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MODELOS DE
DISTRIBUCIÓN
DE VIAJES
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Distribución
Generación y
Atracción
Partición Modal
Asignación
Distribución
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CONTENIDO PRESENTACÍÓN
• Concepto de Distribución.
• Modelos de Distribución.
• Maximización de Entropía.
• Calibración Modelo de Distribución.
DISTRIBUCIÓN
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La etapa de Distribución permite estimar el número de viajes
realizados durante un determinado período entre las distintas zonas del
sistema analizado.
CONCEPTO DISTRIBUCIÓN
nnnn
n
n
ttt
ttt
ttt
......
......
......
......
21
22221
11211
n......21
n
...
2
1
nO
O
O
...
2
1
nDDD ......21 T
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Existen varios enfoques de modelación, la mayoría modelos
matemáticos, para estimar la matriz de distribución de viajes dentro de
una determinada área de estudio:
i) Encuestas de Viajes: muchas celdas vacías y muy costosas.
ii) Métodos de Factor de Crecimiento: consideran que se dispone
de una matriz de viajes obtenida de un estudio previo.
• Factor Uniforme: todos los elementos de la matriz crecen a la misma
tasa
• Factores de Crecimiento Acotados: cada celda de la matriz crece de
acuerdo a información sobre la generación y atracción de viajes de
la zona
ENFOQUES DE DISTRIBUCIÓN
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Métodos de Factor de Crecimiento
• Ventajas: - Fáciles de entender e implementar
- Rápida convergencia de los resultados
- Razonables en áreas estables y en análisis de
corto plazo
- Análisis de Sensibilidad
• Desventajas: - Resultados menos exactos
- Inelásticos ante cambios en la red de transporte
(proyectos viales y/o nuevos modos de transporte)
- Magnifican irregularidades en los viajes
ENFOQUES DE DISTRIBUCIÓN (cont.)
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iii) Modelo de Maximización de Entropía: analicemos el siguiente
ejemplo.
Consideremos que el número total de viajes en el sistema (con un
solo origen) es T = 4 y que Tj representa el número de viajes
cuyo destino es la zona j.
Supongamos que T1 = 1 , T2 = 1 y T3 = 2.
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA
Dado que el total de viajes es 4, existen cuatro individuos (A, B, C
y D) en el sistema que pueden repartirse de las siguientes formas:
D1
1
1
2
O D2
D3
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Repartición (N) j = 1 j = 2 j = 3
1 A B C-D
2 A C B-D
3 A D B-C
4 B A C-D
5 B C A-D
6 B D A-C
7 C A B-D
8 C B A-D
9 C D A-B
10 D A B-C
11 D B A-C
12 D C A-B
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
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El número de reparticiones N se puede obtener también como un
problema combinatorial:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
¿qué pasaría si T1 = 0 , T2 = 0 y T3 = 4?
Repartición (N) j = 1 j = 2 j = 3
1 - - A-B-C-D
12!0!2
!2
!2!1
!3
!3!1
!4
2
2
1
3
1
4
N
104
4
40
4
40
4
4
4
0
4
0
4
!!
!
!!
!
!!
!N
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Para este caso, en general, el número total de reparticiones N se
puede escribir como:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
......3
21
2
1
1
t
ttT
t
tT
t
TN
......!!
!
!!
!
!!
!
3213
21
212
1
11
tttTt
ttT
ttTt
tT
tTt
TN
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Finalmente se obtiene la expresión de Entropía:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
Considerando el caso general, en el que hay tantos orígenes como
destinos, resulta:
!
!
!...!!
!
321 jj
t
T
ttt
TN
!
!
ijji
t
TN
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Considerando viajeros homogéneos, la más probable distribución
de viajes es la que presenta un mayor número de reparticiones N.
Notar que N es máximo cuando la distribución es uniforme, por lo
que todas las celdas tienen el mismo valor (en ausencia de
restricciones de generación y atracción). Del mismo modo, el
valor de N es mínimo cuando todas las celdas valen cero excepto
una que vale T.
Por lo tanto, a menor información, mayor dispersión.
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
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En el ejemplo, cada repartición de viajes específica de los individuos A,
B, C y D corresponde a lo que se denomina estado micro. Por otra
parte, la distribución propuesta corresponde a un estado macro
(conjunto de estados micro).
En consecuencia, suponiendo que todos los estados micro son
igualmente probables, la matriz de distribución estará dada por aquel
estado macro que contenga un mayor número de estados micro
asociados.
Por lo tanto, la distribución estimada (más probable) será aquella que
maximice el valor de N (número de estados micro).
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
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Para determinar la matriz de distribución más probable, se debe
resolver el siguiente problema de optimización:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
!T
!TNmax
ijji
tij
i
j
ij OT:.a.s
j
i
ij DT
CcTi j
ijij
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Aplicando una transformación monótona creciente a la expresión
N, en este caso logaritmo natural, se obtiene:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
A partir del criterio de límite Stirling se tiene que:
1ln!ln! nnn nen nn
i j
ij
ijii
!Tln!Tln!T
!TlnNln
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Finalmente, y dado que T es constante, la distribución se obtiene
resolviendo el siguiente problema de optimización:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
j
i
CcT
DT
OT:.a.s
TlnTmin
i j
ijij
j
i
ij
i
j
ij
i j
ijijtij
1
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La solución del problema anterior es la siguiente:
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
donde:
ijc
jjii
*
ij eDBOAT
ieOA ii
jeDB jj
j
c
jj
iijeDB
A
1
i
c
ii
jijeOA
B
1
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Tipos de modelos
)exp(*
ijjjiiij cDBOAT
1) Doblemente acotado
Ejemplos:
Distribución de viajes al trabajo
i
jij
j
iij DTOT
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Tipos de modelos...
Ejemplos: Distribución de empleo con localización residencial conocida
Elección de destino propósito compras
2) Simplemente acotado origen
)exp(*
ijjiiij cWOAT
j
iij OT
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Tipos de modelos...
Ejemplo:
Elección de localización residencial
conocida con empleo fijo
2) Simplemente acotado destino
)exp(*
ijijjij cWDBT
j
jij DT
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Modelos desagregados por cluster
)exp(* k
ij
nn
j
kn
j
n
i
kn
i
kn
ij cDBOAT
)exp()( 1 k
ij
nn
j
j
kn
j
kn
i cDBA
)exp()( 1 k
ij
nn
i
i
kn
i
kn
j cOAB
Clusters n: tipo de usuario
k: modo de transporte
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Noción de acceso
• accesibilidad: beneficio de visitar actividades
)exp()( 1 k
ij
nn
j
j
kn
j
kn
i
n
i cDBAacc
)exp()( 1 k
ij
nn
i
i
kn
i
kn
j
kn
j cOABatt
• atractividad: beneficio de ser visitado
Factor de atracción
beneficio en destinoFactor de costoBeneficio en origen
Factor de atracción
beneficio en origen Factor de costoBeneficio en destino
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Propiedades del Modelo de Maximización de Entropía:
• Presenta un riguroso sustento teórico y entrega solución única.
• Considera los impactos de los niveles de servicio de las redes de
transporte (cij).
• Replica mejor los resultados observados y presenta mejor ajuste
estadístico.
MAXIMIZACIÓN DE ENTROPÍA (cont.)
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i) Calibración del Modelo de Maximización de Entropía:
La solución general de este modelo, para un determinado período
(n), propósito (p) y categoría de usuario (k), es de la forma:
CALIBRACIÓN
Notar que los destinos no están definidos por categorías (k), por lo
que es necesario calibrar simultáneamente los parámetros de
todas las categorías dentro de cada período-propósito.
npkij
npkcnp
j
np
j
npk
i
npk
i
npk
ij eDBOAT
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El costo representativo (o costo compuesto) para un usuario de
categoría k de viajar entre i y j con propósito p y durante el período
n, considerando todos los modos de transporte que realmente
tiene disponible, se puede escribir como:
CALIBRACIÓN (cont.)
donde es la función de utilidad evaluada con valores de los
atributos obtenidos de mediciones en terreno.
m
u~npk
ij
npk
ij
npkmijelnEMUc~
npkm
iju~
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Debido a la cantidad de información disponible, la calibración del
parámetro se obtendrá replicando el promedio ponderado de
los costos compuestos entre los distintos pares de zonas para
cada categoría de demanda:
CALIBRACIÓN (cont.)
i j
npk
ij
i j
npk
ij
npk
ij
npk
T
c~T
LP0
0
0
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ii) Iteración 0: a) calcular
CALIBRACIÓN (cont.)
b) definir un valor inicial para ; se sugiere
empezar con:
npk
npk
LP0
0
1
npkLP0
npk
0
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Iteración X: c) con los valores de los parámetros calcular
los factores de balanceo y
CALIBRACIÓN (cont.)
j
c~np
i
np
i
npk
i npkij
npk
eDBA
0
1
i k
c~npk
i
npk
i
np
j npkij
npk
eOAB
0
1
npk
0npk
iA np
jB
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d) generar matrices
CALIBRACIÓN (cont.)
npk
xLPe) calcular el nuevo costo compuesto
f) comparar connpk
xLP 1npk
xLP
npkij
npkc~np
j
np
j
npk
i
npk
i
npk
ij eDBOAT
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Si la diferencia entre ambos se considera
aceptable para todas las categorías de demanda,
los parámetros de distribución se consideran
calibrados; si no, hacer:
CALIBRACIÓN (cont.)
y volver al paso (c).
npk
x
npk
xnpk
x
npk
xLP
LP
1
1
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La convergencia de este proceso iterativo está garantizada.
CALIBRACIÓN (cont.)
Recordar que el balanceo de los factores y requiere de
un valor inicial, el cual puede ser uno (en el caso doblemente
acotado).
Además, dichos factores de balanceo deben ser reestimados
para cada cambio en los costos de la red.
npk
iA np
jB