Supongamos que para demodular se mul0plique por otra señal sinusoidal:
• donde es una fase genérica, y luego un filtro baso-‐bajo. Pues, vemos que
€
r(t)
€
r(t) = s(t)
€
cos(2πfct + φ)
€
φ
€
r(t)cos(2πfct + φ) = Acm(t)cos(2πfct + φc )cos(2πfct + φ) =
=12Acm(t)cos(φc −φ) +
12Acm(t)cos(4πfct + φc + φ)
BLD-‐Demodulación
• Filtrando paso bajo, obtenemos:
• Nótese que cuando , la señal deseada es reducida de un factor ( ) .
• Si . Necesitamos un sincronizador de fase.
€
r(t) = s(t)
€
φ ≠ φc
€
y(t) =12Acm(t)cos(φc −φ)
€
cos(2πfct + φ)
Filtro paso-‐bajo
€
H( f )
€
y(t) =12Acm(t)cos(φc −φ)
€
cos(φc −φ)
€
cos(φc −φ) ≤1
€
φc −φ = π /2⇒ y(t) = 0
Modulación AM convencional
• La señal modulada resulta ser:
• se trasmite la doble banda lateral más una componente de la portadora. La señal de mensaje 0ene que respectar esta relación:
• es decir, hay que normalizar la señal. Esto porque, como veremos, favorece la demodulación.
€
s(t) = c(t) +m(t)c(t)s(t) = Ac[1+m(t)]cos(2πfct + φc )
€
m(t) ≤1
Modulación AM convencional
• Pues, vamos a considerar la señal normalizada,
• así que el mínimo valor de es -‐1. Entonces:
• El factor de escala es llamado índice de modulación.
€
m(t) = amn (t)↔ mn (t) =m(t)
maxm(t)
€
s(t) = Ac[1+ amn (t)]cos(2πfct + φc )
€
a€
mn (t)
Modulación AM convencional
• La respuesta en frecuencia es:
• el ancho de banda es siempre el doble respecto a la señal original.
€
S( f ) = Mn ( f )∗Aca2
e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ] +Ac
2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]
S( f ) =Ac
2ae jφ c Mn ( f − fc ) + e jφ cδ( f − fc ) + ae− jφ c Mn ( f + fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ]
€
S( f )
€
2W
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
2W€
− fc +W
€
− fc −W
€
− fc
Ejemplo: Tono Simple
• Se considere la señal en banda base:
€
mn (t) = cos(2πfmt)
€
fm << fc
€
s(t) = Ac[1+ acos(2πfmt)]cos(2πfct + φc )
€
S( f ) =Ac
2e jφ cδ( f − fc ) + e− jφ cδ( f + fc )[ ] +
+Aca4
e jφ cδ( f − fc + fm ) + e− jφ cδ( f + fc − fm )[ ] +Aca4
e jφ cδ( f − fc − fm ) + e− jφ cδ( f + fc + fm )[ ]
Banda lateral superior Banda lateral inferior
€
S( f )
€
f
€
fc
€
− fc + fm€
Aca4
€
− fc − fm
€
− fc
€
fc + fm
€
fc − fm€
Aca4
€
Aca4
€
Aca4
€
Ac
2
€
Ac
2
AM convencional-‐Potencia
• Claramente gastamos más potencia respecto a BLD, dado que añadimos la portadora.
• se gana en sencillez (receptores muy baratos (radio)).
€
Ps =Ac2
2+Ac2
2a2Pmn
AM convencional-‐Demodulación
• Hemos visto que la modulación AM convencional no aporta mejoras en termino de ancho de banda ni en termino de potencia.
• Pero es más fácil demodular. De hecho, si ,
• y la envolvente de la señal recibida coindica con la señal de mensaje. Para demodular hace falta solo u0lizar un detector de envolvente (realmente es un filtro paso-‐bajo).
€
m(t) ≤1
€
1+m(t) ≥ 0
€
C
€
R
€
m(t)
€
r(t)
Comparación BLD-‐tradicional
BLD
AM tradicional
€
1+m(t) ≥ 0
Para demodular hay que ”juntar los maximos” de la señal modulada.
Moduladora (información)
Portadora
Banda lateral superior
Banda lateral inferior
Modulación AM-‐banda lateral única
• Para ahorrar ancho de banda, se puede tratar de enviar solo la banda lateral superior o inferior sin perder información.
• La señal modulada resulta ser:
• Donde es la transformada de Hilbert . La trasformada de Hilbert puede ser vista con respuesta impulsiva . En frecuencia el filtro se resulta ser:
€
s(t) = Acm(t)cos(2πfct) Ac ˆ m (t)sin(2πfct)
€
ˆ m (t)
€
m(t)
€
h(t) =1/πt
€
H( f ) =
− j, f > 0j, f < 00, f = 0
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
ˆ m (t) = m(t)∗ 1πt
Modulación AM-‐banda lateral única
• Vamos a demostrar que es así:
• El filtro paso alto es:
• Donde es la función “escalón” en frecuencia.
€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W
€
− fc −W
€
− fc
Banda lateral superior
€
Ac
2A
€
Ac
2A
€
Q( f ) = u( f − fc ) + u(− f − fc )
€
u( f )
€
1
€
1
€
u( f )
€
f€
1
€
u(− f )
€
f€
1
Modulación AM-‐banda lateral única • La señal modulada con doble banda lateral y luego filtrada
paso alto, en frecuencia, es (asumiendo )
• hay que recordar que (por la T. Fourier):
• volviendo al dominio del 0empo (trasf. Inversa de Fourier):
€
Su( f ) = AcM( f − fc )u( f − fc ) + AcM( f + fc )u(− f − fc )
€
φc = 0
€
ℑ−1 u( f )[ ] =12δ(t) +
j2πt
ℑ−1 u(− f )[ ] =12δ(t) − j
2πt
€
su(t) = Acm(t)∗ 12δ(t) +
j2πt
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ e j 2πfc t + Acm(t)∗ 1
2δ(t) − j
2πt⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ e− j 2πfc t
=Ac
2m(t) + j ˆ m (t)[ ]e j 2πfc t +
Ac
2m(t) − j ˆ m (t)[ ]e− j 2πfc t
“upper”
Modulación AM-‐banda lateral única • donde hemos definido:
• luego u0lizando las iden0dades de Euler
• Se llega a la expresión que describe la banda lateral superior en el 0empo:
€
ˆ m (t) = m(t)∗ 1πt
€
su(t) = Acm(t)cos(2πfct) − Ac ˆ m (t)sin(2πfct)
€
e± j 2πfc t = cos(2πfct) ± sin(2πfct)
€
cos(2πfct) =e+ j2πfc t + e− j2πfc t
2
€
sin(2πfct) =e+ j2πfc t − e− j2πfc t
2 j
Modulación AM-‐banda lateral única
• siguiendo el mismo procedimiento (pero filtrando paso bajo) llegamos a la banda lateral inferior:
• se puede ver claramente:
€
sl (t) = Acm(t)cos(2πfct) + Ac ˆ m (t)sin(2πfct) “lower”
€
sl (t) + su(t) = Acm(t)cos(2πfct) = sBLD (t)
Ejemplo: Tono Simple
• Se considere la señal en banda base:
€
m(t) = cos(2πfmt)
€
fm << fc
€
ˆ m (t) = sin(2πfmt)
€
su(t) = Ac cos(2πfmt)cos(2πfct) − Ac sin(2πfct)sin(2πfct)
€
− fc − fm
€
Su( f )
€
f
€
fc€
Ac
2
€
− fc
€
fc + fm€
Ac
2
€
Sl ( f )
€
f
€
fc
€
− fc + fm
€
− fc
€
fc − fm€
Ac
2
€
Ac
2
€
sl (t) = Ac cos(2πfmt)cos(2πfct) + Ac sin(2πfct)sin(2πfct)
€
su(t) = Ac cos(2π( fc + fm )t)
€
sl (t) = Ac cos(2π( fc − fm )t)
BLU-‐demodulación
• Tratamos de demodular como en el caso BLD ( ) :
• Filtrando paso-‐bajo eliminamos los términos de frecuencia doble, así que:
• ahora a parte el coseno que mul0plica la señal de mensaje, también tenemos un termino adi0vo no deseado. Necesitamos un sincronizador de fase.
€
r(t)cos(2πfct + φ) = sl (t)cos(2πfct + φ) =
=Ac
2m(t)cos(φ) +
Ac
2ˆ m (t)sin(φ) + terminos de frecuencia doble (alta)€
r(t) = sl (t)
€
y(t) =Ac
2m(t)cos(φ) +
Ac
2ˆ m (t)sin(φ)
€
φc = 0
Hemos supuesto
Modulación AM-‐Banda lateral Residual
• se puede relajar los requisitos sobre la respuesta en frecuencia respecto a BLU, permi0endo que pase una parte residual de la otra banda lateral. Esto porque los filtro reales no 0enen pendientes infinitas.
• La señal modulada resulta ser: ( )
• donde es un filtro paso banda.
€
s(t) = m(t)c(t)[ ]∗h(t)s(t) = Acm(t)cos(2πfct)[ ]∗h(t)
€
h(t)
Filtro
€
H( f )
€
s(t)
€
c(t)€
m(t)
€
φc = 0
Modulación AM-‐Banda lateral Residual
• La respuesta en frecuencia:
• las caracterís0cas del filtro se fijarán para permi0r una fácil demodulación. En concreto, se intentarán evitar distorsión en la señal de mensaje. €
s(t) =Ac
2M( f − fc ) + M( f + fc )[ ]H( f )
€
H( f )
€
S( f )
€
f
€
fc +W
€
fc −W
€
fc
€
− fc +W
€
− fc −W
€
− fc
Resumen AM
Tipo modulación (AM)
Eficiencia Ancho de banda
Eficiencia en Potencia
modular demodular
BLD mala buena fácil problemas sincronización
de fase
Convencional mala mala fácil Muy fácil
BLU buena buena más complicado
problemas sincronización
de fase
BLR Buena, pero no tanto como
BLU
buena Ligeramente más
complicado
Más fácil
De todas formas, estos 0pos de modulaciones NO aseguran un buen nivel de inmunidad al ruido.