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Hoja 1 de 22
SISTEMAS DE CONTROL
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS
Sistemas mecánicos de traslación
Estudiaremos las siguientes variables puestas en juego en estos sistemas:
posiciónx t )( velocidadxdt
dxv t
)( naceleracióxdt
xd
dt
dva t
2
2
)(
Ej.) Para un Mov. Rectilíneo Uniforme:
A su vez, los sistemas mecánicos de traslación lineales se caracterizan por
tres parámetros que son:
M: Es la masa de todo cuerpo y representa su capacidad para almacenar energ-
ía cinética.
K: Es la elastancia de todo cuerpo y representa su capacidad para almacenar
energía potencial.
B: Es el rozamiento o coeficiente de viscosidad de todo cuerpo y representa su
capacidad para transformar un tipo de energía en otra.
1) Ley de Newton:
xMFM
.
2) Ley de Hook:
F ).( ifK xxKF
FK
xKFK .
).( 12 xxKFK
x1 x2
x K
x(t)
t
1
2
2 1
FM: Es la fuerza de inercia que la masa
M opone a la fuerza F aplicada.
FK: Es la fuerza elástica de reacción a la fuerza F aplicada al resorte
.
M
Referencia
inercial
F x
FM
xi xf K
v(t)
t
cte=1
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3) Leyes que rigen el rozamiento:
a) Fricción entre cuerpos:
).( 12 xxBFB
b) Amortiguador:
xBF
xxBF
B
B
.
).( 12
4) Sistemas de palancas:
Ejemplo:
FB: Fuerza de rozamiento
que se opone a la acción de F
Referencia
inercial
B
K
M
0
x(t)
f(t)
Cuerpo 1
Cuerpo 2
F
FB
x1
x2
x1 x2 B
x B
M
0
x(t)
f(t)
fB(t)
fK(t)
fM(t)
Diagrama de cuerpo libre:
Fuerzas de reacción
Fuerza de acción
y2
y1
F1
F2
a
b
bFaFMM
b
y
a
yTg
FF .. 2121
21
1
2
2
1
F
F
y
y
b
a
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KsBsM
ss
F
x
xsx
xsx
KsBsMs
F
x
xKsBsMF
xKxsBxsMF
xKxBxMf
ffff
ffff
xff
ss
ss
ss
ssss
tttt
tKtBtMt
tMtKtBt
text
..)(
.
.
..
1)(
)...(
.....
...
0
m. result :bien o 0
2
)(
2
)(
)()(
2
)(
2
)(
)()()(
2
)(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)(ext
Analogía electromecánica:
ExIFR
BL
KCM
LS
RCS
S
CSLSR
sI
E
CSLSR
EI
CS
E
LS
E
R
EI
IIII
ss
sss
s
ssLsRs C
11
1.
1..
.
11
1)(
..
11.
.1.
2
)()(
)()()(
)(
)()()()(
R L C
i(t) e(t)
(CIN)
I(s) E(s)
IR IL IC
R L C
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Circuito equivalente:
s
FFffSi
KsBsM
ss
F
x
KsBsMs
F
x
xKsBsMF
xKxsBxsMF
xKxBxMF
FFFFffff
stt
ss
ssss
ssss
sKsBsMstKtBtMt
0
)()(0)(
2
2
)(
2
)(
)()()(
2
)(
)()()()(
)()()()()()()()(
.
..)(
..
1)(
)...(
.....
...
Teorema del valor inicial:
)()0( .lim ss
t xsx
Teorema del valor final (para hallar el régimen permanente):
)(0
)( .lim ss
t xsx
B
K
M
0
x
f(t)
xx ó
fM fB
fK
B K f(t) M
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0)...(
.
...
2
0
)0(
2
)(
)0(
KSBSMs
Fsx
KSBSM
Fsx
t
s
t
0..
.
..
.
0..
.
0...
.
)...(.
2
2
0
)(
0
2
0
2
2
0
)0(
2
0
)(
0
2
0
)0(
0
2
0
)(
KSBSM
SFx
M
F
S
K
S
BM
F
KSBSM
SFx
KSBSM
SFx
SKBSM
F
KSBSM
SFx
K
F
KSBSMs
Fsx
t
t
t
t
t
Otro Ejemplo:
s
s
s s
s s
0s
0s
0s
M2
M1 B12
K12
K20
F2(t) F1(t)
x2(t) x1(t)
B20 B10
f(t)
x(t)
t
t
F0
F0/K
t
t
)(tx
F0/M
)(tx
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Hoja 6 de 22
Pasos:
1º) Identificar cuántos puntos de distinto desplazamiento existen en el sistema (En
nuestro caso: x1 y x2).
2º) Dibujar el circuito equivalente:
3º) Expresar matemáticamente las ecuaciones que se desprenden del análisis del
circuito.
)(220122012
2
2)(11212)(2
22020
2
221122112)(2
2
)(21212)(1121012
2
1)(1
21122112110
2
1)(1
2112211211011B12K12B10 M1)(1
1
.)().(.)..(
)...()(.).(
)
)..(.).(.
).(. ).( )...(
)..
()(.
...X.MF F F F
)
sss
s
sss
s
s
XKKSBBSMXSBKF
XKSBSMXXSBXXKF
xNodo
XSBKXKSBBSMF
XXSBXXKXSBSMF
XXBXXKXBF
xNodo
4º) Hallar la transferencia pedida, mediante reducción de bloques.
Matriz
transferencia
F1(s)
F2(s) x2(s)
x1(s)
G11
G12
G22
G21 +
+ +
+
F1
F2
2121111 .. FGFGx
2221212 .. FGFGx
M2 M1
x1
x2
K12
B12
B10 B20
0
K20 f1(t) f2(t)
FK12
FB12
FK20
FB20 FM2 FM1 FB10
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Ejemplo de sist. electromecánico: Instrumento de hierro móvil
)(21
2
)( )...( ss xKKSBSMF
Elementos mecánicos animados con movimiento de rotación
1)
).( 1212 KTTT KKK
2)
).( 12 BTB
)s(bb)s(
)s(
)s(b
I .KF
L.SR
E . AI
LSR .
1
A Kb
21
2 ..
1
KKSBSM
E(s) Ib(s) F(s) x(s)
TK2 TK1 K
θ2 θ1
T = cupla ≡ I = Intens. corriente
θ = de rotación
K = constante elástica del eje
TB B
2 1
= velocidad angular ω = dt
d
B = coeficiente de rozamiento angular
M
x(t)
B K1 K2 f(t)
Amp.
A ib L
R e(t)
A.e(t)
?)(
.
sE
x
iKf bb
B L y R
e(t)
K1 K2
0 x(t)
Amp.
(A)
M
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3)
Ejemplos:
1)
)(.
)(
2
)(
)()( ....
.
.
sS
s
s
ss
J
B
JB
SJSBT
JT
BT
TTT
BSJs
TJSBT
JSSBT
ss
ss
.
1)().(
)..(
)()(
)(
2
)(
Diagrama de bloques:
2) Sistema mecánico de rotación con tren de engranajes:
.JTJ
J = momento de inercia
= aceleración angular = 2
2
dt
d
dt
d
TJ
J
J
Eje rígido Volante
B
T θ ?)( s
T
J
θ
T B
TB
TJ
BSJ .
1
T
J1
J2
JL
T
θ
θ1
θ2 θL
B1
B2
BL
N1= Nº de dientes engranaje 1
N2
Eje conductivo ó de la carga
Carga
Eje del motor
?)s(T
L
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Circuito equivalente:
2L2
2
L
2
22
2L222
2
L2
2
22
112
111111
2
1
).S.BS.BS.JS.J(T
.S.B.S.B.S.JS.JT
).S.BS.J(TTT.S.B.S.JT
Resultando:
J1 J2 JL
1 L 2
n 12 . n
T1 T2
n
n
TT 1
2
T B1 B2 BL
SBSJ ..
1
1
2
1 n
n SBSBSJSJ LL .... 2
2
2
2
+ _ T
T1
T2
θ1
θ2
θ2
2
1
N
Nn
relación de engranajes
2
1
1
2
T
T
2
1
1
2
2
1
T
T
N
Nn
... 2211 cteNN
Trabajo mecánico
2211 .. TT
Potencia mecánica
2211 .. TT
S.BBS.JJnS.BS.J
n)s(
T L2
2
L2
2
1
2
1
2
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3)
θ) θ2)
).( LKT LL
T
L SBSJK )...().( 2
SBSJT L
L
..
12
Sistemas de nivel de líquidos
Trabajaremos con líquidos ideales, es decir, incompresibles y sin variación de
densidad con la temperatura.
Caudal volumétrico t
volqe
líq
si dtqdvoldt
dvolqctevol ee .:
dhAdvolhAvol ..
JL T
θ
1
1
1
θL K B
dt
dpAqe .
JL
L K
B T
dt
dhAq
dhAdtq
e
e
.
..
h
Área “A”
qe p0
hP .
Peso específico
dphddhdp .
Caudal de entrada
Presión atmosférica
presión en el fondo
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)()()( ... sst ESCIdt
deCi
Circuito equivalente:
Agregado de válvula:
Circuito equivalente:
Condición de equilibrio:
R
P
R
PPP
R
Pq
dt
dpCq
qqq
s
alm
salme
00
.
XC1
P
qe
AC capacitancia
qe
qs
qalm
R
P0
P
qe p0
qs
p0
válvula
R
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)()()(
)()(
)()()(
..1..
..1
.
.1
.
.1
..
.
ssse
sse
ssse
e
HR
RCSH
RCSQ
PR
CSQ
PR
PSCQ
R
P
dt
dpCq
)()(
)()(
)()()(
.
...
).1..()(
ssS
ssalm
sssalmse
e
HR
Q
HCSQ
QQQ
RCS
Rs
Q
H
Ejemplo:
qe
P0
P
C R )()( .
.
ss HP
hp
..
1
CS
R
Qe Qalm
Qs
H + _
a b
y
kv
qe
he
href
h
R
qs
P0
ykq ve .
a b y
hhref eh
error
b
hh
a
y ref
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Para variar href habría que variar la altura del punto de apoyo de la palanca.
Actuador hidráulico lineal
Se puede demostrar que la transferencia de este sistema es:
( )( )hSζ1S
Khs
X
X1
-=
≅ Relación
integral
→0ζS
Kh (s)
X
Xh si 1⇒→
Descarga Descarga
b
a kv
..
1
CS
R
+ + _ _ href he
h
h y qe
qs
qalm
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Agregando un sistema de palanca, acorde con la siguiente figura:
La transferencia será ahora:
( )pS
abs
X
X
ζ.+1
/=
2
1
Si pζ → 0 , lo cual en la práctica es fácil de lograr:
( )sX
X
2
1 ≅ →
a
b relación lineal
ACTUADORES ELECTROMECÁNICOS
Producen una potencia mecánica en base a una potencia eléctrica o viceversa (motores ó gene-radores). Existen con movimiento de rotación y traslación y por ser dispositivos de potencia gene-ralmente se encuentran en la parte final de la cadena directa del lazo de realimentación.
Control de velocidad en motores eléctricos Entre todas las aplicaciones posibles de la electrónica de potencia, merece especial atención la variación de velocidad de motores eléctricos. Los variadores de velocidad constituyen, en efecto, un campo de aplicación de los convertidores estáticos particularmente importante; su estudio nos permitirá, además, ver mejor las posibilidades que ofrecen los convertidores estáticos. Los equipos industriales utilizan cada día más arrastres de velocidad variable. Ello es debido, en parte, a la necesidad de dar al dispositivo arrastrado, la velocidad óptima en cada una de las fa-ses de un proceso. Pero sobre todo es debido a los progresos realizados en la automatización que requiere realimentar la velocidad de cada uno de los motores que actúan sobre diversos puntos de un mismo conjunto. La obtención de velocidades variables, a partir de la red trifásica de frecuencia constante que constituye normalmente la fuente de energía eléctrica disponible, se realiza actualmente en exce-lentes condiciones mediante el conjunto formado por rectificadores con tiristores y motor de co-rriente continua.
Descarga Descarga
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Por otra parte, con los recientes adelantos en la conversión de energía, las técnicas de control y las microcomputadoras, las propulsiones de motores de CA se vuelven cada vez más competiti-vas en relación con las propulsiones de CC. Debido a ésto, cada día hay más interés en los variadores de velocidad para motores asíncro-nos, basados en la modulación de ancho de pulsos (PWM), los cuales están cubriendo gran par-te de las aplicaciones, pero aún quedan algunas aplicaciones que solamente las pueden cubrir los motores de CC. Aunque la tendencia futura mira hacia las propulsiones de CA, quizás pasen algunos años hasta que los variadores de velocidad para control de motores asíncronos desplace totalmente a los variadores para motores de CC. Los motores de CC, pueden proporcionar un alto par motor de arranque y también permiten el control de la velocidad en un amplio rango. Los métodos de control de la velocidad, por lo gene-ral son más simples y menos costosos que los de los variadores de CA. Los motores de CC jue-gan un papel significativo en las propulsiones industriales. Tanto los motores de CC excitados en serie como los de excitación independiente se utilizan normalmente con controladores de velocidad variable, aunque tradicionalmente los motores en serie se han utilizado para aplicaciones de tracción. Debido a los elementos de conmutación, los motores de CC no son adecuados para aplicaciones de muy alta velocidad y requieren más man-tenimiento que los motores de CA. Los rectificadores controlados proporcionan una tensión de salida de CC variable a partir de una tensión fija de CA. Los rectificadores controlados y los pulsados tienen una gran aplicación en el control industrial y en las propulsiones de velocidad variable, con niveles de potencia que van desde fracciones de KW hasta varios megavatios. Por lo general, los rectificadores controlados se utilizan para controlar la velocidad de los moto-res de CC tal y como se muestra en la figura 1. Una alternativa sería un rectificador de diodos seguido por un pulsador (ó PWM), como el que se muestra en la figura 2.
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Otro caso, similar al de la figura Nº2, lo constituye la propulsión de trolebuses o trenes de ferro-carril, donde la alimentación es de corriente continua a través de una línea, mientras el pulsador se encuentra instalado junto al motor del vehículo. En este caso, en lugar de usar rectificadores controlados, se usan troceadores y la regulación de la tensión se hace a través de PWM. La disposición se vé en la figura Nº3.
Motor de corriente continua El colector se compone por delgas (contactos de cobre), conectadas a los extremos de bobinas que componen la armadura. Al girar el rotor, las escobillas van haciendo contacto con las delgas y de esta manera hacen llegar la tensión al bobinado de armadura. Fuerza en cada espira del rotor: F = B.ia .ℓ Donde: B= Inducción magnética del bobinado de campo ia= Intensidad de corriente de armadura l= longitud de las espiras que cortan líneas de fuerza del campo
Si ic =cte ⇒ control por armadura
Si ia =cte ⇒ control por campo
Figura Nº4
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Ecuaciones que intervienen en el motor:
NrliaA
....)espira área(
magn.) Øc(flujoB.ia.l.r.Nespiras) rotor).N(N F.r(radioT
.ia.ØcKT 1
.Øc.Keb 2cemf ω
En estas ecuaciones, K1 y K2 son constantes constructivas del motor.
Control por armadura
Si ic =cte ⇒ Øc =cte
Circuito equivalente:
Pel = Pmec ia.eb = T.ω
TbbT
K=KTK•K
T ..
Lado eléctrico:
sEbsIaLa.SRasEa
s/r
V
ωω.Keb
A
m.N.KT
b
T
ebK
TK
b
T
→
→ia
ia
s .KsEb T
JL
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Lado mecánico:
aargC
LL
2
L
Motor
LM
2
MT s.S.BS.Js.S.BS.JsIa.KsT
2
T
T
2
T
TL
KB
JS1B
Ra
LaS1Ra
K
KBS.JSLaRa
Ks
Ea
Como vemos, esta transferencia presenta un denominador de orden 2; es decir, 2 constantes de tiempo, una de naturaleza eléctrica y la otra mecánica. Para simplificar el resultado, asumiremos que en general se cumple que:
1.S
K
1KRa.B
Ra.JS
KRa.B
K
em
m
2
T
2
T
T
Siendo:
eB
Ra
KB
J
KRa.B
Ra.J2
T
2
T
em
la cte. de tiempo electromecánica
2
T
Tm
KRa.B
KK
:y la Ganancia del motor
Si ea=Ea0.μ(t) S
EasEa 0
+ - LaSRa .+
1
KT ( ) ( )SBBSJJ LMLM +++
12
S
KT
Ea
Eb
Ia T θL
2
T
2
TL
K.SS
B
LB
MBS
J
LJ
MJSLaRa
K.Ss
Ea
La
X La
« Ra
2
T
T
2
T
TL
KRa.BRa.J.S
K
K1B
J.SRa.B
Ks
Ea
la cual presenta ahora un denominador de orden 1
(una única constante de tiempo)
Amortiguamiento de naturaleza electromecánica
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Velocidad inicial: Velocidad final:
La velocidad del motor puede ser controlada mediante la variación de Ea, manteniendo Ec cons-tante. Entonces cuando la tensión aplicada a la armadura se eleva, la velocidad se elevará. La pérdida por la resistencia de la armadura es pequeña y la velocidad del motor sube casi propor-cionalmente con la tensión aplicada a la armadura. Pero hay un límite a la tensión que puede aplicarse a la armadura y ese límite es la tensión máxima permisible para la armadura, es la ten-sión nominal de la máquina. La velocidad del motor corresponde a la tensión de la armadura y a la tensión del campo deter-minado. Así la velocidad de un motor puede variarse debajo de su velocidad máxima, controlan-do la tensión de la armadura. Sería deseable que el motor pueda desarrollar un torque tan alto como sea posible, lo que se logra con la máxima tensión aplicada al campo. Aplicando una ten-sión más alta al campo, dado que este está cerca de la saturación, no se logra un aumento signi-ficativo del torque. Por otra parte, esto sólo produciría aumento de pérdidas en el bobinado. Dado que el calor total que desarrolla el motor de CC es un valor fijo que depende de la superficie de disipación y del sistema de enfriamiento, si aumentamos las pérdidas en el bobinado de campo, se debe disminuir la potencia disipada en la armadura, con lo que el resultado final puede ser una disminución en el torque. Aumentar la tensión de armadura sobre su valor nominal, no se recomienda porque ésta se dise-ña para dicho valor, entre otros puede haber problemas con la aislación. El torque que el motor puede entregar depende de la corriente de armadura y de la corriente del campo. Si el motor se opera continuamente, la corriente de armadura máxima no debe ser más alta que su valor nominal. Cuando las corrientes de armadura y de campo están en su nivel nominal, el motor genera el torque nominal. El torque máximo que el motor puede entregar continuamente por un largo período de tiempo, es el de su valor nominal y la velocidad debe cumplir que no ex-ceda el valor máximo. O sea que debe ser:
0 < ω < ωnom donde ωnom es la velocidad nominal del motor
La potencia desarrollada por el motor es:
Pamáx = Tmmáx .ω
El torque máximo que el motor puede entregar continuamente se llama Tm max,cont. Lo que se está mostrando en la ecuación, es el torque máximo que el motor puede entregar, y no el torque real que el motor entrega. El torque real que el motor entrega depende de la carga mecánica conec-tada a su eje. Si la velocidad del motor es aumentada más allá de su valor nominal, ésta puede lograrse manteniendo la tensión de la armadura en su valor nominal y debilitando el campo redu-ciendo la tensión aplicada a él. Cuando la velocidad del motor se aumenta de esta manera, la potencia máxima que puede desarrollar la armadura es fija. Eso significa que el torque máximo que el motor puede desarrollar sobre la velocidad nominal es:
Tmmax,cont = Eanom . Ianom donde ω > ω nom
ω Los diagramas de Pamax y Tmmax , pueden expresarse en función de la velocidad, como se obser-va en la siguiente figura.
L(s)
1.S
K
S
Eas
Ea.sEa
em
m0
01.S
K.Ea
Sem
m0
S
→∞→
→
s S.0 Lim t
m0
Sem
m0 K.Ea1.S
K.Ea
S
0→0→
→
s S.Lim t
L
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En la figura Nº5 se pueden observar los valores máximos que el motor puede admitir. El diagra-ma se puede dividir en dos zonas de funcionamiento, la primera es la de “Cupla cte.” Y la segun-da de “Potencia cte.” En la zona de Cupla cte. la corriente de armadura Ia es cte., la corriente de excitación también es cte. por lo tanto lo será la cupla. Se entiende que estos son valores máx. de cupla que el motor puede entregar, pero la cupla la determina la carga. La potencia depen-derá de la tensión de armadura y de la velocidad que es una función casi directa de esta tensión. Cuando llegamos a la velocidad nominal, estamos en ese punto a la potencia máx. que el motor puede entregar, pero en general, los motores pueden desarrollar mayor velocidad, siempre y cuando no se sobrepase la potencia máxima. Para cumplir con estas exigencias, podemos man-tener la tensión de armadura y disminuir la corriente de excitación. Esto hará que la velocidad aumente, pero la cupla máxima irá decreciendo como se ve en la Figura Nº5. Esta zona donde la corriente de excitacíón es decreciente y la tensión de armadura es cte, se llama de Potencia cte. En la figura Nº6, podemos ver un sistema de control de un motor de CC en lazo abierto.
E.T. Nº 17 - Brig. Gral.
Don Cornelio Saavedra Distrito Escolar XIII
Región V
6º Año
Área Electrónica
Apunte teórico 4
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La etapa de potencia para impulsar un Motor de C.C. puede ser de variados diseños. Si ésta es de poca po-
tencia, en el orden del vatio hasta varios cientos de vatios, puede ser a transistores debido a su fácil manejo.
Si la potencia es mayor, en el orden de varios kilovatios, ya es conveniente el uso de tiristores. Estos pueden estar alimentados de una fuente monofásica o trifásica según la potencia del motor a impulsar. Hasta el orden de los 3 kilovatios, puede ser monofásica. Para mayores potencias ya debe ser trifásica. Ejemplo:
Un motor controlado por armadura se alimenta con 100 V y consume en régimen permanente 10 A, girando a 1200 rpm y entregando una potencia mecánica de 900 W. Las pérdidas mecánicas se han considerado dentro de la potencia entregada. Determinar: a) El valor de la resistencia de armadura. b) La nueva velocidad en rpm si se intercala en serie con la armadura una resistencia de 4Ω. c) El valor de la nueva corriente de armadura. d) El valor del nuevo par de arranque e) El amortiguamiento total visto por el motor. Repaso fórmulas y diagrama de aplicación:
Pa = Ea.Ia (1)
Pa = Pem + Ppa (2)
Ppa = Ia2.Ra (3)
Pem = Tm.f = Bmec. f2 (4)
Pem = Eb.Ia (5)
Eb = KT.f (6)
Km =2
T
T
KRa.Bmec
K
(7)
Tm = Bmec.f (8)
Tm = KT.Ia (9)
Ra
KBe
2T
Btot = Bmec + Be
Circuito equivalente en régimen permanente:
+ - LaSRa .+
1 KT
T ( ) ( )SBBSJJ LMLM +++
12 S
KT
T
Ea
Eb
Ia Tm θL
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a) De (1): Pa = 100 V . 10 A = 1000 W
De (2): Ppa = Pa – Pem
= 1000 W – 900 W
= 100 W
De (3): Ra = 22 )A 10(
W100
Ia
Ppa = 1Ω
b) Ra = 4 Ω + 1 Ω = 5 Ω
f = Km . Ea
De (4): Bmec = 22 )seg/rad67,125(
W900
f
Pem
= 0,0572
2
rad
ws
De (5): Eb = V90A 10
W900
Ia
Pem
De (6): KT = rad
vs716,0
s/r67,125
v90
wf
Eb
De (7): Km = 2
T
T
KRa.Bmec
K
=
2
2
2
)r/vs716,0(5r
vs057,0
rad
vs716,0
= 0,897 vs
r
s/r7,89v100vs
r897,0wf = 857 rpm
c) De (9): Ia =r/ V.s716,0
J 11,5
K
Tm
T
Ia = 7,14 A
d) De (8): T = Bmec. f = 0,057 s/r7,89.r
ws2
2
= 5,11 Joule
e) Be = 102,05
)rad
vs716,0(
Ra
K2
2T
2
2
r
ws
Btot = Bmec + Be = 0,0572
2
r
ws+ 0,102
2
2
r
ws= 0,159
2
2
r
ws