Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
VICEMINISTERIO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA
DIRECCIÓN NACIONAL DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS,
TECNOLOGÍA E INNOVACIÓN
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
ORGANIZAN
Del 10 al 14 de noviembre de 2014.
Ciudad Universitaria, San Salvador, El Salvador, C.A.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
Índice de contenido
1. INTRODUCCION ..................................................................................................................... 3
2. ANTECEDENTES ..................................................................................................................... 4
3. OBJETIVOS .............................................................................................................................. 5 3.1 Objetivo general ...................................................................................................... 5
3.2 Objetivos específicos ............................................................................................... 5
4. ACTIVIDADES ......................................................................................................................... 6
4.1 Mini-cursos ............................................................................................................ 6
4.2 Conferencias ......................................................................................................... 8 4.4 Lugar y fecha ...................................................................................................... 11
4.5 Participantes ....................................................................................................... 11 4.6 Horario ................................................................................................................. 12 4.7 Organización ....................................................................................................... 12
5. PRESUPUESTO ..........................................................................................................................
5.1 Presupuesto global ............................................................................................ 13
5.2 Presupuesto según fuente de financiamiento ............................................... 14
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
1. INTRODUCCION
En el contexto de la actual sociedad del conocimiento la ciencia, la tecnología y la innovación son
los vehículos y herramientas principales con las cuales está vinculado el desarrollo humano
sustentable en El Salvador. En consecuencia, el país ha asumido el desafío de incrementar las
capacidades nacionales para producir y aplicar el conocimiento, la ciencia y la tecnología y poder
hacer realidad en el mediano plazo la visión de país declarada en la Política Nacional de
Innovación, Ciencia y Tecnología: "Ser una nación cuyo desarrollo económico y social esté
basado en el conocimiento científico y tecnológico y en la innovación". En particular, el país ha
asumido el reto de reducir el déficit de recursos humanos formados al más alto nivel con
capacidad investigadora y la brecha de conocimientos en matemáticas puras y aplicadas, pues la
dinámica de desarrollo científico tiene a su base el fortalecimiento de la capacidad matemática del
país.
En este sentido, el Ministerio de Educación, a través del Viceministerio de Ciencia y Tecnología, y
la Universidad de El Salvador, a través de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática,
organizan el Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. La temática del congreso
se enfocará en la modelación matemática de problemas en las áreas estratégicas establecidas en
la Política Nacional de Innovación, Ciencia y Tecnología: a) Medio Ambiente, b) Energía, c) Salud
y d) Seguridad Alimentaria y Nutricional, así como en la modelación matemática del genoma,
epidemiologia y dinámica de poblaciones.
El evento está dirigido a:
Instituciones de Educación Superior, Instituciones públicas y privadas involucradas
directamente en acciones de naturaleza científica, tecnológica y de Innovación.
Investigadores, Profesores Universitarios, Profesionales y Estudiantes de Ciencias,
Matemáticas, Ingeniería, Economía, entre otros, interesados en las aplicaciones de las
matemáticas.
El presupuesto del presente evento asciende a $20,559.58. El Ministerio de Educación financiará
los gastos de boleto aéreo y alojamiento de los profesores invitados, y atención de todos los
participantes, por un monto total de $11,488.83. La Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
financiará los gastos alojamiento y alimentación de los profesores invitados, los gastos de
logística, transporte local, materiales y atención de los participantes por un monto total de
$5,190.75. Y se harán gestiones con organismos nacionales para financiar parcialmente la
publicidad, la atención, alimentación de los participantes nacionales por un monto de $3,880.00.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
2. ANTECEDENTES
La Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática ha organizado
varios eventos relacionados con las Matemáticas Aplicadas. Entre los más destacados se tienen
los siguientes:
En el año 2005 se desarrolló el Primer Curso Regional de Modelación Matemática,
organizado con el auspicio parcial de la National Science Foundation NSF.
En el año 2006 se desarrolló el Curso Regional de Biomatemática y TIC Aplicadas a la
Enseñanza de la Matemática, auspiciado parcialmente por la Red CienciA y el
Programa de Ciencias Básicas de la UNESCO.
En el año 2006 se llevó a cabo el Pan American Advanced Studies Institute (PASI):
Mathematical Models in Population Dynamics, con el auspicio parcial de la National
Science Foundation NSF.
En el año 2010 se llevó a cabo el Pan American Advanced Studies Institute (PASI):
Mathematical Models in Population Dynamics II, con el auspicio parcial de la National
Science Foundation NSF.
En el año 2011 se llevó a cabo la Escuela de Matemática de América Latina y el Caribe,
EMALCA-EL SALVADOR 2011, auspiciado parcialmente por la Unión Matemática de
América Latina y el Caribe y la Fundación UNO.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
3. OBJETIVOS
3.1 Objetivo general
Promover la interacción entre instituciones, investigadores, profesores, estudiantes y otros
profesionales, tanto nacionales como internacionales, interesados en las aplicaciones de
las matemáticas en la búsqueda de soluciones a los problemas nacionales científicos,
tecnológicos, sociales y económicos, con especial énfasis en aquellos que subyacen en las
áreas estratégicas de nuestro país, así como de aquellos interesados en los procesos de
difusión y formación de recursos humanos especializados en el dominio y uso de las
herramientas teóricas y metodológicas de la modelación matemática.
3.2 Objetivos específicos
Desarrollar sinergias entre Instituciones Nacionales, el Viceministerio de Ciencia y
Tecnología, la Universidad de El Salvador, el Centro Nacional de Investigaciones
Científicas de El Salvador (CICES), el Centro de Investigaciones en Ciencias Sociales y
Humanidades (CENISH), Ministerio de Salud (MINSAL), Ministerio de Medio Ambiente y
Recursos Naturales (MARN), la Sociedad Matemática Salvadoreña y Centros de
Investigación Científica y Centros de Modelación Matemática Internacionales, a fin de
generar condiciones y conjuntar esfuerzos para crear un Centro de Modelamiento
Matemático y Estadístico para El Salvador.
Socializar experiencias de investigación y sensibilizar a sectores clave de la sociedad
salvadoreña acerca del valor de la matemática como herramienta para el estudio y
búsqueda de soluciones a los problemas de la vida real.
Establecer una red de instituciones nacionales e internacionales que apoyen la creación de
un Centro de Modelamiento Matemático y Estadístico para El Salvador, así como en la
gestión de recursos humanos, materiales, tecnológicos, asistencia científica y financieros,
para el normal funcionamiento del mismo.
Facilitar a la comunidad científica y matemática nacional, herramientas teóricas y
metodológicas sobre la modelación matemática.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
4. ACTIVIDADES
4.1 Mini-cursos
4.1.1 Modelos matemáticos en biología, ecología y epidemiología
Número de horas: 10 hrs.
Impartido por: Dra. Minaya Villasana. Departamento de Matemáticas de la Universidad
Simón Bolívar, Venezuela.
Resumen
Este curso abordará técnicas y algunos modelos en biología, química, ecología y
epidemiología empleando técnicas de ecuaciones diferenciales. El temario incluye:
Modelos en una variable. Modelo logístico, interpretación, análisis de estabilidad.
Análisis de modelos en dos dimensiones, estabilidad lineal.
Modelos de interacción de especies. Modelo Lotka-Volterra y sus variantes, modelos de
exclusión competitiva. Ciclos límites y Modelos que exhiben estructuras cíclicas.
Modelos epidemiológicos (modelos SIR, SEIR y sus variantes), modelos
epidemiológicos con difusión espacial y simulaciones.
4.1.2 Modelación Matemática
Número de horas: 8 horas.
Impartido por Dr. José Geiser Villavicencio Pulido. Unidad Académica de Matemáticas.
Universidad Autónoma de Guerrero, México.
Resumen
El ser humano desde tiempos ancestrales siente fascinación por predecir el futuro. En las
últimas décadas se ha hecho especial énfasis en la modelación de fenómenos naturales,
físicos, químicos, sociales etc., para entender los mecanismos que los producen y en su
caso predecir y controlar comportamientos futuros del fenómeno en estudio. En este curso,
se hará énfasis en que en la modelación matemática concurren muchas disciplinas, por lo
que se requiere la interacción de académicos y profesionales de otras áreas además de
matemáticos. Finalmente, se describirá a través de ejemplos cómo la dinámica del
fenómeno a estudiar dicta la matemática que lo describe, permitiendo que una gran
variedad de conceptos matemáticos puedan ser utilizados para responder interrogantes
acerca del fenómeno que se está estudiando.
4.1.3 Modelado de biomoléculas
Número de horas: 8 horas.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
Impartido por Dr. Joel Ireta Moreno. Departamento de Físico–Química Teórica.
Universidad Autónoma Metropolitana, México.
Resumen
El ácido desoxirribonucleico (ADN), el ácido ribonucleico y las proteínas son biomoléculas
poliméricas fundamentales para la función celular, por ende para la vida. El modelado de
estas biomoléculas ha sido de gran importancia para profundizar nuestro entendimiento de
su función. En esta serie de charlas se presentará un recuento de los retos en el modelado
de las biomoléculas, haciendo particular énfasis en la relación geometría – función de las
proteínas.
4.1.4 El abasto de agua a poblaciones
Número de horas: 8 horas.
Impartido por Dr. Yann René Ramos Arroyo. Departamento de Ingeniería Geomática e
Hidráulica. División de Ingenierías. Universidad de Guanajuato, México.
Resumen
El abasto de agua de buena calidad a la población es un aspecto necesario para el
desarrollo de cualquier región. El caso particular de los países de Centroamérica es una
situación que aún hay que evaluar el potencial de uso de agua de buena calidad. Se
repasarán aspectos básicos para plantear modelos que ayuden a garantizar el abasto de
agua a la población de El Salvador. En ese sentido se hará una revisión de la climatología
e hidrología de la región, así como una compilación de las bases de datos de calidad del
agua que a la fecha existan. Se proporcionarán códigos de modelación para conocer la
calidad de las aguas soportados en algoritmos matemáticos. Se tratará de comenzar con
un trabajo de implementar las bases para lograr modelos que lleven a un aseguramiento
del abasto de agua a la población.
4.1.5 Cadenas de Markov
Número de horas: 6 horas.
Impartido por Dr. Pablo José Groisman. Universidad de Buenos Aires, Argentina.
Resumen
Las cadenas de Markov son una herramienta fundamental para el estudio de fenómenos
que pueden ser modelados por medio del azar. Partiendo del supuesto de que la
información de todo el pasado del sistema solo influye en el futuro a través de la
información del presente se construye un modelo con múltiples virtudes: el tratamiento
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
matemático es simple, su capacidad de reproducir fenómenos reales es alta, su
implementación para simulación en computadores es sencilla. Daremos una breve
introducción a las cadenas de Markov en espacios de estados finitos.
4.1.6 Empleo de la modelación matemática para la predicción del comportamiento de
variables cronológicas cuya medición directa es lenta o no lineal
Número de horas: 6 horas.
Impartida por Dr. Luis M. Fernández. Instituto de Cibernética, Matemática y Física, ICIMAF, Cuba.
4.1.7 Modelamiento matemático: casos prácticos
Número de horas: 6 horas.
Impartida por: Dr. Jorge Amaya. CMM, Universidad de Chile.
Resumen
Se abordarán los problemas siguientes: programación de tripulaciones (crew scheduling),
planificación de la extracción minera, planificación escolar (localización de escuelas,
asignación de recursos humanos y materiales), uso eficiente de energía en transporte
(caso ferrocarril urbano e interurbano).
4.2 Conferencias
4.2.1 Modelos matemáticos aplicados a la biología y medicina
Impartida por: Dra. Minaya Villasana del Departamento de Matemáticas de la Universidad
Simón Bolívar, Venezuela.
Resumen
En este conjunto de charlas se aborda el modelaje matemático del cáncer desde una
perspectiva de modelo poblacional y compartamental. Dicho modelaje requiere en primer
lugar comprender los fundamentos básicos de la enfermedad para poder incluir en los
modelos aquellos elementos que sean esenciales en el proceso. Se analizan algunos
modelos desde el punto de vista de su estabilidad y los aportes que esos análisis hacen de
la realidad que se quiere representar. A partir del modelo matemático se discutirán
algunas estrategias para controlar la enfermedad mediante protocolos de quimioterapia y
se estudiaran algunas formulaciones matemáticas de estas y las técnicas de resolución
usando técnicas de computación emergente.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
4.2.2 Investigación y desarrollo en matemáticas
Impartida por: Dra. Minaya Villasana del Departamento de Matemáticas de la Universidad
Simón Bolívar, Venezuela.
Resumen
Esta charla divulgativa se centra en explorar la utilidad de las matemáticas en la resolución
de problemas industriales. Se revisarán algunos ejemplos reales tomados del contexto
Venezolano y del Centro de Estudio de Matemáticas Aplicadas–CESMa. Se abordarán
estadísticas sobre indicadores de desarrollo en países emergente y de la importancia de
establecer vínculos de la industria y la academia generadora de conocimiento.
4.2.3 Reporte de la Unión Matemática Internacional sobre las matemáticas en la
América Latina y el Caribe
Impartida por Dr. Angel Pineda. Mathematics Department California State University.
4.2.4 Colaboración entre la Industria y la Matemática Aplicada
Impartida por Dr. Angel Pineda. Mathematics Department California State University.
4.2.5 Aplicación de modelos matemáticos como herramientas primordiales en el
desarrollo de tecnologías sustentables
Impartida por Dra. Alma Hortencia Serafín Muñoz. División de Ingenierías. Universidad
de Guanajuato.
Resumen
Una de las necesidades actuales a nivel internacional es el desarrollo y aplicación de
modelos sustentables y sostenibles. La investigación en sustentabilidad y energía se
enfoca al análisis y desarrollo de tecnologías verdes. Bajo este marco de
conceptualización, se requieren herramientas matemáticas esenciales para la descripción
de los procesos, diseño de conjuntos para definir el sistema adecuado para la transición
energética, selección de alternativas que permitan la diversificación energética, análisis de
potenciales y beneficios, así como análisis de escenarios. Desde una perspectiva
productiva, es fundamental la caracterización de tecnologías. Bajo este contexto, la
implementación de modelos matemáticos de simulación y optimización constituyen
herramientas de predicción básicas para asegurar la inversión de la infraestructura
adecuada de escalamiento piloto a industrial. En paralelo, se requiere del planteamiento y
análisis de modelos de negocios que implica el manejo de matemáticas financieras
enfocadas a estudios de economía sustentable. Por lo que todo esto con lleva a la
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
integración multidisciplinar que exigen los esquemas sustentables dirigidos hacia los ejes
primordiales en temáticas de cambio climático, demanda energética y desarrollo e
implementación de tecnologías verdes. Cumpliendo con las necesidades específicas que
demanda la propia sociedad.
4.2.6 Geometría de proteínas
Impartida por Dr. Manuel Cruz López. Departamento de Matemáticas. Universidad de
Guanajuato.
Resumen
En esta charla elemental se describirán algunas transformaciones geométricas del espacio
Euclidiano tridimensional que se utilizan para describir la estructura geométrica elemental
de las proteínas.
4.2.7 Sistemas de partículas y sistemas complejos
Impartida por Dr. Pablo José Groisman. Universidad de Buenos Aires, Argentina.
Resumen
Los sistemas de partículas son una herramienta matemática desarrollada para estudiar
sistemas que tienen una gran cantidad de componentes (típicamente del orden de 10^23).
Se reemplazan las complejas interacciones entre las partículas por interacciones simples
pero aleatorias y se estudia, a partir de estas interacciones microscópicas, el
comportamiento macroscópico del sistema. Daremos algunos ejemplos de sistemas de
partículas utilizados para modelar fenómenos en biología, epidemiología, física y ciencias
sociales. Si hay tiempo, contaremos los resultados que hemos obtenido en este campo.
4.2.8 Matemática para el desarrollo económico y social
Impartida por: Dr. Pablo José Groisman. Universidad de Buenos Aires, Argentina.
Resumen
La matemática, al igual que otras disciplinas científicas, juega un rol fundamental en el
desarrollo económico y social de un país desde múltiples facetas:
a) Brinda herramientas, técnicas, metodología para el tratamiento de problemas
provenientes de las más diversas disciplinas (ingeniería, economía, finanzas, biología,
física, sociología, etc.)
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
b) Es formativa para los especialistas en ciencias duras, ingenierías, ciencias económicas,
finanzas y otras.
c) Cumple un rol fundamental en el vínculo entre el sector científico y el sector productivo.
Los centros de investigación en matemática han demostrado ser esenciales para cubrir
estos aspectos. Analizaremos el caso argentino y de otros países latinoamericanos con
centros de modelamiento matemáticos exitosos.
4.2.9 El papel de los Centros de Investigación Matemática en la actividad científica y matemática en Cuba
Impartida por Dr. Luis M. Fernández. Instituto de Cibernética, Matemática y Física, ICIMAF, Cuba.
4.2.10 El Modelamiento Matemático y la experiencia del CMM-Center for Mathematical Modeling de la Universidad de Chile.
Impartida por Dr. Jorge Amaya. CMM-Universidad de Chile.
Resumen
Se tratará el problema de la relación entre la investigación e industria.
4.3 Mesa Redonda Sobre la necesidad de la Creación de un Centro de Modelación Matemática en El Salvador Coordinador: MSc. Mauricio Castro.
4.4 Lugar y fecha
El evento se realizará en la Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemática de la Universidad de El Salvador, del 10 al 14 de noviembre de 2014.
4.5 Participantes
Se contará con la participación profesores invitados de EE.UU, México, Cuba, Venezuela, Chile y
Argentina. Y profesores, profesionales y estudiantes de El Salvador. El total de participantes será
de 100 personas.
A los participantes internacionales se les cubrirá los gatos de transporte, alojamiento y
alimentación, según la disponibilidad financiera de las fuentes de financiamiento.
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
4.6 Horario
Las actividades durante el evento se detallan a continuación:
Llegada de los Profesores Visitantes: domingo 9 de noviembre.
Partida de los Profesores Visitantes: sábado 15 o domingo 16 de noviembre. El día sábado 15 se realizará un seminario-taller en el interior del país para evaluar el evento y coordinar el diseño y gestión de futuros proyectos académico-científicos en el campo de la Matemática Aplicada.
4.7 Organización
El evento es organizado por la Escuela de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemática de la Universidad de El Salvador y la Dirección Nacional de Investigación en Ciencia,
Tecnología e Innovación (DNICTI) del Viceministerio de Ciencia y Tecnología, Ministerio de
Educación.
Comité Organizador Viceministerio de Ciencia y Tecnología-DNICTI:
Dra. Herlinda Handal (Viceministra de Ciencia y Tecnología-MINED)
MSc. Sonia Elsy Merino (Directora de la DNICTI)
MSc. Mauricio Elizondo Castro (Técnico de la DNICTI)
Comité Organizador de la FCNMAT:
MSc. Martín Enrique Guerra Cáceres (Decano de la FCNMAT)
Dr. José Nerys Funes Torres (Director de la Escuela de Matemática)
MSc. Pedro Armando Ramos
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
5. PRESUPUESTO
Aspecto Cantidad Valor unitario Valor Total
Transporte aéreo
Argentina 1 $1,461.05 $1,461.05
Chile 1 $1,541.73 $1,541.73
Venezuela 1 1,461.05 1,461.05
Cuba 1 $800.00 $800.00
México 5 $800.00 $4,000.00
EE.UU 1 $900.00 $900.00
Transporte terrestre local 18 $35.00 $630.00
Transporte taller 1 $400.00 $400.00
Subtotal $11,193.83
Alojamiento de profesores
visitantes
7 $25 x 7 días = $175.00 $1,225.00
1 $25 x 4 días = $100.00 $100.00
Subtotal $1,325.00
Alojamiento y alimentación de
profesores visitantes
2 $80 x 5 días = $400.00 $800.00
Subtotal $800.00
Alimentación de profesores
visitantes
6 $40 x 7 días = $280.00 $1680.00
2 $40 x 4 días = $160.00 $320.00
Subtotal $2,000.00
Alimentación participantes
Almuerzos 110 $6 x 3 días = $ 18.00 $ 1,980.00
Refrigerios 220 (2 x día) $1 x 5 días = $ 5.00 $ 1,100.00
Subtotal $3,080.00
Atención a los profesores
invitados y participantes
Visita turística 30 $20 x 1 día = $20.00 $600.00
Garrafas de Agua 15 $2.25 $33.75
Rollos de Papel higiénico 18 $0.50 $9.00
Jabón 12 $0.75 $9.00
Subtotal $651.75
Material de apoyo
Resmas de Papel Bond Carta 10 $3.75 $37.50
Folders con logo 120 $3.00 $360.00
Plumones para pizarra 30 $1.25 $37.50
Bolígrafos 120 $0.40 $48.00
Lápices 120 $0.30 $36.00
Fotocopias 6000 $0.03 $180.00
Tóner 4 $115.00 $460.00
Subtotal $1,159.00
Publicidad
Banners 4 $50.00 $200.00
Afiches 50 $3.00 $150.00
Subtotal $350.00
TOTAL $20,559.58
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
5.1 Presupuesto según fuente de financiamiento
5.1.1 Financiamiento MINED
5.1.2 Financiamiento FCNMAT
Aspecto Cantidad Valor unitario Valor Total
Transporte aéreo
Argentina 1 $1,461.05 $1,461.05
Chile 1 $1,541.73 $1,541.73
Venezuela 1 1,461.05 1,461.05
Cuba 1 $800.00 $800.00
México 5 $800.00 $4,000.00
EE.UU 1 $900.00 $900.00
Subtotal $10,163.83
Alojamiento de profesores
visitantes
7 $25 x 7 días = $175.00 $1,225.00
1 $25 x 4 días = $100.00 $100.00
Subtotal $1,325.00
TOTAL $11,488.83
Aspecto Cantidad Valor unitario Valor Total
Transporte terrestre local
Aeropuerto-Hotel-UES 18 $35.00 $630.00
Taller 1 $400.00 $400.00
Subtotal $1030.00
Alojamiento y alimentación
de profesores visitantes
2 $80 x 5 días = $400.00 $800.00
Subtotal $800.00
Alimentación de profesores
visitantes
6 $40 x 7 días = $280.00 $1680.00
2 $40 x 4 días = $160.00 $320.00
Subtotal $2,000.00
Atención a los profesores
invitados y participantes
Garrafas de Agua 15 $2.25 $33.75
Rollos de Papel higiénico 18 $0.50 $9.00
Jabón 12 $0.75 $9.00
Subtotal $51.75
Material de apoyo
Resmas de Papel Bond Carta 10 $3.75 $37.50
Folders con logo 120 $3.00 $360.00
Plumones para pizarra 30 $1.25 $37.50
Bolígrafos 120 $0.40 $48.00
Lápices 120 $0.30 $36.00
Fotocopias 6000 $0.03 $180.00
Tóner 4 $115.00 $460.00
Subtotal $1,159.00
Publicidad
Primer Congreso de Modelación Matemática MINED-UES. Noviembre de 2014
5.1.3 Financiamiento ante organismos nacionales
Afiches 50 $3.00 $150.00
Subtotal $150.00
TOTAL $5,190.75
Aspecto Cantidad Valor unitario Valor Total
Alimentación participantes
Almuerzos 110 $6 x 3 días = $ 18.00 $ 1,980.00
Refrigerios 220 (2 x día) $1 x 5 días = $ 5.00 $ 1,100.00
Subtotal $3,080.00
Atención a los profesores
invitados y participantes
Taller 30 $20 x 1 día = $20.00 $600.00
Subtotal $600.00
Publicidad
Banners 4 $50.00 $200.00
Subtotal $200.00
TOTAL $3,880.00